L Momento angular de una partícula de masa m

Transcripción

1 Campo gavitatoio Momento de un vecto con especto a un punto: M El momento del vecto con especto al punto O se define como el poducto vectoial M = O Es un vecto pependicula al plano fomado po los vectoes y y el sentido viene dado po la egla del sacacochos. L Momento angula de una patícula de masa m O mv que se mueve especto al punto O se define como L = mv. Si deivamos esa epesión con especto al tiempo tenemos el pincipio de consevación: dl d d dv = ( mv) = mv + m = v mv + = = M dt dt dt dt Esto nos dice que si sobe un cuepo la suma de los momentos de las fuezas eteioes es ceo entonces el momento angula pemanece constante. Se define un campo como una zona del espacio en la que se deja senti una magnitud (a cada punto del espacio se le puede da un valo de esa magnitud en un instante deteminado). Los campos pueden se: Escalaes: Si la magnitud que se deja senti es escala (p.ej: la tempeatua) Vectoiales: Si la magnitud que se deja senti es vectoial. Los campos gavitatoio, eléctico y magnético son vectoiales (la magnitud que se deja senti es una fueza). Centales: El vecto de la magnitud que define el campo está diigido siempe hacia el mismo punto. Consevativos: Si el tabajo paa taslada algo de un punto a oto depende solo de los puntos inicial y final y no del camino ecoido. Unifomes: Si la magnitud que define el campo pemanece constante. Estacionaios: Si no dependen del tiempo

2 Campo gavitatoio Ley de Newton de la gavitación Deducida po Newton a pati de las leyes de Keple dice que la fueza de atacción ente dos masas es diectamente popocional al valo de las masas e invesamente popocional al cuadado de la distancia: m 1 m d G mm = d 1 La constante G es 6, Nm kg - La fueza de atacción, si un cuepo gia alededo del oto, es la fueza centípeta: 3 v m πd 4π m d 4π m = = m = k C d d = = d d luego la fueza de atacción depende del cuadado de la distancia Intensidad de campo gavitatoio Se epesenta po g y se define, en un punto del M g = = G espacio, como la fueza que actúa po unidad de masa: m Es un vecto que va diigido hacia el cento del cuepo que atae y se mide en N kg -1. El campo gavitatoio se epesenta po líneas de fueza (tayectoia seguida po la unidad de masa cuando se abandona en un punto). Vaiación de la gavedad con la altua. enemos que tene en cuenta que estemos donde estemos quien nos va a atae es la esfea que estamos pisando en cada momento. De acuedo con esto: En el eteio de la iea: h El cuepo es ataído po la esfea en la que está apoyado. Su masa es la teeste peo su adio es +h Luego g seá: g = G ( + h) M - -

3 En el inteio de la iea: Campo gavitatoio El cuepo es ataído po la esfea en la que está apoyado. Si suponemos que la densidad de la iea ρ es unifome: 4 3 M ρ π ρv 3 4 g = G = G = G = πgρ = cte 3 La gavedad es una función lineal del adio de la esfea. g 9,8 epesentando el valo de g fente a la distancia, tenemos que es ceo en el cento de la iea y cece linealmente hasta llega a la supeficie, donde alcanza el valo máimo. pati de ahí la gavedad disminuye con la altua y se distancia hace ceo en el infinito. Leyes de Keple Utilizando los datos sobe movimiento elativo de los planetas, ecopilados po ycho Bahe duante años enuncia las tes leyes. Keple 1: Ley de las óbitas Los planetas desciben óbitas elípticas alededo del Sol que ocupa uno de los focos. Keple : Ley de las áeas El adio vecto que une el Sol con el planeta bae áeas iguales en tiempos iguales. S S 1 El áea del tiángulo es 1 ds = d ; si definimos la velocidad aeola como el áea baida po unidad ds 1 d 1 de tiempo: v = dt = dt = v +d d ecodando que el momento angula es L = mv y que se mantiene constante podemos deci que la velocidad aeola se mantiene constante. v 1 = L = cte m - 3 -

4 Keple 3: Ley de los peiodos C Campo gavitatoio aa los cuepos que dan vueltas alededo de la misma estella, el esultado de dividi el cuadado del peiodo ente el cubo del adio obital es una constante. Las dos fuezas que actúan sobe el planeta son iguales = C v G = m π π M 4 G = v = ( ω ) = = 4π = = cte 3 GM Enegía potencial gavitatoia El tabajo necesaio paa desplaza una masa m desde un punto hasta un punto B es: W = en donde es la fueza y la distancia ente los dos puntos. Si la fueza no es constante y vaía con la distancia como es el caso de la fueza en un campo gavitatoio tendemos que intega desde la posición inicial hasta la final: B B B B d W = d = G d = G G G = = + B Si quisiéamos taslada esa masa desde la supeficie de la iea hasta el infinito, el tabajo necesaio seía: d W = d = G d = G = G = GM m + = G B La enegía potencial se define como el tabajo necesaio paa taslada una masa desde el infinito hasta la posición que ocupa en un instante dado. sí la enegía potencial gavitatoia de un cuepo de masa m situado en la supeficie teeste seá el tabajo anteio cambiado de signo puesto que el tabajo se ealiza ahoa a favo de las fuezas del campo: - 4 -

5 Campo gavitatoio E = G La enegía potencial de un cuepo de masa m situado a una altua h sobe la supeficie teeste es: E = G h ( + ) Esta enegía siempe es negativa (suponemos el ceo de enegía potencial en el infinito). otencial gavitatoio Se define como el tabajo necesaio paa taslada la unidad de masa desde el infinito hasta la posición que ocupa. E M J m h kg V = = G V se mide en ( + ) l luga geomético de los puntos del espacio que tienen el mismo potencial se le llama supeficie equipotencial que tiene las siguientes caacteísticas: o un punto solo puede pasa una supeficie equipotencial. En el caso del campo gavitatoio son esfeas con cento en el cento del planeta. El vecto intensidad de campo es pependicula a la supeficie equipotencial. El tabajo paa move un cuepo de un punto a oto de la misma supeficie es 0. Satélites Un satélite es cualquie cuepo que da vueltas alededo de un planeta. Los satélites pueden se natuales o atificiales. Las dos fuezas que actúan sobe el satélite son iguales: h C C G = m h ( + h) ( + ) = v y despejando v, tenemos la velocidad obital del satélite: v = GM ( + h) El tiempo que tada el satélite en da una vuelta alededo del planeta (peiodo) es: - 5 -

6 ( ) ( + h) ( ) π + h 4π + h L = = = v GM GM Campo gavitatoio Un satélite geoestacionaio es aquel que tiene un peiodo de 4 h, gia a la misma velocidad que la iea y está siempe en la misma vetical. Los satélites geoestacionaios se encentan a una altua de km. La enegía cinética de un satélite es: La enegía potencial es: 1 1 GM 1 GM m EC = mv = m = h h ( + ) ( + ) E = G h ( + ) La enegía total de un satélite en su óbita seá la suma de las dos: 1 GM m GM m 1 GM m E = EC + E = = h h h ( + ) ( + ) ( + ) Velocidad de escape Se define como la velocidad mínima que hay que comunica a un cuepo paa que no vuelva a cae sobe la supeficie del planeta. aa el caso de la iea, sabemos que el tabajo necesaio paa envia un cuepo de masa m hasta el infinito es: d 1 W = G d = G G G = = Ese tabajo hay que comunicáselo al cuepo en foma de enegía cinética: 1 W G mv odemos hacelo po enegías: La enegía al sali de la iea es = =, despejando: GM m v = = s 1 E E E mv G = C + =, cuando llega al infinito no tiene enegía potencial (oigen de E) ni cinética (podemos supone que se paa) po lo que la enegía total seá ceo. plicando el pincipio de consevación también seá ceo en la supeficie teeste y al iguala obtenemos: v = GM - 6 -