2.4 La circunferencia y el círculo

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1 UNI Geometía. La cicunfeencia y el cículo. La cicunfeencia y el cículo JTIVS alcula el áea del cículo y el peímeto de la cicunfeencia. alcula el áea y el peímeto de sectoes y segmentos ciculaes. alcula la medida de ángulos y acos en la cicunfeencia. esolve poblemas de áeas y peímetos en los cuales están elacionadas vaias figuas geométicas. efinición Una cicunfeencia es el conjunto de todos los puntos en un mismo plano, que están a una distancia dada, de un punto dado, situado en el mismo plano. l punto dado se llama cento de la cicunfeencia. l cículo es el conjunto de todos los puntos inteioes a una cicunfeencia. l adio es el segmento que une el cento con cualquiea de los puntos de la cicunfeencia. La figua siguiente muesta una cicunfeencia de adio y cento en el punto. lgunos elementos en la cicunfeencia lgunos de los elementos geométicos que se elacionan con la cicunfeencia son ueda: s un segmento cuyos puntos extemos están sobe la cicunfeencia. n la figua de abajo los segmentos y son cuedas. iámeto: s una cueda que pasa po el cento de la cicunfeencia. n la figua es un diámeto. Secante: s una ecta que contiene a una cueda. n la figua las ectas y son secantes. Tangente: s una ecta que se encuenta en el mismo plano que la cicunfeencia y que la inteseca solamente en un punto. l punto de intesección se llama punto de tangencia. Una ecta tangente es pependicula al adio en el punto de tangencia. n la figua la ecta F es tangente a la cicunfeencia en el punto P, po lo tanto el adio P es pependicula a la ecta tangente en P.

2 UNI Geometía. La cicunfeencia y el cículo F P Áea y peímeto Las expesiones paa calcula el áea del cículo y el peímeto de la cicunfeencia son P jemplo : ículo inscito en tiángulo equiláteo ncuente el áea de un cículo inscito en un tiángulo equiláteo de lado 6 cm. Solución La figua muesta el cículo inscito en el tiángulo equiláteo, donde l es el lado del tiángulo, H es la altua del tiángulo y es el adio de la cicunfeencia. H H Po el teoema de Pitágoas se puede calcula la altua H ya que se conoce el lado del tiángulo l 6 H l H l l/ l l l l l (6) H hoa obseve que el tiángulo que tiene base e hipotenusa H es semejante al tiángulo de base l/ e hipotenusa l ya que ambos son ectángulos y tienen un ángulo agudo común. l aplica popocionalidad ente sus lados se tiene

3 UNI Geometía. La cicunfeencia y el cículo H l espejando y sustituyendo los valoes de l y H se obtiene ntonces el áea del cículo es H H H H l jemplo : Tiángulo isósceles inscito en cículo ncuente el áea de un tiángulo isósceles inscito en un cículo de adio si la altua del tiángulo es igual al doble de su base. Solución n la figua se muesta el tiángulo inscito, así como su altua y el adio del cículo tazado a uno de los vétices del tiángulo. b b b l aplica el teoema de Pitágoas en el tiángulo ectángulo cuya hipotenusa es, uno de sus catetos es b y el oto cateto con longitud b se tiene b b espejando la base b en téminos del adio se tiene b b b b b b Tasladando los téminos al lado izquiedo y factoizando se tiene 7b 6b 0 b(7b 6 ) 0 omo b no puede se igual a ceo se tiene que

4 UNI Geometía. La cicunfeencia y el cículo 6 l áea del tiángulo es b y h b b h cos, sectoes y segmentos Ángulo cental: s el ángulo que tiene su vétice en el cento de la cicunfeencia. n la figua es un ángulo cental. co: Si y son dos puntos en una cicunfeencia, el aco, está fomado po los puntos y y po todos los puntos de la cicunfeencia ente y. omo hay dos acos que se pueden asocia a dos puntos sobe una cicunfeencia, es impotante aclaa a cuál de los acos se está haciendo efeencia. Po ejemplo, en la siguiente figua paa efeise al aco subtendido po el ángulo, se puede utiliza un punto intemedio ente los puntos y, y llamalo aco Longitud de aco: omo el peímeto de una cicunfeencia es, es lógico pensa que la longitud del aco está elacionada con el peímeto de la misma. e hecho si el ángulo cental es, su medida está en gados y el adio de la cicunfeencia es, la longitud del aco es Secto cicula: l Un secto cicula es una egión plana limitada po dos adios y un aco. n la figua es un secto cicula.

5 UNI Geometía. La cicunfeencia y el cículo 7 omo el áea de un cículo es, es azonable pensa que el áea de un secto sea popocional al ángulo y al áea del cículo. La expesión paa calcula el áea del secto cicula cuando el ángulo está expesado en gados es 60 ( ) l peímeto se obtiene sumando la longitud del aco con el doble del adio, es deci Segmento cicula: P 80 Un segmento cicula es la egión limitada po una cueda y po un aco del cículo. n la figua es un segmento cicula l áea del segmento cicula se obtiene estando el áea del tiángulo al áea del secto, es deci secto tiángulo l peímeto del segmento se obtiene sumando la longitud del aco con la longitud de la cuda, es deci P longitud longitud jemplo : alculando el áea sombeada La figua muesta una semicicunfeencia con cento en el punto, cuyo diámeto es 0 cm y un secto cicula con cento en el punto P. ncuente el áea sombeada. Solución P Paa calcula el áea sombeada, se debe expesa el áea sombeada como la suma y esta de áeas de figuas geométicas conocidas (tiángulos, cículos, cuadados, etc.). Paa ello hay que obseva con detenimiento la egión sombeada y diseña una estategia. Muchas veces el mismo poblema se puede esolve combinando las áeas de fomas difeentes. n éste poblema el áea sombeada se puede calcula como el áea del semicículo de adio 0 cm, menos el áea del segmento cicula de adio. l áea del semicículo es

6 UNI Geometía. La cicunfeencia y el cículo 8 (0) 0 Paa calcula el áea del segmento pimeo hay que calcula el adio usando el teoema de Pitágoas l áea del segmento es el áea del secto menos el áea del tiángulo, es deci Finalmente el áea sombeada es 60 ( ) ( )( ) () 00() (0 00) 00 cm jemplo : alculando el áea sombeada en cículos La figua muesta una cicunfeencia de 8 centímetos de adio que tiene inscitas tes cicunfeencias. Las dos cicunfeencias pequeñas tienen adio de centímetos y son tangentes inteiomente a la cicunfeencia mayo y al diámeto mostado con línea discontinua. La ota cicunfeencia tiene adio desconocido y es tangente a las dos cicunfeencias pequeñas y a la cicunfeencia mayo. ncuente el áea sombeada. Solución n la siguiente figua se han tazado algunos segmentos que muestan las elaciones ente los adios de las cicunfeencias.

7 UNI Geometía. La cicunfeencia y el cículo 9 8 Note que se foman dos tiángulos ectángulos, en el tiángulo pequeño, el cateto meno mide cm y la hipotenusa mide cm pues es la difeencia ente el adio mayo 8 y el adio meno. l calcula el cateto mayo de éste tiángulo se obtiene h h h 9 l utiliza el teoema de Pitágoas en el oto tiángulo ectángulo se tiene (8 ) h esolviendo la ecuación anteio paa (8 ) () ( ) (8 ) 8(8 ) l áea sombeada en la figua es (8) () s cm 76

8 UNI Geometía. La cicunfeencia y el cículo 0 Medida de acos y ángulos en la cicunfeencia Ya se ha definido un aco de la cicunfeencia y se ha calculado su longitud. Un aco de cicunfeencia también puede se medido en gados, en este sentido, la medida de un aco se define como la medida de su ángulo cental. n la figua la medida del aco es Los siguientes teoemas pemiten calcula una seie de ángulos y acos que son fomados cuando dos ectas secantes o tangentes se intesecan paa foma ángulos en el inteio o en el exteio de una cicunfeencia. ngulo inscito en la cicunfeencia Un ángulo se llama inscito si su vétice es un punto de la cicunfeencia y sus lados son dos cuedas de la cicunfeencia. La medida de un ángulo inscito es igual a la mitad de la medida del aco que intecepta. Un caso especial del ángulo inscito es el que subtiende un aco de 80º, la medida de éste ángulo esa es 90º, como se muesta en la siguiente figua (80º ) 90º e donde se puede conclui que la medida de un ángulo inscito en una semicicunfeencia es 90º. ngulo fomado po una secante y una tangente La medida de un ángulo que tiene su vétice en la cicunfeencia y sus lados están fomados po una ecta secante y po una ecta tangente a la cicunfeencia, es igual a la mitad de la medida del aco inteceptado.

9 UNI Geometía. La cicunfeencia y el cículo ngulo fomado po dos secantes que se intesecan en el inteio de la cicunfeencia La medida de un ángulo fomado po dos secantes que se intesecan en el inteio de una cicunfeencia, es igual a la mitad de la suma de las medidas de los acos inteceptados. ngulo fomado po dos secantes que se intesecan fuea de la cicunfeencia La medida de un ángulo fomado po dos secantes que se intesecan fuea de una cicunfeencia, es igual a la mitad de la difeencia de las medidas de los acos inteceptados. Ángulo fomado po una tangente y una secante que se intesecan fuea de la cicunfeencia. La medida de un ángulo fomado po una tangente y una secante que se intesecan en el exteio de una cicunfeencia, es igual a la mitad de la difeencia de las medidas de los acos inteceptados. Ángulo fomado po dos tangentes que se intesecan fuea de la cicunfeencia. La medida de un ángulo fomado po dos tangentes que se intesecan en el exteio de una cicunfeencia, es igual a la mitad de la difeencia de las medidas de los acos inteceptados.

10 UNI Geometía. La cicunfeencia y el cículo jemplo : alculando ángulos en la cicunfeencia n la figua mostada el segmento P es tangente a la cicunfeencia en, los segmentos y son diámetos, la medida del aco º, los segmentos P. ncuente la medida de todos los ángulos numeados P 8 0 Solución Los ángulos no necesaiamente se calculaán en el oden en que están numeados. n ocasiones es necesaio calcula la medida de cietos acos paa luego calcula los ángulos. Él 8 es un ángulo cental ya que los segmentos y son diámetos, entonces 8 º Él es igual al 8 pues son ángulos opuestos po el vétice, entonces 8 º Él es suplementaio del ángulo 8, entonces 80º 8 80º º 6º omo el segmento es un diámeto, entonces alculando el aco 80º 80º 80º 80º º 6º Él es un ángulo inscito en la cicunfeencia, entonces 6º.º omo la suma de los ángulos intenos de un tiángulo es 80º 80º 8 80º.º º.º Él está fomado po una tangente y una secante a la cicunfeencia, entonces º 6º 0º º omo los segmentos P, entonces el tiángulo P es isósceles y los ángulos 0 y P son iguales. Po oto lado el segmento es pependicula al segmento P, entonces el tiángulo P es ectángulo y también es isósceles, entonces 0 º omo la suma de los ángulos intenos de un tiángulo es 80º 9 80º 0 80º º º 0º

11 UNI Geometía. La cicunfeencia y el cículo l tiángulo P es ectángulo pues está inscito en una semicicunfeencia, entonces los ángulos 6 y 0 son complementaios, entonces 6 90º 0 90º º º Solo falta calcula 7, paa hacelo se usaá la suma de los ángulos intenos de un tiángulo, peo antes hay que calcula el Finalmente se puede calcula el 7 6.º º 77.º 7 80º º.º 70º jecicios de la sección.. ncuente el áea de un cículo si su peímeto es cm.. nconta el peímeto de un cículo si su áea es cm.. ncuente el áea compendida ente dos cículos que tienen el mismo cento si los diámetos son cm y 6 cm.. ncuente el áea de un cículo inscito en un cuadado de 6 cm de lado.. Se inscibe un semicículo en un ectángulo de base 0 cm y altua 0 cm como se muesta en la figua. alcule el áea sombeada.. ncuente el áea sombeada 6. Se inscibe un semicículo en un ectángulo de base 6 cm. ncuente el áea sombeada. 7. n la figua los cuato cículos son tangentes ente sí y tienen el mismo adio de cm. ncuente el áea sombeada.. La figua muesta un tiángulo inscito en una semicicunfeencia. ncuente el áea sombeada ncuente el áea de un cuadado inscito en un cículo de adio 6 cm. 9. ncuente el áea de un cuadado inscito en un semicículo de adio 6 cm. 0. Un ectángulo de 6 cm po 8 cm está inscito en un cículo. nconta el áea que está dento del cículo peo fuea del ectángulo.. l tiángulo de la figua es equiláteo de lado 0 cm. ncuente el áea sombeada.. Los adios de dos cículos concénticos difieen en. nconta el adio de cada cículo sabiendo que el áea del anillo fomado es.. Se inscibe un cuadado en un cuato de cículo de adio cm, como se muesta en la figua, encuente el áea sombeada

12 UNI Geometía. La cicunfeencia y el cículo 6. os semicículos están inscitos en un cuadado de lado 6 cm, como se muesta en la figua. nconta el áea sombeada. 7. n un cículo de adio 6 cm, se ecota un anillo de áea igual a la mitad del áea del cículo, enconta el ancho del anillo. 8. Se inscibe un tiángulo equiláteo en un cículo de adio 8 cm. nconta el áea del segmento limitado po un lado del tiángulo y po la cicunfeencia. 9. n un cículo de adio 6 cm, calcule el áea del segmento si la longitud de la cueda es 6 cm. 0. nconta el peímeto de un segmento si el adio del cículo es cm y el ángulo cental mide 0º.. La figua muesta dos cículos iguales de adio 8 cm que se intesecan de manea que su cueda común mide 8 cm. nconta el áea sombeada 6. Un tapecio isósceles se inscibe en un semicículo de adio cm, de tal foma que uno de los lados paalelos coincide con el diámeto del semicículo. Si la diagonal del tapecio mide, encuente el áea del tapecio. 7. n la figua se muesta un semicículo inscito en un tiángulo ectángulo cuyos catetos miden 8 cm y 6 cm. alcule el áea sombeada. 8. Se inscibe un cículo en un tiángulo ectángulo cuyos catetos miden cm y cm. ncuente el áea sombeada. 9. Una ventana de iglesia tiene la foma de un ectángulo con un semicículo sobepuesto, como se muesta en la figua. etemine las dimensiones de la misma si su peímeto es 0 y su áea es 8. os ectas tangentes a una cicunfeencia inteceptan un aco de 0º. Si las dos ectas se inteceptan ente ellas, enconta el peímeto de la egión limitada po las dos tangentes y el aco.. n un cículo de adio 0 cm se inscibe un tapecio isósceles cuyas bases miden y 6 cm. Si el cento del cículo queda en el inteio del tapecio, enconta el áea dento del cículo peo fuea del tapecio.. n la figua se muesta un tapecio isósceles cuyas bases miden 8 cm y 8 cm. Todos los lados del tapecio son tangentes a la cicunfeencia. nconta el áea del tapecio. 0. Se quiee constui un campo de futbol ectangula con un áea de 6,000 metos cuadados. l diseño incluye dos áeas semiciculaes en cada extemo paa foma una pista de atletismo de longitud total de 00 metos, como se muesta en la figua. etemine las dimensiones de la pista.. n la figua se muestan dos semicículos inscitos en un semicículo de adio cm. Si la longitud del segmento es cm. ncuente el áea sombeada.. Un ombo tiene diagonales de 8 y cm. nconta el áea del cículo inscito en el ombo.

13 UNI Geometía. La cicunfeencia y el cículo. n la figua se muesta un tiángulo equiláteo de cm de lado y una semicicunfeencia que tiene su diámeto sobe uno de los lados del tiángulo. ncuente el áea sombeada.. Tes cículos iguales de cm de adio son tangentes ente sí. nconta el áea sombeada. 0. La figua muesta un semicículo de adio 6 cm que tiene en su inteio dos cículos inscitos. Si los dos cículos inscitos son tangentes ente sí y tangentes al semicículo, como se muesta en la figua. nconta el áea sombeada. 6. ncuente la altua h si los cículos tienen adios de 0 cm y cm.. ncuente el áea sombeada en la siguiente figua. h. n la figua el segmento P es un diámeto y el segmento es tangente en P. ncuente la medida de los ángulos numeados.. La figua muesta un tiángulo ectángulo cuyos catetos miden a y b, inscito en una semicicunfeencia. dicionalmente la figua tiene dos semicículos con cento en el punto medio de los catetos. ncuente el áea sombeada. P 0º 6. Un jadín cicula tiene metos de diámeto y es atavesado po un camino de conceto metos de ancho, de foma que uno de los lados del camino pasa po el cento del jadín. nconta el áea que está sembada. 7. Los lados de un tiángulo isósceles miden, y 6 cm. nconta la azón de las áeas de los cículos inscito y cicunscito. 8. n un cículo de adio se inscibe y se cicunscibe un tiángulo equiláteo. nconta la azón de las áeas del tiángulo inscito al tiángulo cicunscito. 9. Un semicículo de adio contiene en su inteio oto semicículo de adio desconocido. Si la longitud de la cueda es cm. nconta el áea sombeada.. n la figua 0º. ncuente la medida de los ángulos numeados. º

14 UNI Geometía. La cicunfeencia y el cículo 6. n la figua 0º, 8º ncuente la medida de los ángulos numeados. 0º 6. n la figua el segmento es un diámeto, º, 80º, 60º ncuente la medida de los ángulos numeados n la figua el segmento es un diámeto, la ecta G es tangente en, 80º, 0º, 0º. alcule la medida de los ángulos numeados. F 7. n la figua la ecta T es tangente en, T F, el aco 0º, 0º. ncuente la medida de los ángulos numeados. F n la figua el segmento es un diámeto, 80º, 0º, 0º. 6 0º. l segmento P es tangente en. ncuente la medida de los ángulos numeados P T 0 F G 8 7

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