Plano Tangente a una superficie
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- María Cristina Jiménez Cárdenas
- hace 7 años
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1 Plano Tangente a una supeficie
2 Plano Tangente a una supeficie
3 Sea z f ( una función escala con deivadas paciales continuas en (a b del dominio de f. El plano tangente a la supeficie en el punto P( a b f(a b es el plano que pasa po P contiene a las ectas tangentes a las Plano Tangente a una supeficie po P contiene a las ectas tangentes a las dos cuvas a f z C ( : 1 b f z C ( :
4 Plano Tangente a una supeficie
5 Ecuación del Plano tangente Diección de un vecto tangente a C 1 en P u ( 10 f ( a b Diección de un vecto tangente a C en P v ( 01 f ( a b
6 Ecuación del Plano tangente Diección de un vecto nomal del plano tangente a la supeficie en P es: k j i ( 1 ( ( b a f b a f n ( 1 0 ( 0 1 b a f b a f v u n
7 Ecuación del Plano tangente Punto po donde pasa el plano: P( a b f ( a b Punto genéico del plano: X ( z Ecuación nomal del plano: n ( X P 0 f ( ( 0 ( ab ( a + f ( ab ( b z f ab
8 Recta nomal a una supeficie Sea una función escala con deivadas paciales continuas en (a b del dominio de f. La ecta que pasa po el punto P( a b f (a b en la diección del vecto n ( ( ( 1 f ab f ab se conoce como ecta nomal a la supeficie en el punto P.
9 Ecuación de la ecta nomal ( ( b a f b a P Punto po donde pasa la ecta: Punto genéico de la ecta: ( z X Ecuación simética de la ecta nomal: 1 ( ( ( b a f z b a f b b a f a Diección de la ecta: ( 1 ( ( b a f b a f n
10 Plano Tangente ecta nomal a una supeficie Sea S una supeficie de ecuación dada po: F( z 0 Sea P (a b c un punto de S Sea C una cuva contenida en S que pasa po P definida po la función vectoial ( t ( t i + ( t j + z( t k
11 Plano Tangente ecta nomal a una supeficie Entonces F sobe los puntos de la cuva vale: ( ( ( t z( t 0 Ft Si F es difeenciable eisten las deivadas de z con especto a t de la egla de la cadena se sigue : F t ( 0
12 Plano Tangente ecta nomal a una supeficie F (t t F F (t t F z z z (t t
13 Plano Tangente ecta nomal a una supeficie ( 0 ( ( ( ( ( ( t z z F t z F t z F t F z En el punto (a b c epesado en foma vectoial seía: 0 ( ( 0 t c b a F Gadiente Vecto tangente a la cuva
14 Plano Tangente ecta nomal a una supeficie El gadiente en P es otogonal al vecto tangente de toda cuva contenida en S que pase po P. Todas las ectas tangentes en P están en un plano que es nomal al gadiente de F en P contiene a P. F( a b c ( t 0 0 Gadiente Vecto tangente a la cuva
15 Plano Tangente ecta nomal a una supeficie Sea F difeenciable en un punto P (a b c de la supeficie S dada po: F( z 0 con F( a b c 0 El plano que pasa po P es nomal a F ( a b c se llama el plano tangente a S en P. La ecta que pasa po P en la diección de F( a b c se llama la ecta nomal a S en P.
16 Ecuación del plano tangente a una supeficie F Sea F difeenciable en un punto P (a b c una ecuación del plano tangente a la supeficie S dada po en (a b c es F ( z 0 ( abc ( a + F ( abc ( b + F ( abc ( z c 0 z
17 Ecuación de la ecta nomal a una supeficie Sea F difeenciable en un punto P (a b c una ecuación de la ecta nomal a la supeficie S dada po en (a b c es 0 ( z F ( ( ( c b a F c z c b a F b c b a F a z
18 z Plano tangente a un paaboloide 4
19
20 Etemos absolutos etemos elativos
21 Etemos absolutos Sea f ( una función de dos vaiables definida continua en una egión ceada acotada D del plano Eiste al menos un punto en D donde f alcanza un valo mínimo. Eiste al menos un punto en D donde f alcanza un valo máimo. f ( a b f ( f ( c d Mínimo absoluto de f en D Máimo absoluto de f en D
22 Mínimo absoluto
23 Etemos elativos Sea f ( definida continua en una egión D que contiene el punto (a b La función f tiene un mínimo elativo en (a b si f ( f ( a b paa todo ( en un disco abieto que contiene a (a b.
24 Etemos elativos Sea f ( definida continua en una egión D que contiene el punto (a b La función f tiene un máimo elativo en (a b si f ( f ( a b paa todo ( en un disco abieto que contiene a (a b.
25 Puntos cíticos Sea f definida en una egión abieta D que contiene a (a b. El punto (a b es un punto cítico de f si en él se da alguna de estas cicunstancias: 1. ( a b 0 ( a b 0 f f. f ( a b o f ( a b no eisten
26 Los etemos elativos sólo pueden ocui en puntos cíticos Si f está definida en una egión abieta D tiene en (a b un etemo elativo entonces (a b es un punto cítico de f. Si f está definida en una egión abieta D tiene en (a b un punto cítico de f entonces (a b puede se o no un etemo elativo de f.
27 Función sin máimo ni mínimo f (
28 Función con máimo sin deivadas
29 El citeio de las segundas deivadas paciales Sea f una función con segundas deivadas paciales continuas en una egión abieta que contiene al punto (a b en el cual f ( a b 0 f ( a b 0 Paa busca los etemos elativos de f utilizamos la cantidad f d f [ ] ( ( a b f ( a b f ab
30 Sid > 0 f ( a b > 0 f tiene un mínimo elativo en ( a b. Sid > 0 f ( a b < 0 f tiene un máimo elativo en ( a b. Si d < silla. 0 Si d 0 concluent entonces entonces e. ( a b f ( a b es el citeio no un punto es
31 Valoes etemos de f ( 4 + 4
32 Multiplicadoes de Lagange Deseamos halla el ectángulo de áea máima que se pueda inscibi en la elipse (
33 Multiplicadoes de Lagange El ectángulo tiene lados 4 Función objetivo 3 ( f ( Vínculo o ligadua
34 Multiplicadoes de Lagange Intepetamos la ecuación de ligadua como una cuva de nivel fija de g ( + 3 4
35 Multiplicadoes de Lagange Las cuvas de nivel de f f ( 4 k es una familia de hipébolas. Las cuvas de nivel de f en las que ha puntos que satisfacen la ligadua o el vínculo coesponden a las hipébolas que cotan a la elipse.
36 Multiplicadoes de Lagange 4 3 k30 k36 1 k1 k4 k0 k
37 Multiplicadoes de Lagange 4 k30 3 k36 k4 1 k1 k0 k
38 Multiplicadoes de Lagange 4 k30 3 k36 k4 1 k1 k0 k
39 Teoema de Lagange Sean f g funciones con pimeas deivadas paciales continuas tales que f tiene un etemo en el punto (a b sobe la cuva suave de ligadua g ( c. eiste un númeoλtal que Si g( a b 0 f ( a b λ g( a b
40 Método de los multiplicadoes de Lagange Sean f g que satisfacen el teoema de Lagange tales que f tiene un etemo sujeto a la condición g ( c. Paa halla el mínimo o el máimo de f basta pocede como sigue. 1. Resolve simultáneamente las ecuaciones f ( g( λ g ( c
41 Método de los multiplicadoes de Lagange O sea esolve el sistema de ecuaciones en λ f ( g ( λ f ( λg ( g ( c. Evalua f en cada uno de los puntos solución obtenidos en el paso anteio. El mao de esos valoes da el máimo de f sujeta a la ligadua el meno da el mínimo de f sujeta a la ligadua.
42 Cálculo de los etemos absolutos Sea z f ( una función de dos vaiables definida continua en una egión ceada acotada D del plano entonces f alcanza su máimo mínimo absoluto En los puntos fonteas de D. En los puntos cíticos de f en el inteio de D. Compaando los valoes se deteminan el valo máimo absoluto el mínimo absoluto de f en D.
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. Desarrollando esta ecuación vectorial, obtenemos: a = 3. : a = 2, b =, c = 0, y para w : a = 0, b =, c = -2.
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