Unidad didáctica 8. Gravitación

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1 Unidad didáctica 8 Gaitación

2 .- Intoducción. Desde los tiempos más emotos, el se humano ha intentado da una explicación del Unieso que le odeaba: el día y la noche, las estaciones del año, el moimiento de las estellas as pimeas teoías ean geocénticas y poponían que la Tiea ea el cento del Unieso. Aistóteles (84- a. C.) popuso que el unieso estaba constituido po 7 esfea concénticas que giaban en tono a la Tiea, que no se moía. En la exteio, a la que llamó bóeda celeste, estaban las estellas en posiciones fijas, esta bóeda daba una uelta al día. Su modelo tuo una gan influencia y se mantuo, con pequeñas aiaciones, hasta el siglo XVI. Aistaco de Samos (0-0 a.c.) fue uno de los pocos astónomos de la antigüedad que popuso una teoía heliocéntica en la que el Sol ea el cento del Unieso y la Tiea, la una los otos cinco planetas conocidos en su época giaban en tono a él. Además la Tiea también giaba alededo de sí misma. Este modelo no fue aceptado, en pate po falta de medidas pecisas y en pate poque ompía con la idea de que el hombe ocupa el cento del Unieso. En el siglo XVI, Nicolás Copénico (47-54) etoma la teoía heliocéntica y popone un modelo matemático que, de foma sencilla, pemitía explica los datos astonómicos que se conocían en su época. Astónomos como Tycho Bahe, Galileo, Keple o Newton publicaon sus obseaciones, expeiencias y conclusiones que siieon de base a las actuales teoías y leyes sobe el funcionamiento del unieso..- eyes de Keple. Basándose en los egistos astonómicos de Tycho Bahe (de quien fue alumno) y en sus popias obseaciones, Johannes Keple, al intenta calcula la ecuación de la óbita del planeta Mate, descubió que su óbita ea elíptica. Resumió, matemáticamente, sus ideas en tes leyes: a) ey de las óbitas: Todos los planetas se mueen, alededo del Sol, en óbitas elípticas, en uno de cuyos focos está el Sol. El punto de la óbita más cecano al Sol se llama peihelio y el más lejano, afelio. b) ey de las áeas: Toda línea que une un planeta con el Sol bae áeas iguales, A, en tiempos iguales, t. Es deci, la elocidad aeola es constante, (elocidad aeola es igual a la supeficie, A, baida po la línea en la unidad de tiempo, t). da cte dt Esto implica que el moimiento de los planetas no es unifome. Cuanto más ceca del Sol está el planeta, en su óbita, más ápido se muee. Hasta Keple, siempe se había ceído que la elocidad de los planetas en tono al Sol ea constante. c) ey de los peiodos: el cuadado de los peiodos de los moimientos de los planetas alededo del Sol es popocional al cubo de la distancia media ente ambos: Tplaneta Tplaneta... k planeta planeta También se puede expesa: T k.. El alo de k es difeente paa cada sistema planetaio. Unidad didáctica 5: Gaitación pag.

3 Qué es una elipse? Una elipse es una cua ceada cuyos puntos cumplen con la condición de que la suma de las distancias a dos puntos, F y F, llamados focos, es constante: PF + PF cte os paámetos que caacteizan a una elipse son: Semieje mayo (OA) o (OB), Semieje meno (OC) o (OD), Semidistancia focal (OF ) o (OF ). semidistancia focal El achatamiento de la elipse se mide po la excenticidad: e semieje mayo a excenticidad puede aia de 0 a. Si e 0 se tata de una cicunfeencia. Si e se tiene un segmento de línea ecta..- ey de la Gaitación Uniesal. Dos masas m y m sepaadas una distancia se ataen con una fueza cuyo módulo es popocional al poducto de sus masas e inesamente popocional al cuadado de las distancias que las sepaa: m m F G Donde es la distancia ente los centos de gaedad de las masas consideadas y G es la constante de gaitación uniesal que tiene un alo de 6' N m/kg. Como la constante G es muy pequeña la fueza de atacción gaitatoia ente cuepos pequeños apenas se pueden obsea, peo sí esulta eidente cuando se tata de cuepos gandes como un planeta. Expesión ectoial de la fueza gaitatoia: m m F G u u es un ecto unitaio que tiene la diección de la ecta que une los dos cuepos y el sentido a del cuepo que ejece la fueza al cuepo que la ecibe. a fueza con que m atae a m es igual (en módulo y diección) a la fueza con que m atae a m peo tienen sentido contaio, es deci si la fueza de atacción que ejece m sobe m es F, la que ejece m sobe m seá F...- Pincipio de supeposición. Cuando inteaccionan más de dos masas (m, m,, m n ), la fueza total que actúa sobe una de ellas se calcula sumando ectoialmente la fueza que cada una de las masas ejece de foma indiidual (como si las demás no existiesen). F Total F + F +,...,F n Unidad didáctica 5: Gaitación pag.

4 4.- Fueza centales. Fueza cental es aquella fueza que está diigida siempe hacia un mismo punto y cuyo módulo depende exclusiamente de la distancia del cuepo a dicho punto. a fueza gaitatoia es una fueza cental ya que, según la ley de la gaitación uniesal, la m fueza con que un planeta es ataído po oto es: m F G k Como m, m y G son constantes: F, depende de la distancia que sepaa los dos planetas Momento de la fueza gaitatoia. El momento de cualquie fueza se calcula con: M F y su módulo: M F senα a fueza gaitatoia es una fueza cental, así que y F foman un ángulo de 80º y el sen 80º 0. Po tanto, en el moimiento planetaio, el momento de la fueza gaitatoia especto al cento de fuezas es ceo Conseación del momento angula. El momento angula de un cuepo de masa m especto de un punto fijo es: p m ( ) Sabemos que la aiación del momento angula de un cuepo en moimiento coincide con el d momento de la fueza que actúa sobe él: M dt Peo en el caso de las fuezas centales, M d 0, esto implica que: 0 dt y, po tanto, cte El momento angula de un cuepo que se muee bajo la acción de una fueza cental se mantiene constante en módulo, diección y sentido Aplicación al moimiento planetaio. as óbitas de los planetas son planas, ya que el momento angula es constante, en cualquie punto de una óbita elíptica o cicula, y su diección tiene que se pependicula al plano que contiene los ectoes de posición y elocidad. Si la óbita es cicula, el módulo de la elocidad del planeta es constante. p m ( ) y el módulo: m senα El ángulo ente y es de 90º y el sen 90º. Po lo que: m Despejando: m Como el momento angula es constante y el módulo del ecto de posición también (ya que la óbita es cicula), el módulo del ecto elocidad es constante. Unidad didáctica 5: Gaitación pag.

5 Paa óbitas elípticas, la elocidad aeola del planeta pemanece constante, peo su elocidad lineal aía continuamente, confimación de la segunda ley de Keple. a figua (gis) epesenta el áea da que bae el planeta de masa m, en un tiempo dt, que es el que tada en desplazase una distancia d. El áea baida po el planeta: da d dt m Si se diide y multiplica po la masa del planeta: da m a elocidad aeola seá: da dt m dt dt m Como es constante, la expesión anteio indica que la elocidad aeola e s constante, es deci, el áea baida po el ecto en un intealo de tiempo, dt, tiene siempe el mismo alo. Peo, como se puede apecia en el dibujo, paa un mismo dt el desplazamiento d, aía según el áea consideada, po tanto la elocidad del planeta no pemanece constante. Y la elación es: Ya que y m son constantes: m ( ) m ( ) ( ) ( ) senα senα Velocidad obital. Si un objeto, de masa m, descibe una óbita cicula alededo de oto, de masa m, la fueza centípeta es popocionada po la fueza de atacción ente los dos cuepos: F c F g m m, despejando : (elocidad obital del planeta) Esta expesión indica que la elocidad obital del objeto no depende de su masa. A pati de esta expesión se puede calcula también: El peiodo de otación de un planeta, T. a longitud de una óbita cicula es. π., el tiempo empleado en ecoela seá: T π π G m π G m 4π a masa del planeta alededo del cual gia: m G T Unidad didáctica 5: Gaitación pag. 4

6 Aceleación de caída libe de los cuepos en las supeficies planetaias. Paa un cuepo de masa m, a una altua h sobe la supeficie de un planeta de masa m y adio : m m F G ( + h) Como F m a, entonces: m m G m a ( h) y po tanto: G a g m h ( + ) + a aceleación de caída libe de un objeto situado ceca de la supeficie de un planeta depende de la masa del planeta y no de la del objeto. Po tanto una pieda de 00 g cae con la misma aceleación que una de 0 kg. a aceleación aía de manea inesa al cuadado de la distancia al cento de la Tiea. Si h es muy pequeña en compaación al T, se puede escibi: a T Significado del peso. ( ) a fueza que ejece la Tiea sobe un cuepo de masa m, situado en un punto cecano a su supeficie: m mt F G ( + h) mt Y como g G ( + h) T F m. g o, lo que es lo mismo: p m. g. Que es la expesión que se ha utilizado hasta ahoa paa calcula el peso, P, que es una magnitud ectoial que tiene la misma diección y sentido que la intensidad de campo gaitatoio g. Significado de la constante de la tecea ley de Keple: T k T T Eleando al cuadado la expesión del peiodo de otación: T (π ) El alo de la constante, k, que apaece en la tecea ley de Keple: 4π k k es difeente paa cada sistema planetaio ya que la masa del cuepo cental alededo del cual gian los planetas es difeente. Unidad didáctica 5: Gaitación pag. 5

7 ey de las áeas o ª ley de Keple ey de los peiodos o ª ley de Keple Constante de la ª ley de Keple ey de Gaitación Uniesal Pincipio de supeposición Momento de la fueza gaitatoia Conseación del momento angula Velocidad obital de un planeta Peiodo de otación de un planeta Resumen de fómulas de Gaitación Física clásica da cte (A elocidad aeola) dt Tplaneta Tplaneta... k o también: T k. planeta planeta 4π k (m masa que poduce el campo) G m m m m m Vect.: F G u, Mód.: F G F F + F +,..., F Total M F 0 p m ( ) T π n d cte ó M 0 dt Masa del planeta alededo del cual 4π gia un cuepo m G T Aceleación de caída libe de los cuepos en las supeficies planetaias a g, si h es muy pequeña: ( + h) a ( ) Unidad didáctica 5: Gaitación pag. 6

8 Poblemas de Gaitación.- Euopa es un satélite de Júpite que tada '55 días en ecoe su óbita, de 6'7 0 8 m de adio medio, en tono a dicho planeta. Oto satélite de Júpite, Ganímedes tiene un peiodo obital de 7'5 días. Calcula el adio medio de la óbita..- El adio medio de la óbita de Júpite es 5'0 eces el teeste. Calcula la duación del año en Júpite..- Calcula el peiodo de eolución de Mate sabiendo que la distancia media de Mate al Sol es de 8 millones de km, la distancia media de la Tiea al Sol de 49'6 millones de km y el peiodo de eolución de la Tiea de 65'6 días. 4.- El peiodo de taslación de un planeta es eces mayo que el peiodo de taslación de la Tiea alededo del Sol. Halla la distancia del Sol a ese planeta si la distancia Tiea Sol es de km. 5.- En el exteio del Sistema Sola se detecta un nueo planeta enano cuya distancia al Sol es el doble del adio de la obita de Neptuno. Suponiendo que ecoe una óbita cicula, cuánto 9 tiempo tadaá en da una uelta al Sol? Dato: T Nep tuno 5' 0 s. 6.- Si el adio de la obita cicula de un planeta A es cuato eces mayo que el de oto B En qué elación están su peiodos y sus elocidades medias? 7.- Si la distancia de Mecuio al Sol en el peihelio es de 46'0 0 6 km y en el afelio de 69'8 0 6 km: a) Detemina la longitud del semieje mayo de la óbita de Mecuio. b) Calcula la elocidad en el afelio si en el peihelio es de 59 km/s Si G 6'67 0 N m /kg, la m T 6 0 kg y el T 670 km, detemina: a) Magnitud con que la Tiea atae a una pieda de 00 g. b) Magnitud con la que la pieda atae a la Tiea. c) El alo de la aceleación que adquiee la pieda. d) Aceleación de la Tiea. e) Fueza con la que la Tiea ataeá a ota pieda de m 0 kg y aceleación que adquiee. 9.- Dibuja un esquema de las fuezas que actúan sobe un cuepo de 000 kg, situado en el punto medio ente la Tiea y la una y calcula el alo de la fueza esultante. a distancia desde el 8 cento de la Tiea hasta el de la una es '84 0 m, la masa de la Tiea es 5' kg y la de la una es 7'5 0 kg 0.- Detemina la masa de Mate sabiendo que uno de sus dos satélites, Fobos, descibe una obita cicula de 9'7 0 6 m de adio alededo del planeta de 7'5 hoas..- Tenemos cuato patículas iguales de kg de masa en los étices de un cuadado de m de lado. Detemina el módulo de la fueza gaitatoia que expeimenta debido a la pesencia de las otas tes..- Calcula la fueza gaitatoia que las masas m y m ejecen sobe la masa m si están situadas en un cuadado de 6 m de lado como el de la figua. Datos: m 5 kg, m 8 kg, m kg.- En dos de los étices de de un tiángulo equiláteo de 6 m de lado existen cuepos de 5 kg de masa. Calcula la fueza que ambos cuepos ejecen sobe oto cuepo de 0 kg de masa que se encuenta en el tece étice? Unidad didáctica 5: Gaitación pag. 7

9 4.- Una pesona pesa en la Tiea 500 N. Cuál seá su peso a una distancia de dos adios teestes po encima de la supeficie de la Tiea? 5.- El satélite Meteosat gia alededo de la Tiea en una óbita cicula a una altua de 800 km. Calcula la elocidad a la que obita y el peiodo. Datos: m T kg, T 6400 km. 6.- Dos satélites de igual masa obitan en tono a un planeta de masa mucho mayo siguiendo óbitas ciculaes coplanaias de adio R y R y ecoiendo ambos las óbitas en sentido contaio. Deduce y calcula: a) a elación ente sus peiodos. b) a elación ente sus momentos angulaes (módulo diección y sentido). 7.- Calcula la aceleación de caída libe de un cuepo en la supeficie de la Tiea. 4 Datos: G 6' N m /kg ; m T 6 0 kg, T 670 km 8.- Calcula el alo de la constante que apaece en la tecea ley de Keple paa el sistema Sola y paa el sistema Tiea-una. Datos: G 6' N m /kg ; m T 5' kg, m S ' kg 9.- a) Cuál es la aceleación de la gaedad en la supeficie de un planeta esféico cuyo adio es la mitad del de la Tiea y posee la misma densidad media? b) Cuál seá el peiodo de la óbita cicula de un satélite situado a una altua de 400 km especto a la supeficie del planeta? - Datos: R T 670 km. g T 9'8 ms Poblemas de Selectiidad.- (Junio 005) a) Razone cuáles son la masa y el peso en la una de una pesona de 70 kg. b) Calcule la altua que ecoe en s una patícula que se abandona, sin elocidad inicial, en un punto póximo a la supeficie de la una y explique las aiaciones de enegía cinética, potencial y mecánica en ese desplazamiento. Datos: G 6'67 0 Nm kg ; M 7' 0 kg; R '7 0 6 m.- (Junio 007) Suponga que la masa de la Tiea se duplicaa. a) Calcule azonadamente el nueo peiodo obital de la una suponiendo que su adio obital pemanece constante. b) Si, además de duplicase la masa teeste, se duplicaa su adio, cuál seía el alo de g en la supeficie teeste? G 6'67 0 Nm kg ; M T kg; R T 670 km, R ' m.- (Junio 008) Un satélite del sistema de posicionamiento GPS, de 00 kg, se encuenta en una, óbita cicula de adio R T. a) Calcule la aiación que ha expeimentado el peso del satélite especto del que tenía en la supeficie teeste. b) Detemine la elocidad obital del satélite y azone si la óbita descita es geoestacionaia. G 6'67 0 Nm 4 kg ; M T 6 0 kg; R T 6400 km 4.- (Junio 0) a) Explique qué es la elocidad obital y deduzca su expesión paa un satélite que desciba una óbita cicula alededo de la Tiea. b) Dos satélites A y B de distinta masa (m A > m B ) desciben óbitas ciculaes de idéntico adio alededo de la Tiea. Razone la elación que guadan sus espectias elocidades y sus enegías potenciales. Unidad didáctica 5: Gaitación pag. 8

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