GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Transcripción

1 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES SEMILLERO DE MATEMÁTICAS GRADO: 10 TALLER Nº: 6 SEMESTRE 1 GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS RESEÑA HISTÓRICA Leonhad Eule, ( ) Fue un matemático suizo, sus taajos se centaon en el campo de las matemáticas puas, en el siglo XVIII, demostó que las popiedades de la tigonometía ean poducto de la aitmética de los númeos complejos y además definió las funciones tigonométicas utilizando expesiones con exponenciales de númeos complejos. OBJETIVO GENERAL Reconoce gáficamente la foma que tiene cada una de las funciones tigonométicas así como la foma como se eflejan soe la gáfica los elementos que las caacteizan. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. Identifica las funciones paes e impaes. 2. Enconta el dominio y el ango de las funciones tigonométicas. 3. Estalece la peiodicidad de las funciones tigonométicas. 4. Constui la gáfica de las funciones tigonométicas. 5. Compende los desplazamientos hoizontales y veticales de una cuva. 6. Compende como vaia la amplitud de las funciones tigonométicas seno y coseno. PALABRAS CLAVES Función pa, función impa, peiodo, amplitud, plano catesiano, gáfico, puntos soe el plano. DESARROLLO TEÓRICO Recueda del estudio de funciones que paa ealiza el gáfico de una función es necesaio conoce su dominio, tamién se ecomienda identifica los puntos donde la función intesecta los ejes coodenados y detemina si la función es pa o impa; todo esto simplifica la ealización de la gáfica. Po tal azón se pocedeá a continuación a descii como enconta cada uno de estos elementos y a defini los que se desconozcan, paa las funciones tigonométicas.

2 DOMINIO Y RANGO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Paa enconta el dominio de las funciones tigonométicas se utilizaá la definición de dichas funciones dado en el talle 3, esto es, con ase en la definición dada de las funciones soe la cicunfeencia de adio. El desaollo que se haá a continuación seá paa la función seno, con ase en esta podás enconta el dominio de las demás funciones. Dada un cicunfeencia de adio, y un punto P(a,) soe ella se definió en el talle 3 la función seno del ángulo α de la siguiente manea sen (α ) =. Ahoa mueve el punto P soe la gáfica y osevaas que el máximo valo que podá toma es y así mismo, el mínimo valo que podá toma es -, po lo tanto, con ase en esto el máximo valo que podá toma la función seno es = 1 y el mínimo valo que podá toma seno es = 1; se sigue de esto que ango de la función seno son todos los valoes eales ente -1 y 1. De oto lado saemos que el adio es una cantidad positiva difeente de ceo, po lo que el cociente nunca se haá indeteminado, y po ende sen (α ) = nunca se haá indeteminado, esto es, la función seno siempe existiá paa cualquie valo eal de α, po lo tanto el dominio de la función seno es el conjunto de los númeos eales. Se tiene entonces que: ( ( α) ) = R ( sen( α )) = [ 1,1 ] Dom sen Ran Actividad Con ase en el azonamiento ealizado paa halla el dominio y ango de la función seno, halle el dominio y el ango paa las siguientes funciones y complete la tala que apaece a continuación: 1. Coseno. 2. Tangente. 3. Secante. 4. Cosecante. 5. Cotangente. 2

3 Dominio Rango [ ] TABLA 1 DOMINIO Y RANGO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS SENO COSENO TANGENTE SECANTE COSECANTE COTANGENTE R 1,1 INTERCEPTOS El segundo paso a ealiza en el poceso de gafica una función consiste en enconta los puntos de intesección de función con los ejes X y Y, a continuación se descie este poceso. Intesección con el eje X El punto de intesección de una función f (x) con el eje X, es el punto donde la cuva de la función toca o ataviesa el eje, estos puntos tiene la popiedad que el valo de la odenada es ceo ( = 0 ), esto es, hay que enconta un punto cuyas coodenados son (c,0), donde c Dom( ), paa esto usquemos paa que valoes del ángulo α, sen ( α) = 0. Como sen (α ) =, se oseva que depende de un valo vaiale y de un valo fijo, po lo tanto la función seno de haá ceo cuando el numeado de su definición se haga ceo ( = 0 ), si movemos el punto P alededo de la cicunfeencia en la figua 1, la coodenada se haá ceo cuando: α = 0, ± π, ± 2π, ± 3π L; se sigue entonces que el seno toca al eje X en estos valoes de α, así entonces, los puntos de intesección con el eje X, son: L ( 3π,0),( 2π,0),( π,0),(0,0),( π,0),(2π,0),(3π,0)l En geneal la foma de los puntos de intesección de la función seno es: ( ± nπ,0), con n ℵ 0. {} Intesección con el eje Y El intecepto con el eje Y es el punto donde se hace ceo la ascisa, esto es, es el punto que tiene la foma ( 0, d ), donde d an( f ) ; paa halla el valo de d se dee evalua la función seno en ceo, d 0), asta entonces con hace el ángulo α = 0. Como > 0 y α = 0, entonces, el punto paa este valo del ángulo es ( a, ) = (0,0) (ve figua 1), po lo tanto d 0) = 0 = 0, y en consecuencia la intesección de la función seno con el eje Y se encuenta en el punto (0,0). Actividad Halla la intesección con el eje X y con el eje Y de las siguientes funciones: 1. Coseno 3

4 2. Tangente 3. Secante 4. Cotangente 5. Cosecante FUNCIONES PARES E IMPARES Función Pa. Se dice que una función f(x) es pa si paa todo x en el dominio de la función siempe se cumple que f(x) = f(-x) Función Impa. Se dice que una función f(x) es impa si paa todo x en el dominio de la función siempe se cumple que f(-x) = - f(x) NOTA Puedes oseva en las anteioes gáficas que una función impa pesenta simetía especto al oigen; y que una función pa pesenta simetía especto al eje y. Pegunta: Es la función seno Pa o Impa? Analicemos la cicunfeencia de adio paa α y α (ve figua 2) Oseve que el ángulo α está en el pime cuadante en tanto que el ángulo α se encuenta en el cuato cuadante po lo tanto la odenada del punto teminal paa α es en tanto que paa α es de esta foma se tiene que: sen( α) = sen( α ) = = = sen( α) po lo tanto se puede afima que la función seno es impa, lo que implica gáficamente una simetía con el oigen. 4

5 Actividad Detemine si las siguientes funciones coseno, tangente, cosecante, secante, cotangente, son paes, impaes o ninguna de las dos. FUNCIONES PERIÓDICAS Función Peiódica Una función f que tiene la popiedad de que f ( x + p) = paa todo x Dom( f ) y paa un númeo p constante, se dice que es peiódica. El meno númeo positivo p (si existe) que satisface la popiedad se le llama el peiodo de la función. Pegunta: Es la función seno peiódica? De nuevo, apoyados en la definición de la función seno, sen (α ) =, osevando la figua 1 se puede nota que una vez el punto p, ha odeado completamente la cicunfeencia (lo que ocue paa un ángulo de 360 o 2π ad) los valoes de se epiten de nuevo, y po ende se epetián los valoes de la función seno; esto es paa ángulos mayoes a 360 o menoes que 0 la función se epite, así seno es una función peiódica de peiodo 2π. Actividad Detemine cuales de las funciones del ejecicio 2 son peiódicas y detemine su peiodo. GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Como se dijo al comienzo del talle la ealización del gáfico de una función consta de una seie de pasos que hemos venido ecogiendo a lo lago del talle paa la función seno; la siguiente tala pesenta la infomación otenida paa esta función. Actividad Completa la tala siguiente con ase en los esultados que encontaste en las actividades desaolladas. 5

6 Dominio Rango [-1, 1] Intecepto eje x Intecepto eje y Pa Impa Seno Coseno Tangente Secante Cosecante Cotangente Reales ( ± nπ,0); n ℵ ( 0,0) NO SI Peiodo Si; p = 2π Con la infomación egistada en la anteio tala se puede pocede a ealiza el gáfico de la función seno, como la función es peiódica, sólo gaficaemos la función paa valoes de 2π α 2π como muesta la siguiente figua. Tenga pesente que paa ealiza gáfica los pimeo que se hizó fue taza un plano catesiano y uica los puntos de intecesión con los ejes. Posteiomente se consideó el hecho que el ango de la función seno es el intevalo ceado [-1, 1]. Como la función es impa, entonces hay simetía con el oigen, po lo tanto asta con toma valoes paa el ángulo en el eje positivo y luego efleja soe el oigen. Consideando los valoes de las funciones tigometicas, en este caso paa el seno, paa ángulos notales utilizados en los últimos dos tallees se tiene la siguiente tala de valoes y puntos paa la gáfica. Ángulo Seno Estos puntos se plasman soe el plano catesiano y se unen suavemente. Paa halla la cuva en el intevalo 2π 0 lo que hacemos es efleja la cuva ya constuida soe el oigen,. Recodando siempe que = f ( x) paa este caso. 6

7 Actividad Utilice los esultados necesaios de las actividades anteioes paa taza la gáfica de cada una de las funciones tigonométicas. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Realiza en un mismo plano catesiano la gáfica de las siguientes funciones: a.. c. = 2sen( Qué puede conclui de la gáfica ealizada en el numeal Realiza en un mismo plano catesiano la gáfica de las siguientes funciones: 2β ) Qué puede conclui de de la gáfica ealizada en el numeal anteio. 5. Realiza en un mismo plano catesiano la gáfica de las siguientes funciones: β + π 2 ) = cos( 6. Qué puede conclui de la gáfica ealizada en el numeal anteio. PEQUEÑOS RETOS 1. El patón AABCCCDAABCCCD.. se epite indefinidamente. La leta que figua en el luga 1000 de la seie es: a. A. B c. C d. D 7

8 2. El enunciado Todos los aspiantes a los cagos no fueon admitidos, equivale lógicamente a: a. no todos los aspiantes a los cagos fueon admitidos. ninguno de los aspiantes a los cagos fueon admitidos c. algunos aspiantes a los cagos fueon admitidos d. no hay un solo aspiante a los cagos que no haya sido admitido. 3. Cada uno de tes niños compa cajas de caamelos, el pimeo compa 26, el segundo 52, el teceo 91 caamelos, entonces el numeo de cajas que compa cada uno en su oden es: a. 2, 4, 7. 4, 5, 9 c. 5, 7, 9 d. 3, 5, 6 8