CAPITULO VI FUERZAS CENTRALES. " Qué es lo que hace que los planetas giren en torno al Sol?

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1 FUEZAS CENALES CAPIULO VI " Qué es lo que hace que los planetas gien en tono al Sol? En los tiempos de Keple algunas pesonas contestaban esta pegunta diciendo que había ángeles detás de ellos, agitando sus alas y empujando a los planetas po sus óbitas. Como veán, la espuesta no está muy lejos de la vedad. La única difeencia es que los ángeles mian en ota diección y sus alas empujan adialmente hacia adento." ichad P. Feynman he Chaacte of a Physical Law (965)

2 56 INODUCCION A LA MECANCIA DE LA PAICULA

3 FUEZAS CENALES 57 FUEZAS CENALES VI-. Genealidades. Una fueza cental es aquella que deiva de una función potencial con simetía esféica U = U (). Como veemos más adelante, el sistema fomado po dos patículas que inteactúan ente sí a tavés de una fueza cuya ecta de acción pasa po la ubicación de las mismas ( y cuyo módulo depende únicamente de la distancia ente ellas) se puede educi al poblema de una patícula "efectiva" sometida a una fueza cental. El poblema de fuezas centales adquiee así una gan elevancia, ya que en muchos casos la inteacción ente dos cuepos es del tipo mencionado. Po ejemplo, la inteacción gavitatoia que ige el compotamiento de los cuepos celestes o la inteacción Coulomiana ente un pa de cagas puntuales se ajustan a este esquema. VI-.a. Cantidad de Movimiento Angula. Una patícula que se mueve con velocidad v y cuyo vecto posición es (especto de un oigen de coodenadas O) tiene una cieta cantidad de movimiento angula L (especto de ese oigen) definida po L p = mv (6-) Paa una patícula que está sometida a una fueza cental, este vecto es constante en el tiempo. En efecto si U F = U () = e entonces la deivada tempoal de L es nula d L d d p = p + = v mv + F = 0 dt dt dt debido a que la fueza cental es adial. enemos po lo tanto la Consevación de la Cantidad de Movimiento Angula: En un sistema en el cual sólo actúan fuezas centales, la cantidad de movimiento angula L es una constante del movimiento.

4 58 INODUCCION A LA MECANCIA DE LA PAICULA FIG. : Vecto L. Esta constante es vectoial. Esto implica que el movimiento pemanece en el plano deteminado po los vectoes y v iniciales. (Un cambio en el plano del movimiento implicaía un cambio en la diección de L, lo cual como hemos visto no es posible). VI-.b. Ecuaciones de Movimiento. Paa descibi este movimiento usaemos coodenadas polaes que son las más apopiadas, ya que: U F = f () = v F θ = = 0 θ Las ecuaciones del movimiento paa una patícula de masa m bajo la acción de una fueza cental son po lo tanto, m (& & θ ) = f () (6-) m & & θ + & θ = (6-3) ( ) 0 Multiplicando la última ecuación po la podemos tansfoma en d dt ( m ) & θ = 0 Lo cual no es más que la expesión escala de la constancia de la cantidad de movimiento angula en este tipo de movimiento.. En efecto, el módulo de L es l = mv = m & θ (6-4)

5 FUEZAS CENALES 59 donde hemos llamado v a la componente de la velocidad pependicula a, v & =θ. La ley de consevación (6-4) es esencial en todo poblema de fuezas centales. e, es deci Ejecicio VI-: d A da dt Segunda Ley de Keple. Mosta que el áea baida po el vecto posición en un intevalo difeencial d es = & θ dt. Use entonces la ley de consevación de l paa mosta que la velocidad aeola es constante. FIG. : Áea baida po el adio vecto en dt. Volviendo a las ecuaciones del movimiento y usando la expesión de l paa elimina θ & de la pimea ecuación obtenemos la ecuación adial: l m & = f () (6-5) 3 m Johannes Keple fomuló esta ley en 69, basándose en obsevaciones detalladas del movimiento de los planetas unos 80 años antes de que Newton fomulase sus leyes del movimiento.

6 60 INODUCCION A LA MECANCIA DE LA PAICULA Es inteesante obseva que el témino en l es la fueza centífuga que expeimenta un obsevado (no inecial) solidaio con el móvil. La integación de ésta ecuación se puede lleva a cabo si se conoce la foma del potencial U ( ). Planteaemos el poblema en geneal en el apatado VI- y lo esolveemos paa el caso paticula de la atacción gavitatoia en el apatado VI-4. VI-.c. Consevación de la Enegía. La expesión de la enegía cinética en coodenadas polaes es = m v v m& m & + = + θ ( ) ( ) Luego, la ecuación que expesa la constancia de la enegía del sistema es, l ( m + m & ) + U () = m& + U () E = & θ + (6-6) m Se puede intepeta esta última ecuación como si la patícula se moviea en un potencial l efectivo U eff = U () +. El témino en l se denomina potencial centífugo debido a que m al se deivado especto de da oigen a la fueza centífuga mencionada anteiomente. La ecuación de la enegía nos pemite obtene la ley hoaia de un movimiento cental de enegía E y cantidad de movimiento angula l. En efecto, despejando la velocidad adial de la ley de consevación obtenemos d dt eodenando e integando, ( E U ()) / = & = ± eff (6-7) m La fueza cental es consevativa. Este hecho esta implícito en la definición que hemos tomado de la misma, pues deiva de un potencial.

7 FUEZAS CENALES 6 () t 0 ( E U () ) / ± eff d = dt = t t m t t0 0 (6-8) paa cualquie potencial cental. Sólo paa algunos potenciales el integal admite una expesión en téminos de funciones elementales. El signo a elegi dependeá de las condiciones iniciales que deseamos ajusta. (Según la velocidad adial sea inicialmente entante o saliente). obtenemos una expesión que pemite halla la ley hoaia ( t) Fecuentemente en los movimientos centales es de inteés halla la tayectoia del móvil más que su ley hoaia. Un camino posible es elimina el tiempo en téminos del ángulo θ usando paa ello la consevación de l. Ejecicio VI-: La expesión paa la velocidad adial (6-7) puede descomponese en / ( E U () ) dt d = ± eff. m a) Use la consevación de l = m & θ paa elimina el tiempo de la última ecuación en téminos de la vaiable angula θ. b) Integando ambos lados de la ecuación obtenida, mueste que la tayectoia puede obtenese de θ () = θ 0 ± l 0 m d / ( E U eff () ) VI-. Fómulas de Binet.

8 6 INODUCCION A LA MECANCIA DE LA PAICULA Existe una foma altenativa de obtene la tayectoia del móvil y paa algunos campos centales es mucho más efectiva que la descita en el apatado anteio. Consideamos la vaiable auxilia u =. Usando la consevación de la cantidad de movimiento angula (6-4), podemos obtene expesiones paa la velocidad y aceleación adiales en téminos de u y sus deivadas angulaes. En efecto, éstas deivadas son du d d & m u = = = = = & dθ dθ dθ & θ l d u d m m dt d m m u = & & && & = = = = d d l l d dt l & θ θ θ θ l De estas expesiones obtenemos fácilmente, l m & = u u m y la ecuación adial (6-5) se tansfoma en ( u) donde la función F esta definida po F ( u) f [ ( u) ] = f ( / u) m F u + u + = 0 (6-9) l u =. Esta ecuación es especialmente fácil de esolve paa el movimiento Kepleiano (a se discutido más adelante). Ejecicio VI-3: Mosta que el módulo de la velocidad (al cuadado) y la aceleación de cualquie u θ po l v = [ u + u ] / (6-0) m movimiento cental están dados en téminos de la función ( ) l u a = m [ u + u ] (6-)

9 FUEZAS CENALES 63 Estos esultados se conocen como "Fómulas de Binet" y son útiles cuando se desea calcula la velocidad o aceleación en cualquie punto de una tayectoia conocida. VI-3. El poblema de dos cuepos. El poblema de dos patículas puntuales que inteactúan ente sí a tavés de un potencial que es función únicamente de la distancia que las sepaa = se denomina poblema de dos cuepos. Como veemos a continuación, éste poblema se educe a estudia el movimiento de una patícula efectiva en un campo de fueza cental. En la figua 3 se desciben las posiciones de dos patículas FIG. 3: El poblema de dos de masas m y m ubicadas po vectoes posición y cuepos. espectivamente (especto de cieto oigen 0). La inteacción ente ellas se ha supuesto atactiva paa fija ideas. Ejecicio VI-4: Demosta que si la fueza de inteacción deiva de un potencial que sólo depende de la distancia elativa entonces: a) Su ecta de acción es la que una las patículas. b) Su módulo sólo depende de la distancia elativa. c) Veifica el Pincipio de Acción y eacción. Po genealidad, hemos colocado ambas patículas en un campo de fueza extena, sobe el cual haemos hipótesis estictivas a medida que sea necesaio. Este campo ejece una fueza ( ) ( ) F sobe la patícula () y F sobe la patícula (). ext ext

10 64 INODUCCION A LA MECANCIA DE LA PAICULA El sistema tiene seis gados de libetad epesentados (po ejemplo) po los vectoes posición y. En téminos de éstos vectoes podemos escibi las ecuaciones de movimiento, ( ) ( ) m & = F + F f ( ) ˆ ext = + Fext ( ) ( ) m & = F + F f ( ) ˆ ext = + Fext donde el veso ˆ = es la diección del vecto sepaación elativa = que une las posiciones de ambas patículas. Estas ecuaciones están acopladas. Es deci ambas ecuaciones dependen de y a tavés de la fueza de inteacción. Si p = m & y p = m & son las cantidades de movimiento lineal de las patículas, la cantidad de movimiento angula del sistema es L = L + L = p + p y la enegía del mismo se puede escibi como p p E = + + U ( ) + U ext m m Hasta aquí no hemos hecho más que descibi las ecuaciones que egulan la dinámica de un sistema de dos patículas que inteactúan ente sí en téminos de sus vectoes posición. Esta descipción puede hacese sin embago en témino de vaiables más adecuadas. Estas son la posición del cento de masas y la sepaación elativa (que ya fue definida). El cento de masa tiene un vecto posición dado po (cif. Cap. IV), m + m + m m = m + m Es fácil expesa los vectoes posición de las patículas en téminos de las nuevas vaiables y ( = ): m = m + m m = + m + m

11 FUEZAS CENALES 65 Las elaciones anteioes son lineales po lo que se extienden a velocidades y aceleaciones. Podemos expesa toda la dinámica del sistema en téminos de las nuevas vaiables y. Las ecuaciones de movimiento esultan () m & µ & = f () ˆ + Fext ( ) m & + µ & = f () ˆ + Fext donde hemos intoducido la masa educida del sistema µ : mm µ = m + m (6-) Las ecuaciones continúan acopladas. Sin embago, en las nuevas vaiables es fácil desacoplalas. Sumando ambas ecuaciones obtenemos: m + m & = F ext + F () ( ) ( ) ext Esta ecuación descibe el movimiento del cento de masas bajo la acción de fuezas extenas y es análoga a la que se obtuvo (po un pocedimiento simila) en el Cap. IV. Como se demostó allí, el movimiento del cento de masas no depende de la inteacción sino solamente del campo exteno. Multiplicando la pimea ecuación po m, la segunda po m y estándolas se obtiene: µ () µ ( ) µ & = f () ˆ Fext + Fext m m Esta ecuación detemina la dinámica de la sepaación elativa. Esta es deteminada po la inteacción y además po el campo exteno. En ausencia de campo exteno el movimiento del cento de masas es tivial y podemos toma el oigen de coodenadas (O) en dicho punto. Es deci = & = & = 0 sin pédida de genealidad. En este caso, el poblema se educe a esolve () ˆ µ & = f (6-3)

12 66 INODUCCION A LA MECANCIA DE LA PAICULA Esta ecuación de movimiento en la sepaación elativa es la de un patícula de masa µ sometida a un campo de fueza cental (atactivo si f ( ) es positiva). Po supuesto, la tal patícula es sólo una constucción matemática útil paa esolve el poblema. Las vedadeas patículas del poblema son m y m. Una vez esuelto el poblema de fuezas centales y deteminada () t podemos volve atás en la tansfomación lineal y obtene () t y () t. En muchos casos esto no es necesaio pues toda la infomación elevante está en la vaiable. FIG. 4: El poblema de dos cuepos visto desde (a) un oigen abitaio y (b) el cento de masas. Ejecicio VI-5: a) Mueste que la cantidad de movimiento angula del sistema (especto de O) se puede escibi L = µ & + ( m m ) & (6-4) Obseve que es la suma de un témino coespondiente a la cantidad de movimiento angula del cento de masa y oto coespondiente a la patícula "efectiva" de masa µ. b) Mueste que la enegía total del sistema se puede escibi (en ausencia de campo exteno). + E = ( m + m ) & + µ & + U () (6-5) Obseve que es la suma de las enegías asociadas al cento de masas y a la sepaación elativa.

13 FUEZAS CENALES 67 Ejecicio VI-6: a) Mueste que la masa educida de un sistema es apoximadamente igual a la meno de las masas, si estas son muy desiguales. b) Mueste que la masa educida es la cuata pate de la masa total del sistema si ambas masas son iguales. Ejemplo VI-7: En el modelo atómico de Boh paa el Hidógeno, se supone que el electón y el potón gian en tono al cento de masa común en óbitas ciculaes que satisfacen la elación l = nη ( η = h / π ) donde h es la constante de Planck) siendo n un enteo positivo y l el módulo de la cantidad de movimiento angula del sistema electón-potón. Cuáles seán los valoes de enegía compatibles con esta condición? eniendo en cuenta que la masa (m 0. 5 MeV) del electón es mucho meno que la masa ( M 936 MeV) del potón, la masa educida del sistema seá µ m. El cento de masas se encuenta ubicado esencialmente donde esta el potón. Podemos toma el oigen de coodenadas en la ubicación del potón y supone que éste pemanece estacionaio. La inteacción Coulombiana ente el potón y el electón es ( ) e U = /, siendo la distancia electón-potón y e la caga del electón (y del potón) en unidades Gausianas. 3 La velocidad y el adio de la óbita están elacionadas po la condición de que la fueza centípeta sea la inteacción de Coulomb: µ v e - = v = e / µ que, junto a la condición de Boh l = µ v = n η pemite halla los adios posibles (se dejan los detalles a cago del lecto). n η n = me 3 e= Coulomb= statcoulomb es la unidad de caga fundamental en unidades MKSA y Gaussianas espectivamente.

14 68 INODUCCION A LA MECANCIA DE LA PAICULA potón) La enegía del sistema es (sin tene en cuenta la pequeña cantidad de enegía cinética del E n = µ v n e n = e n e n = e n E = n 0 donde se ha usado la elación anteio paa elimina la enegía cinética del electón. La constante 4 E0 = µ e / η 3. 6 ev es la enegía de ionización 4 coecta del átomo de Hidógeno. Los númeos enteos n = 3,,,L deteminan los niveles de enegía posibles paa el sistema. La enegía es negativa poque hemos efeido el ceo de la enegía potencial (como es usual) a la + po esta las patículas infinitamente situación en la cual hay inteacción nula ( ) alejadas. Este esultado paa los posibles niveles de enegía de un átomo de Hidógeno coincide con el que se obtiene a pati de la Mecánica Cuántica, que es la teoía adecuada paa un sistema tan pequeño como un Átomo. VI-4. Aplicación al Movimiento Planetaio (o Kepleiano). Supongamos una patícula de masa m sometida a una fueza cental de atacción f () = GmM /. Esta fueza deiva del potencial cental mm U () = G Si ademas M >> m podemos despecia el movimiento de M y consideala fija en el cento de masas. De lo contaio debemos tene pesente que es una sepaación elativa y ademas eemplaza la masa m po la masa educida en todas las ecuaciones subsiguientes (salvo en la ley de Gavitación popiamente dicha). En lo que sigue, paa fija ideas, tabajaemos en la hipótesis de que M epesenta la masa sola y m la de cualquie cuepo que se desplaza en nuesto sistema sola (m << M ) bajo la atacción de la gavedad sola exclusivamente. Sin embago, el tatamiento es extensible a cualquie potencial cental del tipo /. VI-4.a. ayectoias. Utilizando el cambio de vaiable u = /, la ecuación adial queda (definiendo la constante γ = Gm M ). 4 La enegía que el átomo debe absobe paa libease de su electón.

15 FUEZAS CENALES 69 m u + u γ = 0 l Definimos la constante p (a la cual le asignaemos un significado geomético más adelante) l l = = (6-6) m γ m MG p en téminos de la cual la ecuación anteio queda u + u = p Esta ecuación es la de un oscilado fozado po una fueza constante, la cual fue esuelta en el Cap. V.Su solución es del tipo = + Acosθ p Donde A es una constante de integación y se ha hecho una elección apopiada de ejes paa hace la ota constante de integación igual a ceo. Esta ecuación epesenta una sección cónicas en coodenadas polaes. La foma canónica de la misma es p = (6-7) + ε cosθ donde la constante ε es la excenticidad y p el paámeto de la cónica. Hemos demostado po lo tanto la Pimea Ley de Keple: foco. La tayectoia de un cuepo en el sistema sola es una sección cónica con el sol en un La excenticidad es una constante no negativa que detemina el tipo de cónica de que se tate ( ε >, ε =,0 < ε <, ε = 0 coesponden a hipébola, paábola, elipse y cicunfeencia espectivamente). Paa el caso de una elipse ( ε < ) los semiejes mayo y meno (α y b espectivamente) están dados po

16 70 INODUCCION A LA MECANCIA DE LA PAICULA p α = ε De estas ecuaciones se despende además que p = b / a ε p b = (6-8) ε b = a FIG. 5: Secciones cónicas con un foco común. Ejemplo VI-6: ecea ley de Keple. Demostaemos que en el caso de una óbita elíptica, el peíodo al cuadado es popocional al semieje mayo al cubo. La constante de popocionalidad es la misma paa cualquie móvil, pues sólo depende del campo de fueza. El áea de una elipse es π ab. El tiempo que emplea el adio vecto en bae toda esta áea es el peíodo. Dado que (de acuedo a la segunda ley de Keple) el adio vecto bae áeas a la velocidad constante de l / m el peíodo es π a = l / a p ( m)

17 FUEZAS CENALES 7 donde hemos eliminando el semieje meno b = a p. Usando la definición de p (6-6) y elevando al cuadado tenemos VI-4.b. El ol de la Enegía. π 4 3 = (6-9) GM a Las constantes del movimiento E y l deteminan completamente la óbita del ε y p movimiento. Es útil halla expesiones paa los paámetos geométicos del movimiento ( ) en téminos de los paámetos dinámicos ( E y l) del mismo. Ejecicio VI-7: mm La enegía total es E = mv G. Use la fómula de Binet paa elimina la velocidad en téminos de la tayectoia y mueste que ésta enegía esta dada, en el caso de óbitas elípticas, po: ( ε ) γ γ E = = (6-0) p a Po ota pate, la ecuación (6-6) da l en téminos de p según: ( ) / l γ m p = (6-6) Es inteesante obseva que la constante l queda deteminada únicamente po el paámeto p. Es deci que podemos tene óbitas de difeentes excenticidades paa difeentes valoes de la enegía, todas con la misma cantidad de movimiento angula. De hecho, podemos discuti la natualeza de la óbita según el signo de la enegía: i) > ε, la enegía es positiva ( > 0) ii) = iii) 0 < elíptica (ceada). E y esto coesponde a una óbita hipebólica (abieta). ε, la enegía es nula ( = 0) < ε, la enegía es negativa ( / p < E < 0) E y esto coesponde a una óbita paabólica (abieta). γ y esto coesponde a una óbita

18 7 INODUCCION A LA MECANCIA DE LA PAICULA iv) = 0 E = γ / p y la situación coesponde a la óbita cicula. La discusión que antecede es consecuencia diecta de lo que ya se discutió en elación al papel de la excenticidad. ε, la enegía es mínima ( ) Como se discutió en el apatado VI-c, la patícula expeimenta un potencial efectivo dado po: l mm l U eff () = U () + = G + m m y la enegía total se puede escibi como E m& l + m = mm G Consideaemos los cuato casos anteioes desde el punto de vista de la ecuación de la enegía. i) Caso E > 0 (tayectoia hipebólica). La enegía cinética en cualquie punto de la tayectoia es numéicamente mayo que la enegía potencial en ese punto, es deci, > U. En este caso vemos que el cuepo de masa m posee suficiente enegía cinética paa llevala hasta donde U es ceo, (o sea es infinito). El cuepo escapaá del campo de atacción de la masa M. ii) Caso E = 0 (tayectoia paabólica). En este caso, en cualquie punto de la óbita la enegía cinética es igual a la potencial, o sea = U. El cuepo de masa m posee exactamente la enegía necesaia paa escapa del campo de atacción (quedando en eposo al final). iii) Caso E 3 < 0 (tayectoia elíptica). El cuepo posee menos enegía cinética que potencial, o sea < U. Las óbitas ciculaes están incluidas en esta categoía, aunque las consideaemos apate po se un caso extemo.

19 FUEZAS CENALES 73 El cuepo de masa m no posee suficiente enegía cinética paa pode escapa del campo de atacción. En este caso existen puntos de la óbita en los cuales la distancia al cento de fueza es máxima o mínima (se denominan peihelio y afelio si la óbita es sola). iv) Caso E 4 = Emin < 0 (tayectoia cicula). La velocidad adial es nula, lo que hace que la enegía cinética sea la meno posible (paa un dado l ). En la figua 6 gaficamos (cualitativamente) el potencial efectivo (y la contibución Kepleiana y centífuga al mismo) y ubicamos en ese diagama las cuato enegías típicas ya discutidas. FIG. 6: Potencial efectivo. a) Las constantes dinámicas del movimiento ( E y l). b) Las constantes geométicas del mismo ( ε y p). Ejecicio VI-8: Halla la máxima ( max ) y mínima ( min ) distancia al cento de fueza en téminos de: VI-4.c. Ejemplos. i) Velocidad de Escape. Un cuepo lanzado con velocidad de módulo v desde cieta distancia al cento de fueza tendá una enegía: E = mv G mm

20 74 INODUCCION A LA MECANCIA DE LA PAICULA si espeamos que el cuepo escape al campo de atacción, como vimos, esta enegía debe se no negativa. La meno velocidad necesaia paa escapa a la atacción se denomina velocidad de escape. Paa ésta velocidad el cuepo seguiá una tayectoia paabólica al infinito. Podemos E = 0 y despejando v : obtene la expesión paa esta velocidad anulando la enegía ( ) v esc = GM / En paticula, si el cuepo es lanzado desde la supeficie teeste, como la aceleación de la gavedad teeste es: g = GM / = 9.8m / s tenemos (usando = 637 km) v esc = g. km / s. Según este tatamiento idealizado, cualquie objeto lanzado desde la supeficie teeste con una velocidad mayo que ésta no volveá a se visto po los alededoes! ii) Movimiento Satelital (óbitas ciculaes) El movimiento de los satélites atificiales en el campo cental teeste es un buen ejemplo de los conceptos que hemos desaollado. Supongamos que un satélite se encuenta en óbita cicula a una distancia = + h del cento de la iea. es el adio medio teeste y h la altua del satélite sobe la supeficie teeste. Paa óbitas ciculaes, la velocidad v y peíodo del satélite quedan deteminadas una vez conocida la altua h. En efecto, a pati de la ecuación de Newton paa un movimiento mv GmM cicula unifome, =, podemos despeja la velocidad: GM g V = = = g( + h ) + h donde hemos usado la aceleación de la gavedad en la supeficie teeste ( g = GM / = 9.8m / s ). Podemos expesa este esultado en téminos de la velocidad de escape teeste ( v esc. km / s) hallada en el ejemplo anteio (es una unidad natual paa el poblema):

21 FUEZAS CENALES 75 / ( ( + h / )) v = vesc mientas que el peíodo obital es simplemente, ( ) h π π + h π + = = [ ( + h )] = V V V esc ( ) 3 [ ( h π + )] = [ ( + h )] Es inteesante obseva que el peíodo y la velocidad obital de un satélite es el mismo paa una nave espacial de miles de toneladas y paa un pequeño tonillo despendido de la misma. Es deci, estas cantidades son independientes de la masa del móvil. Esto es debido a que la atacción gavitacional es popocional a la masa del mismo y objetos más masivos son ataídos más fuetemente. esc V esc Óbitas de baja altitud. Si la altua es pequeña en compaación con el adio teeste ( 637km) fómulas se simplifican a v esc v = y = v esc estas π La meno altua pacticable (antes de que los efectos de la ficción atmosféica comiencen a hacese senti) es del oden de 00 km. En esta óbita el peíodo seá de unos 90 minutos. Óbita Geoestacionaia. La óbita cicula en la cual el satélite tiene el mismo peíodo de otación que la iea se denomina geoestacionaia. un obsevado ubicado en la intesección del adiovecto del satélite con la supeficie teeste lo veá estacionaio. Este tipo de óbitas están en el plano ecuatoial ( po qué?) y su altua está bien deteminada ya que =4 hoas, despejando h la fómula del peíodo se obtiene / 3 v esc hg = 35800km π Los satélites geoestacionaios de comunicaciones se suelen coloca en gupos de a tes, ubicados en los vétices de un tiángulo equiláteo en el plano ecuatoial teeste. De esta foma, constituyen una ed de tansmisión sin puntos ciegos (es deci, alcanzan cualquie punto del globo).

22 76 INODUCCION A LA MECANCIA DE LA PAICULA iii) Óbitas de ansfeencia. Este solía se un poblema académico hasta la década del 60, cuando el poyecto Apolo loga el pime alunizaje. Qué óbita debe segui una nave que pate de la tiea paa alcanza oto cuepo celeste? Lo más eficiente en téminos de combustible esulta deja que la nave adopte una óbita elíptica intemedia (ente la de patida y la de llegada) en el campo cental sola y que esta óbita se una suavemente a las de los cuepos de patida y de llegada. Esta situación se ilusta en la figua 7. Paa fija ideas, consideamos el envío de una nave desde la iea hacia Venus. Consideaemos que las óbitas de los dos planetas son ciculaes (con el Sol en su cento). Esto es una buena apoximación ya que la excenticidad de ambas óbitas es muy baja. 5 Los adios de las óbitas son las espectivas distancias iea-sol y Venus-Sol. Es conveniente adopta la Unidad Astonómica (AU) 6 como medida de distancia en éste poblema: los adios obitales son = 00. AU Y V = 07. AU espectivamente. FIG. 7 Una masa m en una óbita cicula de adio en tono al Sol (masa M Θ ) tendá una velocidad dada po m / M Θ mv M Θ G = v = G La velocidad en la óbita cicula de patida v se puede calcula (sin conoce G : pati del peíodo obital teeste de año y la distancia a tiea Sol ( ) v π π km = = 9. 6 km / s s 8 y M0) a 5 ε = 0.07 paa la iea y ε = paa Venus. Estos númeos son muy pequeños en elación a AU=.496 x 0 m (distancia media iea-sol).

23 FUEZAS CENALES 77 La óbita de tansfeencia seá una elipse tangente a ambas óbitas ciculaes. Es deci, de eje mayo a = + = 7. AU. v La enegía de esta óbita elíptica esta dada po la ecuación (6-0) como E = γ a = GmM / a. Po lo tanto, hay que da un impulso a la nave m( v v ) = m v donde v seá su velocidad en la óbita de tansfeencia de enegía E : E = mv' G mm mm = G a mm = G + v de donde despejamos la velocidad v 09. v 7. km / s. El impulso (po unidad de masa) es pequeño: v 4. km/ s (Fue necesaio fena la nave paa que adopte la óbita de tansfeencia). La nave pemaneceá en la óbita elíptica de tansfeencia duante medio peíodo hasta alcanza la óbita de Venus Podemos halla la duación del viaje inteplanetaio usando la 3a Ley : de Keple paa halla éste peíodo ( ) t 3 at ( / ) = = ( 0.5.7) 3 + v t = t de donde suge t días. El tiempo de viaje es, como se mencionó, la mitad de éste peíodo: t viaje 46 días (unos 5 meses con los motoes apagados simplemente "cayendo" hacia el Sol!) Al cabo de éstos cinco meses, se deben encende los motoes de la nave nuevamente paa abandona la óbita de tansfeencia y adopta la óbita cicula de Venus en tono al Sol. La velocidad de la nave aumentó (a expensas del campo cental del Sol) hasta éste momento. Podemos halla la velocidad v de la nave cuando se halla a una distancia v del Sol usando nuevamente la consevación de la enegía: 3 E = mv G mm v mm = G a mm = G + v lo cual da el valo v 7. v 377. km / s. Paa enta en la óbita de Venus necesitamos conoce la velocidad obital. No conocemos el peíodo venusino, de foma que ecuimos nuevamente a la 3a. Ley de Keple paa halla v V :

24 78 INODUCCION A LA MECANCIA DE LA PAICULA V V V V V V V V v v v v 8. / 3 / = = = = π π lo cual da una velocidad v km s V /. Es deci que se equiee un impulso (po unidad de masa ) v km s 8. /. De nuevo, es necesaio fena la nave paa ingesa a la nueva óbita cicula y completa la opeación de tansfeencia.

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