6. GEOMETRIA ANALÍTICA

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1 Geometía Heamientas infomáticas paa el ingenieo en el estudio del algeba lineal 6. GEOMETRIA ANALÍTICA 6.. VARIEDAD LINEAL AFIN 6... DEFINICION 6... ECUACIONES PARAMETRICAS 6... ECUACIONES IMPLICITAS POSICIONES RELATIVAS 6.. ESPACIO AFIN 6... ECUACION DE LA RECTA EN EL ESPACIO AFIN 6... ECUACION DEL PLANO EN EL ESPACIO AFIN 6... POSICIONES RELATIVAS 6... POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS RECTAS 6... POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS PLANOS 6... POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTA Y PLANO Mª Isabel Eguia Ribeo Mª José González Gómez

2 Geometía Heamientas infomáticas paa el ingenieo en el estudio del algeba lineal 6. GEOMETRIA 6.. VARIEDAD LINEAL AFÍN 6... Definición F E Sea el espacio afín A,E,+, el punto D A y el subespacio vectoial diecto. El subconjunto de A fomado po F + D se denomina vaiedad lineal afín que pasa po el punto D y tiene po espacio vectoial diecto a F. Se obtiene al suma cada uno de los vectoes de F con el punto D. F + D = { v + D, v F } = { P A / DP F} En la igualdad anteio se ha consideado que v = DP, po tanto P = v + D Si dim( F) =, entonces dim( F + D) = - Un punto D + D es una vaiedad lineal afín de dimensión 0 - Si dim( F + D) = se denominan ectas afines. - Si dim( F + D) = planos afines. dim F + D = n, hipeplanos afines - Si dim( A,E, ) n y n + = >, la - A es la vaiedad lineal afín de dimensión n Una vaiedad lineal afín queda completamente deteminada cuando se conocen un punto de ella y el subespacio vectoial diecto. FORMAS DE DEFINIR UNA VARIEDAD LINEAL AFÍN - Con uno de sus puntos D y un subespacio vectoial diecto F. w, w, w, K, w - Si F está definido po un sistema geneado { p} deben supimi los vectoes que sean combinación lineal al objeto de emplea el mínimo númeo de vectoes linealmente independientes. - Considea los puntos D, D, D, KK, Dp tales que los vectoes DD, DD,, DD KK, DDp fomen una base de F. El conjunto de ( + ) puntos { D,D,D,D,, D }, se K se les denomina afín linealmente independientes. La ecuación paamética vectoial de la vaiedad lineal F + D es DX = λ DD + λ DD + λ DD + KK + λdd Evidentemente la vaiedad lineal afín F + D contiene a los puntos D, D, D, KK, D. p Mª Isabel Eguia Ribeo Mª José González Gómez

3 Geometía Heamientas infomáticas paa el ingenieo en el estudio del algeba lineal 6... Ecuaciones paaméticas de una vaiedad lineal afín Sea dim( F) =, una base V = { v, v, v, K, v } de F y un punto cualquiea X F + D. Un vecto v F se escibe v = λ v + λ v + λ v + K + λv. Entonces X = v + D = λ v + λ v + λ v + K + λ v + D con λi R, i. La foma vectoial, también llamada ecuación paamética vectoial es DX = λ v + λ v + λ v + LL + λv λi R, i U = u, u,u, K, u y las coodenadas En el espacio afín ( A,E,+ ) sea la base { n} catesianas de X ( x, x, x, K, x ) y D( d,d,d, K,d ). n Entonces ( K ) n x d x d DX = u, u, u,, u x d LLL xn d n v v v v v = ( u, u, u, K, un ) v,, v = ( u,u,u, K,un ) v M M v n v n x d v v v x d v v v x d = λ v + λ v + LL + λ v LLL M M M x d v v v n n n n n con λi R, i x d = vλ + vλ + LL + vλ x d v v v = λ + λ + LL + λ KKKKKKKKKKKKKKK xn dn = vnλ + vnλ + LL + v nλ x = d + vλ + vλ + LL + vλ x d v v v = + λ + λ + LL + λ KKKKKKKKKKKKKKK xn = d + vnλ + vnλ + LL + v nλ, El sistema de ecuaciones () ecibe el nombe de ecuaciones paaméticas de la vaiedad lineal afín F + D. En estas ecuaciones se obseva que la vaiedad lineal afín F + Dcontiene o pasa v, v, v, K, v po el punto D y tiene po vecto diecto a V de componentes Mª Isabel Eguia Ribeo Mª José González Gómez

4 Geometía Heamientas infomáticas paa el ingenieo en el estudio del algeba lineal 6... Ecuaciones implícitas de una vaiedad lineal afín Paa halla la foma implícita de la vaiedad lineal a pati de las ecuaciones en foma paaméticas, se eliminan los paámetos λ, λ, λ, KK, λ y se obtiene un sistema de "n " ecuaciones lineales con "n" incógnitas: x, x, x, KK, x, x, x, KK, x + + n ax + ax + LL + ax + α x+ = b a x a x a x x b + + LL + + α + = ax + ax + LL + ax + α x+ = b F + D / KKKKKKKKKKKKKKK... KKKKKKKKKKKK.. KKK. a px + a px + LL + a px + α xn = bp con "n " ecuaciones lineales El sistema lineal anteio o cualquie oto equivalente, se denomina sistema de ecuaciones implícitas de la vaiedad lineal afín F + D Posiciones elativas de dos vaiedades lineales afines Sea el espacio afín ( A,E,+ ) con el sistema de efeencia A, { v, v, v, KK, vn}. Se considean las dos vaiedades lineales afines F + D y F + C de ecuaciones. ax + ax + K+ anxn = h ax a x a nxn h + + K+ = F + D /, LLLLLLLLLLLL a x + a x + K+ a nxn = b bx + bx + K+ bnx n = k bx bx bnxn k + + K+ = F + C / LLLLLLLLLLLL bsx + bsx + K+ bs nxn = k s La intesección de estas dos vaiedades lineales es el conjunto de soluciones del sistema lineal. ax + ax + K+ anxn = h ax a x a nxn h + + K+ = LLLLLLLLLLLL a x + a x + K+ a nxn = b F + D F + C / bx + bx + K+ bnx n = k bx + bx + K+ bnxn = k LLLLLLLLLLLL bsx + bsx + + bs nxn = k K s ( ) ( ) ( ) Mª Isabel Eguia Ribeo Mª José González Gómez

5 Geometía Heamientas infomáticas paa el ingenieo en el estudio del algeba lineal a) Las vaiedades lineales afines se cotan si el sistema lineal ( ) es compatible, es deci, si Rango A / ( h,k ) = Rango( A ) a L an h a L an L L L a L a n h a L a n Rango = Rango b L bn k b L bn L L L bs bsn k s bs b L L sn b) El caso de incidencia ( F + D) ( F + C) de ambas vaiedades lineales. Este es un caso paticula en que las vaiedades se cotan. Este caso se caacteiza po a L an h a L an h a L a n h Rango = Rango b bn k L a a n h L bs bsn k L s El caso de incidencia ( F + D) ( F + C) de ambas vaiedades lineales. Este caso se caacteiza po a L an h b L bn k a L a n h Rango = Rango b bn k L bs bsn k L s bs bsn k L s Si ( F + D) = ( F + C) o idénticas. se dice que ambas vaiedades lineales son coincidentes c) Las vaiedades lineales afines no se cotan si el sistema lineal ( ) es incompatible, es deci, si Rango A / ( h,k ) Rango( A ) Mª Isabel Eguia Ribeo Mª José González Gómez

6 Geometía Heamientas infomáticas paa el ingenieo en el estudio del algeba lineal a L an h a L an L L L a L a n h a L a n Rango Rango b L bn k b L bn L L L b L b k b L b o F + D s sn s s sn y F + C son paalelas si a L an h a L an L L L a L an a L a n h a L a n Rango Rango = Rango b bn k b b L L L L L n a a L n L L L b L b k b L b o F + D s sn s s sn y F + C se cuzan si a L an h a L an a L an Rango L L L L L L a a L a n h a L a n a L n Rango Rango b L bn k b L bn b L bn L L L Rango L L L bs bsn k s bs b sn bs b L L L sn 6.. ESPACIO AFÍN R Espacio afín R es el espacio afín de dimensión tes R,R, Ecuación de una ecta en el espacio afín Ecuaciones paaméticas de la ecta La ecuación de la ecta R se deduce como vaiedad lineal que es, sumando su D d,d,d R. R / F + D Sea F = { λv / λ R } siendo v F un vecto no nulo de componentes v = v, v, v = v e + v e + v e. espacio vectoial diecto F de dimensión con uno de sus puntos Mª Isabel Eguia Ribeo Mª José González Gómez

7 Geometía Heamientas infomáticas paa el ingenieo en el estudio del algeba lineal = de la ecta R debe veifica la ecuación paamética vectoial X = λ v + D Cualquie punto X ( x, x, x ) X = x, x, x = λ v e + v e + v e + d,d,d = λ v + d, λ v + d, λ v + d paa λ R Igualando ambos miembos esulta x = λ v + d R / x = λ v + d x = λ v + d Ecuaciones canónicas o en foma continua de la ecta Despejando λ en las ecuaciones x d x d x d R / = = v v v x d x d x d, esulta λ = = = v v v Los númeos v, v, v se llaman coeficientes diectoes de la ecta. La ecta R se detemina conociendo dos puntos D( d,d,d ) y A ( a,a,a ), v = v, v, v = DA = a d,a d,a d es un vecto diecto entonces el vecto de la ecta R, cuya ecuación canónica o en foma continua es. x d x d x d R / = = a d a d a d Ecuaciones afines de la ecta Las ecuaciones paaméticas de la ecta R que pasa po los puntos D d,d,d y A a,a,a son: x = λ a d + d = λ d + λa R / x = λ a d + d = λ d + λa con λ R x = λ a d + d = λ d + λa Si se hacen µ = λ y µ = λ, esultan las denominadas ecuaciones afines de la ecta R. x = µ d + µ a x = µ d + µ a R / con µ R, µ R x = µ d + µ a = µ + µ Mª Isabel Eguia Ribeo Mª José González Gómez

8 Geometía Heamientas infomáticas paa el ingenieo en el estudio del algeba lineal Ecuación en foma implícita de la ecta Las ecuaciones paaméticas de la ecta R se pueden como x d v x d = v λ x d v, entonces vx vd vx + vd R / vx vd vx + vd donde x d Rango x d =. Esto significa que los menoes de segundo oden que se x d pueden foma son todos nulos: x d v x d v x d v = = x d v 0, 0 Si se desaollan ambos deteminantes v x d v x d R / v x d v x d se obtienen las ecuaciones implícitas de R., vx vd vx + vd R / vx vd vx + vd 6... Ecuación de un plano en el espacio afín La ecuación de un plano π se deduce como vaiedad lineal que es, sumando su D d,d,d π. Π / F + D espacio vectoial diecto F de dimensión con uno de sus puntos Ecuaciones paaméticas del plano F = λ v + µ w / λ, µ R siendo v, w F Sea { } cualquie punto X ( x, x, x ) vectoial X = ( λ v + µ w) + D. dos vectoes no nulos de componentes v = v, v, v = v e + v e + v e, w = w, w, w = w e + w e + w e, = del plano π debe veifica la ecuación paamética X = x, x, x = λ v e + v e + v e + µ w e + w e + w e + d,d,d = ( ) ( ) ( ) ( ) ( v w d, v w d, v w d ) λ µ R = λ + µ + λ + µ + λ + µ + paa, Igualando ambos miembos esulta Mª Isabel Eguia Ribeo Mª José González Gómez

9 Geometía Heamientas infomáticas paa el ingenieo en el estudio del algeba lineal x = λ v + µ w + d π / x = λ v + µ w + d λ, µ R.. 4 x = λ v + µ w + d Las ecuaciones ( 4 ) se pueden escibi así: x d = λ v + µ w π / x d = λ v + µ w λ, µ R ( 6). x d = λ v + µ w Ecuación implícita o geneal del plano Las ecuaciones ( 6) en foma maticial. x d v w x d = v λ + w µ λ, µ R. x d v w Como los vectoes v y w son linealmente independientes. x d v w Rango x d v w =. x d v w Esta equivale a que su deteminante sea nulo. x d v w x d v w 7 x d v w Desaollando este deteminante y estudiando el tipo de téminos que lo foman, esulta la ecuación implícita o geneal del plano. π / Ax + Bx + Cx + D Obsevación Cuando se desaolla el deteminante ( 7 ) es evidente que al educi téminos semejantes existe un conjunto de ellos multiplicados po x expesados con la notación A, un segundo conjunto multiplicados po x expesado po B, un tece conjunto multiplicado po x notado po C y finalmente un cuato conjunto de téminos independientes po D. Entonces F es el conjunto de vectoes cuyas componentes x, x, x satisfacen la ecuación Ax + Bx + Cx En el caso paticula paa los vectoes v y w Av + Bv + Cv Aw + Bw + Cw Mª Isabel Eguia Ribeo Mª José González Gómez

10 Geometía Heamientas infomáticas paa el ingenieo en el estudio del algeba lineal Ecuación del plano que pasa po tes puntos no alineados El plano π queda definido cuando se conocen tes de sus puntos: D( d,d,d ) A ( a,a,a ) y B( b, b, b ) R. Se ealizan en ( 7) las sustituciones:, de foma que los vectoes DA y DB fomen una base de v = v, v, v = DA = a d,a d,a d w = w, w, w = DB = b d,b d, b d ( ) ( ) x d a d b d Π / x d a d b d 8 x d a d b d En el apatado anteio de la ecuación de una ecta se debe considea que dos planos no paalelos definen una ecta R que es su línea de intesección. Sean las ecuaciones de estos dos planos Ax + Bx + Cx + D y Ax + Bx + Cx + D Ambas ecuaciones consideadas conjuntamente Ax + Bx + Cx + D R / 9 Ax + Bx + Cx + D Se denominan ecuaciones geneales de la ecta R. A pati de las ecuaciones geneales dadas po ( 9 ), es posible obtene las ecuaciones canónicas o en foma continua. Paa ello basta con conoce un punto de la ecta D y su vecto diecto v. Las coodenadas de un punto de la ecta se obtienen esolviendo el sistema ( 8) se elige la incógnita que pasa al segundo miembo y se calculan las otas dos en función de ella. El vecto diecto de la ecta R tiene que se pependicula a los vectoes diectoes de ambos planos (este concepto se explicaá en el apatado ecuación nomal o hessiana del plano ) V = ( A,B,C ) y V = ( A,B,C ) ambos nomales a los planos que definen R, entonces el vecto = V V. Mª Isabel Eguia Ribeo Mª José González Gómez

11 Geometía Heamientas infomáticas paa el ingenieo en el estudio del algeba lineal Plano deteminado po sus intesecciones con los ejes de efeencia (ecuación canónica del plano) La ecuación del plano π que pasa po los puntos A( a,0,0 ),B( 0, b,0 ),C( 0,0, ) se obtiene sustituyendo estos valoes en la ecuación ( 8 ). x a a a Π / x b 0, x a bc + abx + acx, bcx abc + abx + acx x 0 c bcx + acx + abx abc bcx + acx + abx = abc, dividiendo m.a.m po abc: = x x Π + + = a b c x / Ecuaciones afines del plano Las ecuaciones paaméticas Del plano Π que pasa po los puntos D d,d,d,a a,a,a y B b, b, b son: x = λ a d + µ b d + d = λ µ d + λ a + µ b R / x = λ a d + µ b d + d = λ µ d + λ a + µ b con λ, µ R x = λ a d + µ b d + d = λ µ d + λ a + µ b Si se hacen µ = λ µ, µ = λ y µ = µ, esultan las denominadas ecuaciones afines del plano π. x = µ d + µ a + µ b x = µ d + µ a + µ b R / con µ, µ, µ R x = µ d + µ a + µ b = µ + µ + µ La intepetación de estas ecuaciones es que el vecto X ( x, x, x,) combinación lineal de los vectoes DA( a d,a d,a d,) y, b d,). x x x d d d Π = a a a / 0 b b b es DB(b d,b d, Mª Isabel Eguia Ribeo Mª José González Gómez

12 Geometía Heamientas infomáticas paa el ingenieo en el estudio del algeba lineal 6.. Posiciones Relativas 6... Posiciones elativas de dos ectas Sean las ectas R y R del espacio afín R definidas po sus ecuaciones Ax + Bx + Cx + D Ax + Bx + Cx + D R / y R / Ax + Bx + Cx + D A4x + B4x + C4x + D4 Paa ealiza el análisis coespondiente se debe estudia la vaiedad lineal afín R I R que se define po las ecuaciones: Ax + Bx + Cx + D Ax + Bx + Cx + D RI R 0 Ax + Bx + Cx + D A4x + B4x + C4x + D4 El sistema de ecuaciones lineales ( 0 ) puede se a) COMPATIBLE Y DETERMINADO. Las ectas R y R tienen infinitos puntos en común, po tanto, son coincidentes. b) COMPATIBLE E INDETERMINADO. Las ectas R y R se cotan en un punto que se obtiene esolviendo el sistema ( 0 ). c) INCOMPATIBLE. Los espacios vectoiales de ambas ectas son de dimensión uno, entonces o son o no son coincidentes. A B C A B C - Si son coincidentes ocue que Rango = A B C A B4 C4 Las ectas R y R son paalelas - Si son coincidentes ocue que Las ectas R y R se cuzan A B C A B C = A B C A B4 C4 Rango Mª Isabel Eguia Ribeo Mª José González Gómez

13 Geometía Heamientas infomáticas paa el ingenieo en el estudio del algeba lineal 6... Posiciones elativas de dos planos Sean los planos Π y Π del espacio afín R definidas po sus ecuaciones Π / A x + B x + C x + D y Π / A x + B x + C x + D { { Paa ealiza el análisis coespondiente se debe estudia la vaiedad lineal afín Π I Π que se define po las ecuaciones: Ax + Bx + Cx + D ΠI Π Ax + Bx + Cx + D El sistema de ecuaciones lineales ( 0 ) puede se a) COMPATIBLE E INDETERMINADO A B C - Rango =. La intesección de Π y Π es una ecta R A B C. cuyas ecuaciones vienen dadas po A B C D - Rango =. Los planos Π y Π son coincidentes. A B C D b) INCOMPATIBLE A B C Rango =. Los planos Π y Π son paalelos. A B C HAZ DE PLANOS Se llama haz de planos deteminado po y siendo éstos los planos Π / A x + B x + C x + D, Π / A x + B x + C x + D, A x + B x + C x + D + λ A x + B x + C x + D al conjunto definido po 6... Posiciones elativas ente ecta y plano Sean la ecta R y el plano de ecuaciones Ax + Bx + Cx + D R / y Π /{ Ax + Bx + Cx + D Ax + Bx + Cx + D po Como en los casos anteioes se estudia la vaiedad lineal afín R Ax + Bx + Cx + D R I Π / Ax + Bx + Cx + D Ax + Bx + Cx + D I Π definida Mª Isabel Eguia Ribeo Mª José González Gómez

14 Geometía Heamientas infomáticas paa el ingenieo en el estudio del algeba lineal En el sistema de ecuaciones lineales( ) puede se a) COMPATIBLE DETERMINADO (solución única) La intesección es un punto que se obtiene esolviendo el sistema. Se expesa diciendo la ecta R y el plano Π se cotan en un punto. b) COMPATIBLE INDETERMINADO Esto significa que el sistema () debe tene dos ecuaciones y tes incógnitas. Paa que esto suceda la tecea ecuación seá combinación lineal de las dos pimeas, po tanto, el plano Π petenece al haz de planos que contiene a la ecta R. Entonces R Π, luego la ecta y el plano son incidentes. c) INCOMPATIBLE. Paa ello A B C A B C D Rango A B C =, Rango A B C D = A B C A B C D Entonces se puede deci que RI Π = { θ}, luego R y Π son paalelos. Mª Isabel Eguia Ribeo Mª José González Gómez