CONTENIDO PROLOGO I PARTE I FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA PARA LA INGENIERÍA Y DINÁMICA DE LA PARTÍCULA EN MOVIMIENTO PLANO

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1 V CONTENIDO PROLOGO I PRTE I FUNDMENTOS DE L MECÁNIC PR L INGENIERÍ Y DINÁMIC DE L PRTÍCUL EN MOVIMIENTO PLNO 1. Fundamentos de la Mecánica paa la Ingenieía. 1.1 Intoducción Conceptos básicos. 1.3 Sistemas de coodenadas Elementos ásicos de Álgeba Cálculo Vectoial. 6 Vecto de Posición. 6 dición de Vectoes. 6 Notación Vectoial. 7 Componentes de un Vecto. 8 Poducto Escala Vectoial. 10 Deivada de un poducto de dos vectoes Pocedimiento geneal paa la solución de ejemplos ejecicios de mecánica Ejemplos de discusión ejecicios de tabajo. 3 Cinemática de la Patícula en Movimiento Plano.1 Elemento básicos del movimiento. 35 Velocidad de una patícula. 35 celeación de una patícula. 36. Movimiento plano en coodenadas catesianas Movimiento plano en coodenadas de taectoia Movimiento Plano en coodenadas Polaes Movimiento elativo de patículas. 46 Movimiento elativo dependiente Movimiento unidimensional. 49 Métodos gáficos paa el movimiento unidimensional Ejemplos de discusión ejecicios de tabajo Cinética de la Patícula en Movimiento Plano Pate : Fueza, Masa celeación 3.1 Intoducción Lees del Movimiento de Newton. 77 Cantidad de Movimiento Lineal (momentum)78 Masa equivalencia de Masas. 78

2 VI 3.3 Fueza Momento de una Fueza. 80 Tipos de Fuezas. 81 Pincipios de ozamiento seco Le de la Gavitación univesal Unidades. 85 Sistema de Unidades. 87 Sistema Integal de Unidades SI Macos de Refeencia Sistemas de Patículas. 94 Cento de masa Diagama de cuepo libe ª Le de Newton en vaios sistemas de coodenadas plicaciones de la Segunda Le de Newton. 104 Movimiento mónico Simple (mas) 107 Movimiento ngula. 111 Movimiento Cicula (péndulo cónico) 114 alanceo de Masas. 116 Vaias Masas en Movimiento Cicula Ejemplos de Discusión ejecicios de tabajo. 1 Cinética de Patícula en Movimiento Plano Pate : Impulso-Cantidad de movimiento Tabajo-Enegía 3.1 Impulso Cantidad de movimiento Lineal Consevación de la cantidad de Movimiento Lineal Impacto Diecto Cantidad de Movimiento angula Consevación de la cantidad de movimiento angula Ejemplos de discusión ejecicios de Tabajo Tabajo potencia Enegía. 17 Ecuación Tabajo-Enegía Cinética. 173 Tabajo hecho po una fueza po un pa de fuezas. 174 Potencia mecánica. 175 Enegía mecánica. 177 Enegía cinética lineal. 177 Enegía cinética ngula. 178 Enegía Cinética de Defomación. 179 Enegía Potencial. 179 Pincipio de la consevación de la Enegía mecánica Ejemplos de discusión ejecicios de Tabajo. 184

3 VII PRTE II SISTEM DE FUERZS Y EQUILIRIO ESTÁTICO DE CUERPOS RÍGIDOS 4 Sistema de Fuezas Equilibio Estático 4.1 Opeaciones con Fuezas Equilibio Estático. 01 Suma de Fuezas. 01 Momento de componentes de una fueza. 03 Momento de un pa de fuezas Resultante de un sistema de fuezas coplanaes Resultante de un sistema de Fuezas espaciales Sistema de Fuezas paalelas distibuidas. 1 Cento de masa cento de gavedad centóide de un cuepo ígido Equilibio de un cuepo ígido. 3 Ecuaciones de equilibio de sistema de fuezas coplanaes.3 Ecuaciones de equilibio de sistema de fuezas espaciales maduas, Macos Máquinas simples Cables Flexibles Rozamiento Ejemplos de discusión Ejecicios de tabajo. 4 PRTE III DINÁMIC DEL CUERPO RÍGIDO EN MOVIMIENTO PLNO 5 Cinemática de un Cuepo Rígido en Movimiento Plano. 5.1 Intoducción Tipos de movimiento Movimiento elativo ente dos puntos de un cuepo ígido Diagamas de velocidad Cento instantáneo de otación Imagen de velocidad. 66 Caso con juntas Deslizantes (coedeas) Diagamas de celeación Imagen de aceleación Movimiento de un ten de enganes ectos Movimiento Epicicloidal Ejemplos de discusión ejecicios de tabajo Cinética de un Cuepo Rígido en Movimiento Plano. 6.1 Movimiento plano Geneal Rotación especto a un eje Fijo. 98

4 VIII 6.3 Momento de inecia de un cuepo especto aun eje. 98 Teoema de los ejes paalelos. 98 Teoema de los ejes pependicula. 99 Momento de inecia de un cilindo ecto unifome plicaciones Ejemplos de Discusión Ejecicios de tabajo. 303 PÉNDICES 1. Álgeba Vectoial ásica 37. Unidades Integación po el método de apoximación fuezas consevativas enegía potencial Centos de masa momento de inecia 338 RESPUESTS LOS EJERCICIOS DE TRJO 341 ÍNDICE 345 ILIOGRFÍ 351

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6 I PROLOGO La pepaación de este libo es con el popósito de ofece al estudiante, una exposición simple concisa de los pincipios básicos de la mecánica de ingenieía alcanza los objetivos que se tienen en los capítulos petenecientes a los pogamas de los cusos de esta mateia; que se impaten en las caeas de ingenieía. Paa loga lo anteio, se ha seguido una línea fundamental; elaboa la oba en la misma foma en que se impate este cuso. Se ha elegido el oden de pesentación de las unidades o capítulos del libo, con sus temas subtemas, de acuedo a la expeiencia de impati esta mateia; el cual coesponde a lo que se ha encontado se de más fácil asimilación po los estudiantes, especto a los pincipios métodos de la mecánica el desaollo de sus habilidades; paa establece la estategia de solución de situaciones de la mecánica de ingenieía, dadas en ejemplos ejecicios de tabajo. El mateial del libo se ha oganizado en tes pates pincipales: la 1a. Pate se basa en los capítulos 1,, 3 elativos a los fundamentos de la mecánica paa ingenieía a la dinámica de la patícula en movimiento plano. La da. pate con el capitulo numeo 4 efeente a sistemas de fuezas equilibio estático de cuepos ígidos. La 3a. pate última consiste de los capítulos 5 6, Dinámica del cuepo ígido en movimiento plano. El libo no contempla unidades o capítulos efeentes a la dinámica de la patícula el cuepo ígido con movimiento tidimensional ; debido, en pime luga, poque la maoía de elementos de máquinas mecanismos se mueven en planos paalelos en segundo luga, a que el tiempo asignado paa impati la mateia en la maoía de las caeas de ingenieía de difeente especialidad a la de mecánica civil no es suficiente, paa inclui estos capítulos en el contenido de la asignatua; que po lo geneal es de 6 hoas po semana en cusos de un semeste.

7 II Ya que la heamienta matemática nos popociona un medio sistemático paa aplica los pincipios de la mecánica, cabe espea que el estudiante tenga conocimientos pevios de álgeba, geometía, tigonometía paa un entendimiento mao, pincipios de análisis matemáticos (Cálculo escala vectoial). La notación vectoial se maneja desde la pimea unidad; con la finalidad de familiaiza al estudiante; con su utilización adecuada en los métodos de álgeba vectoial que se emplea en la mecánica de ingenieía. Paa el estudiante inteesado en conoce, cual método es el mejo paa esolve un ejemplo o ejecicio de tabajo efeente a una situación eal de la mecánica de ingenieía; consideando no tene la capacitación paa inicia el pocedimiento espectivo de su solución; se ha pocedido en la foma siguiente cada capitulo del libo se divide en dos pates. La pimea pate consiste de la exposición de la teoía básica espectiva, con pocos ejemplos demostativos. La segunda pate contiene ejemplos de discusión, muchos de los cuales son descitos explicados en una foma geneal encomendada a la asesoia tutoial: donde métodos difeentes adecuados paa esolve un mismo ejemplo de tabajo, son compaados las dificultades que sugen son indicadas con cietas técnicas. Cada capítulo temina con una seie de ejecicios de tabajo a esolve. Estos son odenados gadualmente de meno a mao dificultad, de tal manea que efuezan la confianza del estudiante al pocede a esolvelos da las espuestas solicitadas. unado a lo anteio, en el tema 1.5 Pocedimiento geneal paa la esolución de ejemplos ejecicios de mecánica, se pone a consideación del estudiante los pincipales lineamientos en un oden ecomendado a segui en el análisis de estos poblemas, que nos pemiten simplifica su solución educi la pobabilidad de eoes. Los ejemplos ejecicios numéicos se pesentan en unidades del Sistema Intenacional (SI), peo otos

8 III sistemas de unidades todavía en uso, con sus espectivas elaciones de convesión son cubietos en el capitulo 3, tema 3.5. Imposibilitado a cumpli con los deseos de da un econocimiento a todas las fuentes de infomación del mateial vetido en esta oba. Ya que este, ha sido extaído conjuntamente de la pepaación de las notas de enseñanza paa la asignatua de mecánica de ingenieía, con sus espectivos eactivos que se aplican en los difeentes tipos de evaluación también a las discusiones de los difeentes temas de la asignatua; con estudiantes colegas pofesoes, a los que esto extemadamente agadecido. S.G.G ESIME Zacatenco

9 1 Pate I Fundamento de la Mecánica paa Ingenieía Dinámica de la Patícula en Movimiento Plano 1 FUNDMENTO DE L MECÁNIC PR INGENIERÍ 1.1. Intoducción La mecánica es la ama de las ciencias físicas que toma en consideación el movimiento de los cuepos, consideando el eposo como un caso especial. Uno de los objetivos de la Mecánica de Ingenieía, consiste en estudia los efectos extenos de la aplicación de un sistema de fuezas a un cuepo Rígido; sea este una estuctua, un elemento estuctual, una Máquina o un elemento de Máquina. La mecánica del cuepo ígido paa su estudio se divide po lo geneal en dos pates: Estática Dinámica. La estática tata el equilibio de los cuepos; es deci, aquellos que están, a sea en eposo o se muevan en una taectoia ecta con velocidad constante; mientas que la Dinámica estudia el movimiento de los cuepos mateiales las fuezas asociadas, consideando a la Estática un caso especial de la Dinámica, donde no se tiene vaiación con especto al tiempo de la velocidad o esta velocidad es nula en los cuepos. La Dinámica a su vez se subdivide en Cinemática Cinética. Po lo que el estudio del movimiento popiamente dicho, sin impota las causas que lo oiginan, se le llama Cinemática, que elaciona únicamente la geometía del movimiento el concepto de tiempo; mientas que el estudio de las fuezas asociadas con el movimiento se le denomina Cinética; este estudio implica algunos azonamientos abstactos la poposición de lees básicas o axiomas.

10 Pincipios de Mecánica paa Ingenieía 1.. Conceptos ásicos La Ingenieía Mecánica se basa en la mecánica newtoniana, en la cual los efectos elativistas son despeciables. En la mecánica newtoniana cietos conceptos definiciones son fundamentales deben compendese pefectamente desde un pincipio: Espacio es la egión geomética en la que tienen luga los acontecimientos, En este libo se utilizaá la palaba espacio paa hace efeencia a una egión tidimensional. Sin embago no seá ao efeinos al movimiento que acontece en un espacio unidimensional o bidimensional. Maco de efeencia. La posición en el espacio se detemina especto a un cieto sistema o maco de efeencia mediante medidas lineales angulaes; El maco de efeencia fundamental paa las lees de la mecánica newtoniana es el sistema o maco inecial pimaio o sistema astonómico de efeencia, que es un maco imaginaio de ejes mutuamente otogonales que se supone no tienen taslación ni otación en el espacio. Tiempo es una medida de la sucesión de acontecimientos en la mecánica newtoniana se considea cantidad absoluta. La unidad de tiempo es el segundo, que es una deteminada facción del peiodo de otación de la tiea. Fueza es la acción de un cuepo sobe oto. Una fueza tiende a move a un cuepo en la diección de su acción sobe él. Mateia es la sustancia que ocupa un espacio. Un cuepo es mateia limitada po una supeficie ceada. Inecia es la popiedad de la mateia que poduce una esistencia al cambio de movimiento. Masa es la medida cuantitativa de la inecia. La masa es también la popiedad de todo cuepo que siempe es acompañada po una atacción mutua a otos cuepos.

11 Fundamento de la Mecánica paa Ingenieía 3 Patícula o Punto Mateial es un cuepo de dimensiones despeciables. Cuando las dimensiones de un cuepo no sean impotantes paa la descipción de su movimiento, el cuepo puede se tatado como una patícula. lgunas otas veces una patícula puede tomase como un elemento difeencial de un cuepo. Cuepo Rígido. El modelo de cuepo ígido asume que ninguna dimensión del cuepo cambia cuando este está cagado. Este puede se un modelo satisfactoio paa detemina las fuezas de eacción equeidos en los sopotes de una estuctua cagada o pedeci el movimiento de un elemento de maquina o de un vehiculo bajo la acción de fuezas. El concepto de cuepo ígido se tata de una hipótesis ideal, a que todos los cuepos eales cambian algo de foma al se sometidos a la acción de fuezas. Escala. Una cantidad a la cual solo se asocia una magnitud se dice que es un escala. Ejemplos de escalaes son el tiempo, el volumen, la densidad, la celeidad 1, la enegía la masa. Vecto. Una cantidad a la cual se asocia además de una magnitud, una diección un sentido, se dice que es un vecto Ejemplos de vectoes son el desplazamiento, la velocidad, la aceleación, la fueza, el momento la cantidad de movimiento Sistema de Coodenadas Pimeo estaemos inteesados en descibi la posición de un punto mateial después elacionalo con el movimiento de un cuepo u objeto eal. La posición de un punto mateial es definida solamente en elación a algunos ejes de efeencia. En el espacio de tes dimensiones se equieen tes coodenadas linealmente independientes paa descibi la 1 Celeidad Rapidez

12 4 Pincipios de Mecánica paa Ingenieía posición única de un punto con especto al conjunto de ejes de efeencia elegidos. Sistemas Unidimensionales de Coodenadas Figua 1.1 Si se sabe que un punto se encuenta sobe una taectoia fija; tal como una línea ecta, una cicunfeencia o una Hélice Cicula (Cuva helicoidal); entonces solamente un numeo se equiee paa localiza el punto mateial con especto a algún punto de efeencia sobe la taectoia. Este es el sistema de coodenadas usadas en planos o mapas de caeteas donde la situación del punto (Figua 1.1) se dice esta po ejemplo a 10Km. del punto a lo lago de la caetea C: Si no ocue que este en el extemo de la caetea C; debemos especifica la diección la cual seá consideada como positiva. Este sistema a menudo es efeido como un sistema de Coodenadas de Taectoia o Sistema Natual de coodenadas. Sistema idimensional de coodenadas Si un punto se encuenta en una supeficie; tal como la de un plano, un cilindo, o una esfea; entonces dos númeos se equieen paa defini la posición del punto. Paa una supeficie plana, genealmente son empleados dos sistemas de coodenadas: Figua 1. a) Coodenadas Catesianas. En este sistema una ejilla de ectas otogonales se constue la posición de un punto se define en la intecesión de dos de estas etas. En la Figua 1., el punto P se localiza especto a los ejes x e po la intesección de las ectas x 3 e es indicado po P (+3,+) o P (3,) Figua 1.3 b) Coodenadas Polaes. En este sistema (Figua 1.3) la distancia desde el oigen es deteminado conjuntamente con el ángulo que hace O P con el eje de la x como coodenadas.

13 Fundamento de la Mecánica paa Ingenieía 5 Si la supeficie donde se supone se encuenta localizado un punto mateial, es una esfea, entonces las líneas de latitud longitud pueden se las coodenadas como el caso de navegación teeste. Sistema Tidimensional de coodenadas Tes sistemas de tes dimensiones son los más comúnmente utilizados: a) Coodenadas Rectangulaes o Catesianas. Este sistema es una extensión simple del sistema bidimensional, donde un tece eje, el eje z, ha sido agegado. El sentido no es abitaio puesto que es tazado de acuedo a la egla del tonillo de osca deecha (mano deecha), como se muesta en la (Figua 1.4). Este conjunto de ejes se conoce como una tiada de mano deecha nomal. b) Coodenadas Cilíndicas. Este es una extensión del sistema de coodenadas Polaes, la designación paa θ z positivas es mostada en la (Figua 1.5). Es obvio que si R es constante, entonces el punto mateial debeá esta sobe la supeficie de un cilindo ecto. c) Coodenadas Esféicas. En este sistema la posición de un punto mateial se detemina po la distancia del punto desde el oigen (cento de una esfea) del sistema la diección dada po los ángulos θ Ø como se muesta en la Figua 1.6(a) o 1.6(b) Es impotante hace nota que; mientas que el Movimiento Rectilíneo es unidimensional, un movimiento unidimensional no es limitado al de en una línea ecta; Po ejemplo, las coodenadas de taectoia son completamente apopiadas paa descibi el movimiento de un punto en el espacio como el ángulo que es suficiente paa definila posición de una ueda o volante que este otando especto a un eje fijo. También es cieto que las coodenadas esféicas podían usase en situaciones de movimiento en una taectoia ecta que no pase po el oigen O del sistema, sin embago esto deteminaía una complicación innecesaia. Figua 1.4 Figua 1.5 Figua 1.6

14 6 Pincipios de Mecánica paa Ingenieía 1.4. Elementos ásicos de Álgeba Cálculo Vectoial En la Mecánica de Ingenieía tatamos con muchas cantidades que tienen tanto magnitud como diección que se pueden expesa como vectoes. En este tema (1.4) haemos una evisión somea de las definiciones, conceptos opeaciones pincipales que se manejan, de álgeba cálculo vectoial en Mecánica. Vecto de Posición. Una ecta tazada desde el oigen O a un punto mateial P, siempe deteminaá po completo la posición de la P es independiente de cualquie sistema de coodenadas; de aquí se despende que alguna ota ecta tazada a una escala conveniente, puede también usase paa epesenta la posición de P especto a O (se escibe OP ). Figua 1.7 Figua 1.8 En la figua 1.7 (b), ambos vectoes epesentan la posición de P elativa a O, la cuál es mostada en 1.7(a), como ambos vectoes de 1.7(b) teniendo la misma magnitud la misma diección de P especto a O; Estos vectoes son llamados vectoes libes. De aquí que en mecánica un vecto puede definise como un segmento de ecta que epesenta una cantidad física en magnitud diección. Se tiene, sin embago, una esticción sobe esta definición, que en el siguiente tema seá consideada. dición o suma de vectoes La posición de P elativa a O puede considease como la posición de Q elativa a O más la posición de P elativa a Q como se muesta en la figua 1.8(a). La posición de P puede considease también como la posición de Q elativa a O mas la posición de P elativa a Q. Si Q se elige de tal manea que OQ PQ es un paalelogamo, esto es OQ QP OQ Q P, entonces el diagama vectoial coespondiente también seá un paalelogamo. Luego, entonces el vecto de posición epesentado po oq Figua 1.8 (b), es idéntico paa el

15 Fundamento de la Mecánica paa Ingenieía 7 epesentado po qp, oq es idéntico a q p, infiiéndose que la suma de dos vectoes es independiente del oden de adición. Po el contaio, si una cantidad física es un vecto, en este caso la suma de estas cantidades físicas debeá satisface la le del paalelogamo. La cantidad física impotante en Mecánica que no cumple esta egla de la adición es la otación finita, a que puede demostase que la suma de dos otaciones finitas depende del oden de adición. La le de adición de los vectoes puede se escita simbólicamente como: OP OQ+ QP QP + OQ (1.1) Notación Vectoial Como el álgeba vectoial seá aplicada posteiomente en foma extensa, es necesaio inicia con la notación vectoial fomal. Es conveniente epesenta un vecto po un símbolo sencillo ha sido convenido en textos impesos, que un vecto genealmente sea denotado po una leta en tipo negilla, como ejemplo el vecto. La magnitud del vecto es comúnmente designado po la misma leta en tipo itálica (cusiva), es deci la magnitud del vecto se denota po (la misma leta en cusiva en vez de negilla), o po En textos de escitua manuscita el vecto puede se identificado po una pequeña aa aiba o debajo de la leta, po ejemplo paa el vecto el estudiante puede elegi el modo o manea de epesenta a un vecto [,,, ] ; ecomendando la pimea notación paa un vecto ( ). Paa un vecto de posición, dado po un segmento de ecta diigido, nosotos usaemos: OP Figua 1.9 El hecho que la adición de vectoes es conmutativa es demostado en la figua 1.9:

16 8 Pincipios de Mecánica paa Ingenieía b α α Figua 1.10 Figua 1.11 β + (1.) Todo vecto seá asociado a un númeo eal igual a la magnitud del vecto. El númeo dependeá, po supuesto, de las unidades elegidas paa epesenta a la clase dada de vecto. Es ecomendable a menudo sepaa la magnitud de un vecto de su diección. Esto se hace paa incopoa un vecto unitaio e (ê en escitua manuscita) el cual tiene una magnitud unitaia esta en la diección equeida. Po lo tanto puede escibise como e (1.3) Donde es la magnitud (un escala). El modulo, escito como, es la dimensión o tamaño del vecto siempe es positivo. En este libo, las magnitudes vectoiales pueden se positivas o negativas. Componentes de un vecto Cualquie númeo de vectoes que se adicionan paa da oto vecto suma son las componentes de este vecto suma. Genealmente las componentes de un vecto son otogonales ente si, como se muesta en la Figua 1.10 En coodenadas Catesianas ectangulaes los vectoes unitaios en las diecciones x,, z son dados po los símbolos i, j, k espectivamente. Po lo tanto las componentes de (figua 1.11) pueden escibise como: Donde los ejes x,, z. x i+ j+ k (1.4) z x z,, son las componentes de con especto a Resulta que, si i+ j+ k, entonces x z ( + ) i+ ( + ) j+ ( + )k + (1.5) x También es fácil compoba que + + C + + C x ( ) ( ) z z

17 Fundamento de la Mecánica paa Ingenieía 9 también que a a i+ a j+ a k (1.6) x z Puesto que son vectoes libes Donde a es un escala. Consideemos una vez más la expesión (1.4) del vecto i+ j+ k, el módulo de se detemina po la x z simple aplicación del teoema de Pitágoas, dando x + + z El coseno diecto. l, se define como el coseno del ángulo ente el vecto el eje x positivo, esto es, de la Figua 1.1 De manea semejante ( POL) x l cos (1.8a) ( POM ) m cos (1.8b) ( PON ) z n cos (1.8c) Figua 1.1 De las ecuaciones 1.3 a la 1.10, e x i+ j+ li + mj+ nk z k Esto es, los cósenos diectoes son las componentes del vecto unitaio; po lo tanto Obsévese que: l + m + n 1 (1.9)

18 10 Pincipios de Mecánica paa Ingenieía Poducto Escala Vectoial Estas combinaciones conocidas anteiomente como poducto diecto poducto cuzado de vectoes son vedadeos poductos, a que, obedecen la le fundamental de los poductos; es deci, la le distibutiva, la que establece que al poducto de dento de la suma de C es igual a la suma de los poductos de dento de dento de C. Figua 1.13 Poducto Escala de dos Vectoes El poducto escala de dos vectoes (efeido también como poducto punto) se define fomalmente como cosθ, figua 1.13, donde θ es el ángulo más pequeño ente los vectoes. El poducto escala se indica po un punto colocado ente los símbolos de los dos vectoes. D cos( θ ) (1.10) Infiiéndose en esta definición que De la figua 1.1 se ve que cosθ es la componente de en la diección de ; en foma semejante cosθ es la componente de en la diección de. Esta definición más tade se vea su utilidad en la descipción del Tabajo Potencia. e cos θ (1.11) ( ) Esto es la componente escala de en la diección de e. También de la definición del poducto escala de dos vectoes se despenden estas popiedades. a) ² El poducto escala de un vecto po si mismo es el cuadado de su magnitud b) 0, 0, 0 si solo si es pependicula a c) En paticula paa los vectoes unitaios i. j, k, a lo lago de los ejes positivos de un sistema de coodenadas ectangulaes (Catesianas). El signo D significa igual po definición

19 Fundamento de la Mecánica paa Ingenieía 11 i i j j k k 1 i j k k j k 0 (1.1) Poducto Vectoial de dos vectoes El poducto vectoial o poducto cuz, de dos vectoes se define como senθ n (figua 1.14), donde θ es el ángulo más pequeño ente los vectoes, el vecto n es un vecto unitaio otogonal al plano deteminado po su diección se detemina po la egla de la mano deecha. El poducto vectoial se epesenta po una cuz (x) colocada ente los símbolos de los vectoes. D senθ n (1.13) Examinemos las popiedades más significativas del poducto vectoial, como lo hicimos con las del poducto escala de dos vectoes. La opeación del poducto vectoial de dos vectoes no es conmutativa, a sea; de hecho, po la misma definición, la tansposición de los dos factoes cambia el signo del poducto: ( n) senθ (1.14) Los vectoes x x, tienen las mismas magnitudes peo diecciones opuestas (figua 1.14). El poducto vectoial nulo es una pueba del paalelismo de dos vectoes no nulos. Si x 0, con 0, 0, pués sen θ debeá anulase a que θ 0º o θ 180º, así tienen las mismas opuestas diecciones po lo tanto son paalelos. Sea la ecuación vectoial con la igualdad de los poductos escalaes C, con 0, que implica que a sea, C o -C es otogonal a ; sin embago, paa una igualdad de los poductos vectoiales no se puede deci lo mismo. Si x C x, no es posible infei que C, puesto que la ecuación también se cumple, si -C es paalela al vecto.

20 1 Pincipios de Mecánica paa Ingenieía demás, po la definición del poducto vectoial, el poducto cuz de un vecto po el mismo es el vecto nulo (0). La multiplicación del poducto vectoial po un escala es asociativa, es deci, ( ) ( k ) ( k ) k (1.15) El estudiante no debe tene dificultad en compoba po si mismo esta última expesión. El tiple poducto vectoial, ( C ) cumple con la le asociativa: ( C ) ( ) C, pese a todo no Puesto que x C es pependicula al plano de C, ( C ) debe esta en el plano de C. De manea simila, ( ) C debe esta en el plano de. Estos dos planos no son genealmente los mismos los dos vectoes ( ( C )) ( ) C, po lo tanto no son iguales. Como el caso del poducto escala, encontamos las elaciones con la tiada de vectoes unitaios, en los poductos vectoiales de cada una de las pemutaciones posibles de dos de tes vectoes unitaios: i i j i j j i k, j k k j k k j i, k i i k j. 0, (1.16) Po último como hemos establecido desde el pincipio de este tema, que tanto, el poducto escala como el poducto vectoial son distibutivas sobe la adición de vectoes paa dos vectoes efeidos a un sistema de coodenadas ectangulaes catesianas como, i+ j+ k ; i+ j+ k ; seá fácil establece el modo de x z x z

21 Fundamento de la Mecánica paa Ingenieía 13 simplifica los poductos escala vectoial de estos dos vectoes consideando la le distibutiva las elaciones de vectoes i, j, k dadas en las ecuaciones (1.1) (1.16) paa obtene una apopiada foma de cálculo de estas opeaciones: Paa el poducto escala ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i k i j i i i k i j i i i k i j i i k j i k j i z z z z x z x x z x x x z x z x Po lo que z z x x + + (1.17) Y paa poducto vectoial ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i k i j i i i k i j i i i k i j i i k j i k j i z z z z x z x x z x x x z x z x Po lo que ( ) ( ) ( )k j i x x z x x z z z + (1.18) Si k j i C z x x C C C + +, vemos que las componentes escalaes de la ecuación vectoial C son las tes ecuaciones siguientes ( ) ( ) ( ) ( ) x x z x z z x z x x z z Z x C C C,,

22 14 Pincipios de Mecánica paa Ingenieía Po lo que el vecto C Cxiˆ + Cj ˆ + Czkˆ se puede escibi se puede escibi de la foma siguiente: C i z z + x z x ( 1) j + k, x z x o en la foma i j k C (1.19) x x z z Un concepto impotante definido diectamente en téminos del poducto vectoial, es el de, momento de un vecto especto a un punto. Sea un vecto emitido desde el punto Q en el espacio, sea P cualquie oto punto en el espacio (Figua 1.15). Sea el vecto de posición de Q con especto a P entonces el momento vectoial M p de con especto a, o en efeencia a P, se define como Figua 1.15 M p (1.0) Dos impotantes adiciones al concepto del poducto de vectoes son necesaias complementa a la evisión de los elementos básicos de Álgeba vectoial. Una de estas adiciones es el tiple poducto escala o compuesto. ( ) C; la ota es el tiple poducto vectoial ( ) C. Figua 1.16 El poducto ( ) C es igual al poducto de (x) la componente de C en la diección de. Como la magnitud de es el áea del paalelogamo de la Figua 1.16, ( ) C es el volumen del paalepipedo que tiene como aistas adacentes a, C Este volumen es positivo si,, C foman una sistema de mano deecha, si es al contaio, este volumen seá negativo; si los tes vectoes son coplanaes C 0. De la intepetación del tiple poducto escala como un volumen, se infiee que

23 Fundamento de la Mecánica paa Ingenieía 15 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C C C C C C (1.1) En otas palabas, el tiple poducto escala es invaiante a una pemutación cíclica de los factoes cambian de signo paa una pemutación no cíclica. Sea: ( ) ( ) ( ),,, C,,,,,, z x z x z x C C C en coodenadas catesianas, El tiple poducto escala se epesenta como un Deteminante ( ) ( ) k j i k j i C z x z x z x C C C + + Como 0 i k k j j i 1 k k j j i i Obtenemos en una expansión pacial el deteminante. ( ) z x z x z x z x x z x z x x z z C C C C C C + C De la ecuación 1.1 ( ) ( ) C C Po lo que: ( ) z x z x z x C C C C

24 16 Pincipios de Mecánica paa Ingenieía La combinación de vectoes ( C) se le llama Tiple poducto vectoial. En este caso a difeencia del tiple poducto escala; los paéntesis son necesaios paa evita ambigüedad, ( C) no es genealmente idéntico con ( ) C. Paa defini un desaollo beve a este poducto vectoial doble, obsevemos que C es nomal al plano definido po C que el poducto vectoial de este vecto cualquie oto tece vecto, es pependicula a C, debe, po consiguiente, esta en el plano contenido po C. Esto significa que ( C) es un aeglo lineal de C po lo tanto ( C ) m nc + (a) Donde m n son factoes escalaes po detemina. Realizando el poducto escala po el vecto ambos miembos de la ecuación (a), tenemos ( C ) 0 m + n C (b) Esta ecuación no pemite la deteminación de m n explícitamente, solamente se puede enconta la azón de m m n C n que es ( ) ( ) Po lo tanto, m k C n -k, tal que ( C ) k[ ( C ) ( ) C] (c) Como la compobación del valo de k 1, es compleja tediosa, no se pesenta su desaollo en foma diecta, peo si deteminaemos la ecuación paa un cálculo beve de este doble poducto vectoial bajo otas consideaciones. Paa esto, siempe podemos elegi el sistema de coodenadas (x,, z) de manea que: a). tenga la diección x; b). C este contenido en el plano (x, ); c). tenga componentes en (x,, z) es deci:

25 Fundamento de la Mecánica paa Ingenieía Po lo que también entonces i, C C i+ C j, i+ j+ k (d) C (e) 1C1 + C, 1 1 C 1 C k (f) ( C ) ( i+ j+ k) ( C k) 1 C j+ C Despejando en las dos pimeas igualdades en (d) los vectoes i, j en función de C, esulta i 1 1, j sustituendo valoes en (h) C C+ C 1 C C 1 C1 C 1 ( C ) C C + ( C ) C C + C 1 Que según (e) se puede escibi finalmente ( C ) ( C ) ( )C i (g) (1.3) Po lo que de (1.3) se infiee que el valo de k de (c) es efectivamente 1 (uno) consecuentemente (1.3) es la expesión vectoial educida fundamental del tiple poducto vectoial, ( C ) ( C ) ( )C (1.3) Como una egla de Mnemotécnica, obsévese que el º miembo del (1.3) es igual al poducto punto de los factoes extemos multiplicado po el facto del cento menos el poducto punto del facto fuea del paéntesis el facto mas cecano a este, multiplicado po el facto emanente.

26 18 Pincipios de Mecánica paa Ingenieía Esta egla también es aplicable cuando el poducto cuz de dos vectoes en paéntesis como un vecto esta pimeo ( C ) ( C ) ( C ) ( ) C ( C ) Peo ( C ) ( ) C ( C ) ( C ) Esta última expesión nos eafima como a se ha establecido anteiomente que el tiple poducto vectoial no es asociativo. Deivada de un poducto de dos vectoes continuación se evisan bevemente algunos aspectos del cálculo vectoial. Una discusión más completa amplia se encuenta en los textos de cálculo de vectoes o en libos sobe análisis vectoial. Sea un vecto de posición (u) una función continua difeenciable de un paámeto escala u. Esto implica que las componentes de son funciones continuas difeenciables de u (Figua (1.18) Figua 1.18 Cuando u vaia en foma continua desde u 1 a u el extemo de (u) tazaa una cuva suave en el espacio desde u a ( ) ( ) 1 1 u La deivada de con especto a u se define como ( u + u) ( u) D d lim lim du u o u u o u Expesando en téminos de coodenadas catesianas: Si (x,, z), Entonces (1.4) d du dx d dz i, j, k du du du Continuando esta línea de pensamiento, se tiene

27 Fundamento de la Mecánica paa Ingenieía 19 d du ( h ) ( h + h)( + ) h lim u o u h + h + h lim u o u dh du d + h (1.5) du Donde hemos ignoado el infinitesimal del º oden. En foma semejante: d du d du ( ) ( ) ( + ) ( + ) D lim u o u d d + (1.6) du du D lim u o Inmediatamente se deduce que d du ( + ) ( + ) d du u ( C ) & C+ ( C ) En foma semejante, obtenemos & C + & C+ C& (1.7) d du { ( C )} & ( C ) + ( & C ) + ( C& ) (1.8) (El punto ( ) aiba de la leta siempe indicaa deivada espectó a u) Se ha visto a la deivada de un vecto con especto aun escala. En algunas ocasiones es necesaio inveti el poceso, es deci, intega un vecto con especto a una vaiable escala. Luego, si

28 0 Pincipios de Mecánica paa Ingenieía d, la expesión invesa es dt dt + C Donde C es una constante vectoial de integación, esta cantidad es constante en magnitud diección. Uno de los métodos mas útiles paa intega consiste en expesa el integando en téminos de vectoes unitaios constantes, poque estos no cambian duante la integación la deivación Pocedimiento Geneal paa la Solución de Ejemplos Ejecicios de Mecánica Una de las disposiciones mas efectivas paa estudia la mecánica paa ingenieía es esolve poblemas; situaciones simuladas acondicionadas de la ingenieía dadas en ejemplos ejecicios. La ealidad de buenos hábitos en el planteamiento de poblemas en la epesentación de sus soluciones esulta una ventaja invaluable. Cada solución debeá pocede con una secuencia lógica de etapas desde la hipótesis hasta la conclusión su epesentación debeá inclui una exposición claa de los siguientes pates, cada una identificada en foma evidente a) Datos dados b) Resultados deseados c) Diagamas necesaios d) Computo de esultados e) Soluciones conclusiones En base a lo anteio se sugiee la siguiente secuencia de etapas o pasos: 1. Lea el enunciado del poblema cuidadosamente, las veces que sean necesaias, hasta podele enuncia con sus popias palabas, tatando de coelaciona la situación física eal pesentada, con la teoía estudiada; estableciendo cuales datos son popocionados que esultados son equeidos, dando a cada dato e incógnita el símbolo que debeá

29 Fundamento de la Mecánica paa Ingenieía 1 epesenta en los diagamas en las ecuaciones modelos matemáticos apopiados, que cuban esta situación. Si no cumple debidamente esta etapa, seá mu difícil posegui con éxito en los siguientes pasos, paa da solución al poblema po esolve.. Tace el o los coquis diagamas que sean de utilidad. En situaciones que se tengan vectoes fueza, es de impotancia taza los diagamas de cuepo libe apopiados; selecciona un sistema conveniente de coodenadas de efeencia, mostando el oigen, las diecciones de los ejes sus sentidos positivos. 3. Decida, en base a la situación pesentada en el poblema a esolve la elación con los pincipios de la mecánica de ingenieía involucadas en esta situación especifica, cuales son los modelos matemáticos, dados en ecuaciones independientes, contengan los paámetos conocidos desconocidos el numeo de ecuaciones independientes debe se po lo mínimo, igual a numeo de paámetos desconocidos, (esultados, po conoce), paa que se tenga una solución matemática compatible. 4. Identifique los paámetos conocidos desconocidos de las ecuaciones linealmente independientes, con los datos dados los esultados po conoce del enunciado del poblema, disponiendo estos paámetos o valoes en unidades conguentes, paa asegua que las ecuaciones linealmente independientes que se tengan, sean dimensionalmente homogéneas. 5. Si el numeo de ecuaciones linealmente independientes obtenidas al aplica el paso no. 3 es igual o mao que el numeo de paámetos desconocidos; continua los siguientes pasos en caso contaio, si po el paso nº 3, existen mas incógnitas que ecuaciones independientes linealmente, es necesaio obtene la ecuaciones adicionales en la

30 Pincipios de Mecánica paa Ingenieía foma siguiente: a) Mediante elaciones geométicas cinemáticas en el caso de equilibio de cuepos ígidos cinética de patículas o cuepos ígidos, espectivamente. b) Tazando diagamas de cuepo libe de pates difeentes del sistema epitiendo el paso nº 3. c) plicando las ecuaciones de ozamiento cuando existe deslizamiento o el movimiento es inminente ente las dos supeficies ugosas en contacto. 6. Oganice las ecuaciones linealmente independientes en un oden que simplifique su solución; esuelva las ecuaciones necesaias algebaicamente hasta donde sea páctico, después temine la solución numéicamente. Repesente sus espuestas numéicas, con el númeo apopiado de cifas significativas en unidades coheentes. Encontaá que, en la mao pate de los ejemplos ejecicios de este libo, se dan los datos hasta con tes o cuato cifas significativas. En geneal, al menos que se establezca lo contaio, puede supone que todos lo datos que se dan en este libo son exactos hasta tes cifas significativas. 7. Estudie las espuestas con juicio técnico sentido común, haciendo las eflexiones conclusiones que pueda, a pati de estas espuestas 8. Una vez que el poceso de solución del poblema ha sido concluido, pondee la posibilidad de que otos medios difeentes, se obtengan las mismas espuestas a la solución del poblema. El aplica este pocedimiento geneal, equiee hace el tabajo tan limpio como sea posible. Po lo geneal la limpieza en el tabajo estimula pensa clao odenadamente.

31 Fundamento de la Mecánica paa Ingenieía Ejemplos de Discusión Ejecicios de Tabajo Ejemplos de discusión Ejemplo 1.1 en la figua 1.19 un instumento topogáfico (teodolito o Tansito), esta en C paa medi distancias ángulos. Respecto a los ejes fijos x,, z en C, el punto esta en un elevación de 9.º aiba del plano hoizontal (x,). El cuepo del instumento ha giado especto al eje vetical z, un ángulo de 41º a pati de la diección positiva del eje x, paa alinease con. Figua 1.19 La distancia desde C a es de 5005m. Los valoes coespondientes paa el punto son 1.3º, 73.4º 7037 m. Detemine (a). La localización de los puntos en coodenadas catesianas elativas a los ejes que pasan po el punto C, (b) la distancia de a, (c) la distancia de a poectada sobe el plano hoizontal (x,) Solución ve figua 1.0 paa el punto, 5005m, θ41º, Ø 9.º. z sen Ø 5005 sen (9.º) 800.m R cos Ø 5005 cos (9.º) m x R cos θ 4941 cos (41º) 379.0m R sen θ 4941 sen (41º) 34.0m Po tanto, se localiza en el punto (379,34,800.)m Paa el punto ; 7037m, θ 73.4º, Ø 1.3º z sen Ø 7037 sen (1.3º) 159.7m R cos Ø 7037 cos (1.3º) 7035.m x R cos θ cos (73.4º) 010.0m R sen θ sen (73.4º) 674.0m

32 4 Pincipios de Mecánica paa Ingenieía Po lo que se localiza en el punto (010,674,154.7)m Sumando los vectoes C, tenemos: C + C o C C ( 010 i+ 674 j k) ( 379 i+ 34 j k) ( 1719i j k)m La distancia de a esta dada po ( 1719) + ( 3500) + ( ) 395m Y la componente de en el plano (x ) es: x, ( 1719) + ( 3500) 3900m Ejemplo 1. El punto es localizado en (0,3,)m el punto en (3,4,5)m. Si el vecto de posición de a C es (-,0,4)m, enconta la localización del punto C el vecto de posición de a C Figua 1.1 Solución Una aplicación sencilla de las lees de la adición vectoial es todo lo que se equiee paa la solución de este poblema. Refiiéndonos a la figua 1.1 OC O+ C ( 3 j+ k) + ( i+ 4 k) i+ 3 j+ 6 k De aquí que el punto C se localiza en (-,3,6)m En foma simila: OC O + C

33 Fundamento de la Mecánica paa Ingenieía 5 Po lo que: C OC O ( i+ 3 j+ 6 k) ( 3i+ 4 j+ 5 k) ( 5 i 1 j+ 1k)m Ejemplo 1.3. Los puntos, P se localizan en (,,-4)m, (5,7,-1)m (3,4,5)m espectivamente, detemina la componente escala del vecto OP en la diección de a la componente vectoial paalela a la ecta. Solución: Paa detemina la componente de un vecto dado en una diección paticula, pimeo obtenemos el vecto unitaio en esta diección después ealizamos el poducto punto ente el vecto unitaio el vecto dado. Esto nos da la magnitud de la componente, la de ota manea conocemos como la componente escala El vecto se detemina de la elación sí O + O ( i+ j 4 k) ( 5 i+ 7 j 1k) O O ( 5 i 1 j+ 1k)m La longitud del vecto esta dada po ( ) m 43 Y el vecto unitaio es: ( 3i+ 5 j+ 3k) e 43 La componente escala equeida es ( 3i+ 4 j+ 5 k) ( 3i+ 5 j+ 3k) OP e 43 ( ) 6. 71m 43

34 6 Pincipios de Mecánica paa Ingenieía El signo (-) indica que la componente OP (tomando la diección de O a P como positiva) paalela a es un sentido opuesto a la diección de a. Si se quiee epesenta la componente de OP en la diección descita como un vecto multiplicaemos la componente escala po el vecto unitaio paa esta diección. Po lo tanto ( 3i+ 5 j+ 3k)( 6. 71) OP ( i j k)m 43 Ejemplo 1.4. En la Figua 1., los puntos C D se localizan en (1,,4)m (,-1,1)m espectivamente. Encuente la longitud de DC el ángulo COD, donde O es oigen del sistema de coodenadas. Figua 1. Solución: Si pimeo obtenemos una expesión en foma vectoial paa CD, luego el modulo de este vecto seá su longitud equeida. Del pincipio de adición de vectoes, OC + CD OD, tal que C D OD O C ( i 1 j+ 1k) ( 1i+ j+ 4 k) ( 1i 3 j 3k)m CD 1 + ( 3) + ( 3 ) m Del poducto escala o poducto punto de dos vectoes que implica el ángulo ente estos vectoes OC OD Po lo tanto cos ( COD) OC OD (( OC)( OD) ) ( + ( ) + 4) ( 1)( 6 ) ( OC )( OD ) cos( COD ) ( 1i+ j+ 4 k) ( i 1 j+ 1k) ( 1) + 1 { }

35 Fundamento de la Mecánica paa Ingenieía 7 Y < COD Como una veificación, podemos detemina <COD de la le del coseno: cos Po lo que ( ) ( OC + OD CD ) COD (( OC)( OD) ) ( ) ( 6 )( 1) ) COD Ejemplo 1.5. Enconta un vecto unitaio pependicula al plano definido po lo vectoes libes i 6 j 3k 4 i+ 3 j 1k Solución: es un vecto pependicula al plano de i j k 6 Un vecto unitaio paalelo a es i-10j+30k n Po lo que n ( 15 i 10 j+ 30 k) ( 15) + ( 10) + ( 30) 3 7 i 7 j+ 6 7 k Oto vecto unitaio opuesto en diección, es -n Es deci, 3 6 n i+ j k Ejemplo 1.6. Compoba po medio vectoial la le de los senos paa tiángulos planos.

36 8 Pincipios de Mecánica paa Ingenieía Solución: sean a, b c los lados del tiangulo C como se muesta en la figua 1.3; po lo que a + b + c 0 multiplicando ambos miembos de esta igualdad po a, b, c en foma sucesiva, tenemos: Figua 1.3 ( a+ b+ c) 0 a b c a ( a+ b+ c) 0 b c a b ( a+ b+ c) 0 c a b c a (a) b (b) c (c) De las ecuaciones (a), (b), (c) se detemina que a b b c c a Esto es ab senc bc sen ca sen o Le de los senos sen sen senc a b c 45 Ejemplo 1.7. Un vecto fueza F ( 3i 4 j+ 1k)N 13 con línea de acción pasando po Q(0.1, -0.1,0.1)m. Enconta el momento de F con especto a la ecta que une el oigen O al punto P( 0.0, 0.1, -0.1)m, figua (1.4). Solución: a) Pimeo deteminaemos el momento de la fueza F con especto al punto P después, b) con especto a la ecta OP. a). El vecto de posición de P a Q es ( 0. 1i 0. j 0. k) PQ + El momento de F con especto a P, se calcula mediante el poducto vectoial de PQ F, M P i j k 45 PQ F 0, 1 0, 0, ( N m)

37 Fundamento de la Mecánica paa Ingenieía ( 1. 6 i 0. 6 j+ 0. k)( N m). 96 ( λ ) N m P i j k b). El vecto unitaio e en la diección del vecto de posición OP 0.1j - 0.1k es e ( 0. 1 j 0. 1k) ( 0. 1) + ( 0. 1) [ ] ( 0. 1 j 0. 1k) [ 0. 0] 1 10 ( j k) 1 10 Po lo tanto el momento de F especto a OP es M [ e]e [ M e] e ( F ) QP P PQ Sustituendo valoes esolviendo paa el tiple poducto escala. M OP ( e) 1 ( e) 45 0 ( ) e Nm e Nm ( e) ( e)

38 Pincipios de Mecánica paa Ingenieía 30 Peo también [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Nm Nm Mp OP e. e e e e.. e k j k. j. i. e e M + Quedando finalmente en foma de vecto Nm Nm OP k j k i M Ejemplo 1.8. Enconta el vecto D en téminos de,, C de la siguiente expesión. ( ) ( ) ( ) C C C D + + Solución: Como el vecto D es la suma de todos los tiple poductos vectoial (con los paéntesis en el mismo luga) fomada po los vectoes,, C en oden cíclico. Po lo que, de acuedo a la expesión educida del tiple poducto vectoial tenemos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C, C C, C C C, C C

39 Fundamento de la Mecánica paa Ingenieía 31 Sumando estas expesiones usando la conmutatividad natual del poducto escala de dos vectoes, vemos que DO; esto es, paa cualquiea de tes vectoes,, C, ( ) C+ ( C ) + ( C ) 0 Ejemplos de discusión ejecicios de tabajo, efeentes a la aplicación de los pincipios del calculo infinitesimal de cantidades escalaes vectoiales, que utilizan en la Mecánica de Ingenieía, no se han consideado en este tema 1.6, po se contemplados en los estantes capítulos de este libo, en foma diecta con mao detalle de su aplicación a la mecánica Ejecicios de Tabajo 1.1. Un vecto de posición esta dado po OP ( 3i+ j+ 1k)m detemina su vecto unitaio. 1.. Un segmento de ecta PQ con una longitud de 6m una diección dada po el vecto unitaio 1 i+ j+ k. Esciba PQ como un vecto Un punto esta en (1,, 3)m el vecto de posición de punto elativo al punto, es (6i + 3k)m. Detemine la posición de elativa al oigen del sistema de coodenadas Detemine el vecto unitaio paa el segmento, de ecta que une los puntos C D, en la diección de C a D, donde C esta en el punto (0, 3, -)m D esta en (5, 5, 0)m El punto se localiza en (5, 6, 7)m el punto en (,, 6)m. Detemine el vecto de posición a) de a b) de a P se localiza en el punto (0, 3, )m Q en el punto (3,, 1)m. Obtenga el vecto de posición de P a Q

40 3 Pincipios de Mecánica paa Ingenieía su vecto unitaio esta en el punto (1, 1, )m. la posición del punto elativa a es (i + 3j + 4k)m la de un punto C elativa a es (-3i + j + k)m. Enconta la localización del punto C. Figua Las dimensiones de un salón son 6m x 5m x 4m, como se muesta en la figua 1.5. Un cable esta suspendido desde el punto P en el techo del cuato una lámpaa L esta en el extemo del cable a 1.m veticalmente abajo de P. Detemina las coodenadas catesianas cilíndicas de la lámpaa L elativas a los ejes x,, z también enconta las expesiones algebaicas paa los vectoes unitaios del sistema de coodenadas cilíndicas e R, e θ e z en téminos de i, j, k. Figua 1.6 Figua Compoba que las elaciones ente las coodenadas catesianas cilíndicas están egidas po las siguientes ecuaciones (ve figua 1.6); x Rcosθ, i cosθ e e Rsenθ, senθ e cosθ i+ senθ j, θ, e R j senθ e θ ( x + ) 1 + cosθ e senθ i+ cosθ i,, θ θ tg, e z k e k En la figua 1.7 se muesta la localización de una aeonave en coodenadas esféicas elativas a una instalación de ada, siendo esta (0000m, 33.7º, 1.5º) Detemine la localización de esta aeonave en coodenadas catesianas cilíndicas Cuáles son los ángulos ente la ecta que une el oigen O un punto en (, -5, 6)m los ejes positivos x,, z? 1 z x

41 Fundamento de la Mecánica paa Ingenieía En el ejecicio 1.7, detemina el ángulo C Un vecto esta dado po ( i + 3 j+ 1k)m. Cuál es el componente de este vecto a) en la diección, b) en una diección paalela a la ecta que une los puntos, donde es un punto (1, 1, 0)m esta en (3, 4, 5)m Enconta la distancia pependicula desde el punto (5, 6, 7)m a cada uno de los ejes x,, z Los puntos, C son localizados en (1,, 1)m, (5, 6, 7)m (-, -5, 6)m espectivamente. Detemina a) la distancia pependicula de a la ecta que pasa po C b) el ángulo C Calcula la distancia pependicula del punto P (1, 1, 1)m a la ecta que pasa po los puntos (-1, 0, 5)m (, 1, -)m Un plano pasa a tavés de tes puntos, P (1, 1, 1); Q(-1,, 3) R (4, 5, 13). Cuál es la distancia pependicula desde el puntos (3, 1, -5) al plano? Dados dos vectoes no paalelos, establezca un sistema de tes vectoes mutuamente pependiculaes D, E, F en téminos de Enconta el tiple poducto ( C) de i 3j, 1k-1i, C 1i + 1j +1k a) utilizando el calculo diecto b) con la expesión educida del tiple poducto vectoial.

42 Fundamento 34 de la Mecánica paa Ingenieía

43 35 CINEMÁTIC DE L PRTÍCUL EN MOVIMIENTO PLNO.1. Elementos ásicos del Movimiento Recodemos que una patícula puede definise como un objeto mateial cuas dimensiones no son de consecuencia en la solución del poblema bajo consideación. Paa los popósitos de efei la cinemática de tal objeto, el movimiento puede tomase como, el epesentativo de un punto mateial con las caacteísticas o elementos del movimiento que son Desplazamiento, Velocidad celeación de una patícula. Desplazamiento de una patícula Si una patícula ocupa la posición en el tiempo t 1 en un tiempo posteio t esta adquiee la posición, consecuentemente el desplazamiento es el vecto como se muesta en la figua.1. Figua.1 En notación vectoial, o + (.1) quí el símbolo significa una difeencia finita. Si la difeencia t t t1 es pequeña, entonces lim t 0 ds, un elemento difeencial de la taectoia. Velocidad de una patícula La velocidad pomedio de una patícula duante el intevalo de tiempo t es definida como v pom t Esta es una cantidad vectoial en la diección de. La velocidad instantánea es definida como

44 36 Pincipios de Mecánica paa Ingenieía d v lim t 0 t dt Si ḙ t es un vecto unitaio tangente a la taectoia, entonces como t 0, S ê Tal que S ds v lim t dt t t 0 êt êt (.) El temino ds/dt es el índice de vaiación o cambio de la distancia ecoida po la patícula, a lo lago de la taectoia, con especto al tiempo es una cantidad escala genealmente llamada celeidad o apidez, la ecuación (.) indica que la velocidad lineal tiene 1 dimensiones de longitud dividida po el tiempo, LT, sus unidades comunes son metos po segundo (m/s) en el sistema S.I. Figua.. celeación de una patícula La aceleación de una patícula es definida (ve figua.) como v d v d a lim t 0 (.3) t dt dt La diección de a no es obvia no seá tangente a la taectoia, como en el caso de la velocidad, al menos que la taectoia sea una línea ecta. La ecuación (.3) indica que las dimensiones de la aceleación son de longitud dividida po el tiempo al cuadado, LT, sus unidades en el sistema S.I., son metos po segundo al cuadado (m/s²). Habiendo definido la velocidad aceleación de una manea bastante geneal, las componentes de estas cantidades paa una patícula estingida a movimiento en un plano; de acuedo al sistema de efeencia de coodenadas elegido; puedan ahoa se fomuladas. Es útil considea las maneas como la cantidad vectoial v, puede vaia con especto al tiempo, a que esto audaa al entendimiento del significado completo de aceleación.

A r. 1.5 Tipos de magnitudes

A r. 1.5 Tipos de magnitudes 1.5 Tipos de magnitudes Ente las distintas popiedades medibles puede establecese una clasificación básica. Un gupo impotante de ellas quedan pefectamente deteminadas cuando se expesa su cantidad mediante

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