Movimiento en dos dimensiones

Transcripción

1 Movimiento en dos dimensiones Nivelatoio de Física ESPOL Ing. José David Jiménez

2 Continuación Contenido: Movimiento cicula

3 Movimiento cicula Existen muchos ejemplos de movimiento cicula: Discos de música compactos, dvd, blu ay, discos duos magnéticos, ueda de la fotuna, ueda moscovita, etc. El movimiento cicula unifome se efiee a movimiento a apidez constante. En el movimiento cicula se utilizan las coodenadas polaes, estas se especifican mediante una distancia y un ángulo q. O q

4 Longitud de aco La longitud de aco se define como: Longitud de aco = (Ángulo fomado po el aco) x Radio Qué es un adián? S = q x R Donde el ángulo q se mide en adianes 1 adián es la medida del ángulo compendido ente la longitud del aco S cuando S mide exactamente la longitud del adio de la cicunfeencia, es deci S = R S = q x R R = q x R q = 1 adián

5 Relación ente gados y adianes La longitud de aco S de una cicunfeencia completa se halla po medio de la ecuación del peímeto: S = 2π x R Donde se puede conclui que q = 2 π. Esto quiee deci que una vuelta o evolución que tiene 360 equivale a 2π adianes. Calcula: Cuántos gados tiene 1 adián?

6 Movimiento cicula Rapidez angula media En el movimiento alededo de un cículo, = R y solo q va cambiando mientas tanscue el tiempo. En un intevalo de tiempo Δt se ealiza un desplazamiento angula Δq 2 m = q q2 = t t 2 q1 t 1 O q2 q1 1 En qué unidades se encuenta la apidez angula?

7 Movimiento cicula Rapidez angula instantánea Es igual al límite de la apidez angula media cuando el intevalo de tiempo tiende a ceo. θ lim t 0 t = ω S En un intevalo de tiempo Δt se ecoe un aco dado po S = R Δq O R q2 R q1

8 Movimiento cicula Paa obtene la apidez lineal o tangencial dividimos la ecuación anteio paa Δt S t = R θ t Recodemos que definimos la apidez angula como Entonces = q t V = R

9 Movimiento cicula Velocidad angula media e instantánea La velocidad angula media tiene la misma definición que la apidez angula media al igual que la velocidad angula instantánea tiene la misma definición que la apidez angula instantánea. Peo hay que ecoda que al habla de velocidades y ya no de apideces estamos tatando ahoa con cantidades vectoiales y no escalaes, po lo que hay q indica también su diección. O R q2 R q1 S

10 Diección del vecto velocidad angula

11 Movimiento cicula El vecto velocidad V es siempe tangente a la tayectoia y pependicula al vecto posición R. Vectoialmente la velocidad tangencial se define como el poducto cuz ente la velocidad angula ω y R V = ω x R

12 Peiodo y fecuencia Al tiempo en que tada un objeto en da una vuelta completa se le llama peiodo ( T ) está dado po T T se mide en segundos = 2 R 2 R 2 = = v R La fecuencia es el ecípoco del peiodo f = 1/T = /2 La fecuencia es el númeo de evoluciones o vueltas que un objeto da en un segundo, se mide en hetz (Hz) Ota unidad es las evoluciones po minuto ev/min o pm.

13 Movimiento en una tayectoia cuva La aceleación se descompone en adial y tangencial. La aceleación adial se debe al cambio de diección del vecto velocidad. La aceleación tangencial poviene del cambio en la magnitud de la velocidad. a t a a a a a t

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15 Aceleación adial

16 Aceleación adial Los tiángulos OPQ y ABC son ambos tiángulos isósceles con ángulos iguales. Así, = v v de donde se obtiene V = V Paa ángulos muy pequeños V / Δt, vemos que: V Δt O (t+ t) q (t) v(t+ t) Q 1 v(t) P C v(t+ t) v q A B v(t) V = V. V Δt V t = V2 R v a = =. = Esta es llamada aceleación centípeta o adial.

17 Aceleación adial El subíndice indica que la aceleación es adial. Vectoialmente se escibiá como a = 2 v En donde ˆ es el vecto unitaio en la diección del adio del cículo. Este vecto cambia de diección confome la patícula se mueve en la tayectoia cicula. La aceleación se puede expesa como a = T = 2 4 f 2

18 Movimiento cicula unifome m = q q2 = t t 2 q1 t 1 = Constante q 2 = 1 q t

19 Ejemplo Un conducto ajusta el contol de cuceo de su automóvil y amaa el volante paa que el vehículo viaje con apidez unifome de 15 m/s en un cículo con diámeto de 120 m a) Qué distancia angula ecoe el coche en 4 minutos. b) qué distancia lineal ecoe en ese tiempo.

20 Ejemplo Calcule la apidez angula, la apidez, la fecuencia, el peiodo y la aceleación coespondiente en un punto del ecuado de la tiea. El peiodo es 24 h o sea La fecuencia es T = 24h (60 min/h)(60 s/min) = 86,400 s f = 1/T = 1.16 x 10 5 Hz El adio de la tiea es R = 6.4 x 10 6 m, la velocidad es v = 2 R/T = (2 )(6.4 x 10 6 )/86,400 = 465 m/s La apidez angula es La aceleación es = 2 f = 2 (1.16 x 10 5 ) = 7.3 x 10 5 Hz a = v 2 /R = (465)/(6.4 x 10 6 ) = m/s 2

21 Ejemplo

22 Ejemplo

23 Ejemplo Un disco de 20 cm de adio gia a 33,33 pm. Halla la velocidad ; angula, la velocidad lineal y la aceleación centípeta de: a) Un punto de su peifeia. b) Un punto situado a 10 cm del cento. c) Cuánto tiempo tadaá el disco en gia 780º? d) Y en efectua 15 evoluciones? La velocidad angula no depende de la distancia que sepaa al punto consideado del cento del disco. Todos los puntos de un mismo adio del disco desciben el mismo ángulo en el mismo tiempo.

24 Continuación

25 Continuación

26 Taea El tansbodado espacial sigue una óbita cicula a 220 km de la supeficie teeste y hace una evolución alededo de la Tiea cada 89 min. Calcule la apidez angula, la apidez y la aceleación. Radio de la Tiea = 6.4 x 10 6 m a = v 2

27 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO Si una patícula se mueve en una tayectoia cuva (no necesaiamente cicula) expeimenta una aceleación adial dada po a = donde es el adio de cuvatua en el punto dado. v 2 La aceleación angula es el cambio de la velocidad angula ω con especto al tiempo. m = 2 1 = t t t 2 1

28 Continuación Ya que la apidez angula cambia con especto al tiempo, la apidez tangencial también cambia po lo que apaece también una aceleación poducida po esta vaiación de la apidez tangencial v a t = = t dv dt La aceleación total se la detemina mediante la suma vectoial de la acelaación adial y la aceleación tangencial 2 v a = a a t = dv dt q

29 Aceleación adial y tangencial a a t q O a O q Componentes adial y tangencial de la aceleación Vectoes unitaios en coodenadas polaes q y son vectoes unitaios en la diección en que cece q y en la diección adial.

30 Continuación la magnitud de a es: a = a a t Ecuaciones paa el Movimiento cicula Unifomemente Vaiado ω = ω 0 ± αt θ = ω 0 t ± 1 2 αt2 ω 2 = ω 0 2 ± 2α θ

31 Movimiento de un péndulo Una pelota unida al extemo de una cueda de 0.50 m de longitud se balancea en un cículo vetical bajo la influencia de la gavedad. Cuando la cueda foma un ángulo Ө = 20 con la vetical, la pelota tiene una apidez de 1.5 m/s. a) Encuente la magnitud de la componente adial de la aceleación en ese instante. g q f v 0 a b) La magnitud de la aceleación tangencial cuando Ө = 20 a a t c) Encuente la magnitud y diección de la aceleación total cuando Ө = 20