Capitulo III. Capítulo III

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1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. III. Métodos analíti de análisis cinemático Capitulo III Métodos analíti de análisis cinemático. 1 R Sancibián y. de Juan. Ing. Mecánica Cinemática y Dinámica de Máquinas. III. Métodos analíti de análisis cinemático Capítulo III nálisis cinemático de mecanismos III.1 nálisis cinemático de mecanismos. Métodos gáfi. III. Métodos analíti de análisis cinemático. 1. Intoducción. n.. Mecanismo cuadiláteo aticulado.. Mecanismo biela-manivela.. Ejecicios popuestos. III. Métodos numéi de análisis cinemático. R Sancibián y. de Juan. Ing. Mecánica 1

2 Cinemática y Dinámica de Máquinas. III. Métodos analíti de análisis cinemático Capítulo III: Tema Métodos analíti de análisis cinemático 1. Intoducción. n.. Mecanismo cuadiláteo aticulado. 1. Poblema de posición.. Poblema de velocidades.. Poblema de aceleación.. Mecanismo biela-manivela. 1. Poblema de posición.. Poblema de velocidades.. Poblema de aceleaciones.. Ejecicios popuestos. R Sancibián y. de Juan. Ing. Mecánica Cinemática y Dinámica de Máquinas. III. Métodos analíti de análisis cinemático Capítulo III: Tema Métodos analíti de análisis cinemático 1. Intoducción. n. R Sancibián y. de Juan. Ing. Mecánica

3 Cinemática y Dinámica de Máquinas. III. Métodos analíti de análisis cinemático Intoducción Los métodos analíti tatan de llega a una expesión matemática de las vaiables cinemáticas de posición, velocidad y aceleación, en función de los paámetos que definen las dimensiones del mecanismo analizado y las vaiables cinemáticas de entada. Nomalmente estos métodos se basan en tes tipos de enfoques matemáti: tigonomético, númeos complejos y análisis vectoial. En cualquiea de los casos se tata de plantea las denominadas ecuaciones de ciee o ecuaciones de lazo. Estas ecuaciones epetan las esticciones del movimiento del mecanismo de foma matemática empleando cualquiea de los tes enfoques mencionados. En este apatado se estudiaá el método analítico de Raven, uno de los más utilizados, y que pemite obtene con elativa facilidad las ecuaciones analíticas del mecanismo cuadiláteo aticulado y bielamanivela. 5 R Sancibián y. de Juan. Ing. Mecánica Cinemática y Dinámica de Máquinas. III. Métodos analíti de análisis cinemático Capítulo III: Tema Métodos analíti de análisis cinemático. Mecanismo cuadiláteo aticulado. 1. Poblema de posición.. Poblema de velocidades.. Poblema de aceleación. 6 R Sancibián y. de Juan. Ing. Mecánica

4 Cinemática y Dinámica de Máquinas. III. Métodos analíti de análisis cinemático Poblema de posición Mecanismo cuadiláteo aticulado: Paa la deteminación de la posición inicial se plantea la ecuación de ciee del mecanismo que tiene la siguiente expesión vectoial: 1 i1 1e i i e e e i Sistema algebaico que puede se esuelto paa obtene los valoes de y en función de los valoes conocidos de 1,, 1,, y. Se puede utiliza un método numéico paa su esolución o métodos tigonométi paa la esolución de este tipo de ecuaciones. R Sancibián y. de Juan. Ing. Mecánica 7 Cinemática y Dinámica de Máquinas. III. Métodos analíti de análisis cinemático s R Sancibián y. de Juan. Ing. Mecánica Poblema de posición Paa obtene la posición inicial se puede emplea un pocedimiento tigonomético 1 1 s s φ φ a s β β a s δ φ δ a φ s s β φ 0 β 0 hoa podemos obtene los ángulos que definen las posiciones de las baas como, φβ 60º β δ Hay que tene en cuenta que las expesiones planteadas pueden vaia en función de la posición elativa de los elementos. sí po ejemplo, si el ángulo es mayo que 180º o si se considea la solución cuzada fente a la solución abieta. s 1 δ 8

5 Cinemática y Dinámica de Máquinas. III. Métodos analíti de análisis cinemático Paa establece la posición de un punto cualquiea sobe un eslabón cualquiea es necesaio plantea fomulación adicional. En el caso del elemento se tendá, h g g e R Sancibián y. de Juan. Ing. Mecánica λ φ xp g λ g φ yp g sinλ g sin φ En el caso del punto P y P sobe el elemento y espectivamente, xp g φ yp g φ x y p p h g e h g e 1 iλ iλ iλ 1 g φ 180 g φ 180 Poblema de posición λ φ λ φ 180 Y 0 P h g h φ φ h En esta expesión se ha consideado un signo - afectando al ángulo φ dado su tido. Este signo puede se positivo en otos casos. φ g 1 P P g 0 X 9 Cinemática y Dinámica de Máquinas. III. Métodos analíti de análisis cinemático Poblema de velocidades Paa la deteminación de las velocidades se considea de nuevo la ecuación de ciee, i1 1e i e i e i e Sin pédida de genealidad se puede considea que el elemento fijo foma un ángulo 1 0. Entonces, eodenando la ecuación queda como, i i i e e e 1 0 Deivando con especto al tiempo, d i d d i i i e i e i e 0 i i i i e ie ie R Sancibián y. de Juan. Ing. Mecánica 5

6 Cinemática y Dinámica de Máquinas. III. Métodos analíti de análisis cinemático Poblema de velocidades que es un sistema de ecuaciones donde las únicas incógnitas son y, y po tanto puede esolvese empleando, po ejemplo, la egla de Came, Opeando, e igualmente paa, 11 R Sancibián y. de Juan. Ing. Mecánica Cinemática y Dinámica de Máquinas. III. Métodos analíti de análisis cinemático Poblema de velocidades En el caso de un punto cualquiea sobe el eslabón seá necesaio fomula, g g iλ e Deivando especto del tiempo se obtiene la velocidad. Es deci, P d g donde, dλ d λ i λ ig e φ d Po tanto, P ig R Sancibián y. de Juan. Ing. Mecánica i φ e Sepaando en pate eal e imaginaia, Px Py g φ g φ Y 0 P h g φ g h φ φ h 1 P P g 0 X 1 6

7 Cinemática y Dinámica de Máquinas. III. Métodos analíti de análisis cinemático Poblema de velocidades En el caso del punto P la velocidad seá, P dg i i φ ie ige Sepaando en pate eal e imaginaia, Px g φ Py g φ P g φ P De la misma foma paa el punto P, dg d dλ 1 iλ iλ P ig e ige Sepaando pate eal e imaginaia, Px Py Las velocidades de cada punto se pueden obtene deteminado el módulo y agumento. Esto es, i g φ 180 ix iy g φ 180 ϕ iy i a tan ix h g Y 0 h φ φ h 1 P g 0 1 X R Sancibián y. de Juan. Ing. Mecánica Cinemática y Dinámica de Máquinas. III. Métodos analíti de análisis cinemático Poblema de aceleaciones Consideando de nuevo la expesión, d i d d i i i e i e i e Deivando ota vez especto del tiempo, 0 d i d i d i d i d i d i e e e i e i e i e 0 O en foma compacta, i i i i i i e e e i e i e i e Reodenando y sepaando en pate eal e imaginaia se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones algebaicas, donde las incógnitas son y. 0 1 R Sancibián y. de Juan. Ing. Mecánica 7

8 8 15 Cinemática y Dinámica de Máquinas. III. Métodos analíti de análisis cinemático R Sancibián y. de Juan. Ing. Mecánica Poblema de aceleaciones Poblema de aceleaciones Poblema de aceleaciones Poblema de aceleaciones Resolviendo po Came se obtiene, 16 Cinemática y Dinámica de Máquinas. III. Métodos analíti de análisis cinemático R Sancibián y. de Juan. Ing. Mecánica Poblema de aceleaciones Poblema de aceleaciones Poblema de aceleaciones Poblema de aceleaciones Reodenando, De la misma foma paa, 1 0 0

9 Cinemática y Dinámica de Máquinas. III. Métodos analíti de análisis cinemático Poblema de aceleaciones Paa el punto P la aceleación seá, P ig i φ e g i φ e Sepaando pate eal e imaginaia, Px g φ g φ Py g φ g φ Y P h g h P g φ h φ φ P g X En el caso del punto P, P i e i i e ig i φ e Sepaando en pate eal e imaginaia, g i φ e P x g φ φ P y g φ φ 17 R Sancibián y. de Juan. Ing. Mecánica Cinemática y Dinámica de Máquinas. III. Métodos analíti de análisis cinemático Poblema de aceleaciones Finalmente, paa el punto P se obtiene, P iλ e ig g iλ e Sepaando pate eal e imaginaia, Las componentes globales de aceleación se deteminan de la misma foma que en el caso de las velocidades, esto es, i ix iy iy ϕi a tan ix φ 180 φ 180 g g Px φ 180 sin φ 180 g g Py Y 0 P h g g φ h φ φ h 1 P P g 0 X R Sancibián y. de Juan. Ing. Mecánica 18 9

10 Cinemática y Dinámica de Máquinas. III. Métodos analíti de análisis cinemático Capítulo III: Tema Métodos analíti de análisis cinemático. Mecanismo biela-manivela. 1. Poblema de posición.. Poblema de velocidades.. Poblema de aceleaciones. 19 R Sancibián y. de Juan. Ing. Mecánica Cinemática y Dinámica de Máquinas. III. Métodos analíti de análisis cinemático Poblema de posición Mecanismo biela-manivela: Únicamente se considea en este apatado la velocidad y aceleación del elemento y la deslizadea. No se ha incluido el caso de un punto cualquiea. Si fuese necesaio obtene la velocidad y aceleación de un punto cualquiea de un elemento del mecanismo se pocedeá como en el caso anteio en el mecanismo cuadiláteo aticulado. Paa el análisis de la posición se pate de la ecuación vectoial de lazo ceado siguiente. 1 i1 1e i i e e e 1 1 a i 1 a 0 1 R Sancibián y. de Juan. Ing. Mecánica 10

11 Cinemática y Dinámica de Máquinas. III. Métodos analíti de análisis cinemático Poblema de velocidades Paa la obtención de las velocidades se deiva la ecuación de lazo ceado expesada en foma compleja especto del tiempo. Es deci, i e i e i i i e que sepaada en pate eal e imaginaia poduce el siguiente sistema de ecuaciones, 0 Su esolución conduce a, tan que son las velocidades del mecanismo en función de la velocidad de entada. R Sancibián y. de Juan. Ing. Mecánica 1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. III. Métodos analíti de análisis cinemático Poblema de aceleaciones De nuevo se toma la ecuación de lazo ceado expesada en foma compleja y se deiva esta vez dos veces especto del tiempo obteniendo la siguiente expesión, i i e i i e e i e i e Expesando es expesión compleja en foma algebaica poduce, 0 que es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución poduce, tan Con lo que queda esuelto el poblema de aceleaciones. i R Sancibián y. de Juan. Ing. Mecánica 11

12 Cinemática y Dinámica de Máquinas. III. Métodos analíti de análisis cinemático Capítulo III: Tema Métodos analíti de análisis cinemático. Ejecicios popuestos. R Sancibián y. de Juan. Ing. Mecánica Cinemática y Dinámica de Máquinas. III. Métodos analíti de análisis cinemático Ejecicios popuestos Consideando como elemento de entada el elemento, detemina empleando el método de Raven la posición, velocidad y aceleación de P. 5 ϕ P 1 R Sancibián y. de Juan. Ing. Mecánica 1

13 Cinemática y Dinámica de Máquinas. III. Métodos analíti de análisis cinemático Ejecicios popuestos Consideando como elemento de entada el elemento coodenada 1, detemina empleando el método de Raven la posición, velocidad y aceleación de los puntos, y P, y la velocidad angula del tiángulo C. 1 1 ϕ C C 5 R Sancibián y. de Juan. Ing. Mecánica 1