RELACION DE ORDEN: PRINCIPALES TEOREMAS

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1 RELACION DE ORDEN: PRINCIPALES TEOREMAS Sean a, b, c y d númeos eales; se tiene que:. Si a < b c < d a + c < b + d. Si a 0 a > 0 3. Si a < b -a > -b 4. Si a > 0 a - > 0 ; si a < 0 a - < 0 5. Si 0 < a < b a - > b - > 0 ; si a < b < 0 0 > a - > b - 6. ab > 0 (a > 0 ^ b > 0)v (a < 0 ^ b < 0) 7. ab < 0 (a > 0 ^ b < 0)v (a < 0 ^ b > 0) 8. si a 0 y b 0 entonces a b a b 9. si b > b x < b y x < y 0. si 0 < b < b x < b y x > y. si b > 0 a < b - b < a < b. si b 0 a > b a > b a < - b 3. a 0, a < a < b 0 < a < b 5. a < b a 0 ^ [ b>0 ^ a < b ] 6. a > b {a 0 ^ [ b< 0 ( b 0 ^ a > b ) ] } 7. si b > 0, a < b -b < a < b 8. a > b a > b a < -b 9. a b a b a b 0. a b a b. si : a x b 0 x max. a, b a : máximo enteo de a, a R. a n n a n ; n 3. a a a 4. a p a p p 5. n :i) a n n a n ii) a n a n ; iii) a n a n; iv) a n a n 6. a a a, a R Página UNMSM

2 CONJUNTOS ACOTADOS Paa un conjunto no vacío de númeos eales, tenemos las siguientes definiciones:. Se dice que un conjunto A está acotado supeiomente si existe un númeo eal M con la popiedad de que : x M, xa. Se dice que el conjunto A está acotado infeiomente si existe un númeo eal m con la popiedad de que : x m, xa 3. Si el conjunto A está acotado supeiomente e infeiomente, entonces se dice que está acotado. Los númeos eales M y m son llamados cotas del conjunto A y pueden se o no elementos de A. 4. Si A es un conjunto acotado supeiomente y si M 0 es una cota supeio de A la cual es meno o igual a cualquie ota supeio, entonces M 0 ecibe el nombe de meno cota supeio o supemo de A. Se denota po: M 0 = Sup(A). 5. Si A es un conjunto acotado infeiomente y si m 0 es una cota infeio de A la cual es mayo o igual a cualquie ota cota infeio, entonces m 0 ecibe el nombe de mayo cota infeio o ínfimo de A. Se denota po: m 0 = inf(a). Obsevaciones:. si M es una cota supeio de A y M A, entonces se dice que M es máximo de A.. si m es una cota infeio de A y m A, entonces se dice que m es mínimo de A. 6. Axioma del supemo.- todo conjunto no vació de númeos eales que es acotado supeiomente tiene supemo. Análogamente, todo conjunto no vació de númeos eales que es acotado infeiomente tiene ínfimo. Página UNMSM

3 LUNES ) Halla los valoes eales de paa los que el conjunto solución de la siguiente ecuación no este contenida en : ( + 5 )x² + 3x 4( - 5) = 0 ) Halla los valoes eales de x que satisfacen la ecuación: x - 3 x 9 3) Resolve : x² 3x x x x 4) Resolve : 3 x² x ² x³ 3x x 4³ x³ 8x² 4x ) Resolve : x x 6) Resolve : x ² 4x 3 x² 7x 7) Resolve : x ² 4x 3 x 8) Resolve : x ² 4x 3 x 3 9) Resolve : x 6 x 6 0) Resolve : 3 x 3 x 3 ² 5 x x ² x 4 ) Resolve : x 4 x x 5 ) Resolve : x 3 5 x 4. x x x 6 3) Halla el meno númeo eal m con la popiedad de que : - 4x x² m, x 4) Halla el meno valo de m que satisfaga la desigualdad : x m, si : x 4,7 x Página 3 UNMSM

4 GEOMETRÍA ANALÍTICA. PLANO CARTESIANO DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 4.. Sean P (x, y ) y P (x, y ) dos puntos en el plano. La distancia ente los puntos P y P está dada po: d =d(p,p )= (x - x ) (y - y ) DIVISIÓN DE UN SEGMENTO Sean A(x, y ) y B(x, y ) dos puntos en el plano. Si P(x, y) divide al segmento AB en la azón = AP >0, PB entonces x x x CONSECUENCIAS y y y ) Punto medio de un segmento Si M(x, y) es el punto medio del segmento de extemos A(x, y ) y B(x, y ), entonces x = x + x y + y y = ) Baicento de un tiángulo Si A(x, y ), B(x, y ) y C(x 3, y 3 ) son los vétices de un tiángulo, el baicento G(x,y) del tiángulo ABC x + x + x y + y + y es G, 3 3. LA RECTA 3 3 PENDIENTE DE UNA RECTA La pendiente de la ecta L es A P B (x, y) (x,y ) (x,y ) m tg y x y x Página 4 UNMSM

5 FORMAS DE ECUACIONES DE LA RECTA a) Foma punto pendiente. La ecta que pasa po el punto dado P (x, y ) y tiene la pendiente dada m tiene po ecuación y y = m(x x ) b) Foma pendiente odenada. La ecta cuya pendiente es m y cuya odenada en el oigen es b tiene po ecuación y = mx + b c) Foma simética. La ecta que pasa po los puntos (a, 0) y (0, b) con a 0 y b 0, espectivamente, tiene po ecuación x a y b d) Foma geneal. La foma geneal de la ecuación de una ecta es Ax By C 0 A m B 3. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES Dadas dos ectas no veticales L y L, de pendientes m y m espectivamente. A L : Ax By C 0 ; m B L : A Ax By C 0 ; m B Se tiene: L // L m = m L L m. m = Página 5 UNMSM

6 VECTORES Se define al vecto a, como la n upla a ( a, a, a,..., a n ), siendo las componentes a i númeos eales paa i,,..., n. Esta caacteizado poque posee módulo (longitud), diección (ecta de aplicación) y sentido (la cabeza de flecha). En el plano: Es el pa odenado a ( a, a ). Gáficamente se epesenta en el plano, mediante un segmento de ecta diigido o flecha, que tiene un punto de patida y un punto de llegada. Y P a P X Tal que: a PP P P Donde: P P punto de patida o inicial Punto de llegada o final En el espacio: Es la tena odenada a ( a, a, a3). Gáficamente se epesenta en el SCR, mediante un segmento de ecta diigido o flecha, que tiene un punto de patida y un punto de llegada. Z P Tal que: a PP P P P Y Donde: P P punto de patida o inicial Punto de llegada o final X. LONGITUD DE UN VECTOR (MÓDULO O NORMA) Paa halla el módulo ó noma de un vecto a ( a, a, a,..., a n ) se aplica: a a a a a 3... n Nota. ) Un vecto fijo es un vecto que tiene un punto fijo de aplicación. ) Un vecto libe es un vecto que puede tasladase paalelamente a ota posición consevándose su longitud y sentido.. LINEALIDAD DE VECTORES SUMA DE VECTORES Fomalmente la suma es: a b (a,a,...,a ) (b,b,...,b ) a b,a b,...,a b n n n n Página 6 UNMSM

7 PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR a (a,a,...,a ) a, a,..., a Fomalmente la suma es: n n 3. VECTOR UNITARIO o VERSOR Si el vecto a es no nulo, el vecto unitaio en la diección de a esta a dado po e a a 4. VECTORES PARALELOS Y PERPENDICULARES Vectoes paalelos Dos vectoes a y b no nulos, son paalelos, si uno de ellos es múltiplo escala del oto: a // b a b a // b a b 0 a b a b 0 Nota. El vecto nulo 0 es paalelo a todo vecto: 0 // a a // 0. Vectoes pependiculaes b 90 a Vecto otogonal a Dos vectoes a y b son pependiculaes si foman ente ellos un ángulo de 90, y se cumple que: ab a b 0 Dado el vecto a a, a ) ( otogonal a: a ( a, a ) tal que a a a a 0 se define como a CIRCUNFERENCIA a Es el luga geomético de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado cento y a la distancia constante se le llama adio. Página 7 UNMSM

8 ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA ECUACION ORDINARIA Cento: (h;k) Radio: Aplicando la fómula de distancia ente dos puntos PC x h y k x h y k 0 Y ( ) h k ; ( ) x y ; X Elevando al cuadado x h y k Esta es la ecuación de la cicunfeencia con cento C(h,k) y adio > 0. ECUACIÓN CANÓNICA Cento: (0;0) Radio: x y 0 Y X ECUACIÓN GENERAL C: x y Dx Ey F 0 D E D E 4F C: x y 4 Existe cicunfeencia, si D² + E² 4F > 0. Su cento y su adio es: D E C,, D E 4F CONDICIÓN DE TANGENCIA y O C(h, k) P(x, y) La ecuación de la cicunfeencia C y una ecta tangente L T a C foman un sistema de ecuaciones que lleva a la ecuación cuadática ax² + bx + c = 0. Se cumple que y x =b² 4ac = 0 (condición de tangencia) C(h, k) P(x, y ) O x Página 8 UNMSM

9 LUNES ) El punto A = (-,6) es uno de los vétices del cuadado ABCD 3 5 cuyo cento es el punto,. Halla los vétices B,C y D. ) Sean A, B = (3,) y C = (4,) puntos colineales difeentes. Si x R y A + B = xc + x²b, halla A y x. x es único? 3) Sea ABCD un ectángulo, una de cuyas diagonales tiene po extemos A = ( 3,4 ) y C = ( 9,6 ). Si los lados de mayo longitud son paalelos al vecto (, ), detemina los vétices B y D. 4) sea L una ecta hoizontal que intecepta a L en el punto (3,4).Halla la ecuación de L, sabiendo que su pendiente es negativa y que el áea del tiángulo fomado po las ectas y el eje Y es 0u². 5) Halla la ecuación geneal de ecta de meno pendiente que hace un ángulo agudo de 5 con la ecta x-y =, sabiendo que pasa po el punto (,- ). 6) Halla la ecuación de la cicunfeencia tangente a la ecta: x +3y = en el punto (-,) y que pase po el punto (3,5). 7) Halla la ecuación de la cicunfeencia C cuyo cento se encuenta sobe la ecta y = 4x, si las longitudes de los 7 segmentos que detemina sobe el eje X y el eje Y son y 4 espectivamente. 8) Sean los vectoes a = (,-,3 ) y b = ( 4, -, ). Expesa a como la suma de un vecto paalelo a b y un vecto otogonal a b. 9) Halla dos vectoes a y b otogonales ente si y otogonales al vecto c = (,-,3),tales que sus pimeas componentes sean iguales y sus teceas componentes de igual magnitud, peo de signo contaio. 0) Halla el áea del cuadiláteo cuyos vétices son los puntos : ( 4,0, ), ( 5,,3 ), ( 3,,5 ) y (,,3 ). ) Identifica y gafica la cónica epesentada po la ecuación: ) y² -6x + 6y + 5 = 0; ) 3y² - 4x + y +6 = 0 3) 8x²+9y²+4x+ y+0 = 0 ; 4) 6x² +9y² - 64x +8y 7 = 0 5) 9x²-4y²-8x 4y+44 = 0; 6) 4y² - 6x² - 48x 4y + = 0. ) Discuti y gafica la ecuación: ) xy² + xy x = 0 ; ) x³ - xy² +y² = 0 Página 9 UNMSM