Autoevaluación. Bloque II. Geometría. BACHILLERATO Matemáticas II. Página 200

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Autoevaluación. Bloque II. Geometría. BACHILLERATO Matemáticas II. Página 200"

Julián Aguilar Quiroga
hace 6 años
Vistas:

1 Boque II. Geometía Autoevauación Página Detemina todo o vectoe de móduo que on otogonae a o vectoe u(,, ) y v (,, ). Lo vectoe pependicuae a o do vectoe a a vez on popocionae a poducto vectoia de ambo. w (,, ) (,, ) (,, ) w Lo vectoe que bucamo on: w (,, ) y w (,, ) Dado o vectoe u(,, ), v (,, ) y w (,, ), cacua: a) E áea de paaeogamo deteminado po v y w. b) E ánguo que foman u y v. c) E voumen de paaeepípedo que foman u, v y w. a) Áea v w v w (,, ) (,, ) (,, ) Áea 9+ 9 u b) co ( % uv, ) u v u v % ( uv, ) ac co e o π ad c) V u (,, ) (,, ) Dado o punto P (,, ), Q (5,, ) y R (,, ): a) Haa a ecta que paa po P y Q. b) Haa e pano que contiene a P, Q y R. c) Haa a ditancia ente P y Q. a) PQ (,, ) : x + y z b) PR (,, ) PQ PR (,, ) (,, ) (,, 5) π π: (x ) + (y ) 5(z ) x + y 5z c) dit (P, Q ) + + u

2 Boque II. Geometía Haa a ecuación de pano pependicua a egmento de extemo A (,, ) y B (,, ) y que paa po e punto medio de dicho egmento. Punto medio: M d+,, + n (,, ) Vecto noma a pano: AB (,, ) (,, ) (,, ) La ecuación de pano bucado e: (x ) (z ) π: x z + 5 Cacua e áea de tiánguo cuyo vétice on o punto de cote de pano x + y + z con o eje de coodenada. Punto de cote: P π OX (,, ) Q π OY (,, ) R π OZ (,, ) PQ (,, ) (,, ) (,, ) PR (,, ) (,, ) (,, ) Áea tiánguo PQ Ò PR (,, ) Ò(,, ) (,, ) 9 u Haa a ecuación de a ecta que cota pependicuamente a eje Z y paa po e punto P (,, ). E vecto diecto de, e de eje Z y e que une P con un punto de eje Z deben e copanaio. Q (,, ) P (,, ) a b c v z (,, ) a b Ademá, vz d (,, )(a, b, c) c E vecto diecto de e de a foma (,, ). Po tanto, (x, y, z) (,, ) + λ(,, ) 7 Conidea a ecta iguiente: x y x : y : ax z + by y + z a) Detemina o vaoe de a y b paa que y ean paaea. b) Exiten vaoe de a y b paa que a ecta ean coincidente? : d (,, ) Ò (, a, ) (,, a) P : (,, ) d (, b, ) Ò (,, ) (, b, ) P (,, ) a) d k 8 a d 8 b a b b) PP (,, ) Paa que ean coincidente, neceitamo PP k 8 d b La coodenada no on popocionae paa ningún vao de b, uego no exiten vaoe de a y de b paa o cuae a ecta on coincidente.

3 Boque II. Geometía x y 8 Sean a ecta : x y z y :. x z a) Compueba que y e cuzan. b) Haa a ecuación de a ecta que cota pependicuamente a a ecta y. : d (,, ) : P (,, ) d (,, ) Ò (,, ) (,, ) P (,, ) a) PP (,, ) La ecta e cuzan. b) Vecto pependicua común: w (,, ) (,, ) (,, ) π: pano que contiene a y a a diección w : x y z π: x y + z π': pano que contiene a y a a diección w : x y z π': x y + z + La ecta pedida, t, e: x y+ z t : x y+ z + x z 9 Conidea a ecta : y : x x + y + z y + z. a a) Etudia u poición eativa egún o vaoe de a. b) Cacua e ánguo que foman en e cao a. d (,, ) Ò (,, ) (,, ) d (, a, ) : : P (,, ) P d,, n a) an e o a La ecta e cuzan o e cotan paa cuaquie vao de a, peo nunca eán paaea. PP,, d n A a / f p A Si a a / an (A) La ecta e cuzan. a + a Si a an (A) La ecta e cotan. \ \ d d (,, ) (,, ) \ b) co (, ) co ( u,v) 8 (, ) π ad d d La ecta on pependicuae.

4 Boque II. Geometía a) Haa a ecuacione impícita de a ecta que paa po A (,, ) y e paaea a : 5x y + z. x + y z + b) Cacua a ditancia de punto P (,, ) a. a) Cacuamo e vecto diecto de, d. d (5,, ) (,, ) (,, 8) Como on paaea, d // d d (,, ) Entonce, : x y + z + b) : 5x y+ z x, y 7, z x + y z + dit (P, ) PP Ò d d d,, (,, ); P, 7 d n, d n PP,, d n PP Ò d,, Ò(,, ), 9 d n d, n dit (P, ) u Haa a ecuación de pano que paa po e punto P (,, ), e paaeo a a ecta x y : y e pependicua a pano α: x y + z +. z (,, ) (,, ) (,, ) // (,, ) d Sea π e pano bucado y n u vecto noma. Entonce: π // d n π σ n (,, ) Po tanto, n (,, ) (,, ) (,, ) Ecuación de π: (x ) (y ) (z + ) x y z 5 Conidea e pano π: x + y z y e punto P (,, ). Obtén: a) E punto Q de pano π ta que a ecta deteminada po P y Q ea pependicua a pano π. b) Lo punto R de a ecta tae que a ditancia de R a π ea e dobe que a ditancia de P a π. a) : ecta pependicua a π que paa po P. : x + y + z

5 Boque II. Geometía Q debe e a inteección de pano π y a ecta pependicua a π que paa po P : Q π ( + λ) + ( + λ) ( λ) λ Q (,, ) b) dit (P, π) 8 dit ( R, π) dit (R, π) ( + ) + ( + ) ( ) Hay do oucione: R (,, ), R (,, ) Haa a ecuación de a ecta que etá contenida en e pano α: x + y + z, e paaea a pano β: x y que paa po e punto imético de P (,, ) epecto de β. Sea M : β con β que paa po P. x + : y z + λ λ M (,, ) P': imético de P epecto de β M e punto medio de P y P'. P' (x, y, z) M x y + e,, z + o (,, ) P' (,, ) Lo pano paaeo a β on: x + k La ecta pedida tiene como ecuacione impícita: x + y+ z : x + k Paa cacua k tenemo que tene en cuenta que P : x + y+ z + k k : x Dada a ecta: : x x + y + z + m y z y : ) x z + cacua m paa que etén en e mimo pano. x ( / ) y : z 8 d (,, ) : d (,, ) Ò (,, ) (, 7, ) Evidentemente, a ecta no on paaea. Veamo cómo ha de e m paa que e coten. 5

6 Boque II. Geometía Conviene expea cada una de a do ecta como inteección de do pano. Obigamo a que o cuato pano tengan agún punto común: x z 8 x z x + y+ z m : : ) y z 8 y+ z x z Paa que e itema tenga oución, e neceaio que e deteminante de a matiz ampiada ea ceo. m 8; m 8 m m Si m, a do ecta e cotan. Po tanto, etán en un mimo pano. 5 Dado a ecta y e pano iguiente, haa a ecuación de un pano paaeo a β que dite unidade de a ecta : x 5y : β: x y z + x + 5z + 7 Lo pano π paaeo a β on: x y z + k. x 5y : x 5λ 7, y λ, z λ x + 5z + 7 : d ( 5,, ) P ( 7,, ) ( 5,, ) (,, ) // β dit (, π) dit (P, π) k + k + k 8 k + k 8 k Hay do oucione: π x y z +, π x y z x + y Haa un punto de a ecta x y z ta que u ditancia a : ea igua a unidad. z x d (,, ) Ò (,, ) (,, ) : y P (λ, λ, λ) : P (,, ) z dit (P, ) PP Ò d d PP (,, ) PP Ò d (,, )Ò(,, ) (,, ) dit (P, ) ( ) ( ) PP Ò d ( ) dit (P, ) λ λ P (λ, λ, λ) (,, )

7 Boque II. Geometía 7 Cacua a ecuacione de a ecta ' abiendo que e a poyección otogona de a ecta: x : y + obe π: x y + z +. z La ecta ' e inteección de do pano: e π y un pano α que contiene a y e pependicua a π. Un vecto noma a α e pependicua a vecto diección de y a vecto noma a π. Po tanto: (,, ) (,, ) (,, ) // (,, ) n; n α (,, ) α a α: (x ) (y + ) (z ) x y z + La ecta e ' x y z + x y+ z + ' π 8 Dada a efea x + y + z x + y 9, haa: a) Su cento y u adio. b) La ecuación coepondiente a pano tangente en e punto P (,, 7). a) Cento: C (,, ) Radio: 7 b) (,, 7) petenece a a upeficie eféica? Sí petenece, pue cumpe a ecuación. (También podíamo habe compobado que dit (P, C ) 7). E vecto CP e pependicua a pano tangente, π: CP (,, 7) // (,, ), pependicua a π. Ecuación de pano tangente a a efea en e punto P e: π: (x ) + (y + ) + (z 7) z 7 7

Documentos relacionados

Unidad 12: Posiciones y Métrica en el espacio.

Unidad 12: Posiciones y Métrica en el espacio. Unidad 12: Poicione y Mética en el epacio. 1) Poicione elativa en el epacio: a) De un punto con ecta y plano: a1) Un punto A petenece a una ecta i cumple u ecuacione geneale, en cao contaio e dice que