FRANCISCO JAVIER GARCÍA CAPITÁN

Transcripción

1 MÁXIMOS SIN DERIVDS FRNCISCO JVIER GRCÍ CPITÁN Resumen Este atículo eune vaios ejemplos de cómo calcula extemos sin necesidad de usa el cálculo difeencial Solo usaemos conocidas desigualdades ente las medias geomética, aitmética y cuadática 1 Desigualdades ente medias Dados tes númeos positivos x, y, z definimos su medias geomética G, su media aitmética M y su media cuadática Q como G xyz, M x + y + z x + y, Q + z Pobaemos que siempe es G M Q, cumpliéndose la igualdad si y solo si x y z Lo mismo es cieto paa cualquie númeo de vaiables, peo aquí nos centamos en el caso de tes númeos x, y, z La desigualdad G M Paa demosta que G M demostamos pimeo la vesión paa el caso de dos númeos, es deci: Poposición 1 Si x, y 0 se cumple xy x+y y la igualdad es cieta si y solo si x y Demostación Es inmediato de la desigualdad x + y ( ) x y xy 0 oa demostamos la vesión paa cuato númeos Poposición Si x, y, z, t 0 se cumple xyzt x+y+z+t Demostación Usamos dos veces la vesión paa dos númeos, x+y + z+t xy xy + zt xyzt zt x + y + z + t oa ya podemos demosta la vesión paa tes númeos Poposición Si x, y, z 0 se cumple xyz x+y+z Demostación Dados x, y, z 0, aplicando la Poposición, x + y + z + M xyzm G M M + M M G M M G M 1

2 FRNCISCO JVIER GRCÍ CPITÁN Poposición Se cumple que G M y la iguladad es cieta si y solo si x y z La desigualdad M Q Es posible da una demostación diecta de esta desigualdad: Poposición 5 Si x, y, z 0 entonces x+y+z x +y +z, cumpliéndose la igualdad si y solo si x y z Demostación Evidentemente tenemos: x + y + z x + y + z (x + y + z) (x + y + z ) x + y + z (x + y + z xy xz yz) 0 x + y + z xy xz yz 0 (x y) + (x z) + (y z) 0 cumpliéndose la igualdad si y solo si x y z Los poblemas Vamos a usa las desigualdades ente las medias paa esolve algunos poblemas de optimización: 1 Halla las dimensiones y el volumen máximo de un cilindo inscito en una esfea de adio R Halla las dimensiones y el volumen máximo de un cilindo inscito en un octaedo egula de aista a Halla las dimensiones y el volumen máximo de un cilindo inscito en un tetaedo egula de aista a Halla las dimensiones y el volumen máximo de un cono inscito en una esfea de adio R 5 Halla las dimensiones y el volumen máximo de un cono inscito en una octaedo egula de aista a 5 Las soluciones Poblema 1 Halla las dimensiones y el volumen máximo de un cilindo inscito en una esfea de adio R Solución Llamando al adio de la base del cilindo y a su altua, debemos maximiza V π cumpliéndose que ( ) + R En luga de usa el cálculo difeencial, usaemos la desigualdad ente la media geomética y la media cuadática, a sabe, x + y + z xyz ( ) x + y + z / xyz,

3 MÁXIMOS SIN DERIVDS cumpliéndose la igualdad si y solo si x y z Entonces ( V π π π + + ( R π ) π R cumpliéndose la igualdad cuando y ) / π π R 6 R R 6 R, R Poblema Halla las dimensiones y el volumen máximo de un cilindo inscito en un octaedo egula de aista a Solución En la figua de la deeca CD y PQRS son las secciones del octaedo y el cilindo espectivamente con a, PQ y QR S Y P Po tanto, O a y, usando los tiángulos semejantes P X y O, obtenemos a, de D O X donde esulta la elación + a (1) La misma elación puede obtenese usando la ecuación segmentaia de la ecta con (0, a ) y (a, 0) C R Q sobe la que está el punto P (, ) Tenemos que maximiza el volumen V π cuando se cumple (1) Usando la desigualdad ente las medias aitmética y geomética, es deci, la desigualdad xyz x+y+z, cumpliéndose la igualdad si y solo si x y z, tenemos V 8 ( π 8 + π + ) 8 ( a πa π, 6) 7 cumpliéndose la igualdad si y solo si y π πa a a 7, Poblema Halla las dimensiones y el volumen máximo de un cilindo inscito en un tetaedo egula de aista a Solución En la figua de la deeca O es el cento de una de las caas del tetaedo y es la altua de ota caa El cuadiláteo P XOY epesenta la sección de medio cilindo inscito en el tetaedo, donde PX, PY, a, O a 6 Y P Entonces, O O a a 6a 6 O X

4 FRNCISCO JVIER GRCÍ CPITÁN El adio y la altua del cilindo inscito deben cumpli la elación a 6 a + a El volumen del cilindo inscito es po tanto V π 8 π 8 π ( + + ) 8 π ( ) a 18 6πa, cumpliéndose la igualdad cuando y π 6πa a, 6a 9 Poblema Halla las dimensiones y el volumen máximo de un cono inscito en una esfea de adio R Solución En pime luga, usamos el teoema de Pitágoas paa obtene la elación ( R) + R, o bien, R R Entonces, buscamos ace máxima la expesión R V π -R π (R ) Usando la desigualdad ente las medias aitmética y geomética, ( V π (R ) π (R ) π + + R ) π ( ) R πr 81, cumpliéndose la igualdad cuando R y 8 9 R R

5 MÁXIMOS SIN DERIVDS 5 Poblema 5 Halla las dimensiones y el volumen máximo de un cono inscito en una octaedo egula de aista a Solución En la figua de la deeca CD y PQ son las secciones del octaedo y el cono es- pectivamente, y O y M los puntos medios de PQ y D, cumpliéndose que O a, es la altua de una de las caas del octaedo, po tanto, a, y po último, MQ y M son el adio de la base y la altua del cono En consecuencia, tenemos O a Usando los tiángulos semejantes CMQ y CO tenemos la elación CM MQ CO O a a a, es deci (a ) El volumen del cono es V π π (a ) π π ( a π (a ) ) a, 81 cumpliéndose la igualdad si y solo si a a, a D P O C M Q