TEMA 10: ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS. . Para poder operar con sus coordenadas se introduce su vector de posición, que se define como a OA.

Transcripción

1 lonso Fenánde Galián TEM ECUCIONES DE RECTS Y PLNOS La Geometía nalítica en el espacio se ocpa fndamentalmente del estdio de ectas planos po medio de ecaciones. En paticla, en este tema estdiaemos las posiciones elatias de ectas planos mediante la esolción de sistemas de ecaciones lineales.. EL VECTOR DE POSICIÓN DE UN PUNTO. PLICCIONES Consideemos n pnto del espacio, ( a, a, a). Paa pode opea con ss coodenadas se intodce s ecto de posición, qe se define como a O. a O ( a, a, a) Obseemos qe el ecto de posición de tiene las mismas coodenadas qe el pnto. Veamos ahoa cómo tilia ectoes paa esole aios poblemas geométicos. Vecto qe ne dos pntos. Sean ( a, a, a) B ( b, b, b ) dos pntos del espacio. El ecto de oigen etemo B pede escibise como B OB O b a Las coodenadas de los ectoes a b coinciden con las de B, espectiamente a a, a, ) b b, b, ) ( a Po lo tanto, tenemos B b a ( b ( b a, b a, b a ) Ejemplo Dados los pntos (,, ) B (,, ), calcla las coodenadas de los ectoes B B. (a) El ecto B tiene coodenadas B,, ( ),, (b) El ecto B tiene coodenadas B ( ),,,, Notemos qe se tata de ectoes opestos Compobación de si tes pntos están alineados. Paa compoba si los pntos, B C están alineados basta obsea si los ectoes B C son linealmente dependientes, B C están alineados B C son l.d. C B paa algún R - -

2 Matemáticas II Ejemplo Compeba si los pntos (,, ), B (,, ) C (,, ) están alineados. B (,, ) C (,, 9) 9, C, B Como los ectoes B C son popocionales (l.d.), los pntos están alineados. Nota En lga de B C se peden sa, po ejemplo, B BC. Distancia ente dos pntos. La distancia ente dos pntos a, a, ) B b, b, ) es igal al módlo del ecto B ( a d ( b, B B ( b a ) ( b a ) ( b a ) Ejemplo Calcla la distancia ente los pntos (,, ) B (,, )., B B ( ) ( ) ( ) 8 d.l. El pnto medio de n segmento. El pnto medio del segmento de etemos ( a, a, a) B b, b, ) tiene po coodenadas la media aitmética de las coodenadas de los etemos ( b a b a b a b M,, Demostación Debemos detemina las coodenadas del ecto de posición de M, OM. Paa ello, obseemos qe Po oto lado, se tiene M B. sí OM O M OM O M O B ( a, a, a ) ( b a, b a, b a ) a b a, a b a a b a b a b,,, a b a a b a a, b a a, Ejemplo Calcla el pnto medio del segmento de etemos (,, ) B (,, ). b a ( ) M,, M,, - -

3 Tema Ecaciones de ectas planos. L ECUCIÓN DE L RECT Una ecta qeda deteminada conociendo n pnto po el qe pasa n ecto qe detemine s diección, denominado ecto diecto de la ecta. Nota Ni el pnto ni el ecto son únicos, podemos toma calqie oto pnto po el qe pase la ecta calqie ecto paalelo a ella. La ecación de la ecta en foma ectoial. Sea la ecta qe pasa po el pnto ( a, a, a) tiene ecto diecto (,, ). Paa calqie pnto P (,, ) de la ecta eistiá n númeo R tal qe OP O Esta epesión ecibe el nombe de ecación ectoial de la ecta. En coodenadas (,, ) ( a, a, a) (,, ) Dando distintos aloes al paámeto obtendemos las coodenadas (,, ) de los distintos pntos de la ecta. La ecación de la ecta en foma paamética. Si igalamos coodenadas en la ecación ectoial de la ecta, dedcimos qe las coodenadas (,, ) satisfacen a a a Estas igaldades eciben el nombe de ecaciones paaméticas de la ecta. Bscamos ahoa ecaciones qe no dependan de ningún paámeto. La ecación de la ecta en foma contina. Despejando el paámeto en las ecaciones paaméticas e igalando las tes epesiones esltantes se obtiene a a a Estas igaldades se denominan ecaciones continas de la ecta. La ecación de la ecta en foma implícita. Las ecaciones continas son dos ecaciones lineales. l epesalas en foma geneal obtenemos dos ecaciones de la foma a b c d a b c d Estas ecaciones se constiten la foma implícita de la ecación de la ecta. Posteiomente estdiaemos la estdiaemos con detalle, inclendo s intepetación geomética. - -

4 Matemáticas II Ejemplo Escibe de todas las fomas conocidas la ecación de la ecta qe pasa po (,, ) tiene ecto diecto (,, ). º) Ecación ectoial OP O (,, ) (,, ) (,, ) º) Ecaciones paaméticas, es deci, º) Ecaciones continas º) Ecaciones implícitas Nota En la foma contina se pemite, de manea indicatia, qe algno de los denominadoes sea, lo qe en ealidad es n abso de notación. Ejemplo Escibe en foma ectoial la ecta dada en foma contina po 7 La ecta pasa po el pnto (, 7, ) tiene ecto diecto (,, ). Po tanto, s ecación ectoial es OP O (,, ) (, 7, ) (,, ) La ecación de la ecta qe pasa po dos pntos. Paa enconta la ecación de la ecta qe pasa po los pntos ( a, a, a) B b, b, ) basta nota qe dicha ecta tendá ecto diecto ( b B ( b a, b a, b a) Ejemplo Considea los pntos del espacio (,, ) B (,, ). (a) Escibe las ecaciones continas de la ecta qe pasa po los pntos B B (,, ) (b) Compeba si el pnto C (,, ) petenece a la ecta Ha qe e si las coodenadas de C satisfacen la ecación de la ecta El pnto C sí petenece a - -

5 Tema Ecaciones de ectas planos. POSICIÓN RELTIV DE DOS RECTS Sea la ecta qe pasa po el pnto tiene ecto diecto s la ecta qe pasa po el pnto B tiene ecto diecto ( a, a, a ) (,, ) B( b, b, b ) s (,, ) Paa estdia la posición elatia de s debemos considea las sigientes matices,, B b a, Estdiemos las distintas posibilidades según el ango de estas matices. Si,,, B, las dos ectas son coincidentes (son la misma ecta) b a b a. Si,,, B, las dos ectas son paalelas. Si,,, B, las ectas son secantes (se cotan en n pnto). Si,,, B, las ectas se can en el espacio Ejemplo Estdia la posición elatia de las sigientes ectas s Las ectas s están deteminadas po los sigientes pntos ectoes, (,, ) B(,, ) s (,, ) (,, ) [...] - -

6 Matemáticas II [ ] El ecto B tiene coodenadas B (,, ). Las matices coespondientes son,, B, Obiamente,, (los ectoes son popocionales),, B sí, conclimos qe las ectas son paalelas. Intesección de dos ectas en foma paamética. Paa calcla el pnto P de intesección de dos ectas secantes dadas en foma paamética a a a b b b (los paámetos deben se distintos) debemos igala coodenada a coodenada paa calcla, despés, sstitimos calqiea de ellos en la ecta coespondiente. Ejemplo Estdia las posiciones elatias de las sigientes ectas, en caso de se secantes, calcla el pnto de intesección s Las ectas s están deteminadas po los sigientes pntos ectoes, (,, ) (,, ) B(,, ) s (,,) El ecto B tiene coodenadas B (,,). Se compeba qe,,, B Po tanto, las ectas son secantes. Paa calcla el pnto de intesección, igalamos coodenada a coodenada en las ecaciones paaméticas Las solciones del sistema planteado son. Si po ejemplo hacemos en la ecación de la ecta obtenemos qe el pnto de intesección es P (,, ) (si hbiéamos hecho en la ecación de s hbiéamos obtenido el mismo pnto) - -

7 Tema Ecaciones de ectas planos. L ECUCIÓN DEL PLNO Un plano qeda deteminado conociendo n pnto po el qe pasa dos ectoes linealmente independientes qe deteminen s diección, denominados ectoes diectoes del plano. Veamos las ecaciones qe satisfacen las coodenadas de n pnto P (,, ) del plano. La ecación del plano en foma ectoial. Sea el plano qe pasa po el pnto ( a, a, a) tiene ectoes diectoes (,, ) (,, ). Paa calqie pnto P (,, ) de la ecta eistián dos númeos, R tal qe OP O Esta epesión ecibe el nombe de ecación ectoial del plano. En coodenadas (,, ) ( a, a, a) (,, ) (,, ) Dando distintos aloes a los paámetos se obtienen las coodenadas (,, ) de los distintos pntos del plano. La ecación del plano en foma paamética. Igalando las coodenadas en la ecación ectoial del plano obtenemos a a a Estas igaldades se denominan ecaciones paaméticas del plano. La ecación del plano en foma geneal. Según la ecación ectoial del plano, los pntos P del plano qedan caacteiados según la sigiente elación P OP O o, eqialentemente P P sí, el pnto P petenece al plano si sólo si los ectoes P, son linealmente dependientes, lo cal eqiale a qe el deteminante de la mati P,, sea. sí P det a P,, Desaollando el deteminante obtenemos na ecación de la foma a b c d Esta ecación se denomina ecación geneal o implícita del plano. a a - 7 -

8 Matemáticas II Ejemplo Escibe de todas las fomas conocidas la ecación del plano qe pasa po (,, ) tiene ectoes diectoes (,, ) (,, ). º) Ecación ectoial º) Ecaciones paaméticas º) Ecación geneal (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) Plano deteminado po tes pntos. Un plano qeda deteminado conociendo tes pntos no alineados, B C. Paa ello patimos de n pnto calqiea, po ejemplo, tomamos como ectoes diectoes los ectoes B C. Ejemplo Escibe la ecación geneal del plano deteminado po los pntos (,, ), B (,, ) C (,, ). (,, ) B (,, ) C (,, ) 9 Ecaciones de los planos coodenados. Veamos cáles son las ecaciones geneales de los planos qe contienen a los ejes de coodenadas. Los tes planos pasan po el pnto O. -Plano - det OP, i, j... -Plano - det OP, i, k... -Plano - det OP, j, k

9 Tema Ecaciones de ectas planos. EL VECTOR NORML UN PLNO Veamos la intepetación de los coeficientes de a, b c en la ecación geneal de n plano. a a a Si descomponemos el deteminante en sma de dos po la pimea fila se obtiene El segndo deteminante es n númeo eal a a a d R. Desaollemos el pimeo po la pimea fila d Obseamos así qe los coeficientes de, son las coodenadas del ecto n ( a, b, c) n. El ecto n es pependicla a los ectoes, po tanto, al plano. Se denomina ecto nomal al plano. Deteminación de n plano po n pnto el ecto nomal. Un plano qeda deteminado conociendo -Un pnto po el qe pasa, a, a, ). ( a -Un ecto pependicla (o nomal) al plano. Ejemplo Escibi en foma geneal la ecación del plano pependicla al ecto n (,, ) qe pasa po el pnto (,,). (i) La ecación geneal del plano es de la foma d. (ii) Calclemos d paa qe el plano pase po el pnto ( ) d d (iii) El plano pedido es, po tanto Notemos qe dos planos paalelos tienen los mismos ectoes nomales. Ejemplo Detemina la ecación del plano paalelo a qe pasa po el pnto P (,,). El plano debe tene el mismo ecto nomal qe el plano, n (,, ). Po tanto, debe de se de la foma d. Calclemos d. P ( ) d d El plano pedido es, po tanto

10 Matemáticas II. POSICIÓN RELTIV DE DOS PLNOS Consideemos dos planos en el espacio a b c d a b c d La posición elatia de estos planos dependeá de la compatibilidad del sistema fomado po ss ecaciones a b c d a b c d (es indifeente escibi los téminos independientes a la iqieda). s e, la compatibilidad del sistema se estdia a taés de s mati de coeficientes de s mati ampliada Veámoslo. Si * a b c a b c a b c d * a b c d, los planos son coincidentes (son el mismo plano). Si *, los planos son paalelos. Si *, los planos son secantes (se cotan en na ecta) Ejemplo Estdia la posición elatia de los planos. El sistema fomado po ss ecaciones es La mati ampliada del sistema es Obiamente * *, po lo qe los planos son paalelos. [ ] - -

11 Tema Ecaciones de ectas planos - - [ ] Nota Obseemos qe los espectios ectoes nomales de los planos son ),, ( n ),, ( n Los ectoes son popocionales ente ellos. Ejemplo Estdia la posición elatia de los planos. El sistema fomado po ss ecaciones es La mati ampliada del sistema es * Obiamente *, po lo qe los planos son secantes. Se cotan en na ecta Podemos calcla la ecta en la qe intesecan los dos planos. Dicha ecta seá la solción del sistema E E 7 Paa cada alo R qe demos a obtendemos na solción del sistema Tenemos así qe la ecta en la qe intesecan los planos es 7

12 Matemáticas II.7 POSICIÓN RELTIV DE TRES PLNOS Veamos ahoa cómo decidi la posición elatia de tes planos en el espacio,,. Como antes, debemos estdia la compatibilidad del sistema fomado po ss ecaciones a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d La compatibilidad del sistema se detemina con la mati de coeficientes la mati ampliada Veámoslo. Si * a b c a b c a b c a * a a b b b c c c d d d, los tes planos son coincidentes (son el mismo plano). Si * paalelo a ellos, los tes planos son paalelos o ha dos planos coincidentes no. Si *, los tes planos son secantes se cotan en na ecta, o ha dos coincidentes no secante a ellos.. Si *, los planos se cotan dos a dos o ha dos planos paalelos el teceo es secante especto a ellos. Si *, los tes planos son secantes se cotan en n pnto - -

13 Tema Ecaciones de ectas planos - - Veamos oto ejemplo Ejemplo Detemina la posición elatia de los sigientes planos El sistema fomado po ss ecaciones es La mati ampliada del sistema es * Calclemos el ango de de * sando deteminantes det,, det C C C Según esto, *. Como además no ha dos planos coincidentes podemos concli qe los tes planos se cotan en na ecta. * Resoliendo el sistema, qe es compatible indeteminado, obtenemos la ecta en la qe intesecan los tes planos E E E Ejemplo Detemina la posición elatia de los sigientes planos El sistema fomado po ss ecaciones es La mati ampliada del sistema es * Se compeba qe *. Como obiamente no ha dos planos paalelos, conclimos qe los tes planos se cotan dos a dos.

14 Matemáticas II FORM IMPLICIT DE L ECUCIÓN DE L RECT Según hemos isto, dos planos secantes en el espacio deteminan na ecta. Po ello, na ecta se indica mchas eces como intesección de dos planos secantes d c b a d c b a, * Estas dos ecaciones conjntamente se denominan edcaciones implícitas de la ecta. Paa escibi en foma implícita na ecta epesada en foma paamética, pimeo la pasamos a foma contina despés agpamos a la deecha los téminos de las dos igaldades Ejemplo Escibi en foma implícita la ecta de ecaciones paaméticas (a) Pimeo escibimos la ecta en foma contina. (b) hoa, desaollamos las dos ecaciones qe apaecen en la foma contina. 7 Ejemplo Compoba qe las sigientes ecaciones implícitas deteminan na ecta. Despés, escibi esta ecta en foma paamética. 7 (a) La mati ampliada del sistema es 7 * Obiamente *, po lo qe los planos son secantes deteminan na ecta. (b) Paa epesa la ecta en foma paamética debemos esole el sistema E E Llamando a despejando obtenemos la solción del sistema, qe constite la foma paamética de la ecación de la ecta

15 Tema Ecaciones de ectas planos.9 POSICIÓN RELTIV DE UN RECT Y UN PLNO Paa estdia la posición elatia de n plano na ecta coniene qe la ecta esté epesada en foma implícita, sí, la posición elatia de la ecta el plano, a b c d a b c d, a b c d se estdia mediante el sistema qe foman ss ecaciones a b c d a b c d a b c d Lo qe a s e iene dado po el ango de la mati de coeficientes la mati ampliada a b c a b c a b c a * a a Ha qe tene en centa qe, como las dos pimeas ecaciones deteminan na ecta, el ango de la mati es al menos. Veamos. Si *, la ecta está contenida en el plano b b b c c c d d d. Si *, la ecta es paalela al plano. Si *, la ecta cota al plano (es deci, el plano la ecta son secantes) Ejemplo Detemina la posición elatia de la ecta el plano El sistema fomado po las ecaciones de la ecta el plano es [ ] - -

16 Matemáticas II La mati ampliada del sistema es * Calclemos el ango de el de * sando deteminantes det Según esto, se tiene qe * C, C, C det, po lo qe la ecta el plano son paalelos. Ha de planos. Consideemos na ecta escita como intesección de dos planos a b c d a b c d Calqie plano qe contenga a debe se tal qe s ecación fome con las ecaciones anteioes n sistema compatible indeteminado. Es deci, la ecación del plano debe se na combinación lineal de las ecaciones de a b c d a b c d Si obtenemos el pimeo de los planos qe deteminan. En caso contaio, diidiendo ente haciendo / obtenemos a b c d a b c d Esta epesión se denomina ha de planos qe contienen a la ecta. Dando distintos aloes al paámeto obtenemos las ecaciones de los distintos planos qe contienen a. Ejemplo Calcla el plano qe pasa po el pnto P (,, ) contiene a la ecta, (Obseemos qe P no petenece a ningno de los dos planos qe deteminan ). (i) El ha de planos de es (ii) Calclamos de manea qe el plano esltante pase po el pnto P (,, ) ( ) ( ) ( ) ( ) / (iii) El plano es, po tanto - -

17 Tema Ecaciones de ectas planos NEXO POSICIÓN RELTIV DE DOS RECTS EN FORM IMPLÍCIT Ya sabemos detemina la posición elatia de dos ectas s cando están escitas en foma paamética, eamos ahoa cómo hacelo cando están epesadas en foma implícita. a b c d a b c d a b c d s a b c d Como siempe, consideemos el sistema fomado po las ecaciones de las ectas, a b c d a b c d a b c d a b c d estdiemos el ango de la mati de coeficientes de la mati ampliada a b c a b c a b c a b c a a * a a b b b b c c c c d d d d Notemos qe, como las ecaciones pimea segnda po n lado, tecea cata po oto, deben detemina sendas ectas, el ango de la mati debe se al menos.. Si *, las ectas son coincidentes (son la misma ecta). Si *, las ectas son paalelas. Si *, las ectas son secantes (se cotan en n pnto). Si *, las ectas se can en el espacio Ejemplo Detemina la posición elatia de las sigientes ectas s [...] - 7 -

18 Matemáticas II Veamos n último ejemplo Ejemplo Detemina la posición elatia de las sigientes ectas s Como siempe, escibamos el sistema coespondiente jnto con la mati ampliada * Se compeba qe * det sí, debe se *, po lo qe las ectas se can en el espacio. Pimeo epesemos la ecta s en foma implícita s hoa, escibamos el sistema fomado po las ecaciones de las dos ectas La mati ampliada del sistema es * Calclemos el ango de de * sando deteminantes. Se compeba qe * det Po tanto, *.Bscamos menoes no nlos sí, tenemos qe *, po lo qe las ectas son paalelas.

19 Tema Ecaciones de ectas planos EJERCICIOS DEL TEM El ecto de posición aplicaciones. Compeba en cada caso si los pntos están alineados (a),,, B,, C,,. (b),,, B,,,,. Encenta el pnto medio del segmento de etemos,,,,. Dados los pntos,, 9 B,, segmento B en cato pates igales. La ecación de la ecta B. C., encenta tes pntos P, Q R qe diidan al. Escibe de todas las fomas posibles la ecación de la ecta qe pasa po el oigen de,,. coodenadas tiene diección. Escibe de todas las fomas posibles la ecación de la ecta qe pasa po los pntos,, B 8,,.. Escibe de todas las fomas posibles la ecación de la ecta qe pasa po los pntos,, Q,,. P 7. Escibe en foma ectoial paamética las sigientes ecaciones de la ecta (a) 8. Compeba si el pnto,, (b) 8 P petenece a algna de las sigientes ectas (a) (b) s 9. Detemina los aloes de m paa qe los pntos m,,, B, m,,, alinea-dos halla las ecaciones de la ecta qe los contiene. estén. Calcla la ecación de la ecta paalela a 7 s qe pasa po,, P.. Estdia la posición elatia de las ectas t t t s s 7 s. Estdia la posición elatia de las ectas s - 9 -

20 Matemáticas II. Compeba qe las sigientes ectas se cotan. Despés, escibe ss ecaciones paaméticas calcla el pnto de intesección.. Estdia la posición elatia de las sigientes ectas s t t t La ecación del plano s. Encenta la ecación del plano deteminado po el pnto,,,,,,. los ectoes. Encenta la ecación del plano qe pasa po los pntos,,, B,,,, 8 C. 7. Escibe en fomas ectoial, paamética e implícita las ecación de los planos deteminados po los ejes de coodenadas. 8. Halla la ecación del plano qe pasa po el pnto,, ecaciones paaméticas,,. P contiene a la ecta de 9. Halla la ecación del plano qe contiene a la ecta pasa po el pnto P(,, ).. Compoba si los pntos,,, B, 7, 8, C,,,,. Compeba qe los pntos,,, B,,,, el plano deteminado po ellos. Vecto nomal a n plano D son coplanaios. C no están alineados encenta. Halla el plano qe pasa po el pnto,, tiene ecto nomal,, 8 n.. Halla la ecación del plano qe pasa po los pntos,,,, pependicla al plano.. Dados el plano la ecta Encenta la ecación geneal de n plano pependicla a qe contiene a. B es - -

21 Tema Ecaciones de ectas planos Posiciones elatias ente planos ectas. Estdia la posición elatia de los planos.. Compeba qe los sigientes planos se cotan en na ecta. Despés, calcla dicha ecta 7. Estdia la posición elatia de los planos 8. Consideemos los planos Detemina los paámetos a b 7 a, b R paa qe los planos sean paalelos. 9. Calcla la ecación del plano qe pasa po el pnto,, ecación.. Estdia la posición elatia de los sigientes planos es paalelo al plano de. Detemina el alo de k R paa qe los sigientes planos se coten en na ecta. Detemina la posición elatia de la ecta el plano. k,,. Detemina la posición elatia de la ecta el plano. Estdia la posición elatia de la ecta el plano, R. Dado el plano la ecta dada po la intesección de los planos Obtén la ecación del plano pependicla a, paalelo a, qe contiene al pnto P(,, ). - -

22 Matemáticas II - -. Estdia la posición elatia de las ectas 7 s 7. Estdia la posición elatia de las sigientes ectas, si es posible, calcla el plano qe las contiene 9 s 8. Sean las ectas a s Detemina a paa s estén sitadas en el mismo plano. Despés, encenta dicho plano. 9. Encenta el alo de m R paa qe las sigientes ectas sean secantes m s Despés, encenta el pnto de intesección. Vaios. Encenta la ecación del plano qe pasa po el oigen de coodenadas contiene a la ecta intesección de los planos. Detemina la ecta qe pasa po el pnto,,, es paalela al plano está en el mismo plano qe. Escibe la ecación contina de la ecta qe es paalela a los planos pasa po,, P.. (PEG Jnio -) Dados el plano la ecta t t at, t R (a) Detemina el paámeto a R paa qe la ecta el plano sean paalelos. (b) Paa el alo de a encontado, encenta las ecaciones paaméticas de na ecta paalela al plano qe cota pependiclamente a en el pnto,, P.

23 Tema Ecaciones de ectas planos - -. Sean las ectas (a) Detemina s posición elatia. (b) Compeba qe ss ectoes diectoes son pependiclaes. (b) Halla la ecación geneal de n plano qe contenga a sea paalelo a.. Halla las ecación de la ecta, poección otogonal de la ecta sobe el plano.. Considea las ectas t t b at s (a) Detemina los aloes de b a, R paa qe las ectas sean secantes pependiclaes. (b) Paa los aloes obtenidos, encenta el pnto de cote. 7. Dado el plano la ecta a (a) Encenta el alo del paámeto a R paa qe sean paalelos. (b) Paa el alo de a calclado, encenta el plano pependicla a qe contiene a. Selección de Ejecicios de PEG Jnio 9- Resea I 9-

24 Matemáticas II Septiembe 9- Resea I - Resea I - Resea II - Jnio - Jnio - - -