ÁNGULOS y DISTANCIAS entre RECTAS y PLANOS

Transcripción

1 ÁNGULOS y DISTANCIAS ente RECTAS y PLANOS MATEMÁTICAS II º Bachilleato Alfono González IES Fenando de Mena Dpto. de Matemática

2 1. PROBLEMAS DE ÁNGULOS ÁNGULO DE DOS RECTAS: Si la do ecta on paalela o coincidente (lo cal e fácil de detecta, pe, en tal cao, vectoe diectoe eán igale o popocionale) obviamente el ánglo qe foman eá ceo. Po tanto, no inteean do cao: Poyectamo na de ella hata qe ean ecante y e cotan y e czan Nótee qe en la do itacione el ánglo qe vamo a conidea e el meno poible qe foman la do ecta, y no plementaio (18º ). En ambo cao, el ánglo qe foman la do ecta e obtiene análogamente, ya qe coincidiá con el ánglo qe foman vectoe diectoe: co = El valo abolto del nmeado e neceaio paa qe el podcto ecala al qe afecta ea iempe poitivo y po tanto el ánglo obtenido ea agdo, ya qe pdiea oci qe lo do vectoe fomaan n ánglo obto, en cyo cao podcto ecala eía negativo. Ejecicio final tema: 1 y Ejecicio PAEG: 4A ept 11 (+ poición elativa) Ejecicio libo de ed. Anaya: pág. 187: 1; pág. 4 y.: 1, y ÁNGULO DE DOS PLANOS: Si lo do plano on paalelo o coincidente (lo cal e fácil de detecta, pe, en tal cao, vectoe nomale n eán igale o popocionale), evidentemente el ánglo qe foman eá ceo. Po tanto, lo ealmente inteeante e conidea qe lo do plano e cotan, en cyo cao el ánglo qe foman lo do plano coincidiá con el qe foman vectoe nomale n, como pede vee en la figa igiente. También aqí entendeemo po ánglo ente ambo el meno de ello, i.e. el agdo, y po lo tanto en la coepondiente fómla hay qe tene en centa el podcto ecala en valo abolto: n n n ' Vita de pefil n ' co = n n n ' n ' ' ' 1 Ve pág. 186 y 187 del libo de ed. Anaya. A ete ánglo lo llamamo diedo.

3 Ejecicio final tema: 3 y 4 Ejecicio PAEG: 4 B ept 3, 4 A ept 7 Ejecicio libo de ed. Anaya: pág. 4: 4 y ÁNGULO RECTA-PLANO: Si la ecta, o bien e paalela, o bien etá contenida en el plano, (lo cal e fácil de detecta, pe, en tal cao, el de la ecta y el ndel plano eán pependiclae, i.e. podcto ecala eá ceo), el ánglo qe foman eá evidentemente ceo. Po tanto, lo ealmente inteeante e conidea qe la ecta incide obe el plano. En tal cao, el ánglo bcado eá el complementaio del qe foman y. n, como pede apeciae en la figa igiente. Po conigiente, tilizaemo na fómla imila a la anteioe, peo en la qe inteviene el eno, ya qe hay qe ecoda qe el coeno de n ánglo e igal al eno de complementaio 3 : n 9º- en = n n Ejecicio: 5, 6 y 7 Ejecicio libo de ed. Anaya: pág. 187: ; pág. 4 y : 3 y 43. PROBLEMAS DE DISTANCIAS.1 d(p,): 4 Spongamo qe no dan n pnto P(x,y,z ) y qeemo obtene ditancia al plano de ecación Ax+By+Cz+D=. Éta eá igal a la ditancia ente P y P, poyección otogonal de P obe (ve figa), y vendá dada po la igiente fómla: P(x,y,z ) A(a,b,c) 9º n = (A,B,C) P d(p, ) = Ax + By A + B + Cz + C + D : Ax+By+Cz+D= 3 en =co(9º-) 4 Ve pág. 19 del libo de ed. Anaya.

4 Demotación 5 : Spongamo n pnto calqiea A(a,b,c) del plano ; entonce, en el tiánglo de la figa, e cmpliá qe: d(p, ) co = (1) AP Po ota pate, e el ánglo qe foman AP y n AP n co = () AP n ; po lo tanto, e cmpliá qe: Depejando d(p,) de (1) y tityendo co de () e obtiene: d(p, ) AP n (x a, y b, z c) (A,B,C) Ax + By + Cz aa bb cc = = = (3) n A + B + C A + B + C Ahoa bien, como el pnto A(a,b,c), qiee deci qe al titi la componente de A en la ecación del plano veificaá la ecación de éte, e deci: A(a,b,c) aa + bb + cc+ D = aa bb cc = D : Ax + By + Cz + D = y tityendo eto último en (3) obtenemo la fómla deeada. (C.Q.D) Obevacione: 1) Con eta fómla también e pede halla la ditancia ente do plano paalelo: bata con obtene n pnto calqiea de calqiea de lo do plano y halla ditancia, mediante la fómla anteio, al oto plano (ve pág. 191 del libo de ed. Anaya). ) Análogamente, la fómla obtenida también da centa de la ditancia ecta-plano 6 : en ete cao había qe ecoge n pnto abitaio de y aveiga ditancia al plano ( no al evé!). Ejecicio final tema: 8 a 16 Ejecicio PAEG UCL-M: 4B ept 7, 4A jn 6, 1B jn, 4B jn 3, 4A jn 5, 4B ept 8 [d(p,)] 4B jn 7, 4A ept 4 [d(,')] 4A jn 13, 4B ept 11 (con paámeto), B ept 97, 4A jn 4 [d(,)] Ejecicio libo de ed. Anaya: pág. 19: y 3; pág. 191: 4 y 5; pág. 4 y : 1, 11, 1, 13, 14, 4, 45, 48, 53 y 64 5 Pede vee na demotación altenativa en el libo de ed. Anaya, pág Obviamente, e obeentiende qe la ecta e paalela al plano (ya qe, i la ecta etá obe el plano, o lo cota, la ditancia evidentemente eía ceo). Ve pág. 191 del libo de ed. Anaya.

5 . d(p,): 7 Spongamo qe no dan n pnto P y qeemo obtene ditancia a na ecta dada. Éta eá igal a la ditancia ente P y P, poyección otogonal de P obe (ve figa), y vendá dada po la igiente fómla: A P β d(p, ) = PA x P Demotación 8 : En el tiánglo de la figa e cmple: d(p, ) co = (1) PA Po ota pate, po definición del módlo del podcto vectoial PA x, tendemo qe: PA = enβ () co = PA x Depejando d(p,) de (1) y tityendo co de () e obtiene la fómla qe bcamo. (C.Q.D.) Obevacione: 1) Nótee qe no podemo implifica el vecto PA, pe entonce módlo, y po tanto la ditancia, e veían modificado (no aí, pe apaece en nmeado y denominado) ) Con eta fómla también e pede halla la ditancia ente do ecta paalela: bata con obtene n pnto calqiea de calqiea de la do ecta y halla ditancia, mediante la fómla anteio, a la ota ecta (ve pág. 19 del libo de ed. Anaya). Ejecicio final tema: 17 a Ejecicio PAEG: 4A ept 1, 4B ept 1, 4B jn 13 (//), 4A ept 99, 4B ept 5 Ejecicio libo ed. Anaya: pág. 189: 1; pág. 5 y : 15 a 18, 49 y 6.3 Ditancia ente do ecta qe e czan: 9 La ditancia ente do ecta y qe e czan e la mínima ditancia ente ella, i.e. la ditancia ente lo do pnto R y S de máxima apoximación de amba ecta (ve figa). Viene dada po la igiente fómla: 7 Ve pág. 188 del libo de ed. Anaya. 8 Pede vee na jtificación imila de eta fómla en el libo de ed. Anaya, pág Ve pág. 19 y 193 del libo de ed. Anaya.

6 Ω S A h d(,) x d(, ) = [ A A,, ] x Ω R A Demotación 1 : Cando do ecta e czan, iempe e poible enconta endo plano, Ω y Ω, qe la contengan y qe ean paalelo (ve figa). La ditancia bcada eá entonce la mima qe la ditancia ente dicho plano. Po ota pate, ecodemo qe el volmen de n paalelepípedo como el de la figa, de aita definida po lo vectoe A, y venía dado po el módlo del podcto mixto de éto: A [ A A,, ] Vol = (1) Ahoa bien, el volmen de n paalelepípedo e igal al áea de la bae po la alta; éta última obviamente coincide con la ditancia qe bcamo, mienta qe el áea de la bae ea el módlo del podcto vectoial de lo do vectoe qe la foman, i.e. x. Po lo tanto: Vol = x h () = d(,) Po último, depejando h, e deci, d(,), de () y tityendo el valo del volmen de (1) e obtiene la fómla deeada. (C.Q.D.) Obevacione: 1) A A no e debe implifica. S R A A común x Ω Ω ) Podemo aplica la fómla anteio in conoce a pioi poición elativa: en cao de qe amba e coten el nmeado e anlaía 3) Exite n método altenativo paa halla eta ditancia, qe conite en halla la ecación de no de lo do plano, Ω o Ω, y halla la ditancia de n pnto calqiea de la ota ecta a dicho plano (ve ejemplo eelto de eta foma en pág. 19 del libo de ed. Anaya). 4) A vece también e pide la pependicla común de do ecta qe e czan i.e. la ecta qe cota a amba pependiclamente, y qe, lógicamente (ve figa), coincide con la ecta qe ne lo do pnto R y S má póximo de amba ecta. S obtención e my encilla en foma implícita, como inteección de do plano y, definido aí: 1 Pede vee la mima demotación en la pág. 19 del libo de ed. Anaya.

7 : ': { A,, x } { A,, x } Plano a Ω y qe contiene a Plano a Ω y qe contiene a 5) Exite, ademá, n tece método paa halla tanto la ditancia ente la do ecta qe e czan como la pependicla común, conitente en calcla peviamente lo do pnto R y S de máxima apoximación de amba ecta (ve figa) mediante podcto ecala (ve ejemplo eelto de eta foma en pág. 193 del libo de ed. Anaya). Ejecicio final tema: 3 a 8 Ejecicio PAEG: B jn 3 (+ pto. máx. apox.), B jn 1 A ept 99 (+ común), B jn 97, 4B ept 4 (+ ánglo,) Ejecicio libo de ed. Anaya: pág. 193: 6 y 7; pág. 5 y : 19 a, 34, 35, 5 y WEB RECOMENDADOS RELACIONADOS CON EL TEMA: En la ed hay extena coleccione de co y poblema de Geometía, eelto eto último de foma my claa y fácil de entende: Peo la página má inteeante e la igiente, del pogama Decate, qe no pemite, ente ota coa, epeenta en el epacio plano, y vaialo en fnción de paámeto: 4. CUADRO RESUMEN DE FÓRMULAS DE DISTANCIAS: PUNTO Q(x 1,y 1,z 1 ) RECTA :{ A, } PLANO : Ax+By+Cz+D= PUNTO d(p, Q) = PQ = P(x,y,z ) = (x x ) + (y y ) + (z z ) PA x d(p, ) = (1) d(p, ) = Ax + By A () + B + Cz + C + D // : Coge n pnto calqiea de na de ella y halla ditancia a la ota, mediante (1) RECTA :{ A, } PLANO y e czan: d(, ) = : común : ': [ A A,, ] x { A,, x } { A,, x } Coge n pnto calqiea de la ecta y halla ditancia al plano, mediante () Coge n pnto calqiea de calqiea de lo do plano y halla ditancia al oto plano, mediante ()

8 5. CUADRO RESUMEN DE FÓRMULAS DE ÁNGULOS: RECTA PLANO n RECTA co = en = n n PLANO co = n n n' n n '

9 3 EJERCICIOS de ÁNGULOS y DISTANCIAS º BACH. Poblema de ánglo: x + 1 y 1. Halla el ánglo qe foman la ecta : = = z 3 1 y : y - z + 5 x = = 1 (Solc: 6 ) y + 1. Detemina m paa qe la ecta : x 1= = z y : x + y z + = = 7 3 m ean pependiclae. (Solc: m=-1) 3. Halla el ánglo qe foman lo plano x+y-z=3 y x-y+3z= (Solc: 71º) 4. Dado lo plano 3x-y+5z-= y kx+7y+z=, halla el valo de k paa qe ean pependiclae. (Solc: k=3) x 1 5. Halla el ánglo fomado po el plano : x+y-z-3= y la ecta : = y = z + 1 (Solc: 3º) 6. (S) Halla el ánglo fomado po el plano : x+3z= y la ecta : x-y+3z= (Solc: 8º) x+9y+8= 7. (S) Halla el ánglo fomado po la ecta : 3x+y-z= y el plano : x+3y-z+5= (Solc: º) x-y+z= d(p,): 8. Halla la ditancia del pnto A(1,,5) al plano : x+y-z-5= (Solc: 4/3) 9. Halla la ditancia del plano : x+y-z-3= al plano ': 4x+y-z-7= (Solc: 6/1) 1. (S) Demota qe el pnto A(-1,1,) no e coplanaio con lo pnto B(,,), C(,1,) y D(1,,1) y halla la mínima ditancia del pnto A al plano deteminado po B, C y D. (Solc: /) x 1 y 1 z 11. (S) Dada la ecta : = = 3 1 y : x y z + 1 = = 3 3 a) Halla la ecación geneal del plano qe contiene a y e paalelo a. (Solc: 9x-y+15z-8=) b) Detemina la ditancia de al plano. (Solc: 5/ 37) 1. (S) Calcla el valo de c paa qe la ecta : 3x-y+z+3= ea paalela al plano : x-y+cz-= 4x-3y+4z+1= Paa el valo de c obtenido, calcla la ditancia ente y. (Solc: c=-; 7/3) 13. (S) Dado el plano : x-y+z-3=, halla n pnto P de la ecta : x=3+t de manea qe la ditancia de P al plano ea 1. y=--3t (Solc: hay do olcione: P(8/3,-1,-4/3) y P'(,1,-)) z=-1+t

10 x y + 1 z 14. (S) Calcla la coodenada de n pnto de la ecta : = = qe eqidite de lo plano : 3 3x+4z-1= y ': 4x-3z-1= (Solc: hay do olcione: (,-4,) y (1/4,-9/8,1/4)) 15. (S) Halla la ecación del plano paalelo al de ecación x-y+z-8= y qe dite ei nidade del mimo. (Solc: hay do olcione: x-y+z+1= y x-y+z-6=) 16. (S) Enconta la ecación del plano paalelo al de ecación x+y+z=1, deteminado po la condición de qe el pnto A(3,,1) eqidite de ambo. (Solc: x+y+z=11) d(p,): 17. Halla la ditancia pnto-ecta en lo igiente cao: a) (S) P(3,4,5) b) (S) P(1,3,-1) y + z + 5 : x + 1= = : x-y= 1 x+y-z= (Solc: 146 ) (Solc: 31 3 ) 18. (S) Calcla la ditancia del pnto P(1,-3,1) a la ecta x+y-z+3= (Solc: 6/3) 3x+y+z-1= 19. (S) Se conidean la ecta : x= y el pnto P(3,4,1). Halla el plano qe contiene a la ecta y=4z y al pnto P. Calcla la ditancia de P a. (Solc: y-4z=; 3). (S) Se conidea la ecta : x-= y el pnto P(,1,3). Se pide: y+3= a) Halla la ditancia de P a. (Solc: 5) b) Detemina el plano qe paa po el pnto P y contiene a la ecta. (Solc: x+y-1=) 1. (S) Dado en el epacio lo pnto A(1,1,), B(,1,1), C(1,,1), D(,1,1), calcla: a) El áea del tiánglo ABC (Solc: 3/ ) b) La ditancia del pnto A a la ecta CD (Solc: 6/ ). (S) Dado el tiánglo de vétice A(1,1,1), B(,3,5) y C(4,,), halla áea y la longitde de te alta. (Solc: áea= 3 ; h A= , h B= 3 11, h C= 3 1 ) Ditancia ente ecta qe e czan. Pependicla común: 3. Halla la ditancia ente la ecta : x + 3 y 9 z = = 8 3 y : x -3 z 1 = y = (Solc: 3) 4. (S) Ecibi la ecacione de la pependicla común a la ecta : x=y=z y : x=y=3z-1 Solc: x+y-z= x+y-6z+=

11 5. (S) Se conidean la ecta : x-= y : x-z=1 Se pide: y+3= y+z=3 a) Etdia la poición elativa de y (Solc: e czan) b) Halla la mínima ditancia ente amba (Solc: 11 5/5) x 4 y 4 6. (S) Dada la ecta : = = z y : x=-1-t halla la ecacione de la ecta qe la 4 y=3+t. cota pependiclamente z=1+t Solc: x+y-= 3x-y-z-4= 7. (S) Dada la ecta : x 1 y + z = = 1 y : x + y 3 z = = a) Etdia poición elativa en el epacio. (Solc: e czan) b) Halla la ditancia ente ella. (Solc: 51/ 37) x 4 8. (S) Dada la ecta : = y 4 = z y : x=-+3t y=3 z=1+t a) Compoba qe la do ecta e czan b) Detemina n pnto A de la ecta y n pnto B de la ecta de manea qe el vecto qe ne A y B ea pependicla a la ecta y. (Solc: A(4/11,43/11,-1/11) y B(3/11,3,9/11)) Ditancia ente do pnto: 9. (S) Enconta lo pnto itado a ditancia cinco del oigen y peteneciente a la ecta qe paa po A(1,,5) y B(6,5,6). (Solc: (3/7,9/7,4/7) y (,7/5,4/5)) 3. (S) La ditancia del pnto P(1,,3) a oto A del eje de abcia e 7. Halla la coodenada del pnto A (Solc: hay do olcione: A(7,,) y A (-5,,)) 31. (S) Halla el pnto del plano x+y+z=1 qe eqidita de lo pnto A(1,-1,), B(3,1,), C(1,1,) (Solc: (4,-,-1)) 3. (S) Enconta en la ecta qe paa po lo pnto A(-1,,1) y B(1,,3) n pnto tal qe ditancia al pnto C(,-1,1) ea de te nidade. (Solc: hay do olcione: (,1,) y (-/3,1/3,4/3))