RECTAS en el PLANO MATEMÁTICAS I 1º Bachillerato CCNN Alfonso González IES Fernando de Mena Dpto. de Matemáticas

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1 RECTAS en el PLANO MATEMÁTICAS I 1º Bachilleato CCNN Alfonso González IES Fenando de Mena Dpto. de Matemáticas

2 I. ECUACIONES de la RECTA I.1) Deteminación pincipal de la ecta: A u Es evidente que una ecta (ve dibujo) va a queda deteminada po un punto cualquiea de ella (A ) y un vecto diecto, es deci, que tenga su misma diección ( u 0 ). Ambos elementos, punto y vecto diecto, constituyen la deteminación x pincipal de la ecta. En la páctica, escibiemos: = A,u Po qué utilizamos el calificativo pincipal? Poque, obviamente, no es la única foma de detemina una ecta. Existen infinitas fomas: po ejemplo, es evidente que sólo existe una ecta que pase po dos puntos, o una ecta paalela a ota dada y que pase po un punto exteio a ésta, o pependicula a ota ecta dada y que pase po un deteminado punto, etc. Ahoa bien, nótese que siempe nos daán dos datos paa detemina una ecta. I.2) Ecuación vectoial y paamética: u = (u,v) A(a,b) a x AX X(x,y) Considea la ecta de la figua adjunta. Supongamos que {. nos dan su deteminación pincipal, es deci, A,u } Supongamos un punto genéico X, es deci, un punto cualquiea de, que puede vaia. Es evidente que si X está en la ecta, entonces el vecto AX seá popocional a u (po ejemplo, en el dibujo se ve que AX es apoximadamente el tiple que u ), es deci: AX = λ u X (1) donde λ R se llama paámeto, y va a juga un papel fundamental en todo el tema. Dando valoes positivos y negativos a λ se iían obteniendo los infinitos puntos X que iían tazando la ecta 1. Po ota pate, es evidente en el dibujo la siguiente suma vectoial: x = a + AX (2) Reemplazando AX de (1) en (2) obtenemos la ecuación vectoial de la ecta: = a + λ u x (donde λ R) EC. VECTORIAL (3) 1 Esto puede vese de foma inteactiva en el siguiente enlace, muy inteesante y ecomendable:

3 En la páctica, la ecuación vectoial no es útil en sí misma, peo sí si la descomponemos en sus dos coodenadas, obteniendo así las ecuaciones paaméticas: x = a + λu y = b + λv EC. PARAMÉTRICAS (4) Obsevaciones: 1ª) Dando valoes a λ R se obtienen los infinitos puntos (x,y) de la ecta. 2ª) Y vicevesa, a un mismo punto (x,y) le tiene que coesponde el mismo λ paa las dos ecuaciones. 3ª) Desventaja: La foma paamética de una ecta no es única, es deci, una misma ecta tiene infinitas fomas de ecuaciones paaméticas 2, todas ellas válidas. Ejecicios final tema: 1 y 2 I.3) Foma continua y geneal (o implícita): Si despejamos λ de las dos ecuaciones e igualamos, obtenemos la ecuación continua: x a y b = EC. CONTINUA (5) u v Obsevaciones: 1ª) Todo punto (x,y) que veifique la igualdad, y vicevesa. 2ª) Desventaja: La foma continua de una ecta no es única, es deci, una misma ecta tiene infinitas fomas de ecuación continua, todas ellas válidas. 3ª) Recodemos que no existe la división po 0, es deci, ha de se u,v 0. Qué ocue si u o v =0? Son casos especiales: y x = k u=0 RECTA VERTICAL x=k y= k v=0 RECTA HORIZONTAL y=k x Multiplicando en cuz en la foma continua y agupando téminos: v=a u= B =C Paa simplifica la expesión hacemos la identificación de coeficientes indicada, con lo cual obtenemos la ecuación geneal o implícita de la ecta: 2 Ello es debido a que, obviamente, una ecta tiene infinitos posibles vectoes diectoes, y también podemos sustitui infinitos puntos (a,b,c) en las ecuaciones paaméticas.

4 Ax + By + C = 0 EC. GRAL o IMPLÍCITA (6) Obsevaciones: 1ª) Todo punto (x,y) que veifique la ecuación, y vicevesa. 2ª) Ventaja: La foma geneal o implícita de la ecta es única (salvo simplificación de sus tes coeficientes). 3ª) Recodemos que -u=b i.e. u=-b, y que v=a u = ( B,A ) (También vale u ( B, A) = ) Ejecicios final tema: 3 a 5 I.4) Ecuación punto-pendiente: Patimos de nuevo de la foma continua: pendiente EC. PTO.-PDTE. (7) v/u=m coodenadas del punto = Obsevaciones: 1ª) Como u ( v,u), entonces el cociente v/u lo hemos edefinido como m, y se llama pendiente de la ecta. En el dibujo puede vese que v/u=m es la tangente del ángulo que foma la ecta con la hoizontal: v m tg u = = α (8) u = (u,v) a u v es deci, m, indica la inclinación de la ecta, y po eso se llama pendiente: «La pendiente, m, de una ecta es la tangente del ángulo que foma dicha ecta con la pate positiva del eje x» 2ª) El signo de m nos indica si la ecta es ceciente o dececiente: a 2 O cuad. tga<0 a u v v u a a 1 e cuad. tga>0 m>0 RECTA CRECIENTE m<0 RECTA DECRECIENTE

5 Ejecicios final tema: 6 3ª) La pendiente de una ecta es única ( no así el vecto diecto!). 4ª) La foma punto-pendiente no es única (téngase en cuenta que hay puntos (a,b) de la ecta). I.5) Ecuación explícita: Se obtiene despejando y de la foma geneal, o también de la punto-pendiente: = n pendiente odenada en el oigen EC. EXPLÍCITA (9) Obsevaciones: 1ª) El témino independiente, n, llamado odenada en el oigen, indica a qué altua cota la ecta al eje de odenadas. Po tanto, en función del signo que toman m y n hay 4 casos: n m>0 n>0 m>0 n<0 n m<0 n>0 m<0 n<0 n n 2ª) Esta foma es absolutamente única. Esquema esumen de ectas: ve anexo al final del libo Ejecicios final tema: 7 a 28 I.5) Condición paa que 3 (o más) puntos estén alineados: Como puede vese en el dibujo adjunto, es obvio que, paa que A 1 A 1 A 2 A 2 A 1 A 3 A 3 tes puntos A 1, A 2 y A 3 estén alineados, es condición necesaia y suficiente que al foma dos vectoes cualesquiea con ellos 3 ejemplo, A 1 A 2 y 3 A 1 A po -, estos sean paalelos. Recoda del tema anteio que ello equivale a deci que tengan sus componentes popocionales: A, A,A alineados A A / / A A A A A A (10) 3 También valdía el pa A 1 A y 2 3 A 2 A

6 Ejecicios final tema: 16 II. POSICIÓN RELATIVA DE 2 RECTAS Recodemos que en el plano sólo hay 3 posibilidades de posición elativa de 2 ectas: s s P = s s SECANTES (se cotan en un punto P) PARALELAS (nunca se cotan) COINCIDENTES (se cotan en puntos) Nótese que: PARALELAS o COINCIDENTES 1º) sus u son popocionales 2º) sus m son iguales Hay dos fomas de estudia su posición elativa: 1º) Resolviendo el sistema: Ejecicio 1: Estudia la posición elativa de los siguientes paes de ectas po medio de la esolución del sistema que foman: a) 2x + 3y + 1 = 0 3x y + 2 = 0 (Soluc: Secantes) b) 2x + 3y + 1 = 0 4x + 6y 3 = 0 (Soluc: Paalelas) c) 2x + 3y + 1 = 0 4x + 6y + 2 = 0 (Soluc: Coincidentes)

7 Matemáticas I RECTAS u 2º) Estudiando sus m o : Recoda que si una ecta venía dada en foma implícita i.e. Ax+B y+c=0, u = B,A. Po tanto, los dos pimeos coeficientes, A y B, indican su entonces su diección venía dada po ( ) diección. Entonces, si dos ectas tienen sus dos pimeos coeficientes iguales o popocionales, pueden se o bien paalelas o bien coincidentes. Si además el tece coeficiente de ambas es igual o popocional, es obvio que seán la misma ecta. Un azonamiento simila puede aplicase si ambas ectas vienen dadas en explícitas. Todo ello se esume en la siguiente tabla: SECANTES PARALELAS COINCIDENTES RECTAS en EXPLÍCITAS y=m x+n y=m'x+n' m m' m =m' n n' m =m' n=n' RECTAS en IMPLÍCITAS Ax+B y+c=0 A'x+B' y+c'=0 A B A ' B' A B C = A ' B' C' A B C = = A ' B' C' COND. de PARALELISMO Ejecicio 2: Compoba la posición elativa de los anteioes paes de ectas sin esolve el sistema: a) 2x + 3y + 1 = 0 3x y + 2 = 0 (Soluc: Secantes) b) 2x + 3y + 1 = 0 4x + 6y 3 = 0 (Soluc: Paalelas) c) 2x + 3y + 1 = 0 4x + 6y + 2 = 0 (Soluc: Coincidentes) Ejecicios final tema: 29 a 35 Aplicación: HAZ de RECTAS // Como acabamos de ve, si dos ectas que vienen dadas en implícitas tienen sus dos pimeos coeficientes iguales (o popocionales) entonces seán paalelas. Po tanto, dada una ecta Ax+B y+c=0, las ectas de la foma Ax+B y+k=0, que se obtienen dando valoes a k R, seán todas paalelas, constituyendo lo que se conoce como HAZ de RECTAS PARALELAS. Un azonamiento paecido puede aplicase si están en explícitas: Dada Ax+B y+c=0 mismo u Ax+By+K=0 foma un HAZ de RECTAS //, dando valoes a k R Dada y=m x+n y=mx+k foma un HAZ de RECTAS //, dando valoes a k R misma pendiente

8 Gáficamente: HAZ de RECTAS PARALELAS Ejecicios final tema: 36 a 40 III. PUNTOS y RECTAS NOTABLES de un TRIÁNGULO III.1) Recta a una dada: Recodemos del tema anteio que, dado un vecto, paa obtene un vecto había que pemuta sus componentes y cambia una de ellas de signo. En este caso, dado u = ( B, A ), paa obtene un vecto nomal, es deci,, tenemos que hace n = ( A,B). Es deci: u = B, A ( ) n = A,B u ( ) (11) Nótese que también valdía el (-A,-B) como vecto nomal. E incluso había infinitos vectoes, que seían todos los popocionales a ( A, B). Po tanto, si nos piden la ecuación de una ecta a una ecta dada y que pase po un deteminado punto, lo más cómodo es obtenela en foma continua. Ejecicios final tema: 41 a 43 III.2) Coodenadas del punto medio de un segmento: Recodemos también del tema anteio que, dado un segmento de extemos A y B, las coodenadas de su punto medio seán la semisuma de dichos extemos. A M B A + B M = (12) 2 Compuébese en el ejemplo del dibujo (Ve demostación en Intenet). Ejecicios final tema: 44 III.3) MEDIATRIZ: «Es la ecta a un lado del tiángulo po su punto medio». Como ya se ha explicado en III.1, si nos dan la ecuación de la ecta que foma un lado del tiángulo, se ecomienda obtene su mediatiz en foma continua. Paa halla el punto medio del lado hay que aplica (12).

9 Es obvio que un tiángulo tiene 3 mediatices, las cuales se cotan en un punto llamado CIRCUNCENTRO 4, el cual se puede obtene esolviendo el sistema fomado po dos mediatices cualesquiea. Ejecicios final tema: 45 a 48 III.4) BISECTRIZ: «Es la ecta que divide un ángulo en dos iguales». Las 3 bisectices del tiángulo se cotan en un punto llamado INCENTRO 5. Si conocemos u obtenemos los vétices (A, B y C; ve figua) de ambos lados, entonces la bisectiz es el luga geomético 6 fomado po los puntos genéicos X(x, y) que esultan de impone que AB AX = AC AX. A B C X ( x, y ) NOTA: Cuando se abode más adelante el cálculo de la distancia punto-ecta, se veá oto método mucho mejo paa halla la bisectiz (vid. apdo. V).. Ejecicios final tema: 49 III.5) MEDIANA: «Es la ecta que une un vétice con el punto medio del lado opuesto». Las 3 medianas se cotan en un punto llamado BARICENTRO 7 o cento de gavedad. Paa obtene cualquie mediana se ecomienda la foma continua, obteniendo el punto medio po (12). El baicento se puede obtene de dos fomas: B ( b 1, b 2 ) 1º) Resolviendo el sistema fomado po dos medianas cualesquiea. 2º) Mediante la fómula a1 + b1 + c1 a2 + b2 + c2 G, 3 3 (13) C ( c 1, c 2 ) A ( a 1, a 2 ) III.6) ALTURA: «Es la ecta a un lado que une éste (o su polonagación) con el vétice del lado opuesto». Las 3 altuas se cotan en un punto llamado ORTOCENTRO 8. Se ecomienda, a la hoa de halla cualquie altua, hacelo en foma continua, aplicando paa ello lo visto en III.1. 4 Se llama cicuncento poque es el cento de la cicunfeencia cicunscita (figua izda.). Recoda que si el tiángulo es obtusángulo, entonces el cicuncento se encuenta fuea de éste (figua dcha.). 5 Se llama incento poque es el cento de la cicunfeencia inscita. Siempe está en el inteio del tiángulo: 6 El luga geomético es un impotante concepto matemático que veemos más veces a lo lago del cuso. 7 El baicento (del giego baos, pesadez, peso, caga, gavedad) siempe está en el inteio del tiángulo. 8 El otocento (del giego othos, deecho, ecto, coecto) está fuea del tiángulo si éste es obtusángulo:

10 Ejecicios final tema: 50 a 56 Obsevaciones: 1ª) Existe una sencilla egla mnemotécnica paa ecoda qué punto notable coesponde a qué ecta notable, y vicevesa: M A M B O B O C I N A 2ª) Cuiosidad: El baicento, otocento y cicuncento (los tes pimeos de la egla anteio) están alineados en lo que se conoce como ecta de Eule 9, de foma que el baicento está siempe situado ente los otos dos y a doble distancia del otocento que del cicuncento: IV. ÁNGULO DE 2 RECTAS SECANTES Como eza el título del apatado, sólo tiene inteés considea el ángulo que foman dos ectas si éstas son secantes pues, si son paalelas o coincidentes (lo cual es fácil de detecta, pues, en tal caso, sus vectoes diectoes seán iguales o popocionales), el ángulo seía 0. Hay dos fomas de obtene el ángulo de dos ectas secantes: u a) En función de los : En pime luga, hay que hace nota que po ángulo de dos ectas entendemos el meno i.e. el agudo (el a de la figua, no su suplementaio, 180º-a) Es evidente que el ángulo que foman ambas ectas coincidiá (salvo un detalle que luego explicaemos) con el que foman sus vectoes diectoes, po lo que utilizaemos la coespondiente fómula vista en el tema anteio: 180º a a u cos α = cos u us = u u s u u s (14) u s s 9 En hono al insigne matemático suizo Leonhad Eule ( ), quien demostó este hecho.

11 Obsevaciones: 1ª) El valo absoluto del numeado es paa quedanos con el ángulo agudo, a, no u u con el suplementaio, 180º- a. En efecto, si no indicáamos el valo absoluto, s podía esulta negativo, lo cual, como vimos en el tema anteio, significaía que ambos vectoes foman un ángulo obtuso. Po ota pate, ecodemos que cos(180º-a) =-cosa i.e. ambos ángulos, el agudo y el suplementaio tienen el mismo coseno, salvo el signo; de ahí la necesidad del valo absoluto. 2ª) Si las ectas son paalelas o coincidentes, es tivial que (14) daía un ángulo 0. 3ª) Esta fómula es páctica si ambas ectas vienen dadas en continua o geneal. En caso contaio, es mejo utiliza la del siguiente apatado. Condición de pependiculaidad (en función de los coeficientes): «Dos ectas, Ax+By+C=0 y A'x+B'y+C'=0, son AA'+BB'=0» (15) NOTA: En la páctica, dos ectas en implícitas son si sus dos pimeos coeficientes se encuentan pemutados y uno de ellos cambiado de signo. V.g. 2x-3 y+5=0 y 3x +2 y=0. DEM: : A x + B y + C = 0 u = ( B,A ) s : A ' x + B' y + C' = 0 us = ( B',A ') s u u = 0 B,A B',A ' = BB' + AA ' = 0 s ( ) ( ) (C.Q.D.) b) En función de las pendientes: Vamos a utiliza en este caso la fómula de la tangente de la difeencia, vista en el tema de Tigonometía. Po ota pate, ecodemos del s apdo. I.4 que la pendiente m de una ecta es tga, siendo a el ángulo que foma con OX + (ve figua). Po tanto: a a 1 a 2 tg ( ) tgα tgα α = tg α2 α 1 = = 1+ tgα2 tgα 1 1+ m1 m2 m m (16) Obsevaciones: 1ª) El valo absoluto del numeado de nuevo es paa quedanos con el ángulo agudo, a, no con el suplementaio, 180º-a. En efecto, si no indicáamos el valo absoluto, m 2 -m 1 podía esulta negativo, lo cual conduciía a una tangente negativa, es deci, al suplementaio de a. Y ecodemos que tg (180º-a)=-tga; de ahí la necesidad del valo absoluto. 2ª) En la páctica, y sobe todo en los poblemas en los que apaece un paámeto en alguna ecta, hay que intecambia m 1 y m 2 paa genea dos soluciones. De todas fomas, en tal caso se ecomienda utiliza mejo (14). 3ª) Esta fómula es útil si las ectas están en pto.-pdte. o en explícita. Condición de pependiculaidad (en función de las pendientes): «Si dos ectas son, entonces sus pendientes son invesas y opuestas: m2 1 =» (17) m 1 DEM: 1 α = 90º tgα = 1+ m1m 2 = 0 m 2 = (C.Q.D.) m el numeado de (16) debe anulase 1

12 Ejecicio final tema: 57 a 71 V. d(p,) P u Supongamos que nos dan un punto P(x 1,y 1 ) y queemos obtene su distancia a la ecta de ecuación Ax+B y+c=0 (ve figua). Ésta seá igual a la distancia ente P y P, poyección otogonal de P sobe, y viene dada po la siguiente fómula: : Ax+By+C=0 P(x 1,y 1) : Ax+By+C=0 P(x,y ) Ax + By + C sustitui P en (18) 1 1 d(p,) = = A + B u Obsevaciones: 1ª) Ve demostación en Intenet. 2ª) El valo absoluto se emplea paa que la distancia no salga negativa. Ejecicios final tema: 72 a 81 Aplicación: Distancia ente ectas //: La fómula anteio sive también paa halla la distancia ente dos ectas //, siguiendo el poceso lógico siguiente: P(x 1,y 1) 1º) Obtenemos po tanteo un punto cualquiea de cualquiea de las dos ectas (po ejemplo, en el dibujo P ). 2º) Calculamos la distancia de dicho punto a la ota ecta: s d(,s)=d(p,s) (19) Cuidado! Peviamente hay que cecioase de que las dos ectas son paalelas. Ejecicios final tema: 82 a 92 Aplicación: Cálculo de la bisectiz: (18) también sive paa halla la bisectiz de dos lados de un tiángulo. Si ambos lados vienen dados como ectas, entonces (ve dibujo) «la bisectiz seá el luga geomético fomado po los puntos genéicos P(x, y) tales que d( P,) =d( P,s)». (20) b i s e c t i z P ( x, y ) s Ejecicios final tema: 93 y 94 VI. ÁREA DEL TRIÁNGULO Hay dos posibilidades: 1º) Si nos dan las coodenadas de los 3 vétices: A su vez, podemos esolvelo empleando ectas, o po vectoes, siguiendo el poceso lógico que ecoge la siguiente tabla:

13 POR RECTAS POR VECTORES C 1º) Dibuja la situación. 1º) Dibuja la situación. 2º) Calcula la base = AB 2º) Calcula AB y AC h c 3º) Calcula la ecuación de la ecta AB "" h c=d(c,ecta AB ) 3º) Calcula A A B S 1 = 2 AB h 4º) ABC c 1 (21) 4º) SABC = AB AC sen A 2 (22) Nótese que en el caso de la columna izquieda hemos aplicado la achiconocida fómula del áea del tiángulo. Po lo que especta a la de la columna deecha, se tata de una fómula vista en el tema de Tigonometía. Ejecicios final tema: 95 2º) Si nos dan las ecuaciones de las ectas que foman los lados: C t Peviamente habá que halla las coodenadas de los 3 vétices: A= s B=s t C= t Y después aplica cualquiea de los dos métodos del apdo. anteio. A s B Ejecicios final tema: 96 en adelante

14 101 EJERCICIOS de RECTAS Foma paamética: 1. Dado el punto A(5,3) y el vecto diecto u = (1, 2), se pide: a) Halla las ecuaciones paaméticas de la ecta que deteminan. b) Obtene otos tes puntos cualesquiea de dicha ecta. c) Compoba analíticamente si los puntos P(2,-1) y Q(3,7) d) Dibuja dicha ecta y compoba gáficamente los apatados anteioes. e) Indica otas ecuaciones paaméticas paa la ecta. 2. Dados los puntos A(1,3) y B(-1,6), se pide: a) Halla las ecuaciones paaméticas de la ecta s que deteminan. b) Obtene otos tes puntos cualesquiea de dicha ecta. c) Compoba analíticamente si los puntos P(7,-6) y Q(2,2) s d) Dibuja dicha ecta y compoba gáficamente los apatados anteioes. Foma continua y geneal: 3. Con los datos del ejecicio 1, se pide: a) Halla las ecuaciones continua y geneal o implícita de la ecta que deteminan. (Soluc: 2x+y-13=0) b) Compoba en la ecuación geneal que u = ( B,A) c) A pati de la ecuación geneal, obtene otos tes puntos cualesquiea de dicha ecta. d) Compoba en ambas ecuaciones si los puntos P(2,1) y Q(3,7) 4. Ídem con los datos del ejecicio 2 (Soluc: 3x+2y-9=0) 5. Halla las ecuaciones paaméticas e implícitas de los ejes de coodenadas. Foma punto-pendiente: 6. Halla la foma punto-pendiente de las dos ectas de los ejecicios 1 y 2 a) Diectamente, a pati de los datos. b) A pati de su foma continua. c) Opeala paa compoba que se obtiene la geneal. Foma explícita: 7. Halla la foma explícita de las dos ectas de los ejecicios 1 y 2 a) Diectamente, a pati de los datos. b) A pati de las fomas anteioes. (Soluc: y=-2x+13 e y=-3x/2+9/2)

15 Todas las fomas: 8. a) Halla la ecuación de la ecta que pasa po el punto A(3,5) y tiene la diección del vecto en todas las fomas posibles. Dibujala. (Soluc: 2x+y-11=0) b) Ídem paa el punto A(3,1) y u = (4, 2) (Soluc: x+2y-5=0) = c) Ídem paa A(3,1) y u (0,2) (Soluc: x=3) = d) Ídem paa A(3,-1) y u (5,0) (Soluc: y=-1) u = (2, 4) 9. a) Halla la ecuación de la bisectiz del 1 e y 3 e cuadantes. (Soluc: y=x) b) Ídem paa la del 2º y 4º cuadantes. (Soluc: y=-x) c) Halla la ecuación de las dos tisectices del 1 e cuadante. 10. Dada la ecta de la figua, halla su ecuación: a) Diectamente, en foma continua. b) En foma geneal, opeando a pati de la anteio. c) Diectamente, en foma punto-pendiente. d) Diectamente, en foma explícita. 11. Halla la ecuación de la ecta que pasa po los puntos A(3,2) y B(1,-4) en todas las fomas posibles. Dibujala. (Soluc: 3x-y-7=0) 12. Repesenta las siguientes ectas: a) 2x+3y-7=0 b) x=3 c) y=2 d) x = 3 λ y = 5 + 2λ e) x 1 = 2 y Pasa a foma explícita las siguientes ectas y calcula sus pendientes: a) x 3 y + 5 = b) 5x+3y+6=0 c) 2 1 x = 2 + t y = 5-3t ( Soluc : y = x 7 ; y = 5 x 2; y = 3x + 11) Detemina si el punto P(2,-1) petenece a la ecta 3x-2y+5=0. Y el punto (1,4)? (Soluc: NO; SÍ) 15. Dada la ecta ax+5y+4=0, detemina a paa que la ecta pase po el punto (2,-2) (Soluc: a=3) 16. a) Detemina, analíticamente, si los puntos A(3,1), B(5,2) y C(1,0) están alineados. b) Ídem paa A(1,1), B(3,4) y C(4,6) (Nota: un dibujo puede se útil) c) Halla k paa que los puntos A(1,7), B(-3,4) y C(k,5) estén alineados. (Soluc: SÍ; NO; k=-5/3) 17. Calcula la ecuación de la ecta que pasa po el punto A(-2,1/3) y tiene igual pendiente que la ecta que 1 pasa po P(2,1) y Q(3,4) ( Soluc : y = 3(x + 2) ) Dada la ecta que pasa po A(1,0) y B(3,4) se pide: a) Halla su foma paamética, continua, implícita, punto-pendiente y explícita. (Soluc: 2x-y-2=0) b) Cuál es su pendiente? (Soluc: m=2) c) El punto (2,2) petenece a dicha ecta? (Soluc: (2,2) )

16 19. Ídem paa la ecta que pasa po A(-2,1) y B(4,5). El punto (1,3) es de dicha ecta? (Soluc: 2x-3y+7=0; m=2/3; SÍ) 20. Calcula la ecuación de la ecta que pasa po el punto A(2,1) y foma un ángulo de 120º con la pate positiva del eje x. ( Soluc : y 1 = 3 (x 2) ) 21. Qué ángulo foma la ecta x + y+ 5 =0 con OX +? (Soluc: 135º) 22. Dada la ecta 5x-3y+7=0, halla la longitud de los segmentos que detemina sobe los ejes. Hace el dibujo. (Soluc: 7/5 u sobe OX - ; 7/3 u sobe OY + ) 23. Halla el áea limitada po la ecta 5x+y-5=0, el eje de abscisas y el eje de odenadas. Hace el dibujo. (Soluc: 5/2 u 2 ) 24. Calcula la ecuación de la ecta que pasa po el punto P(3,1) y foma 45º con el eje OX + (Soluc: y=x-2) 25. a) Qué ángulo foma la ecta 3x-2y+6=0 con el eje de abscisas? (Soluc: 56º ) b) Qué ángulo foma la ecta 2x-y+5=0 con el eje de odenadas? (Soluc: 26º ) c) Calcula n de modo que la ecta 3x+ny-2=0 fome un ángulo de 60º con OX + (Soluc: n=- 3) 26. Resolve gáficamente es deci, halla gáficamente el posible punto de cote de cada paeja de ectas los siguientes sistemas de ecuaciones: a) 2x + 3y = 11 3x 2y = 3 b) 2x + 3y = 11 6x + 9y = 33 c) 2x + 3y = 11 6x + 9y = 3 (Soluc: (1,3); soluc; / soluc) 27. a) Halla la ecuación de la ecta que pasa po el punto de cote de las ectas 2x+3y-4=0 y x-y=0 y po A(2,1) (Soluc: x-6y+4=0) b) Ídem paa las ectas 3x+y-11=0 y x+2y-7=0 y el punto A(-1,2) (Soluc: y=2) 28. La ecta y+2=m(x+3) pasa po el punto de intesección de las ectas 2x+3y+5=0 y 5x-2y-16=0. Calcula m (Soluc: m=-1/5) Posición elativa de 2 ectas: 29. Dadas las ectas: : 2x+3y-4=0 u: 4x+6y-8=0 s: x-2y+1=0 v: 2x-4y-6=0 t: 3x-2y-9=0 w: 2x+3y+9=0 Cuáles son coincidentes? Cuáles son paalelas? (Soluc: =u; s//v; //w) 30. Ídem paa las ectas : y=5x-3 u: y=3x-2 s: y=-x+2 v: y=2x+13 t: y=2x-1 w: y=-x-3 Compoba el esultado dibujándolas sobe los mismos ejes. (Soluc: t//v; s//w)

17 31. Compoba, po dos métodos, si las siguientes ectas son paalelas, secantes o coincidentes; en este último supuesto, halla el punto de cote: a) 3x + 2y 5 = 0 3x + 2y + 7 = 0 b) x + 3y 4 = 0 x + 2y 5 = 0 c) x + y 3 = 0 2x + 2y 6 = 0 (Soluc: a) paalelas; b) secantes en (7,-1); c) coincidentes) 32. Detemina m y p paa que las ectas mx+3y+5=0 y 2x+6y-p=0 a) Sean coincidentes. (Sol: m=1; p=-10) b) Se coten en (-1,2) (Sol: m=11; p=10) 33. a) Dadas las ectas 3x-4y+1=0 calcula m paa que sean paalelas. Pueden se coincidentes? mx+8y-14=0 (Soluc: m=-6; NO) b) Ídem paa las ectas 4x-3y+1=0 (Soluc: m=-8; NO) mx+6y+4=0 34. La ecta 3x+ny-7=0 pasa po el punto A(2,3) y es paalela a la ecta mx+2y=13. Calcula m y n (Soluc: m=18; n=1/3) 35. Dada la ecta deteminada po A(2,1) y u = (a,4), y la ecta s deteminada po B(-1,4) y v = (5,3) a) Halla a paa que y s sean paalelas (Soluc: a=20/3) b) Paa qué valoes de a son secantes? (Soluc: a 20/3) c) Pueden se coincidentes? (soluc: NO) Recta // a una dada: 36. a) Calcula la ecuación de la ecta paalela a 3x+2y-4=0 que pasa po el punto A(2,3) (Soluc: 3x+2y-12=0) b) Ídem paa y=2x+3 (Soluc: y=2x-1) 37. Halla la ecuación de la ecta que pasa po (2,3) y es: a) Paalela al eje x (Soluc: y=3) (Hace un dibujo explicativo pevio en los cuato pimeos apatados) b) Paalela al eje y (Soluc: x=2) c) Paalela a la bisectiz del 1 e cuadante. (Soluc: y=x+1) d) Ídem del 2 o cuadante. (Soluc: y=-x+5) e) Paalela a 5x+2y=0 (Soluc: 5x+2y-16=0) 38. Halla la ecta que pasa po el oigen y es paalela a la ecta deteminada po A(1,1) y B(-3,6) (Soluc: y = 5 x) Dadas las ectas : x-2y+7=0 s: 2x+y+4=0 y el punto P(5,1), halla las ecuaciones de los otos dos lados del paalelogamo fomado po, s y P. (Soluc: x-2y-3=0 y 2x+y-11=0) 40. TEORÍA: Responde, azonadamente, a las siguientes cuestiones: a) Cómo son los vectoes diectoes de dos ectas paalelas?

18 b) Si se sabe que el vecto diecto de una ecta es (2,5), podemos conoce su pendiente? c) Y si sabemos que la pendiente es 3, podemos obtene un vecto diecto? d) Cuántos vectoes diectoes puede tene una ecta? e) Si una ecta tiene po vecto diecto (4,2) y ota tiene el (-2,-1), pueden se la misma? f) Razona que si una ecta tiene la foma Ax+By+k=0, entonces cualquie ecta a ella seía de la foma Bx-Ay+k =0 g) Po qué toda ecta que pasa po el oigen caece de témino independiente en su foma geneal i.e. Ax+By=0? h) De una ecta se sabe que su u = (2, 4) Cuál es su pendiente? Cómo es la ecta? Puntos y ectas notables de un tiángulo: Recta a una dada: 41. En cada apatado, halla la ecta a la dada, po el punto que se indica (hace un dibujo apoximado explicativo): a) x-2y+3=0; P(3,-1) (Soluc: 2x+y-5=0) b) 3x+2y+1=0; P(1,-1) (Soluc: 2x-3y-5=0) c) x = 1+ λ ; P(1,3) y = 2 3λ (Soluc: x-3y+8=0) d) y-4=2(x-1); P(1,1) (Soluc: x+2y-3=0) e) y=2x-5; P(-2,3) (Soluc: x+2y-4=0) f) y-3=2(x+1); 0(0,0) (Soluc: x+2y=0) g) x+2y-17=0; P(3,7) (Soluc: 2x-y+1=0) h) x + 4 y + = 5 ; P(-4,-5) En la figua, s // y t. Halla: a) La ecuación geneal de las ectas s, t y u (Soluc: s: 4x-3y+7=0; t: 3x+4y+1=0; u: x+5y-14=0) b) La ecuación punto-pendiente de v (Soluc: y-1= 3(x-2)) u : 4x-3y+15=0 s v 43. Halla el pie de la pependicula tazada desde P(1,-2) a la ecta : x-2y+4=0 (Soluc: (-4/5,8/5)) 60º Mediatiz: 44. a) Halla las coodenadas del punto medio del segmento deteminado po A(-2,1) y B(6,5). Dibuja la situación. (Sol: M (2,3)) t b) El punto M(5,-2) es el punto medio del segmento AB, y conocemos A(2,3). Hace un dibujo explicativo y halla B. (Sol: B(8,-7)) c) Halla el punto simético de P(1,-2) especto del punto Q(3,0). Hace un dibujo explicativo. (Sol: P (5,2)) 45. Halla la ecuación de la ecta al segmento de extemos A(5,6) y B(1,8) en su punto medio. Cómo se llama dicha ecta? Hace un dibujo explicativo. (Soluc: 2x-y+1=0; mediatiz) 46. La ecta 3x-2y-6=0 cota a los ejes en dos puntos A y B. Calculalos y halla la mediatiz de AB. (Soluc: 4x+6y+5=0)

19 47. Dada la ecta x+2y+1=0 halla el punto simético de P(2,-3) especto a dicha ecta. [Soluc: P'(16/5,-3/5)] * 48. Sabiendo que la ecta 2x-y+1=0 es mediatiz de AB y A(2,-3), calcula B. Cómo podíamos compoba que el esultado es coecto? [Soluc: B(-22/5,1/5)] Bisectiz: 49. Dado el tiángulo de vétices A(2,1), B(5,-3) y C(7,13), halla azonadamente, mediante cálculo vectoial, la ecuación de la bisectiz coespondiente al vétice A. (Ayuda: Dado un punto genéico X(x,y) bisectiz, plantea que AB AX = AC AX) (Soluc: x-8y+6=0) NOTA: Cuando se abode más adelante el cálculo de la distancia punto-ecta, se veá oto método mucho mejo paa halla la bisectiz (vid. ejecicio 94). Mediana, altua, etc: 50. Dado el tiángulo de vétices A(1,1), B(5,3) y C(3,7) se pide: a) Mediante la fómula coespondiente, halla las coodenadas del baicento o cento de gavedad (Po cuiosidad, se ecomienda obtene la ecuación de dos medianas cualesquiea y compoba que se cotan en dicho punto) b) Ecuaciones de dos altuas cualesquiea, y coodenadas del otocento. c) Ecuaciones de dos mediatices cualesquiea, y coodenadas del cicuncento. d) Calcula la ecuación de la ecta de Eule. e) Compoba que el otocento dista el doble del cento de gavedad que el cicuncento. (Soluc: a) AB: x=3; BC: 4x-3y-1=0; G(3,11/3) b) AB: 2x+y-13=0; BC: x-2y+1=0; AC: x+3y-14=0; O(5,3) c) AB: 2x+y-8=0; BC: x-2y+6=0; AC: x+3y-14=0; C(2,4) d) x+3y-14=0) 51. Dibuja en unos ejes catesianos el tiángulo de vétices A(2,0), B(0,1) y C(-3,-2), y halla: a) La ecuación de la mediana coespondiente al lado AC. (Soluc: 4x-y+1=0) b) La ecuación de la altua coespondiente al lado AC. (Soluc: 5x+2y-2=0) c) La ecuación de las mediatices coespondientes a AB y AC. (Soluc: 4x-2y-3=0; 10x+4y+9=0) d) Cómo se llama el punto donde se cotan las anteioes? Obtenelo (Sol: Cicuncento(-1/6,-11/6) 52. Dibuja el tiángulo de vétices A(3,1), B(0,2) y C(1,-2), y halla: a) La ecuación de la mediana coespondiente al lado AC (Soluc: 5x+4y-8=0) b) Las ecuaciones de las altuas coespondientes a los lados AC y BC (Sol: 2x+3y-6=0; x-4y+1=0) c) Cómo se llama el punto donde se cotan las altuas? Obtenelo. (Soluc: Otocento (21/11,8/11) d) La ecuación de la mediatiz coespondiente al lado AC (Soluc: 4x+6y-5=0) * 53. Los puntos B(-1,3) y C(3,-3) deteminan el lado desigual de un tiángulo isósceles ABC. El punto A está en la ecta x+2y-15=0. Calcula A 54. Halla las ecuaciones de las medianas del tiángulo de vétices A(1,6), B(-5,8) y C(-3,-4) (Soluc: 4x-5y+26=0; 7x+4y+3=0; 11x-y+29=0)

20 2/3 1/3 Matemáticas I RECTAS 55. Demosta que en un tiángulo equiláteo el baicento está situado a una distancia de la base que es siempe 1/3 de la altua (ve figua). 56. Los vétices de un tiángulo son A(7,5), B(-8,3) y C(4,-5) a) Halla las medianas AB y AC y el baicento. b) Ídem paa altuas y otocento. c) Ídem paa mediatices y cicuncento. d) Taza sobe papel milimetado las tes medianas, altuas y mediatices, y las cicunfeencias cicunscita e inscita, y compoba que el baicento, otocento y cicuncento están alineados (Utiliza escala 1 u=1cm). Ángulo de dos ectas: 57. Calcula el ángulo que foman los siguientes paes de ectas, utilizando la fómula más conveniente en cada caso: a) 2x-3y+4=0 5x-2y-3=0 (Soluc: 34º 31') b) 2x+3y-5=0 x-y+7=0 (Soluc: 78º 41') c) x-2y+4=0 3x-y-1=0 (Soluc: 45º) d) y=2x-3 y=-2x+1 (Soluc: 53º 8') e) y=3x-5 y=3x+2 (Soluc: 0º) f) -x+2y+1=0 3x+y+5=0 (Soluc: 81º 52') g) x 1 y + 2 = 3 4 x 12 y 3 = (Soluc: 30º 31') 5 h) -x+2y+5=0 2x-3y+4=0 (Soluc: 7º 8') i) 3x-4y+2=0 3x-4y+7=0 (Soluc: 0º) j) x 1 y = 2 3-2x+3y-5=0 (Soluc: 22º 37') k) x + 2 y = 1 3x+4y=0 3 4 (Soluc: 90º) l) 3x+4y-12=0 5x-12y+8=0 (Soluc: 59º 29) m) x = 3 + t x = 3 + 4λ y = 5 2t y = 1+ 3λ (Soluc: 79º 42') n) y=7x+54 3x-4y+128=0 (Soluc: 45º) 58. Razona, sin cálculo pevio, cuáles de los siguientes paes de ectas son pependiculaes: a) 2x+3y-4=0 4x+6y-8=0 b) 2x+3y-4=0 6x-4y+5=0 c) y=2x-4 y=-x/2+5 d) 3x-2y+7=0 4x+6y-3=0 e) y=6x y=x/6-8 f) x+y-8=0 2x+3y+6=0 g) y=x+1 y=-x (Soluc: NO; SÍ; SÍ; SÍ; NO; NO; SÍ) 59. Es pependicula la ecta 2x+3y+4=0 con ota que tenga de pendiente 3/2? (Soluc: SÍ) 60. Detemina el paámeto m con la condición de que las ectas 2x-4y+12=0 sean pependiculaes. (Soluc: m=16) mx+8y-15=0 61. Dadas las ectas : x+2y-3=0 se pide: a) Halla k paa que sean // (Soluc: k=-2) s: x-ky+4=0 b) Halla k paa que sean (Soluc: k=1/2) c) Halla la ecuación geneal de la ecta a que pasa po el oigen. (Soluc: 2x-y=0) 62. Detemina el valo de a paa que las ectas ax+(a-1)y-2(a+2)=0 sean: a) Paalelas. (Soluc: a=0 o a=1/3; a=-1/2) 3ax-(3a+1)y-(5a+4)=0 b) Pependiculaes.

21 63. Calcula los coeficientes m y n de las ectas mx-2y+5=0 nx+6y-8=0 sabiendo que son pependiculaes y que la pimea pasa po el punto (1,4) (Soluc: m=3; n=4) 64. Dada la ecta de ecuación ax+by=1, detemina a y b sabiendo que la ecta dada es pependicula a la ecta 2x+4y=11 y que pasa po el punto (1,3/2) (Soluc: a=4; b=-2) 65. a) Halla m paa que la ecta de la figua sea // a : -4x+m y+6=0 (Soluc: m=-6) b) Deduci α (edondeado a los minutos) a pati de la ecuación de. (Soluc: 146º 19' ) c) Halla el ángulo (edondeado a los minutos) que foma con la bisectiz del pime cuadante. (Soluc: 78º 41' ) 66. Halla el valo de a paa que las ectas x = 2 λ x = 1+ 2λ fomen 45º y = 2λ y = 2 + aλ (Aviso: puede habe dos soluciones) (Soluc: a 1=6, a 2=-2/3) 67. Sean las ectas : 3x+my+12=0 s: 2x+y+n=0 Detemina m y n sabiendo que foman un ángulo de 60º y que la ecta s pasa po el punto (3,-5) (Advetencia: puede habe dos soluciones) (Sol: m 1= y n 1=-1; m 2= y n 2=-1) 68. a) Detemina la ecuación de la ecta que pasando po A(5,-2) fome 45º con la que tiene po ecuación 2 5 3x+7y-12=0 (Advetencia: puede habe dos soluciones) (Soluc: y + 2 = (x 5); y + 2 = (x 5) ) b) Cómo son las pendientes de las dos soluciones? Po qué? 69. Halla la ecuación de la ecta que, pasando po P(2,-3), foma un ángulo de 45º con la ecta 3x-4y+7=0 1 (Advetencia: puede habe dos soluciones) (Soluc: y + 3 = (x 2); y + 3 = 7(x 2) ) 70. Halla las ecuaciones de las dos ectas que pasan po el punto (-3,0) y foman con la ecta de ecuación 3x-5y+9=0 un ángulo cuya tangente vale 1/3 (Soluc: y = 2 (x + 3); y = 7 (x + 3) ) Dadas las ectas : 2x+y-4=0 halla a paa que: a) Sean // (Soluc: a=-4) s: ax-2y+5=0 b) Sean (Soluc: a=1) c) Fomen 60º 16 ± 10 3 Soluc : a = 11 d(p,): 72. a) Calcula la distancia del punto P(1,2) a la ecta 3x-4y+1=0 (Soluc: 4/5) b) "" "" "" P(2,-1) a la ecta 3x+4y=0 (Soluc: 2/5) x = 1 + 2λ c) "" "" del oigen a la ecta (Soluc: 3 5 ) y = 2 λ

22 d) "" "" del oigen a la ecta y=4 (Soluc: 4) e) "" "" del punto P(-1,7) a la ecta y-3=2(x+3) (Soluc: 0) x 1 f) "" "" "" P(1,-3) a la ecta = y + 5 (Soluc: 4 5 ) 2 g) "" "" "" P(2,4) a la ecta y=-2x+3 (Soluc: 5 ) Matemáticas I RECTAS 73. Halla la distancia del oigen de coodenadas a la ecta que pasa po los puntos A(-2,1) y B(3,-2) (Soluc: 1 34 ) 74. Halla la distancia del punto (-1,1) a la ecta que cota a los ejes OX + y OY + a las distancias 3 y 4 del oigen. (Soluc: 13/5) 75. Halla la longitud del segmento que detemina la ecta x-2y+5=0 al cota a los ejes de coodenadas. (Soluc: ) 76. Halla la distancia del punto P(-1,2) al punto de cote de las ectas x =2 y 2x+ y-2=0 (Soluc: 5) 77. Halla la distancia del oigen de coodenadas a la ecta que pasando po el punto A(0,2) tiene de 2 pendiente -1 (Soluc: ) 78. Detemina c paa que la distancia de la ecta x-3y+c=0 al punto (6,2) sea de 10 unidades. (Aviso: puede habe dos soluciones). Hace un dibujo explicativo de la situación. (Soluc: c=±10) 79. Calcula el valo de a paa que la distancia del punto P(1,2) a la ecta ax+2y-2=0 sea igual a 2 (Aviso: puede habe dos soluciones). Hace un dibujo explicativo. (Soluc: a=2) 80. Calcula las ecuaciones de las dos ectas que pasando po el punto A(1,-2) disten 2 unidades del punto 5 B(3,1). Se ecomienda hace un dibujo pevio. (Soluc: y + 2 = (x 1); x = 1 ) 81. Halla la ecuación de las dos ectas paalelas de pendiente 3/4 que distan 2 unidades del punto (2,3). (Ayuda: se ecomienda hacelo en foma explícita). Hace un dibujo de la situación. 3 3 Sol : y = x + 4; y = x d(,s): 82. a) Halla la distancia ente las ectas 2x+3y-6=0 2x+3y+7=0 (Soluc: 13 ) b) "" "" "" "" x = 2 3λ x + 3 = y + 5 (Soluc: ) y = 1+ λ 3 c) "" "" "" "" 3x-4y+16=0 2x-5y+2=0 (Soluc: 0) 3 d) "" "" "" "" 3x-4y+16=0 y = x 1 (Soluc: 4) Dada la ecta 3x-4y+19=0, se pide: a) Halla la ecuación de la ecta paalela a la anteio que pasa po P(5,6), en todas las fomas conocidas. (Soluc: 3x-4y+9=0) b) Halla la distancia ente las dos ectas anteioes. (Soluc: 2 u) c) Halla el ángulo que dichas ectas foman con la ecta 7x-y+3=0 (Soluc: 45º)

23 84. a) Halla, en todas las fomas conocidas, la ecuación de la ecta s que tiene la misma pendiente que : y=3x-1 y pasa po P(-1,2) (Soluc: 3x-y+5=0) b) Halla la distancia ente las dos ectas y s anteioes. (Soluc: u ) c) Halla el ángulo que foma con la ecta t: x-2y+4=0 (Soluc: 45º) 85. Dados los siguientes paes de ectas, halla m paa que sean paalelas y calcula su distancia: a) 3x-4y+1=0 (Soluc: m=-6; d=6/5) mx+8y-14=0 b) mx+y=12 (Soluc: m=-4/3; d=107/15) 4x-3y=m+1 c) 4x-3y+1=0 (Soluc: m=-8; d=3/5) mx+6y+4=0 86. Calcula c paa que la distancia ente las ectas 4x+3y-6=0 y 4x+3y+c=0 sea igual a 3 (Sol: c 1=9, c 2=-21) 87. Dadas las ectas de la figua adjunta (el dibujo es apoximado), se pide: : 3x-4y-17=0 s: y=7x+2 : 3x-4y+5=0 P s a) Razona que y s son secantes, y // b) Halla P= s [Soluc: P(-3/25,29,25)] c) Halla la ecuación geneal de s, sabiendo que dista 5 unidades de s. (Soluc: y=7x+2±25 2) d) Halla el ángulo ente y s e) Halla d(, ) 88. a) Halla la ecuación de la ecta de la figua en todas las fomas conocidas. (Soluc: 3x-4y+1=0) b) Halla la ecuación geneal o implícita de la ecta sabiendo que dista 2 unidades de ( No vale intentando obtene puntos de a pati de la gáfica!). (Soluc: 3x-4y+11=0) c) Halla la ecuación de la ecta a que pasa po el oigen, en foma explícita. (Soluc: 4x+3y=0) 89. Dada la ecta : x+y-3=0 y el punto P(-1,2), se pide: a) Halla, en todas las fomas conocidas, la ecuación de la ecta a que pasa po P (Soluc: x-y+3=0) b) Halla el punto M de cote de la ecta anteio y (Soluc: (0,3)) c) Halla el punto simético de P especto de. Hace un dibujo apoximado explicativo. (Soluc: (1,4)) d) Halla la ecuación geneal de la ecta // a que pasa po P (Soluc: x+y-1=0) e) Halla la distancia ente la ecta anteio y. Hace un dibujo apoximado explicativo. (Soluc: 2 u) f) Halla la posición elativa de y la ecta s: 2x-y+5=0 (Soluc: Secantes) g) Halla el ángulo ente y s (Soluc: 71º 33' 54'')

24 90. Estudia la posición elativa de las ectas Dibujalas. : Matemáticas I RECTAS x 1 y + 3 = y s : 5x + 2y + 5 = 0, y halla su distancia. 2 5 (Soluc: 4/ 29) 91. Halla k paa que las ectas : x 1 y + 3 = y s : 5x + 2y + k = 0 sean: a) Coincidentes. (Sol: 1) 2 5 b) Disten 2 unidades (Sol: 1±2 29) 92. a) Halla la ecuación de la ecta s paalela a la ecta de la figua y que pasa po el punto P(1,-3), en todas las fomas conocidas. (Soluc: x+y+2=0) b) Estudia la posición elativa de la ecta s anteio y la ecta t:3x-4 y-1=0 c) Dibuja t (en la cuadícula adjunta). d) Halla el ángulo st (Soluc: 81º 52') (apoximando a los minutos). 135º e) Halla la distancia de s a la bisectiz del 2º cuadante. (Sol: 2) Bisectiz: * 93. a) Halla las dos bisectices del ángulo fomado po : 4x+3y-5=0 y s: 3x+4y-2=0. Compoba que se tata de dos ectas pependiculaes que se cotan en el mismo punto que y s. (Soluc: x-y-3=0; x+y-1=0) b) Ídem con : 4x-3y+8=0 y s: 12x+5y-7=0 (Soluc: 8x+64y-139=0; 112x-14y+69=0) 94. Volve a hace el ejecicio 49, peo aplicando la fómula de la distancia punto-ecta. Áea del tiángulo: 95. a) Calcula el áea del tiángulo de vétices A(1,2), B(-1,4) y C(2,0) (Sol: 1 u 2 ) b) " " " " " " A(2,-1), B(-5,1) y C(0,3) (Sol: 12 u 2 ) c) " " " " " " A(-3, -2), B(9,7) y C(2,8) (Sol: 37,5 u 2 ) 96. a) Halla el áea del tiángulo definido po las ectas : x=3, s: 2x+3y-6=0, t: x-y-7=0 (Sol: 24/5 u 2 ) b) Halla el áea del tiángulo definido po las ectas : y=5, s: 2x-y-3=0, t: x+y-3=0 (Sol: 12 u 2 ) 97. Halla el áea del cuadiláteo de vétices A(-4,3), B(0,5), C(4,-2) y D(-3,-2) (Soluc: 71/2 u 2 ) 98. Detemina el áea del paalelogamo OABC y las ecuaciones de los lados AB y BC sabiendo que OA es la ecta de ecuación x-2y=0, OC tiene de ecuación 3x+y=0 y las coodenadas de B son (3,5) (Soluc: AB: 3x+y-14=0; BC: x-2y+7=0; 98/5 u 2 ) Cuestiones teóico-pácticas vaias: 99. TEORÍA: a) Si la distancia ente dos ectas es ceo, podemos afima que son secantes?

25 b) Sean ( A,u) y ( B, u) d(,s)=d(a,b)? Matemáticas I RECTAS s dos ectas paalelas (po tene el mismo vecto diecto). Es cieto que c) Cómo son las pendientes de dos ectas pependiculaes? Y si las ectas son paalelas? d) A simple vista, sin necesidad de tansfomalas, podemos conclui que x = 2 + λ 1 : y s: y 1 = (x 2) y = 1+ 2λ 2 no son la misma ecta? Razona la espuesta TEORÍA: Estudia si los siguientes paes de ectas son la misma ecta: a) x = 2 + λ x = 1+ 2λ b) x = 2 + λ c) y = 1+ 2λ y = 1+ 4λ = x = 1+ 2λ y 3 3λ y = 5 + 7λ (Soluc: SÍ, NO, NO) x = 2 + λ y = 1+ 2λ x = 3 + λ y = 5 + 2λ 101. TEORÍA: Demosta que cualquie mediana siempe sepaa dos tiángulos de igual supeficie.