TANGENCIAS (Julio Catalán)

Transcripción

1 NGENIS (Julio atalán) Los poblemas de tangencia que pueden pesentase son innumeables y van desde los muy sencillos a los más complejos, ecuiéndose paa su solución a pocedimientos muy distintos: desde los geométicamente deteminados, a los apoximados, desde los vectoiales al calculo difeencial. omo aplicación de los conceptos expuestos de potencia, eje adical y cento adical, se esolveán poblemas coespondientes a la deteminación de cicunfeencias po la combinación de tes de las condiciones: pasa po un punto, se tangente a una ecta y se tangente a ota cicunfeencia. eliminaes: La ecta que une los centos de las cicunfeencias tangentes (inteioes o exteioes) pasa po el punto de tangencia. Recípocamente: Las cicunfeencias tangentes a ota dada en un punto,, de la misma tienen su cento sobe la ecta que pasa po el cento de la dada y po el punto de tangencia, esta ecta es pues, luga geomético de los centos de todas las posibles cicunfeencias tangentes a la dada en aquel punto de tangencia. angentes tazadas desde un punto, peteneciente al eje adical. En azón de que todos los puntos petenecientes al eje adical tienen la misma potencia especto de las cicunfeencias, esulta: 1.-Si desde un punto, peteneciente al eje adical de cicunfeencias secantes, se tazan las tangentes a ellas, las longitudes de las tangentes son iguales. 2.-Si desde un punto exteio, peteneciente al eje adical de cicunfeencias tangentes, se tazan tangentes a ellas, las longitudes de las tangentes son iguales. angentes tazadas desde un cento adical. En azón de que el cento adical,, tiene la misma potencia especto de las cicunfeencias a las que coesponde, esulta: 1.-Las longitudes de las tangentes tazadas desde a las cicunfeencias, son iguales (también lo son, a las cicunfeencias auxiliaes utilizadas paa la obtención del cento adical) oblemas de tangencia, que se esuelven con la aplicación de las constucciones de ejes y centos adicales. En estos poblemas la aplicación de los ejes y centos adicales pemiten enconta, pimeamente, la posición de los puntos de tangencia de las soluciones con lo que es posible detemina, luego, la situación de los centos y consiguientemente el tazado de dichas soluciones 1º aso: icunfeencias tangentes a otas dos, dado el punto de tangencia,, sobe una de ellas. Las cicunfeencias solución, 1, 2, debeán tene la misma potencia que especto de un cento adical, que debe petenece, fozosamente al eje adical de las dadas. uesto que las soluciones deben se tangentes a el eje adical coespondiente a dichas soluciones y a seá además tangente en en. En la intesección de ambos lugaes se encuenta el punto, a pati del cual y con la misma longitud, quedan deteminados los puntos de tangencia 1 y 2 y en consecuencia la posición de los centos solución. (Lamina1.Fig.1) 2º aso: icunfeencias tangentes a una ecta, que pasan po dos puntos dados (del mismo semiplano). 1

2 Los centos solución están sobe la mediatiz de. El punto de, petenece al eje adical de las soluciones y tiene la misma potencia () especto de una cicunfeencia cualquiea auxilia, que pasa po, que especto de las soluciones. Una vez deteminados los puntos tangencia, 1,2, ( =1=2) se obtendán, de inmediato, las posicione-s de los centos 1 y 2. (Lamina1.Fig.2) 3º aso: icunfeencias tangentes a dos ectas concuentes y que pasan po un punto. onsideando que su cento debe hallase sobe la bisectiz y deteminado ' como el simético de especto de la bisectiz, se esuelve el poblema educiéndolo al caso anteio-. (Lamina2.Fig.3) 4º aso: icunfeencias tangentes a ota y a una ecta, dado el punto de tangencia sobe la ecta. Utilizando una cicunfeencia auxilia cualquiea,aux, tangente a la ecta en el punto dado y secante a la cicunfeencia dada, se detemina un punto sobe la ecta, de foma que tenga la misma potencia especto de la cicunfeencia dada que de las soluciones. aa enconta los puntos de tangencia 1, y 2, basta taza la cicunfeencia de cento y adio, con lo que, inmediatamente, se hallan los centos 1, y 2, la pependicula po a la ecta dada y en la intesección de las ectas que unen el cento, dado, con los puntos de tangencia 1, y 2. (Lamina2.Fig.4) 5º aso: icunfeencias tangentes a ota en un punto de ella, y a una ec-ta dada. La posición del punto sobe la ecta dada se obtiene inmediata-mente tazando la tangente a la cicunfeencia en el punto dado,. El punto tiene la misma potencia especto de que de las soluciones, basta pues hace cento en y adio paa enconta sobe la ecta los puntos 1, 2, de tangencia de las cicunfeencias solución. Los centos 1 y 2, se encuentan espectivamente, en las pependiculaes a po 1 y 2, y en la ecta que une con. (Lamina2.Fig.5) 6º aso: icunfeencias con cento sobe una ecta,, que pasan po un punto,, de ella y son tangentes a ota cicunfeencia dada. La tangente común a las soluciones es la pependicula a en. El cento adical se obtiene utilizando una cicunfeencia auxilia (con cento sobe la ecta dada, pasando po, y secante a la cicunfeencia dada) luego, con cento en se taslada la tangente paa detemina los puntos de tangencia 1 y 2 de las cicunfeencias solución. Los centos solución, sobe, estaán en las intesecciones de las ectas que unen con 1 y 2. (Lamina3.Fig.6) 7º aso: icunfeencias, con cento sobe una ecta, que pasan po un punto dado y son tangentes a ota cicunfeencia dada. Reducimos el poblema a uno ya conocido. Dibujando el simético de,,nos limitaemos a enconta las cicunfeencias que pasan po dos puntos y son tangentes a ota dada -2º aso-. (Lamina3.Fig.7) 8º y 9º asos: icunfeencias tangentes a ota dada, que pasan po dos puntos (exteioesinteioes). Se detemina un punto sobe la secantes,, común a las cicunfeencias solución, de foma que tenga la misma potencia especto de la cicunfeencia dada que de las soluciones, paa ello se utiliza una cicunfeencia auxilia cualquiea que pase po los puntos,, con lo que el eje adical ente y la auxilia cota a la ecta que pasa po pecisamente en.desde son iguales las longitudes de tangente, igual a 1 = 2, que pecisan la posición de los puntos de tangencia soluciones. (Lamina4.Fig.8 y Fig.9) 2

3 Lamina 1 ' ' 1 aux " 1 2 " Fig.1 tiene que se pependicula a la línea que une los centos de las cicunfeencias solución 1-2, po se éste el eje adical de dos cicunfeencias tangentes exteioes. 2 Fig.2 2 aux po petenece a la tangente común de las dos cicunfeencias es un punto de su eje adical: 2 = 1

4 Lamina 2 1 aux 2 s 1 2 Fig.3 s 2 2 aux 1 1 Fig Fig.5

5 Lamina aux Fig aux 1 ' jo! Recoda que los puntos son un concepto, no tienen dimensión, éste eje adical tiene un ángulo muy ceado y puede vaia según nuesto tazado, influyendo más tade en el esultado. aa compoba que el cento solución es el coecto, como la cicunfeencia tiene que pasa po 2 y. Hallamos la intesección de la mediatiz de este segmento con y vemos si coincide con 2. Fig.7

6 Lamina 4 Eje adical de la cicunfeencia dada y la auxilia aux 1 Eje adical de las cicunfeencias solución Fig aux 1 1 Fig.9

7 Gancho 1 2 aux1 1 2 aux2