Ejercicios de Gravitación

Transcripción

1 jecicios de Gavitación Seway.5: Calcule la magnitud y diección del campo gavitacional en un punto P sobe la bisectiz pependicula de la ecta que une dos cuepos de igual masa sepaados po una distancia a, como se muesta en la figua. Solución: l campo gavitacional ceado po cada masa en el punto P apunta hacia la popia masa, según se muesta en el dibujo de la deecha. Como las dos son iguales, el campo esultante sólo tiene componente hoizontal (eje X). G θ G g g θ a + + g g Cos ( u X ) G u X a + G ( a + ) donde hemos usado la definición de campo g F G /m y la fueza de la gavitación univesal de Newton. / u X

2 Seway.9: Un satélite síncono (geoestacionaio), que siempe pemanece en el mismo punto sobe el ecuado de un planeta, se pone en óbita alededo de Júpite paa estudia la famosa mancha oja. Júpite gia alededo de su eje cada 9.8 h. Utilice la infomación de la tabla. paa halla la altitud del satélite. Solución: Consideamos una óbita cicula del satélite, con un peiodo de evolución que debe se igual a la duación del día de Júpite (9.8h). sto es 600segundos T 9.8h 5segundos h Sabemos que en la tayectoia cicula se igualan la fueza centífuga y la fueza gavitatoia, luego F G m G F de donde C v m ( ω ) m G G G T T ( ω ) ω (π / ) π G que no es sino la ª ley de Keple paa la óbita cicula (a). Sustituimos el peiodo T y los datos J kg, G Nm /kg y esulta m.7 J ( J 7-7m)

3 Seway.7: l cometa Halley se apoxima al Sol a una distancia de 0.57 UA, y su peiodo es de 75.6 años (UA Unidad Astonómica.5 0 m es la distancia media ente la Tiea y el Sol). A qué distancia se alejaá del Sol el cometa antes de que empiece su viaje de egeso? Solución: ecodamos que la tecea ley de Keple elaciona de los datos del enunciado, con el semieje mayo a de la óbita. el peiodo obital, uno π T G S a, donde G Nm /kg y S kg (de la Tabla.) 60dias 600segundos 9 T 75.6años.50 segundos año dia De ahí podemos obtene la distancia a, que está efeida al cento de la elipse (ve figua). Despejando se obtiene a 7.7 UA Ya que el Sol está en uno de los focos, la distancia que nos peguntan es a+c. Po oto lado nos dicen que la distancia mínima ente el cometa y el Sol es 0.57 UA, que debe se a-c. Con todo ello se obtiene c 7. UA y a+c.8 UA

4 Seway.8: n la supeficie de la Tiea, un poyectil es lanzado veticalmente hacia aiba a una apidez de 0 km/s. A qué altua subiá? No haga caso de la esistencia del aie ni de la otación de la Tiea. Solución: Siendo la fueza gavitatoia consevativa, cabe plantea la consevación de la enegía total del poyectil en su ascenso. Consideamos entonces un instante inicial justo tas el lanzamiento (con velocidad V 0 ) y un instante final cuando se detiene (V0) antes de cae de vuelta. Así, INICIO FINA De donde ( + ) C ( + ) C P P INICIO FINA mv G m 0 F F.96 V 0 G m mv 0 G m 0 G Paa este cálculo hemos usado datos de G y de la tabla., además de V 0 0 m/s m kg G Nm /kg F Debe se esa velocidad mayo o meno que la de escape?

5 Sugeencia: Poblema.5

6 Seway.0: a aceleación en caída libe sobe la supeficie de la una es alededo de un sexto de la que hay en la supeficie de la Tiea. Si el adio de la una es de unos 0.5, encuente la azón ente el pomedio de sus densidades, /. Solución: n la supeficie de un planeta la fueza o campo gavitatoio es apoximadamente constante y apunta hacia el cento del mismo. De la ley de Newton se obtiene que el valo de g es G/. n el caso de una y Tiea tenemos que / / 6 g g uego 96 / 6) (/ Po oto lado, ) ( ) ( V V π π Combinando todo queda finalmente / 6 / 96

7 Seway.7: Un satélite de masa 00 kg se coloca en óbita teeste a una altua de 00 km sobe la supeficie. (a) Con una óbita cicula, Cuánto tada el satélite paa completa una óbita? (b) Cuál es la apidez del satélite? (c) Cuál es la mínima enegía de entada necesaia paa pone ese satélite en óbita? Despecie la esistencia del aie peo incluya el efecto de la otación diaia del planeta. Solución: Al considea las dos dimensiones en el movimiento de los cuepos celestes se hace conveniente inclui el témino centífugo en la enegía potencial gavitatoia. Así podemos emplea una enegía potencial efectiva que todavía depende de una sola vaiable, m m m C + P m( υ + υ ) G m + G θ υ C + FC P donde el momento angula es constante (F G cental) y de valo mv θ m ω (a) n la óbita cicula +h (h 00 km), ω π/t, y el balance de fuezas G aoja T, luego el peiodo T seá 598 s.7 h (unas 6 vueltas al día) π (b) v θ ω m/s 7.8 km/s (c) Situación Inicial: justo antes del lanzamiento, con, T 0 h Situación Final: en la óbita cicula descita, con, T.7 h INIC 0 m ( m ω0) G m m m G 0 6 J J J m m G ( m ω) m FINA m G J. 0 9 J J siendo ω π/t. Con estos valoes obtenemos la enegía necesaia paa colocalo en la óbita; Δ FIN - INI J J J Seway.8: Igual excepto que añade n qué luga de la supeficie de la Tiea y en qué diección debe se lanzado paa educi al mínimo la enegía necesaia)