Solución al examen de Física

Transcripción

1 Solución al examen de Física Campos gavitatoio y eléctico 14 de diciembe de Si se mantuviea constante la densidad de la Tiea: a) Cómo vaiaía el peso de los cuepos en su supeficie si su adio se duplicaa? b) Cómo vaiaía el peso de los cuepos en su supeficie si su diámeto fuea la mitad? Leyendo las peguntas, paa pode esponde coectamente necesitamos una expesión del peso que venga en función de la densidad y del adio (o diámeto). Paa ello, en pime luga escibimos la expesión del peso como el poducto de la masa del cuepo po la gavedad en el punto consideado, en este caso en la supeficie de la Tiea, así: P = m g; m G M T R T Consideando la Tiea como una esfea homogénea, su volumen seía y la densidad: V T = 4 3 πr3 T ρ = M T = M T 4 V T 3 πr3 T y despejando la masa de la Tiea de esta última expesión, paa sustituila en la del peso: y llevándola a la expesión del peso: y simplificando: M T = 4 3 πρr3 T P = m G 4 3 πρr3 T R T P = 4 3 G mπρr T Es deci, paa un valo de densidad dado el peso es diectamente popocional al adio de la Tiea, o dicho de ota foma, el peso depende linealmente del adio paa un valo 1

2 fijo de la densidad. Así, pues, ya podemos esponde a la pimea cuestión: el peso, si se duplicaa el adio, se duplicaía también; si R = R T P = 4 3 G mπρ R T P = 4 3 G mπρr T = P Paa esponde a la segunda cuestión simplemente ponemos el diámeto (D T ) en la expesión del peso sabiendo que es el doble del adio: P = 4 3 G mπρd T P = 3 G mπρd T y compobamos que también el peso depende linealmente del diámeto paa un valo fijo de densidad, así que si educimos el diámeto a la mitad, el peso en la supeficie de la Tiea también se educiía a la mitad.. Una sonda espacial de 1000 kg se halla en una óbita cicula de adio R alededo de la Tiea. Cuánta enegía se equiee paa tansfei la sonda hasta ota óbita cicula de adio 3R? Analiza los cambios en la enegía cinética, potencial y total. Datos: R = 6370 km; G = 6, N m kg ; M = kg Evidentemente la enegía equeida seá la difeencia de enegía ente ambas óbitas, es deci, la difeencia ente la enegía total de la óbita supeio y la enegía total en la óbita infeio. Así, paa calcula la enegía total en cualquie óbita calculamos las enegías cinética y potencial en dicha óbita y las sumamos. Como el satélite se encuenta obitando alededo de la Tiea en una deteminada óbita la fueza gavitatoia que la Tiea ejece sobe él ha de popociona la fueza centípeta, esultante diigida hacia el cento de la óbita: F g = F c G M T m s = m s vo donde M T es la masa de la Tiea, m s la masa del satélite, v o la velocidad obital del satélite, es deci, la velocidad de taslación del satélite alededo de la Tiea, y es el adio de la óbita a la que se encuente el satélite. Paa calcula la enegía cinética, como es popocional al cuadado de la velocidad, necesitamos halla dicha velocidad que no es ota que la velocidad obital, que despejamos de la igualdad anteio: Y, po tanto, la enegía cinética: v o = G M T E c = 1 m s v o = 1 m s G M T = G m s M T

3 En cuanto a la enegía potencial paa dos cuepos en inteacción gavitatoia, su expesión es: E p = G m s M T Así, pues, la enegía total de un satélite en óbita alededo de la Tiea a una distancia de su cento es la suma de cinética y potencial: E total = E c + E p = G m s M T G m s M T = G m s M T Si ahoa utilizamos los datos del poblema, inicialmente el satélite está en una óbita de adio R, con lo que su enegía total seá: donde R es el adio de la Tiea. E tot,1 = G m s M T En la segunda óbita está a una distancia 3R, con lo que su enegía total seá: E tot, = G m s M T y la enegía que hay que comunica al satélite paa tansfeilo de la pimea a la segunda óbita seá la difeencia de enegía ente ambas: E = E tot, E tot,1 = G m s M T + G m s M T y sustituyendo los datos del poblema: E = G m s M T 1R E = 6, , = 5, J En cuanto a la vaiación de enegía cinética, esta es en la pimea óbita: y en la segunda E c,1 = 1 m s G M T R E c, = 1 m s G M T 3R con lo que podemos ve que la enegía cinética en la segunda óbita es /3 de la que tiene en la pimea, lógico ya que está más lejos de la Tiea y po tanto la atacción gavitatoia es meno. En cuanto a la enegía potencial, su valo en la pimea óbita es: E p,1 = G m s M T R 3

4 y en la segunda óbita: E p, = G m s M T 3R igualmente esulta se /3 del de la pimea peo al se una enegía negativa esta apaente educción esulta se un aumento. Del mismo modo, la enegía total en la segunda óbita, E tot, = G m s M T esulta se /3 de la enegía total en la pimea, E tot,1 = G m s M T Peo al tatase de una enegía negativa lo que se ha poducido ha sido un aumento, como puede vese en el signo del valo obtenido paa E, que es la difeencia de enegía ente las dos óbitas. 3. a) Cuáles son las popiedades de la caga eléctica? La caga eléctica pesenta tes popiedades fundamentales: Cuantización. La caga está cuantizada: cualquie valo de caga es un múltiplo enteo de un mínimo fundamental que es la caga elemental, cuyo valo es 1, C. Consevación. En cualquie poceso físico aislado la caga total se conseva. Existen dos tipos de caga: positiva y negativa, que dan luga a dos tipos de electización: positiva y negativa. b) Señala analogías y difeencias ente la ley de Coulomb y la de gavitación de Newton. Analogías: Ambas leyes miden la inteacción a distancia ente cietas popiedades de la mateia, a lo lago de la línea imaginaia que une a los cuepos. En ambas, dicha inteacción depende del inveso de la distancia al cuadado ente los cuepos, es deci, ambas fuezas son centales. Esto lleva asociado el que ambas fuezas sean consevativas. Ambas fuezas son de lago alcance, la inteacción sólo se anula a una distancia infinita ente los cuepos. Difeencias: La popiedad de la mateia objeto de la ley de Newton es la masa, mientas que la de la ley de Coulomb es la caga. La fueza gavitatoia (ley de Newton) es siempe atactiva, mientas que la electostática (ley de Coulomb) puede se atactiva o epulsiva. La fueza gavitatoia no depende del medio en el que se encuenten las masas: la constante de gavitación es univesal; sin embago, la fueza eléctica sí depende del medio en el que se encuenten las cagas: la constante eléctica no es univesal, depende de la pemitividad eléctica del medio, ɛ. La fueza eléctica es mucho más intensa que la gavitatoia. Así, la constante eléctica, K en el vacío es unas 10 0 veces mayo que la constante G. 4. Una caga puntual Q cea un campo electostático. Al taslada una caga testigo q desde un punto A hasta el infinito, se ealiza un tabajo de 10 J. Si se taslada desde el infinito hasta oto punto B, el tabajo esulta se de 0 J. 4

5 a) Qué tabajo se ealiza cuando la caga se taslada desde el punto B hasta el punto A? En qué popiedad del campo electostático se basa tu espuesta? b) Si q = C, cuánto vale el potencial en los puntos A y B? Si el punto B es el más póximo a la caga Q, cuál es el signo de Q? Po qué? Del enunciado podemos detemina el valo de la enegía potencial en los puntos A y B. Así, W A = E p,a E p, Y como po definición la enegía potencial en el infinito es ceo, poque la inteacción a esa distancia ente las cagas es nula, esulta que la enegía potencial de q en el punto A vale: W A = E p,a = 10 J Haciendo lo mismo paa el taslado desde el infinito hasta B: W B = E p, E p,b = 0 J = E p,b = 0 J Po tanto el tabajo que se ealiza cuando la caga se taslada desde el punto B hasta el punto A seá: W B A = E p,b E p,a = 0 10 = 10 J Paa obtene este esultado me he basado en que el campo electostático es un campo consevativo y po tanto el tabajo paa lleva una caga de un punto a oto dento de dicho campo no depende de la tayectoia sino sólo de los puntos inicial y final. Paa calcula el potencial en los puntos pedidos aplico la definición de potencial en un punto, como la enegía potencial que adquiee una caga colocada en dicho punto. Así, el potencial en el punto A seá Y en el punto B: V A = E p,a q V B = E p,b q = 10 = 5 V = 0 = 10 V Una caga en un campo eléctico se mueve, debido a las fuezas del campo, en el sentido que disminuya su enegía potencial. Como la caga q se mueve espontáneamente desde B hasta A (W > 0) estando B más ceca de Q es poque ambas cagas tienen el mismo ( signo, po eso en B la enegía potencial E p = KqQ ) es mayo (más ceca q de Q) y en A la enegía potencial es meno (más lejos q de Q). Así que el signo de Q ha de se el mismo que el de q, negativo. 5