Física General 1 Proyecto PMME - Curso 2008 Instituto de Física Facultad de Ingeniería UdelaR

Transcripción

1 Física Geneal Poecto PMME - Cuso 8 Instituto de Física Facultad de Inenieía UdelaR TÍTULO MOVIMIENTO RELATIVO MOVIMIENTO E PROYECTIL. EL ALEGRE CAZAOR QUE VUELVE A SU CASA CON UN FUERTE OLOR ACÁ. AUTORES Rodolfo Aoio, Pablo Rotondo, Gabiela Gallo. INTROUCCIÓN Se utiliaá paa esole el poblema las ecuaciones de elocidad aceleación como deiadas de la posición la elocidad espectiamente, po lo que la posición se obtendá inteando la elocidad, esta, a su e, inteando la aceleación. Cuando el moimiento es en mas de una diección (paticulamente paa dos), se inteaa componente a componente. Se aplicaá también que el jabalí se muee a elocidad constante paa así pode tomalo como oien de coodenadas de nuesto sistema de efeencia, a que no acelea, el sistema es inecial no afectaá los esultados. FUNAMENTO TEÓRICO Moimiento tidimensional. En coodenadas catesianas, una patícula se localia po,,, las cuales son las componentes del ecto que da la posición de la misma: iˆ ˆj kˆ ecuación () Suponamos que una patícula se muee de una posición en el tiempo t a la posición en el tiempo t. Su desplaamiento en el intealo t t - t es el ecto, la elocidad pomedio en el intealo t es t ecuación () En la ecuación, el ecto está multiplicado po el escala / t paa da el ecto. Entonces debe tene la misma diección que. Cuando se educe el intealo t, el ecto tiende a la taectoia eal esulta tanente a la taectoia en el límite t, en cuo caso la elocidad pomedio tiende a la elocidad instantánea : t t lim ecuación (3) Po definición de la deiada escibimos la cantidad del lado deeco de la ecuación 3 como la deiada del ecto especto al tiempo: - -

2 d ecuación (4) Al iual que el ecto en el limite t, el ecto es tanente a la taectoia de la patícula en cualquie punto del moimiento. La ecuación 4, como todas las ecuaciones ectoiales, es equialente a tes ecuaciones escalaes. Paa eploa esto, escibimos en téminos de sus componentes los sustituimos en la ecuación 4 en lua de de la ecuación : iˆ ˆj d kˆ d d d ( iˆ ˆj kˆ ) iˆ ˆj kˆ ecuación (5) Ya que dos ectoes solo son iuales si sus componentes coespondientes son iuales, al compaa los lados iquiedo deeco de la ecuación 4 emos que d, d, d ecuación (6) Paa esumi, la sola elación ectoial de la ecuación 4 es totalmente equialente a las tes elaciones escalaes de la ecuación 6. Etendeemos aoa diectamente estos conceptos a la aceleación. La aceleación pomedio es a t, la aceleación instantánea se obtiene del limite cuando tiende al intealo de tiempo: a t t lim ecuación (8) Una e más, la cantidad de la deeca puede epesase como una deiada especto al tiempo, así d a, ecuación (9) donde, ota e iualando componentes, d a d, a, d a ecuación () Nótese que las ecuaciones ectoiales sien tanto paa simplifica la notación como paa sepaa los componentes (a no tiene efecto sobe po ejemplo). Iualmente, note de la ecuación 9 que, a causa de que es un ecto que tiene tanto diección como manitud, un cambio en la diección de la elocidad puede poduci una aceleación, aun si la manitud de la elocidad no cambia. Moimiento con aceleación constante. - -

3 Moimiento de poectiles. Un ejemplo con aceleación constante es el moimiento de un poectil. Se tata del moimiento bidimensional de una patícula lanada oblicuamente en el aie. Suponemos que podemos despecia el efecto del aie en este moimiento, El moimiento de un poectil es aquel de aceleación constante, diiido acia abajo. Aun cuando puede abe una componente oiontal de la elocidad, no a una componente oiontal de la aceleación. Si eleimos un sistema de coodenadas con el eje positio acia aiba, podemos pone a - a. Además podemos supone que está en el plano, de modo que. Puesto que a es también, en todo momento es ceo entonces podemos centanos en lo que sucede en el plano. Elijamos además que el oien de nuesto sistema de coodenadas sea el punto en el cual el poectil comiena su uelo. Esta elección de oien implica que. La elocidad en t, el instante en que el poectil comiena su uelo, es, que foma un ánulo φ con la diección positia. Las componentes de son entonces, senφ ecuación () cosφ Ya que no a una componente oiontal de la aceleación, la componente oiontal de la elocidad es constante. a t cosφ ecuación () La componente oiontal de la elocidad etiene su alo inicial duante el uelo. La componente etical de la elocidad cambia con el tiempo debido a la aceleación constante acia abajo. Lueo, establecemos que a - senφ, de modo que: a t sen t φ ecuación (3) La componente etical de la elocidad es la de la caída libe. La manitud del ecto esultante de la elocidad en cualquie instante es ecuación (4) El ánulo φ que el ecto de la elocidad foma con la oiontal en ese instante esta dado po tan φ ecuación (5) El ecto elocidad es tanente a la taectoia de la patícula en todo punto. La coodenada de la posición de la patícula en cualquie momento, obtenida a pati de las anteioes ecuaciones, con, a, cosφ es: t at ( cosφ )t ecuación (6) La coodenada, con, a -, senφ, es - 3 -

4 ( tanφ ), ecuación (7) ( cosφ ) la cual elaciona a con es la ecuación de la taectoia del poectil. Puesto que, φ, son constantes, esta ecuación tiene la foma b c, que es la ecuación de una paábola. e aquí que la taectoia de un poectil sea paabólica. El alcance oiontal R del poectil, se define como la distancia a lo lao de la oiontal cuando el poectil etona al niel desde el cual fue lanado. Podemos alla el alcance poniendo en la ecuación 7. Cuando o sue una solución inmediata, la ota nos da el alcance: R senφ cosφ senφ ecuación (8) Usando la identidad tionomética sen θ senθ cosθ. Nótese que, paa una elocidad inicial dada, obtenemos el máimo alcance cuando φ 45º. Las soluciones que se obtuieon epesentan una isión idealiada del moimiento de un poectil. Moimiento unidimensional con aceleación nula (MRU). Este es un caso especial donde el moimiento es en una sola dimensión. Po tanto tenemos que la elocidad seún dos de las componentes es ceo. A su e, la aceleación también es ceo dado que consideamos la posición inicial en (,,), estas también son ceo. Esto enea a que las ecuaciones del moimiento se ean simplificadas a únicamente tes, pescindiendo de la utiliación de los esoes. Como estudiamos un moimiento en un eje con aceleación nula, sustituendo en las ecuaciones de moimiento tidimensional, obtenemos paa este moimiento especial los siuientes esultados: Moimiento elatio. Consideaemos la descipción del moimiento de una sola patícula po dos obseadoes que estén en moimiento unifome ente si. Llamaemos a estos dos obseadoes S S. Cada uno tiene un maco de efeencia coespondiente que esta unido a un sistema de coodenadas catesianas. Po coneniencia, suponemos que los obseadoes están ubicados en los oíenes de sus espectios sistemas de coodenadas. Hacemos solo una esticción en esta situación: la elocidad elatia ente S S debe se constante. Nos efeimos aquí a constante en manitud en diección. Nótese que esta esticción no inclue al moimiento de la patícula que esta siendo obseada po S po S. La patícula no tiene necesaiamente que esta moiéndose a elocidad constante, además la patícula pudiea esta aceleando

5 fiua () La fiua ilusta en un tiempo paticula t, los dos sistemas de coodenadas. Con el fin de simplifica, consideaemos al moimiento en dos dimensiones solamente, los planos comunes. El oien del sistema S esta ubicado con especto al oien del sistema S po el ecto s s (posición de S con especto a S). La fiua muesta también a una patícula P en los planos comunes. Tanto S como S ubican a la patícula P con especto a sus sistemas de coodenadas. e la fiua podemos deduci la siuiente elación ente los tes ectoes: ecuación (9) S ' S ' donde se a empleado la le conmutatia de la suma de ectoes paa intecambia el oden de los dos ectoes. En palabas, la ecuación 9 nos dice la posición de P medida po S es iual a la posición de P medida po S más la posición de S medida po S. Suponamos que la patícula P se muee con elocidad de acuedo con S. Qué elocidad de la patícula mediía S? Paa esto, solo necesitamos deia la ecuación 9 con especto al tiempo, lo cual da: d d ' ds ' S La aón de cambio de posición de cada ecto da la elocidad coespondiente, de modo que ' ecuación () S ' S Entonces, en cualquie instante, la elocidad de P seún es medida po S es iual a la elocidad de P medida po S mas la elocidad elatia de S especto a S. La ecuación es una le de tansfomación de elocidades eca po un obseado en un maco de efeencia, diamos S, en oto maco de efeencia, diamos S, siempe cuando conocamos la elocidad elatia ente los dos macos de efeencia. A menudo, se la llama la foma alileana de la le de la tansfomación de elocidades. Consideamos aquí solo el caso especial mu impotante en que los macos de efeencia se están moiendo a elocidad constante uno especto al oto. Esto es, S S es constante tanto en manitud como en diección. Las elocidades, que S S miden paa la patícula P pudiean no se constantes, po supuesto, no seian, en lo eneal, iuales una a la ota. Sin embao, si uno de los obseadoes, diamos S, mide una elocidad que sea constante en el tiempo, entonces ambos téminos del lado deeco de la ecuación son independientes del tiempo, po lo tanto, el lado iquiedo de la ecuación debe también se independiente del tiempo. Entonces, si un obseado conclue que la patícula se muee a elocidad constante, entonces los demás obseadoes concluen lo mismo, siempe cuando ellos estén en macos de efeencia que se muean a elocidad constante con especto al maco del pime obseado

6 Un esultado aún más sinificatio se obtiene al difeencia la ecuación : d d ds ' ' S ecuación () El último témino de la ecuación se anula, poque suponemos que la elocidad elatia de los dos macos de efeencia es una constante. Entonces d d ' Reemplaando estas dos deiadas de la elocidad con las aceleaciones coespondientes, obtenemos a a ' ecuación () Las aceleaciones de P medidas po los dos obseadoes son idénticas. A los macos de efeencia que cumplen pode moese uno con elación al oto peo en los cuales todos los obseadoes allan el mismo alo paa la aceleación de una patícula dada en moimiento, se llaman macos de efeencia ineciales. ESARROLLO Pocedimiento ado que el jabalí se muee a elocidad constante especto al caado, sin epeimenta aceleación, es lícito toma como oien de nuesto sistema de efeencia la posición del jabalí. Haemos esto paa facilita los cálculos. Se tomaá en cuenta entonces que paa dos sistemas de coodenadas ineciales con oíenes O O, uno moiéndose especto del oto, un punto P, los ectoes (O, P)p, (O, P) p (O, O )o se cumpliá: o p' p p' dp' dp do p o e esto deducimos que la elocidad de la en nuesto sistema de efeencia, F estaá dada po: F - 6 -

7 Consideemos la posición inicial de la en (, ). Al se el peso la única fuea que actúa sobe la, su aceleación seá constante: a ( ) ˆj Inteando esta ecuación: t t ( t) ( ) a ( ) ˆj Obteniendo entonces: ( t) ( ) ( ) t ˆj Y paa la posición: t ( t) ( ) e donde: ( t) ( ) t ( ) ( ) t ˆj Recodando aoa que la posición de la su elocidad de patida son ( ) iˆ ˆj ( ) cos( α ) d [ ] iˆ sin( ) ˆj f f α espectiamente (ambas en nuesto sistema), obtenemos: { [ ] t} iˆ [ sin( ) t ( ) t ] ˆj ( t) cos( α ) α f e la ecuación de posición, sabiendo que la debe pasa po el punto (,) (el jabalí) lleaemos a las siuientes iualdades: t f d f sin cos ( α ) t ( α ) t ( ) t espejando el tiempo de la pimea sustituendo en la seunda se obtiene: d f cos 3 ( α ) sin( α ) sin ( α ) cos ( α ) sin( α ) cos ( α ) sin( α ) [ ] Que lo podemos escibi como: tan ( α ) tan ( α ) tan( α ) [ cos( α ) sin( α )] - 7 -

8 Impotante: En lo sucesio consideaemos π α Estudio de la elocidad de salida seún el cambio de altua Suponamos que a una altua el caado necesita una elocidad de salida (con un ánulo α ) paa asestale el tio al jabalí. Aoa si aumentamos la altua a d, manteniendo constante el ánulo la elocidad de salida, la se moeá con la misma elocidad oiontal, así que cuando el jabalí la se allan en el misma abscisa la se encontaá a una altua d. Si aumentamos la elocidad de salida, la elocidad oiontal de la aumentaá, así que la el jabalí llean a coincidi en abscisa en un meno tiempo. Peo la elocidad etical también abá aumentado, po lo tanto le toma a la más tiempo que antes llea al suelo, así, cuando ambos tenan la misma abscisa, la posición etical de la estaá sobe el suelo. Po tanto el caado debe disminui la elocidad al aumenta la altua. En efecto, deiando especto de : d d tan( α ) [ tan( α )] cos( α ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) tan α tan α tan α tan α d Que emos que es siempe neatia, po lo tanto esulta que al aumenta la altua disminue la elocidad de salida necesaia paa que el caado le aciete al jabalí. Estudio de la elocidad de salida seún el cambio de ánulo de dispao Caso α : Tenemos: lim α Obseamos en esta ecuación que si entonces este límite es: lim α Caso π α : Obtenemos: Caso Geneal Aoa eamos que sucede si consideamos constante todo menos el ánulo. Hacemos tan(α) dado que d dα > cos ( α ), se tiene que aumenta al aumenta α - 8 -

9 - 9 - Aoa: ( ) cos α ( ) sin α Quedando entonces la ecuación como: [ ] eiamos: [ ] [ ] [ ] d d REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. RESNICK, HALLIAY, KRANE. Física Vol.. Editoial CECSA. Cuata edición. Cap.,4.