r r r m m El signo menos se interpreta como que son fuerzas atractivas, es decir que tiene la dirección del vector unitario u r

Transcripción

1 LEY DE GRITCIÓN UNIERSL Todos las masas en el univeso, po el hecho de selo, se ataen con una fueza que es popocional al poducto de las masas e invesamente popocional al cuadado de la distancia que las sepaa (medida de cento a cento). m m F G u es un vecto unitaio en la diección de la línea que une los centos de las masas y el sentido desde la masa que cea el hacia la ota. El signo menos se intepeta como que son fuezas atactivas, es deci que tiene la diección del vecto unitaio u G es una constante de popocionalidad llamada constante de gavitación univesal (no debe confundise con la aceleación de la gavedad, ya que son cosas completamente distintas). Sus unidades se obtienen fácilmente despejándola de la fómula y su valo es: u G 11 6,67 10 N m / Kg Es impotante tene en cuenta que la fueza actúa tanto sobe una masa como sobe la ota y que son iguales y de sentidos opuestos, es deci, una es la de acción y la ota de eacción: F 1 F 1 F 1 F 1 Lo que sucede es que solo nos inteesa sabe la fueza que actúa sobe el testigo, po ese motivo a la que actúa sobe la masa que cea el no le pestaemos atención, sin que ello quiea deci que no exista.

2 Ejemplo: Calcula la fueza que la tiea ejeceá sobe un cuepo de 1Kg de masa situado: a) Sobe la supeficie teeste b) a 100Km de la supeficie c) Compaa ambos esultados con los que se obtienen aplicando la fómula Pmg DTOS: R t 6370Km M t 5, Kg G6, Nm /kg Como se sabe, a la fueza con que la tiea atae a los cuepos se le llama peso, así que no es más que la fueza con que se ataen dos masas, peo cuando una de ellas es la tiea, po tanto, aplicaemos la ley de gavitación univesal: m m F G a) En el caso de que el cuepo esté sobe la supeficie de la tiea, la distancia que sepaa ambos cuepos es igual al adio de la tiea, poque se mide desde el cento de una masa al cento de la ota, así que R t M t m F G R 5, ,67 10 t ,83New b) Cuando la masa está a 100Km de la supeficie el poblema es exactamente el mismo, solo que ahoa la distancia que sepaa las masas es R t +h 4 M t m 11 5, F G 6,67 10 ( R + h) ( ) t 9,53New El esultado es pefectamente lógico, ya que como puede vese en la ley de gavitación univesal, a medida que aumenta disminuiá F. c) La fómula Pmg es exactamente la misma que la de más aiba, ya que la aceleación de la gavedad es: M t g G Po tanto la misma expesión Pmg vale paa ambos casos, simplemente lo que ocue es que la aceleación de la gavedad no vale igual en cada caso, poque, como puede vese depende de.

3 Lo que sucede es que cuando vemos la expesión Pmg inmediatamente pensamos en que g9,81m/s sin paanos a pensa que la aceleación de la gavedad no es una constante poque depende de la altua, incluso más adelante veemos que también depende de la latitud. (Concetamente los pesos que hemos obtenido estaían calculados paa el supuesto de que la masa m estuviea en los polos.) INTERCCIÓN DE UN CONJUNTO DE MSS PUNTULES. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN La ley de gavitación univesal nos da la fueza con que se ataen dos masas, peo no hace efeencia a la posible existencia de otas masas. Ello nos lleva al pincipio de supeposición: Si una masa se encuenta en el ceado po vaias masas, la fueza total sobe ella es la fueza esultante de las que cada masa, po sepaado, ejeza sobe ella. También podía decise que el gavitatoio ceado po vaias masas en un punto es igual a la suma vectoial de los s que cean cada masa en ese punto. F total F F i total m g i es deci que g total g i Ejemplo: En los vétices de un cuadado de 1m de lado hay tes masas de 1, y 3 Kg. Calcula la fueza actuaía sobe una masa de 5Kg colocada en el cuato vétice. El gavitatoio (g) ceado po cada masa po sepaado en el punto P es: m1 m 1 5 F1 G G 5G 1 1 m m 5 F G G 5G ( ) m3 m 3 5 F3 G G 15G 1 3

4 hoa solamente queda suma vectoialmente. En el sistema de efeencia de la figua, la fueza ceada po cada masa sobe la masa de 5Kg seía: F1 5Gj F 5G cos 45i F3 15Gi + F 18,5Gi + 8,5Gj 5Gsen45 j El módulo seía F ( 18,5G) + (8,5G ) 0,35G 1, New 8,5G El ángulo con el eje X seía α actg 4,67º 18,5G NOCIÓN DE CMPO GRITTORIO: INTENSIDD DE CMPO GRITTORIO DE UN MS PUNTUL En geneal, el vecto Intensidad de, o simplemente, en un punto, se definió como la fueza, en ese punto, po unidad de agente sensible, con objeto tene una magnitud que solamente dependa de la posición del punto en el, y no dependa del testigo: F I c Paticulaizando paa el gavitatoio, donde el testigo es una masa y a la Intensidad de gavitatoio se le da el nombe de gavedad, tendemos que: F m g G m Como puede vese el valo de la Intensidad de gavitatoio o gavedad solamente depende de la masa m que cea el y de, es deci de la posición del punto. u El vecto intensidad de gavitatoio en un punto, P, apunta siempe desde el punto hacia la masa que cea el, ya que como la masa m siempe seá positiva tiene la misma diección y además el mismo sentido de la fueza en ese punto. Po oto lado, hemos visto que el gavitatoio ceado po vaias masas en un punto es igual a la suma vectoial de los s que cean cada masa en ese punto. g total g es deci se cumple el pincipio de supeposición. i

5 Ejemplo: En los vétices de un cuadado de 1m de lado hay tes masas de 1, y 3 Kg. Calcula la intensidad de gavitatoio en el cuato vétice. Qué fueza actuaía sobe una masa de 5Kg colocada allí? Y sobe una masa de 6 Kg? El gavitatoio (g) ceado po cada masa po sepaado en el punto P es: m 1 g 1 G G G 1 1 m g G G G ( ) m 3 g 3 G G 3G 1 3 hoa solamente queda suma vectoialmente. En el sistema de efeencia de la figua, la intensidad de ceada po cada masa seía: g1 Gj g G cos 45i g 3 3Gi + g 3,7Gi + 1,7Gj Gsen45 j El módulo seía g 11 ( 3,7G) + (1,7 G) 4,07G,71 10 m / s 1,7G El ángulo con el eje X seía α actg 4,67º 3,7G La fueza sobe una masa colocada en el punto P se obtiene simplemente con la expesión Fmg así que: F5 Kg m5 g 5, ,36 10 New F6 Kg m6 g 6, ,63 10 New Obsevación: Calcula el valo de la intensidad del gavitatoio en un punto (la gavedad) tiene una ventaja enome, ya que como vemos, una vez conocida, solamente hay que multiplica po la pasa en el punto P y obtenemos la fueza que actúa sobe ella. (bueno, lo hemos hecho sobe su módulo, peo exactamente igual seía si hubiéamos

6 multiplicado su expesión vectoial). Sin embago, si hubiéamos calculado la fueza sobe la masa de 5Kg sumando vectoialmente las fuezas a pati de ese valo no podemos obtene la fueza sobe ota masa, como hemos hecho con la de 6Kg, y habíamos tenido que epeti el ejecicio y la suma de vectoes. Como ya hemos dicho, esa es la azón po la que se define la intensidad de, poque su valo no depende de la masa del testigo, sino de los agentes popios que cean el, es deci de las masas que lo cean. ENERGI POTENCIL EN EL CMPO GRITTORIO Como sabemos, el gavitatoio es un de fuezas centales y po tanto consevativo, así que en él puede definise una enegía potencial. Se definió difeencia de enegía potencial (ddp) de una patícula, ente dos puntos y, como el tabajo ealizado po nosotos paa lleva la patícula del punto al. W, nosotos W, También vimos que el tabajo ealizado po nosotos paa lleva una patícula de un punto a oto es igual y de signo contaio al que hace el, así que: W, podíamos deci que el tabajo (o la ciculación de la fueza) que hace el paa lleva un cuepo de un punto hasta oto es igual a difeencia de enegía potencial ente los puntos y, y solo depende de la posición de los puntos y. hoa vamos a ve la expesión conceta de la enegía potencial gavitatoia, paa ello no hay mas que calcula el tabajo que hace el gavitatoio paa lleva una patícula desde el punto al : m m m m W, Fgav d G u d G d donde hemos tenido en cuenta que vecto unitaio u y el vecto desplazamiento d tienen la misma diección y sentido, así que si que cos Teniendo en cuenta además, que d nos quedaía que:

7 W, 1 G m m 1 G m m 1 1 G m m 1 Enegía potencial gavitatoia en un punto. Como sabemos estictamente solamente podemos habla de difeencia de enegía potencial ente dos puntos (poque es el tabajo paa lleva la masa m desde uno a oto), peo si, po acuedo, asignamos ceo a la enegía potencial en un punto, entonces podemos haba de enegía potencial absoluta en un punto. Paece que lo azonable seía asignale ceo a la enegía potencial en el infinito, poque como la fueza disminuye con el cuadado de la distancia, en ese punto puede decise que no hay, po tanto, la difeencia de potencial ente un punto y el infinito seía la enegía potencial en ese punto. Dicho de ota manea: La enegía potencial de una masa m en un punto es igual al tabajo que hace el paa lleva a la masa m desde ese punto hasta el infinito. (Teniendo que cuenta que nuesto tabajo y el que hace el son iguales y de signo contaio, podíamos deci que la enegía potencial de una masa m en un punto es igual a tabajo que tenemos que hace paa tae a la masa desde el infinito hasta ese punto) como G m m G m m 1 donde es la distancia que sepaa las dos masas. Como puedes ve la enegía potencial en un punto siempe es negativa y tiene su máximo valo negativo en la supeficie teeste y va aumentando al alejanos hasta llega a ceo en el infinito. Significado del signo menos: Como sabemos, la enegía potencial del sistema es igual a la que tiene acumulada como consecuencia de la posición de la masa. También sabemos, que la difeencia de enegía potencial ente dos puntos y es igual al tabajo que nosotos hacemos paa lleva la masa m desde el punto hasta el. Paa lleva a la masa m no hacemos ningún tabajo, poque aun no hay. Paa lleva a la masa m desde el infinito hasta el punto P, ya si hacemos tabajo poque hay el ceado po m, auque en ealidad nosotos no hacemos nada poque la masa iía sola hasta P, siendo el quien ealmente hace tabajo, y es po esto po lo que apaece el menos.

8 El signo menos indica que al tae la masa m desde el hasta P nosotos no hacemos tabajo, sino que lo hace el gavitatoio ceado po la masa m. W P, nosotos P P G m m P Paticulaización de la enegía potencial paa puntos póximos a la supeficie teeste: En los puntos póximos a la supeficie es azonable utiliza la conocida expesión: mgh amos a ve como se deduce esta expesión paticula a pati de la geneal que hemos obtenido: Como puede vese en la figua R tiea - h (ltua sobe la supeficie teeste) Si llamamos M a la masa de la tiea y m a la masa del cuepo, según hemos visto antes: 1 G M m 1 G M m Teniendo en cuenta que: - h al tatase de puntos póximos a la supeficie teeste, pácticamente con lo que podemos pone que R. y ecodando que el módulo de la Intensidad de, o gavedad viene dada M po g G R t al final nos quedaía que: t mgh y cambiando el signo a la ecuación anteio tendemos que el incemento de enegía potencial es igual a mgh: mgh

9 Enegía potencial de una masa debida al ceado po una asociación de masas: de acuedo con el pincipio de supeposición la enegía potencial que tendá es la debida al que independientemente cada masa cea sobe ella, así que: m1 m m m mn m n mi G G G Gm i 1 1 n i Enegía potencial de una asociación de masas: En este caso la enegía potencial debida a todas ellas se obtiene sumando la enegía potencial de todos los paes de masas. Po ejemplo la enegía potencial de la asociación de la figua seía: m1m G 1 m1m mm G m m i ij j Ejemplo: Imagina que hay dos masas m 1 10Kg y m 0Kg como se indica en la figua. Calcula el tabajo que hemos de hace paa lleva una masa m de 5Kg desde la posición (4,0) hasta la (8,0) Como sabemos el tabajo que hacemos nosotos es igual al incemento de enegía potencial, así que solamente tenemos que calcula la que la masa m tiene al final y al pincipio y estalas. W, nosotos W,

10 La que la masa m tiene en el punto es debida a la que tiene como consecuencia del que cea m 1 mas la debida al que cea la masa m, es deci: m1 m m m G G Gm 3, G De igual foma, la cuando está en el punto seá: m1 m m m G G Gm + 17, G ,54 Po tanto: W nosotos 3,5G ( 17,96G) 15, 54G, + Como sabemos po popia expeiencia, ea de espea que el esultado fuese un tabajo positivo, ya que paa sepaa las masas nosotos tenemos que hace ealmente un tabajo, ya que la masas m no se mueve sola desde el punto al, hay que llevala haciendo un tabajo de 15,54G julios. POTENCIL GRITTORIO Ya hemos visto que la ciculación de la fueza del (tabajo) paa lleva una patícula desde un punto hasta el solamente depende de la posición de los puntos, siendo igual a F d W, (*), si tenemos en cuenta que F ci, podíamos deci que la ciculación del vecto Intensidad de, igualmente, solo depende de la posición de los puntos y. De esta foma podemos defini una función análoga a la, peo que además no dependiea del testigo y a la que llamaemos Potencial () I d, c Como puede vese la difeencia de Potencial ente dos puntos es igual a la difeencia de Enegía potencial que tiene ente esos puntos un testigo unidad. Paa el caso conceto del gavitatoio, donde la Intensidad de es la gavedad y el testigo es la masa m podemos obtene la expesión específica de la ddp

11 ente los puntos y utilizando cualquiea de las dos expesiones, es deci, integando al vecto g o bien dividiendo la expesión de la difeencia de enegía potencial po la masa m., g d, m G u d, m G d donde hemos tenido en cuenta que vecto unitaio u y el vecto desplazamiento d tienen la misma diección y sentido, así que si que cos Teniendo en cuenta además, que d nos quedaía que: 1 G m 1 G m 1 1 G m 1 l mismo esultado llegaemos, como ya hemos dicho, si dividimos la defeencia de enegía potencial po el testigo m ya que la ddp ente dos puntos es igual a la difeencia de Enegía potencial que tiene ente esos puntos un testigo unidad: m 1 G m 1 Es obvio que lleguemos al mismo esultado, ya que en ealidad hemos hecho lo mismo. En el pime caso hemos calculado la ciculación de g y en el segundo hemos dividido la ciculación de F po m (acuédate que la ciculación de F es. Mia más aiba (*) Potencial gavitatoio en un punto. Como sabemos estictamente solamente podemos habla de ddp ente dos puntos (poque se ha definido como la ciculación de g ente esos dos puntos), peo si, po acuedo, asignamos ceo al potencial en un punto, entonces podemos haba de potencial absoluto en un punto. El punto que se elige es el infinito poque allí se supone que ya no hay.

12 W, Dicho de ota manea, teniendo en cuenta que podemos deci que: c El potencial en un punto es igual al tabajo que hace el paa lleva una masa de 1Kg desde ese punto hasta el infinito. (Teniendo que cuenta que nuesto tabajo y el que hace el son iguales y de signo contaio, podíamos deci que el potencial en un punto es igual al tabajo que tenemos que hace paa tae una masa de 1Kg desde el infinito hasta ese punto). 1 1 G m como 1 0 G m donde es la distancia que sepaa la masa que cea el del punto. Ejemplo: Calcula el potencial gavitatoio ceado po una esfea de 100Kg de masa y dos metos de diámeto en un punto situado a 9m de su supeficie. Cuál seá la enegía potencial de una masa de 1Kg situada en dicho punto? Suponiendo que la esfea es homogénea podemos consideala como una masa puntual concentada en su cento. a) Como hemos visto la ddp ente el punto y el infinito seá igual al potencial en el punto, que vale: G m 11 6, ,67 10 J / 10 Kg b) De acuedo con su definición, la enegía potencial de una masa unidad en un punto y el 10 potencial en ese punto son exactamente la misma cosa, así que 6,67 10 Julios Paa oto valo cualquiea de m la elación ente ambas magnitudes seía: m

13 RELCION ENTRE CMPO Y POTENCIL Si te das cuenta el ( g ) es un vecto y el potencial () es un escala, así que su coecta elación es a tavés de un opeado vectoial llamado gadiente, peo eso escapa de la pogamación de bachilleato, así que nos limitaemos a elaciona el módulo del y el potencial. Teniendo en cuenta la definición de ddp, y si nos limitamos a unos puntos en los que la gavedad puede considease constante, entonces:, g d g ( ) g d Dice que la ddp ente dos puntos es igual al valo del, supuesto constante, po la distancia ente esos puntos. La elación efeida a un punto conceto, teniendo en cuenta las expesiones del módulo de g y la del potencial en un punto: (obseva como en el módulo que g hemos supimido el signo menos de la expesión vectoial. El signo solo tiene sentido cuando la expesión se escibe vectoialmente e indica que g tiene sentido contaio al vecto unitaio u que va siempe de la masa que cea el al punto) g G m G m g. Quiee deci que: si multiplicamos el módulo del en un punto po la distancia del punto a la masa que cea el se obtiene el potencial en ese punto. Hay un detalle impotante: Si en un punto de un conocemos el valo de la Intensidad de ( g o E ) podemos pesumi exactamente lo que ocuiá cuando coloquemos una masa m o a una caga q en un punto cualquiea (podemos calcula exactamente el módulo de la fueza que actuaá, su diección y sentido, ya que F mg o bien F qe ) Sin embago, si en un punto del solo conocemos el potencial en ese punto no podemos pedeci lo que ocuiá. Cosa distinta seía si conocemos el potencial en dos puntos, entonces sí, poque, tanto la masa como la caga se moveán hacia donde disminuya su enegía potencial.

14 Ejemplo: Imagina tes puntos 1, y 3 en los que el potencial gavitatoio va disminuyendo, es deci que 1 > > 3. Hacia donde se moveía una masa m si la colocamos en el punto y la dejamos libe? La masa m se mueve sola hacia el punto en el que disminuya su enegía potencial, es deci si es negativo. m ) Se mueve sola fnal inicial ( final inicial En el caso de que la masa fuea del punto hacia el 1, tendemos que: 1 m ( 1 ) + Si la masa fuea del punto hacia el 3, tendemos que: 3 m ( 3 ) hoa que sabemos hacia donde se moveá la masa podemos dibuja el vecto g peo no si solamente conociéamos el potencial en un punto. FLUJO DE L INTENSIDD DE CMPO TRES DE UN SUPERFICIE CERRD. TEOREM DE GUSS El teoema de Gauss no da la expesión del flujo de la Intensidad de a tavés de una supeficie ceada de foma cualquiea. Según vimos el flujo elemental del viene dado po el poducto escala del vecto Intensidad de po el vecto supeficie: d φ I ds donde S d es un vecto pependicula a la supeficie y módulo igual al áea de la supeficie (o del elemento de supeficie en este caso)

15 Supongamos una supeficie ceada de foma esféica, (paa mayo sencillez, aunque el esultado es geneal) y que en su inteio enciea una masa m. El flujo a tavés de la supeficie seía: d φ g ds Según la definición de poducto escala, y teniendo en cuenta que α180º dφ g ds cos α g ds El flujo a tavés de toda la supeficie se obtiene integando a toda ella: m m m φ g ds G ds G ds G 4π 4πGm S S donde hemos tenido en cuenta que la integal de supeficie como epesenta a todos los sumandos elementales de la esfea, su solución seá la supeficie de ésta, es deci 4π. En el caso de que dento de la supeficie hubiea vaias masas, el flujo total seía la suma del debido a cada una de ellas, es deci que: Es muy impotante tene en cuenta que: S φ 4 πg mi Solamente contibuyen al flujo las masas (o cagas en el caso del eléctico) estés enceadas en el inteio de la supeficie. El flujo independiente de la posición de las masas en el inteio de la supeficie, ya que su expesión no depende de. Como puede vese, el flujo del gavitatoio a tavés de una supeficie ceada debido a las masas que enciea en su inteio siempe es negativo. Ejemplo: Dento de una caja de galletas hay dos bolas iguales de masa m y fuea de ella hay ota bola también de masa m. a) Cual seá el flujo del gavitatoio a tavés de la caja? b) Como se calculaía el en un punto P fuea de la caja? Como hemos dicho, solamente contibuyen al flujo las masas enceadas en el inteio de la supeficie ceada, y además como puede vese en la expesión del flujo, éste es independiente de la posición de las masas en el inteio de la supeficie: φ 4πG ( m + m)

16 Paa calcula el en un punto sí que había que tene en cuenta a todas las masas, estén donde estén, además po supuesto influye las posiciones elativas de cada: plicando el pincipio de supeposición, no hay más que calcula el valo del en el punto P, teniendo en cuenta que g G m y sumalos vectoialmente. Ejemplo: Obtene, utilizando el teoema de Gauss, la expesión de la intensidad de gavitatoio ceado po una masa m a una distancia. Po supuesto ya sabemos la expesión que tiene, peo vamos a obtenela a pati del teoema de Gauss. Dibujamos alededo de la masa una supeficie ceada que va a se una esfea cuya distancia a la masa seá. Según la ley de Gauss: φ 4πGm es deci que: S g ds 4πGm Como: El vecto g y el vecto ds foman ángulo de 180º El módulo de g es constante en toda la supeficie, poque al se la supeficie esféica en todos sus puntos dista igual a la masa m. g ds 4πGm g 4π 4πGm S

17 y despejando: m g G