Ejemplos 2. Cinemática de los Cuerpos Rígidos

Transcripción

1 Ejemplos. Cinemática de los Cuepos Rígidos.1. Rotación alededo de un eje fijo.1.** El bloque ectangula ota alededo de la ecta definida po los puntos O con una velocidad angula de 6,76ad/s. Si la otación, vista desde es antihoaio, halla la velocidad de en el instante mostado (Ve nimación 9). 40mm 100mm 31mm O 31mm Respuesta: v = 0,75( î) + 0,4( ĵ) + 0,31( kˆ ) Se aplica la ecuación paa cuepos ígidos en otación con especto a un eje: v = ω ρ / O Se tiene que detemina la diección de ω, a que se sabe su magnitud. El vecto de la velocidad angula ω tiene la misma diección que el vecto posición ente los puntos O. Detemine el vecto ente los puntos O paa que apunte en el sentido de la velocidad angula. plica = Â paa enconta la pate elacionada con su diección. Detemine la velocidad angula como vecto: ω = ωâ.

2 .. Movimiento Plano Ejemplos. Cinemática de los Cuepos Rígidos..** La velocidad angula de es constante e igual a 3 ad/s en sentido hoaio. Encuente: a) la velocidad aceleación del punto C en la configuación dada, b) la aceleación del punto C cuando v c = 0 (Ve nimación 10). C 30cm 1 6cm 5 Respuesta: a) a C = 39,3( î) ; b) a C = 438,3( î) Considee la baa, el punto con especto a se mueve con movimiento cicula (ve Figua.i) (otación con especto a un eje fijo) v a 6cm 67 Figua.i Conociendo la velocidad de se aplica la ecuación paa movimiento plano a la baa C detemina la velocidad de C. Con coodenadas intínsecas (como es movimiento cicula) o cuepos ígidos se encuenta la aceleación de como el etemo de la baa. Con cuepos ígidos en movimiento plano aplicado a la baa C se detemine la aceleación de C. Paa la pate b) se tiene que detemina la posición en la cual el punto C tiene velocidad ceo. Po obsevación, ésta es la posición en la cual el sistema no puede movese más hacia la deecha. 74

3 Ejemplos. Cinemática de los Cuepos Rígidos..*** Las baas OP O están aticuladas en O O. La baa O está, también aticulada al cuepo anuado en. El etemo supeio de OP está aticulado en P a un odillo que se mueve libemente en la anua. Las velocidades angulaes de las baas son ω OP = 0, ad/s ω O = 0,4 ad/s, las dos en el sentido hoaio constantes. Detemina la velocidad de P elativa al cuepo anuado la velocidad angula del cuepo anuado en el instante dado. 0,5m O O Respuesta: & P = 0,0336m / s ω = 1,4( kˆ ) ad / s CR El movimiento de P con especto a 0 es una otación simple, po lo tanto, la velocidad de P se puede epesa así: v = ω ρ P 3 OP P / O Paa detemina el movimiento de P con especto al bao anuado se tiene que ama ota ecuación paa la velocidad de P. Se ubica un sistema móvil en el punto que ota con ω O', así usando coodenadas polaes paa ρ & analia el movimiento de P. El sistema fijo se ubica en O. Se igualan las dos ecuaciones paa la velocidad de P paa enconta & p θ & P. 0,m Ojo: θ & P no es la velocidad angula total del bao anuado. P 4 7.C.*** El cento C del pequeño cilindo con adio m tiene una apide de 0,1t m/s, al movese en sentido hoaio sobe una supeficie cicula con adio 15m. La baa está aticulada al cilindo en C esbala sobe la supeficie. En la posición mostada, t = 10s, encuente la aceleación del punto de la baa que está en contacto con la supeficie (Ve nimación 11). C m 15m Respuesta: = 0,904( î) + 5,43( ĵ) a 75

4 Ejemplos. Cinemática de los Cuepos Rígidos La baa foma el tangente de la supeficie cicula, po lo tanto, la velocidad de queda tangente a esta supeficie. sí se puede fomula una ecuación paa la velocidad de en téminos de su diección dejando como incógnita la magnitud de la velocidad. Po oto lado, se puede considea el movimiento plano de la baa sabiendo la velocidad de C, fomula ota ecuación paa la velocidad de con la velocidad angula de la baa como incógnita. Se igualan las dos ecuaciones paa enconta los dos incógnitas. Se hace lo mismo paa la aceleación de, ahoa definiéndola en téminos de coodenadas intínsecas luego con cuepos ígidos..d.** Una ueda tiene odamiento a lo lago de una supeficie cicula. En la posición mostada su velocidad angula ω = 3ad/s su aceleación angula α = 5ad/s, ambas en sentido hoaio. Detemine la aceleación angula de la baa. 0,5m 0,8m 4 3 Respuesta: = 14,67( k) α ad/s C 0,m Se quiee aplica la ecuación paa movimiento plano de los cuepos ígidos a la baa. Po lo tanto, se necesita detemina la aceleación de. Se considea la aceleación de como un punto en el cuepo ígido de la ueda en movimiento plano. Po lo tanto, se tiene que detemina la aceleación de C. Ojo la aceleación de C no es α î. 76

5 .3. Movimiento tidimensional Ejemplos. Cinemática de los Cuepos Rígidos.3.** La figua epesenta la vista fontal de un mecancismo con las dimensiones espectivas. En el instante dado, cuando tgθ = ¾, la baa de 1,5m gia alededo de un eje con ω = ad/ s ω& = 3ad / s. Simultaneamente, la platafoma a la cual está adheido este eje, gia alededo de C con ω 1 = 3 ad / s ω& 1 = 1ad / s, mientas la baa CD que sostiene la platafoma está giando alededo del eje fijo DC con ω 3 = 4 ad / s ω& 3 = ad / s. Detemina la velocidad la aceleación del etemo de la baa. 1,5m θ 0,6m D C Respuesta: v = 1,8î +,4 ĵ 9,6kˆ m/s a, ( ) ( ) ( ) 0,9m = 1,9 î + 60,0 ĵ + 1,6 kˆ m / s Paa enconta la velocidad aceleación del punto se tiene que detemina la velocidad aceleación angula absoluta de la baa. La Figua.ii muesta las diecciones de las velocidades angulaes según los ejes mostados. ω 1 D C ω ω 3 Figua.ii La velocidad angula absoluta es la sumatoia de las velocidades angulaes que afecta el movimiento de la baa. La aceleación absoluta es la sumatoia de las aceleaciones angulaes asociadas con el cambio en la magnitud de la velocidad angula ( ω& ) las aceleaciones 77

6 Ejemplos. Cinemática de los Cuepos Rígidos angulaes asociadas con los cambios en las diecciones de las velocidades angulaes. Po esta última pate se aplica la ecuación: & = ω (ve Ecn 1.11, Sección de los puntes) Una ve que se deteminen ω α se aplican las ecuaciones de cuepos ígidos paa enconta la velocidad aceleación del punto..3*** El secto de 45 de una placa cicula de 50mm de adio está unido a una ótula en 0. Cuando el bode 0 se mueve sobe la supeficie hoiontal el bode 0 desciende po la supeficie vetical. Sabiendo que el punto se mueve con una apide constante de 1,5m/s, halla en la posición mostada: a) la velocidad angula de la placa b) la velocidad de ω ad/s b) = 0,716î ĵ m/s Respuesta: a) = 8,49( î) + 6( ĵ) + 4,9( kˆ ) v De la Figua.iii se ve que el movimiento de los puntos se estinge move po un cículo en el plano hoiontal en el caso de en el plano vetical en el caso de con el cento en 0. 0 α Figua.iii 78

7 Ejemplos. Cinemática de los Cuepos Rígidos Se puede epesa la velocidad de en téminos de su diección, que se sabe queda pependicula a O la magnitud. Se puede fomula ota ecuación paa la velocidad de en téminos de cuepos ígidos con especto a O. Las incógnitas son las tes componentes ectangulaes de la velocidad angula de la placa. Igualando las dos ecuaciones se encuenta una componente de la velocidad angula se puede elaciona las otas dos. Se ealia el mismo análisis con el punto. En este caso no se conoce el ángulo α (ve Figua.iii). Pista: Considee el poducto punto ente dos vectoes: / O / O = / O / o cos 45.3C.*** La placa tiene el siguiente movimiento: a. La esquina se mueve sobe el eje. b. La esquina se mueve sobe el eje con velocidad constante de 6 ĵ m/s. c. lgún punto del bode supeio de la placa (Q) está siempe en contacto con el eje. Encuente la velocidad angula de la placa cuando = 3m. Q,6m 5m Respuesta: = 1,67( î) +,ĵ + ( ) ad / s ω kˆ Con los datos dados se puede fomula una ecuación paa la velocidad de en téminos de cuepos ígidos con especto a. sí se encuenta una componente de la velocidad angula se puede elaciona las otas dos. Se aplica el mismo análisis al punto Q. Veifique que la componente en de la posición de Q es 1m. Desde la Figua.iv se ve que la velocidad de Q tiene dos elementos. 79

8 Ejemplos. Cinemática de los Cuepos Rígidos Q & v 0 37 ( ( î) cos37 ĵ) / = 5 sen37 + Figua.iv.3D.*** Los enganajes gian libemente sobe un eje doblado D, mientas que el enganaje C está fijo. El eje D gia alededo del eje con una velocidad angula constante ω o. Paa la posición que se muesta, calcule: a) la velocidad angula del enganaje, b) la velocidad angula del enganaje, c) la aceleación angula del enganaje (Ve nimación 7). Respuesta: ω = 4,15ωo ĵ, α = 0,94ωo ( î) R Ι R 0º ω O 0º R K D O ω o Figua.v Detemine la velocidad del cento del enganaje (punto O, ve Figua.v), dado que este punto esta giando con la velocidad angula ω o. 80

9 v o = ω o ρ o / D Ejemplos. Cinemática de los Cuepos Rígidos plica la ecuación de cuepos ígidos paa fomula una epesión paa la velocidad del punto del enganaje en contacto con el enganaje fijo C (punto Ι ve Figua.v). Este punto tiene velocidad ceo. v Ι = 0 = v o + ω ρ Ι / o La velocidad angula del enganaje, ω es la suma de ω o ω (ve Figua.v). hoa aplica la ecuación de cuepos ígidos paa fomula una epesión paa la velocidad del punto de contacto ente el enganaje (punto K, ve Figua.v). v = + ω ρ K v o K / o Consideando el enganaje, se fomula la siguiente epesión paa la velocidad de K: v = ω ρ K K / o' La aceleación angula se obtiene con la Ecn 1.11 de los puntes..3e.*** Un cono ueda sin patina dento de un cono estacionaio, con una velocidad angula constante ω 1 = 3,6ad/s. Calcule la velocidad aceleación angula del cono (Ve nimación 6). Respuesta: ω = 1,8ĵ 1,8 kˆ, α = cono,38î cono + Detemine una epesión paa la velocidad del punto C, consideando el movimiento como una otación simple con velocidad angula ω (incógnita) con especto a O (ve Figua.vi). Detemine una ecuación paa la velocidad de Ι, ahoa consideando el cuepo ígido del cono chico. La velocidad angula del cono es la suma de las dos velocidades angulaes mostadas (ve Figua.vi). La aceleación angula se obtiene con la Ecn 1.11 de los puntes. 81

10 Ejemplos. Cinemática de los Cuepos Rígidos ω ω 1 C Ι L 45º 15º O Figua.vi 8