En ese primer apartado estudiaremos la electrostática que trata de las cargas eléctricas en

Transcripción

1 Fundamentos y Teoías Físicas ET quitectua 4. ELETRIIDD Y MGNETIMO Desde muy antiguo se conoce que algunos mateiales, al se fotados con lana, adquieen la popiedad de atae cuepos ligeos. Tanscuió mucho tiempo antes de dispone de una adecuada intepetación de este hecho y así, con el avance en el conocimiento de la estuctua íntima de la mateia y la consiguiente identificación de las patículas elementales que componen el átomo, ha sugido la necesidad de asigna a la mateia una nueva popiedad, la caga eléctica. ctualmente decimos que dos cuepos están sometidos a una inteacción eléctica si ambos poseen esa popiedad, conocida como caga eléctica MPO Y POTENIL ELETROTÁTIO eposo. En ese pime apatado estudiaemos la electostática que tata de las cagas elécticas en oncepto de caga eléctica La mateia está constituida po átomos y los átomos a su vez po un núcleo cental donde se encuentan los potones y los neutones y alededo del núcleo se mueven los electones. La caga eléctica es una popiedad intínseca y fundamental que tienen patículas como electones y potones. e manifiesta en que dos electones o dos potones se epelen mientas un electón y un potón se ataen. la caga del potón se le asigna signo positivo (e) mientas que a la caga del electón se le asigna signo negativo (-e). Un cuepo cuyos átomos poseen el mismo númeo de potones que de electones no tiene caga eléctica neta, peo si conseguimos extae o intoduci algunos electones, poducimos un desequilibio en dicho númeo que hace que el cuepo posea ahoa una caga neta. Existen, pues, dos clases de cuepo electizados: cuepos con caga neta positiva (defecto de electones) y cuepos con caga neta negativa (exceso de electones). Dos popiedades fundamentales de la caga son su consevación y su cuantización, solo puede tansfeise la caga coespondiente a un númeo enteo de electones. La unidad de caga natual es el electón. in embago, esta unidad es tan pequeña, que en la páctica esulta más útil defini otas mayoes como el oulombio. La elación ente esta unidad y la caga del electón: e = Ley de oulomb. Pincipio de supeposición Realmente no vemos las cagas elécticas sino que vemos su efecto, vemos como dos cuepos caga neta se ataen o se epelen. hales ugustin oulomb ( ) midió po pimea vez, en 1785 las inteacciones elécticas en foma cuantitativa y enuncio la ley que las ige: La fueza ejecida po una caga puntual sobe ota está diigida a lo lago de la línea que las une. La fueza vaía invesamente con el cuadado de la distancia que sepaa las cagas y es popocional al poducto de las mismas. Es epulsiva si las cagas tienen el mismo signo y atactiva si las cagas tienen signos opuestos 1

2 Fundamentos y Teoías Físicas ET quitectua q1 q Matemáticamente, la ley se expesa: F = K u, siendo u un vecto unitaio diigido desde la caga que ejece la fueza hasta la caga que lo expeimenta. Paa aplica este citeio cada caga debe se incluida en la expesión de la ley de oulomb con su signo coespondiente. En la expesión, K es la constante de oulomb y su valo depende del medio en el que estén colocadas las cagas: 1 K = 4πε ε 0 1 ε 0 = pemitividad dieléctica del vacío N m ε pemitividad dieléctica elativa del medio en el que se encuentan las cagas, si tabajamos en el vacío ε = 1 on estos datos: K = N m Nosotos solo estudiaemos supuestos en los que las cagas se encuentan en el vacío (o en el aie seco). La ley de oulomb solo es aplicable a cagas puntuales, es deci, a cuepos cagados cuyos tamaños sean mucho menoes que la distancia que los sepaa y dichas cagas han de esta en eposo. cabamos de ve cómo se calcula la fueza que una caga ejece sobe ota, peo qué ocue cuando inteaccionan más de dos cagas puntuales? ómo calcula la fueza que ejecen vaias cagas sobe ota? La espuesta está en el llamado Pincipio de upeposición: Pincipio de supeposición: i en un medio deteminado existen vaias cagas puntuales q 1, q, q 3...q n la fueza total actuante sobe la caga q 1 es la suma vectoial de las fuezas individuales ejecidas sobe dicha caga po las estantes cagas del sistema, esto es, la fueza con que inteaccionan dos cagas no se ve alteada po la pesencia de una tecea caga: F = F F 31 + F 41 4 = F i 1 i= ampo eléctico. Líneas de campo En todos los ejemplos que hemos visto hasta ahoa se ha podido apecia que paa que una caga eléctica sienta la fueza eléctica de ota o de una distibución de ellas no es necesaio que estén en contacto. Es lo que se llama fueza de acción a distancia. Oto ejemplo es la fueza gavitatoia. Una caga (sistema de cagas) modifica las popiedades del espacio que la odea, cualquie caga que acequemos a esta egión siente su acción atactiva o epulsiva. esta egión se le llama campo eléctico. a) ampo eléctico ceado po una caga puntual El siguiente paso es busca la magnitud vectoial que descibe dicho campo, esto es que expese como es esa petubación en cada punto del espacio que odea una caga:

3 Fundamentos y Teoías Físicas ET quitectua ampo ceado po Q 1 : Q Q 1 Q1 La fueza eléctica que expeimenta Q debido a Q 1 es, F = Q K u si en luga de Q colocamos ota caga hay una pate de la expesión que no cambia, esa pate es la que elegimos paa defini matemáticamente el campo eléctico que cea Q 1 y lo llamamos vecto campo eléctico E : Q E = K F = Q E i 1 u La intoducción de este vecto pemite defini una magnitud vectoial que vaía punto a punto y que sólo depende de las cagas que cean ese campo. De este modo se consigue dota a cada punto del espacio de una popiedad vectoial tal que el poducto del valo de una caga situada en dicho punto po el valo de dicho vecto en ese punto popociona la fueza que expeimenta dicha caga. En este sentido el campo eléctico es una magnitud vectoial que puede definise como la fueza po unidad de caga y son unidades son N/: Q E = K u = N m Q u La mejo foma de dibuja el vecto campo en un punto es abandona imaginaiamente en dicho punto la unidad de caga positiva: la diección y sentido de la fueza que actúe sobe ella indica la diección y sentido del vecto campo eléctico. Po oto lado, paa el campo eléctico ceado po una distibución de cagas puntuales sigue siendo válido el Pincipio de supeposición enunciado paa la ley de oulomb. La pesencia de un campo eléctico en una egión puede indicase fácilmente dibujando las llamadas líneas de campo o líneas de fuezas, líneas que tienen la popiedad de que el vecto campo eléctico es tangente a ellas en cada uno de sus puntos. Estás líneas muestan la diección y sentido de la fueza ejecida po unidad de caga po la distibución sobe una caga testigo positiva. Las líneas de campo de una sola caga puntual son adiales apuntando hacia fuea si la caga es positiva y hacia dento si la caga es negativa. En la figua pueden obsevase las líneas de campo cuando el campo lo cea una caga puntual positiva o una caga puntual negativa: 3

4 Fundamentos y Teoías Físicas ET quitectua El númeo de líneas de campo que se dibujen saliendo de una caga positiva y entando en una negativa es popocional al valo absoluto de la caga. demás, el campo es intenso cuando las líneas están muy póximas ente sí y débil si están muy sepaadas. Po ello, a medida que nos alejamos de una caga puntual, el campo eléctico se debilita y las líneas de campo se sepaan. En la figua se puede apecia las líneas de campo que coesponden a los campos elécticos ceados po dos cagas opuestas, po dos cagas del mismo signo y po dos cagas de distinto signo y difeente valo absoluto: b) ampo eléctico ceado po una distibución continua de caga Hasta ahoa hemos calculado fuezas y campos elécticos solo paa cagas puntuales. e nos plantea ahoa el siguiente poblema: cálculo del campo eléctico ceado po un cuepo de caga eléctica Q y volumen V en un punto P. Q, V P E???? Paa este cálculo, dividimos el cuepo con caga Q y volumen V en elementos muy pequeños (infinitesimales) tales que podamos considealos como cagas puntuales (cada elemento tienen un 4

5 Fundamentos y Teoías Físicas ET quitectua volumen dv y una caga dq). alculamos el campo eléctico debido a este elemento usando la expesión definida anteiomente. El campo así calculado es el campo solo ceado po un elemento infinitesimal y lo llamamos de. El campo total poducido po toda la distibución de caga se obtiene sumando las contibuciones infinitesimales (pincipio de supeposición), esto es, integando: de = V dq K u Paa calcula el campo poducido po las distibuciones de caga se puede hace uso al igual que en el cálculo de momentos de inecia y cento de masas de las densidades volumética, lineal y supeficial de caga Difeencia de potencial. Potencial eléctico. a) Difeencia de potencial Vamos a taslada al caso del campo eléctico las nociones sobe campos escalaes y campos vectoiales vistos en el pime tema del pogama. El campo eléctico E es el vecto gadiente cambiado de signo del campo escala potencial eléctico V. De esta manea conocido el potencial eléctico en cada punto del espacio el campo eléctico viene deteminado po la expesión: ( x, y, z) V ( x, y, z) v V ( x, y z) V, E = i + j + x y z k = gadv Po el apatado anteio, tenemos la expesión que nos pemite calcula el campo eléctico ceado po una deteminada distibución de cagas y sin embago no conocemos la expesión del potencial eléctico. onocida la expesión que pemite detemina E es posible obtene la que detemina el valo del potencial eléctico V en cada punto ecodando las popiedades de la ciculación de un campo vectoial ente dos puntos. i dicho campo vectoial es E, la ciculación de E ente dos puntos y se calcula mediante la expesión: s = E d Dado que el campo vectoial E es el gadiente de un campo escala, es po tanto, un campo consevativo, que veifica las siguientes popiedades: 1) la ciculación a lo lago de un camino ceado es ceo: = E d ) la ciculación paa i desde hasta es independiente de la tayectoia elegida 3) la ciculación de E (campo vectoial) es igual a la vaiación del potencial eléctico (campo escala) ente dichos puntos: = E d = ( gadv ) d = gadv d = [ V ( ) V ( ] ) 5

6 Fundamentos y Teoías Físicas ET quitectua Teniendo en cuenta que q es fácil intui el significado de dicha expesión: V ( ) V ( ) = E d F = qe, si multiplicamos ambos miembos de la expesión anteio po q ( V ( ) V ( )) = qe d = F d = W ( ) es deci, la difeencia de potencial epesenta el tabajo po unidad de caga paa taslada una caga del pime punto al segundo del campo eléctico. La unidad en la que se mide el potencial eléctico es el J/ o Voltio. nteiomente hemos estudiado la epesentación de un campo mediante líneas de fueza o líneas de campo. Una epesentación altenativa es la de utiliza las llamadas supeficies equipotenciales, que son el luga geomético de los puntos del campo que están a un mismo potencial, es deci, en estas supeficies destaca: V = cte. Las supeficies equipotenciales tienen dos impotantes popiedades que conviene 1. El tabajo ealizado paa desplaza una caga ente dos puntos de una supeficie equipotencial es nulo.. Las líneas de campo son pependiculaes en cada punto a las supeficies equipotenciales. En efecto si el potencial es constante, V ( ) V ( ) = E d = 0, entonces E d = 0 y el vecto E debe se pependicula a cualquie desplazamiento d. b) Potencial eléctico Hasta ahoa hemos hablando de difeencia de potencial al i de un punto a oto, peo también podemos defini potencial eléctico en un punto. Paa ello elegimos un punto de efeencia al que le podamos asigna potencial ceo de igual manea que paa habla de enegía potencial gavitatoia es escibila como mgh elegimos un punto al que le asignamos enegía potencial ceo que es la supeficie de la tiea. No obstante, dicho punto no es abitaio sino que se elige un punto al que de modo azonable se le pueda asigna un valo nulo. Paa defini dicho punto, calculamos el tabajo necesaio po unidad de caga paa taslada una caga en el campo ceado po una caga puntual de valo Q: Q El campo eléctico que cea una caga puntual es E = K u y dado que es un campo consevativo, y el esultado es independiente de la tayectoia nos vamos a desplaza paa i de a a lo lago de una línea de campo de manea que E d s y el poducto escala de la integal que nos da el tabajo eléctico po unidad de caga pasa a se un poducto de módulos: V Q d 1 1 ( ) V ( ) = E d = K d = KQ = KQ 6

7 Fundamentos y Teoías Físicas ET quitectua siendo y la distancia a la caga Q de los puntos y espectivamente. como egún la expesión podíamos defini el potencial en potencial en el punto debido a la caga Q KQ V = si hacemos ceo el potencial en el punto. Dónde debeía esta el punto paa que de manea azonable el potencial fuese nulo en dicho punto? l decae la expesión con la distancia, debeía escogese en el infinito. Luego a pati de ahoa hablaemos de potencial en un punto tomando como oigen de potenciales el infinito. i no se tata de una caga puntual la expesión geneal del potencial eléctico en un punto debido a una distibución continua de caga es: V = E d Po tanto, el potencial eléctico en un punto se define como el tabajo que debe ealiza conta el campo (po una fueza extena) paa taslada la unidad de caga positiva desde el infinito hasta dicho punto del campo eléctico. En este sentido, paa calcula el potencial en un punto debido a un sistema de cagas puntuales sigue siendo válido el Pincipio de upeposición: se calcula el potencial eléctico que en dicho punto cea cada una de las cagas y se suma. i lo que tenemos es una cuepo extenso y cagado, calculamos el potencial eléctico en un punto debido a cada elemento infinitesimal de caga dq y sumamos a todos los Kdq elementos en que hemos dividido dicha distibución de caga: V =. Q Po oto lado, a pati de la definición de potencial eléctico en un punto paa calcula el tabajo eléctico ealizado po el campo basta multiplica dicha expesión po el valo de la caga que se desplaza desde el infinito hasta dicho punto. Dicho tabajo puede tene signo positivo y negativo, veamos como se intepeta el signo: P Q El potencial eléctico debido al campo ceado po la caga Q en el punto P situado a una distancia de la caga vale KQ V =. uponiendo que la caga Q que cea el campo es positiva, el signo del tabajo eléctico calculado dependeá del signo de la caga q que tasladamos desde infinito hasta dicho punto P : KQ i tasladamos una caga q positiva: W = q 0 El tabajo se ealiza en conta de las fuezas del campo, si dejamos libe la caga q tendeía a alejase de la caga Q que cea el campo, si queemos acecalas es necesaio ealiza un tabajo eléctico venciendo la fueza eléctica de epulsión ente ellas. 7

8 Fundamentos y Teoías Físicas ET quitectua KQ i tasladamos una caga q negativa: W = q 0 El tabajo lo ealizan las popias fuezas del campo, si dejamos libe la caga q tendeía a acecase a la caga Q debido a la fueza eléctica atactiva que existe ente ambas. Po tanto, un valo positivo en el tabajo eléctico en Electostática significa que el tabajo se ealiza en conta o paa vence las fuezas del campo, mientas que un valo negativo significa que el tabajo lo ealizan las popias fuezas del campo Flujo de un campo eléctico. Ley de Gauss. El flujo de una magnitud vectoial a a tavés de una supeficie abieta es popocional al númeo de líneas de campo que ataviesan dicha supeficie, y se calcula mediante la expesión: a ds i la supeficie es ceada (engloba un volumen) el flujo es popocional al númeo de líneas de campo que salen de dicha supeficie ceada menos el númeo de líneas que entan. En este sentido el flujo neto es positivo cuando hay más líneas de campo que salen y es negativo cuando hay más líneas de campo que entan. En este caso paa expesa el flujo se emplea la siguiente notación: a φ ds = En el caso en que el campo vectoial a sea el campo eléctico E tenemos el flujo del campo eléctico a tavés de una supeficie : upeficie abieta: upeficie ceada: E ds E ds y se intepeta como el númeo de líneas de campo eléctico que ataviesan una supeficie abieta o como el númeo de líneas que salen menos el númeo de líneas que entan en una supeficie ceada espectivamente. Las unidades del flujo eléctico son N. Ley de Gauss: la ley de Gauss es una ley fundamental del electomagnetismo y nos habla del flujo eléctico a tavés de una supeficie ceada. upongamos una caga puntual Q situada en el inteio de una supeficie ceada de foma abitaia: m Q 8

9 Fundamentos y Teoías Físicas ET quitectua e tata de calcula el flujo eléctico que ataviesa dicha supeficie debido al campo eléctico ceado po la caga puntual. Paa ello, y dado que se tata de una supeficie ceada debemos usa la expesión: E ds i el flujo eléctico es el númeo de líneas de campo que ataviesan la supeficie, obtenemos el mismo esultado si calculamos el flujo eléctico a tavés de la supeficie esféica que odea la caga ya que cualquie línea de campo ataviesa ambas supeficies. in embago, el cálculo de la integal del flujo eléctico a tavés de la supeficie esféica es mucho más sencillo: 1) El poducto escala se educe a poducto de módulos poque en cada elemento de supeficie que consideemos sobe la esfea los vectoes E y ds son paalelos. ) El módulo del campo eléctico ceado po una caga puntual solo depende de la distancia ente la caga y el punto, po tanto tiene el mismo valo en todos los puntos de la esfea. Po tanto, se puede tata como una constante y sacalo de la integal. E ds = Eds = E ustituimos el módulo del campo eléctico po su valo: Q 1 Q Q E 4πR = K 4πR = 4πR = 4πε R R ε 0 ds 0 La expesión matemática de la ley de Gauss queda de la siguiente manea: Q E ds = ε 0 y nos dice que el flujo eléctico a tavés de una supeficie ceada es igual a la caga neta que enciea dicha supeficie dividida po la pemitividad dieléctica del vacío. Esta caga Q epesenta solamente la caga enceada dento de la supeficie ceada. ualquie caga exteio no contibuye al flujo eléctico ya que cualquie línea de campo que enta a tavés de la supeficie ceada también sale, po tanto su contibución al flujo total (númeo de líneas de flujo que salen menos flujo de líneas que entan) es nula. La ley de Gauss se cumple cualquiea que sea la distibución de caga y cualquiea que sea la foma de la supeficie ceada. i, independientemente de la complejidad matemática, calculásemos la integal del flujo eléctico a tavés de una supeficie cualquiea siempe obtendíamos como esultado final Q. La ventaja de la ley de Gauss eside en que es útil paa el cálculo del campo eléctico que cean ε 0 distibuciones de caga con un alto gado de simetía. Una simetía suficiente paa que E lo podamos saca fuea de la integal y pueda se despejado. Paa pode aplica la ley de Gauss es necesaio conoce peviamente algo sobe la simetía del campo ceado po la distibución de caga. En este sentido, la ley de Gauss solo pemite calcula el módulo del campo eléctico, ya que su diección y sentido tienen que se peviamente conocidos. 9