Soluciones de los ejercicios del examen Parcial de Cálculo Primer curso de Ingeniería de Telecomunicación - febrero de 2007

Transcripción

1 Soluciones de los ejecicios del eamen Pacial de Pime cuso de Ingenieía de Telecomunicación - febeo de 7 Ejecicio a) Paa todo > sea f ) log e, y f ). Justifica que lím f ). Estudia el signo de la deivada de f paa poba que paa > se veifican las desigualdades: b) Dad a>, se define: a, <log e n+ log e n n Justifica que la sucesión, { n }, así definida es convegente a. Solución. < ) n N) e a) Sabemos que lím es la deivada de e calculada en ). Po tanto, como log es una función continua, se tiene que lím f ) log. Un fácil cálculo nos da f ) e e ) Suponemos en lo que sigue que >, en cuyo caso e >, po lo que e )> y, po tanto, el signo de f ) es el mismo que el de e. Pongamos g )e. Tenemos que g ) y g )e >. Luego g es ceciente estictamente en + o, y al se g ), se sigue que g ) > y, po tanto, también es f )> paa todo >. Luego f es ceciente estictamente en + o, y al se f ), se sigue que f )>. Hemos pobado así que log e <. Peo también, al se g )> se tiene que e >, lo que implica que <log e. Altenativamente, podemos azona como sigue. El teoema del valo medio aplicado a la función e t en el intevalo [, ] nos dice que hay un punt c ], [ tal que e e c, esto es e e c. Como <c < es <e c < e y deducimos enseguida la desigualdad ). b) Como a>, la pimea pate de la desigualdad ) implica que n > paa todo n N. Además, tenemos que n n+ n log e n f n )>, es deci, n > n+. Po tanto { n } es una sucesión dececiente n de númeos positivos y, en consecuencia, es convegente. Sea lím{ n }. Debeá se. Como f es continua y n n+ f n ), debeá veificase que lím { f n ) } f ), po tanto f ) lo que eige que. o Ingenieía de Telecomunicación

2 Ejecicios del eamen del 6 de febeo de 7 Ejecicio. Con un disco de adio queemos hace, ecotando un disco concéntico de adio, una aandela como la de la figua de la deecha. Se pide calcula el adio po la condición de que el áea de la pate de la aandela que queda a la izquieda de la ecta sombeada en gis) sea máima. Solución. Todo lo que hay que hace es calcula el áea de la pate sombeada de la aandela. Podemos hace esto de foma completamente elemental intoduciendo como vaiable la medida en adianes, θ, del ángulo indicado en la figua. O θ B A Con ello tenemos que cosθ. El áea buscada es igual al áea del disco gande π ) menos el áea del disco pequeño πcos θ) ), menos el áea del secto cicula OBA θ ) más el áea del tiángulo OAB cosθsenθ). Po tanto, la función a maimiza es f θ)π πcosθ) θ +cosθsenθ π θ πcos θ+cos θ senθ ) πsen θ θ+cos θ senθ ) definida paa θ π/. Calculamos la deivada f θ) senθπcosθ senθ) Se sigue que el único ceo de la deivada en el intevalo donde está definida f es es θ actgπ ],π/[. Como senθ, el signo de la deivada es igual al signo de πcosθ senθ. Deducimos que f θ) > paa <θ<θ y f θ)< paa θ θ<π/. En consecuencia, f es ceciente en [,θ ] y dececiente en [θ,π/]. Po tanto el valo máimo absoluto de f en [,π/] se alcanza en θ. El valo de coespondiente es cosθ +π Altenativamente, podemos calcula diectamente, en función de, el áea del segmento cicula deteminado po la cueda AB, que viene dado po d En consecuencia, el áea de la pate sombeada de la aandela viene dada po g )π π d donde. Po el Teoema Fundamental del, la deivada de g viene dada po Cuyo único ceo es de g en [,]. g ) π +. Se justifica fácilmente que dicho valo coesponde al máimo absoluto +π o Ingenieía de Telecomunicación

3 Ejecicios del eamen del 6 de febeo de 7 Ejecicio. Estudia la convegencia de las siguientes seies. a) n! n n α + a) +a) +na) a>,α ), b) n + +log n n ) n Calcula los límites de las siguientes sucesiones. c) e+e/ +e / + +e /n n log n, d) n actg/n) sen/n) cos/n) Solución. n! a) Pongamos n α. Se tata de una seie de téminos positivos a > ). Tenemos que + a) +a) +na) a n+ n ) α an+ a n+ + a+ na Po tanto + y el citeio del cociente no popociona infomación sobe la convegencia de la seie. Aplicaemos el citeio de aabe. Paa ello usaemos el citeio de equivalencia logaítmica según el cual En nuesto caso an límn a ) ) n+ an+ lím n) L lím + ) n ) n+ n α an+ a ) n + ) n α + n + a+ n an+ + a+ na ) n ) n an lím e L + ) n e α e /a e α+/a El citeio de aabe nos dice que si α + /a > la seie convege y si α + /a < la seie no convege divege positivamente). Cuando α + /a este citeio no popociona infomación sobe la convegencia de la seie. n ) n + b) Pongamos +log n. Se tata de una seie de téminos positivos. Aplicaemos el cite- io de la aíz. n an +log n + n Vemos que se tata de una indeteminación del tipo. Usaemos el citeio de equivalencia logaítmica. Paa ello calculamos el límite de la siguiente sucesión. n + n log n log n ) n + n log + n 6 ) n n loge / ) Deducimos que lím n e / < po lo que la seie convege. ) n c) Pongamos n e+e / +e / + +e /n n, y n log n. Paa calcula el límite lím n aplicaemos el citeio de Stolz pues {y n } es estictamente ceciente y no mayoada. y n n+ n y n+ y n e /n+ logn+ ) log n e/n+ log+/n) /n+ ) /n o Ingenieía de Telecomunicación

4 Ejecicios del eamen del 6 de febeo de 7 4 Donde hemos usado las equivalencias asintóticas e z n z n y log+ z n ) z n siempe que z n. Concluimos que el límite pedido es igual a. d) Pongamos n n actg/n) sen/n). Podemos asocia a esta sucesión la función cos/n) actg sen f ) cos ) Con lo cual n f /n) y, po tanto, lím{ n }lím f ). Este límite puede calculase usando las eglas de L Hôpital, peo antes conviene simplificalo algo. Paa ello ecodamos que cos / paa. Po tanto actg sen lím f ) lím Este último límite se calcula fácilmente po L Hôpital o, más fácilmente aún, si ecuedas que paa es actg /+o ) y sen /6+o ), con lo que actg sen /6+o ), po lo que el límite pedido es igual a /. Ejecicio 4. La egión bajo la cuva y volumen del sólido de evolución esultante. Solución. Sabemos que el volumen pedido viene dado po la integal:, <+ ) se hace gia alededo del eje OX. Calcula el Iπ f ) d π d π lím + t + + d Paa calcula esta última integal pocedemos a la descomposición en facciones simples. Como + + ) + ) pondemos educiendo a denominado común esulta: + + ) + ) A + + C+ D + A + )+C+ D)+ ) ) Haciendo en ) obtenemos que A /. Haciendo en ) obtenemos que A + D, po lo que D/. Igualando en ) el coeficiente de a ceo, esulta A+C, po lo que C /. Po tanto Ft ) + d log+ t ) + d log+ t ) 6 logt t+ )+ d ) + Como / + /) ) ) + + /4/4 / Tenemos que + d t De las igualdades ) y 4) se sigue que / ) + d actg t / / ) + actg / )) 4) / / Ft ) log+ t ) 6 logt t+ )+ actg t / / ) + actg / )) o Ingenieía de Telecomunicación

5 Ejecicios del eamen del 6 de febeo de 7 5 Paa toma límites paa t + en esta epesión debemos escibila de foma apopiada como sigue Ft ) log + t t t+ + actg t / / ) + actg / )) Deducimos que Iπ lím Ft ) π π t + + actg / )) π π + π ) π 6 Ejecicio 5. Calcula la suma de la seie de potencias n n+ n+ y deduce la igualdad Eplica con detalle lo que haces. log n 4 n n+ ) Solución. Lo pimeo es calcula el intevalo de convegencia de la seie. Usaemos el citeio del cociente. Pongamos n+ n+. Tenemos que + n+ n+ Deducimos que si < o, lo que es equivalente, <, la seie convege absolutamente. Si > el citeio del cociente nos dice que el témino geneal no convege a po lo que la seie no es convegente. En consecuencia, el intevalo de convegencia de la seie es ],[. La función suma de la seie es la función f :],[ dada po f ) n+ n+ <) n Sabemos que las funciones definidas po seies de potencias son deivables y su deivada se calcula deivando la seie témino a témino. Po tanto: f ) n Como f ), se sigue que paa todo ],[ es n f ) t dt t )+ t ) dt Finalmente, si / obtenemos que log 4 n n+ ). n <) + t dt + t dt log + o Ingenieía de Telecomunicación