Facultad de Ciencias Curso Grado de Óptica y Optometría SOLUCIONES PROBLEMAS FÍSICA. TEMA 3: CAMPO ELÉCTRICO

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1 Facultad de iencias uso - SOLUIOS ROLMAS FÍSIA. TMA : AMO LÉTRIO. n los puntos (; ) y (-; ) de un sistema de coodenadas donde las distancias se miden en cm, se sitúan dos cagas puntuales de valoes, y -, n espectivamente. a) alcula el campo eléctico (valo, diección y sentido) en el oigen de coodenadas. b) uáles son las coodenadas del punto en el que hay que coloca una caga de -5, n paa que se anule el campo eléctico en el oigen? c) Repite el apatado anteio consideando que la caga es de 5, n. a) Se dibujan los vectoes intensidad de campo y se calculan los módulos de dichos vectoes: k 9 = 9 4 A 9 = = O (, ) Y (; ) k 9 4 A = = 9 = O (, ) Se obtienen los vectoes intensidad de campo y se ealiza la suma: O = O O = j i = ; ste vecto tiene de módulo: Oy un ángulo α = actg = 5º con el eje X positivo. Ox b) La tecea caga debe situase de tal foma que el campo eléctico ceado po ella sea tal que anule la intensidad de campo en O, es (-; ) O O 4 O = 8 y está diigido en el tece cuadante, fomando Y (; ) O O X deci, debe tene el mismo módulo que O y de sentido contaio. Luego estaá situada en el pime cuadante y, fomando un ángulo de 45º con el eje X positivo. La distancia desde esta (-; ) O 45º X tecea caga al punto O vendá dada po: O

2 Facultad de iencias uso = 9 O = 4, O Las coodenadas catesianas de la posición de esta caga seán: ( cos 45º; 45º ) = (,8;,8) O O cm sen cm c) n el caso de una caga de -5, n, debe situase en el tece cuadante, a 5º y una distancia de 4, cm del punto O. De esta foma, el campo eléctico ceado po esta caga cancelaá el campo geneado po las cagas y en el punto O.. n los puntos (4, ) y (,) de un sistema de coodenadas donde las dimensiones se expesan en metos, se colocan dos cagas de 5 µ y µ, espectivamente. alcula a) el campo eléctico en el punto (,) (m) y b) la fueza sobe un electón situado en este mismo punto. a) l campo eléctico en (-,) se obtiene consideando los campos elécticos ceados po las cagas: = k e u k e u - y - - u 4 x u Las distancias y y los vectoes u y u : l campo eléctico entonces, = ( ) 4 ( ) = 5 4 = 9 = ( ) = 4 4 = 8 5 u =, 9 9 u =, ( 5 ) 5 9 = 9, 9, = ( 9 ) ( 8) 9 ( 5 ) ( 5 ) ( ) 9 ( 5 ) ( ) = 9, 9 / / = / / (,,, ) = 8 /

3 Facultad de iencias uso - l módulo del campo eléctico: = ( 8, ) (, ) =,9 / y foma un ángulo α con el eje x: α = b) La fueza sobe un electón en ese punto:, actan =,º º 8, F = q = 9 5 5,6 =,8, omo la caga del electón es negativa, la fueza tiene sentido contaio al campo, es deci, foma un ángulo de 5º con el eje x.. Un plano conducto de gandes dimensiones está cagado positivamente poduciendo un campo eléctico de /. alcula a) el flujo del vecto campo eléctico a tavés de cada una de las caas de un cubo de aista 5 cm que cota el plano como se indica en la figua, b) la caga enceada en dicho cubo y c) la densidad supeficial de caga del plano. â) omo el vecto intensidad de campo ceado po un plano de gandes dimensiones es pependicula al plano, sólo existe flujo a tavés de las caas del cubo que son paalelas al plano cagado. Al se dichas caas planas y el vecto supeficie pependicula a ellas, el flujo en cada una de dichas caas seá: Φ = = = = S a, 5 6, V m b) A pati de la intensidad de campo eléctico ceado po una lámina unifomemente cagada, podemos obtene: σ = = = = a ε =, 5 8, 85 =, ε Sε a ε También lo podemos detemina a pati del teoema de Gauss: el flujo total a tavés de una supeficie ceada es igual a la caga neta contenida en el volumen enceado po dicha supeficie dividida po la pemitividad dieléctica del medio en el que se encuentan las cagas : Φ = Φ = = = T S = a S a ε ε

4 Facultad de iencias uso - c) La densidad supeficial de caga es:, 8 σ = = = = S a, 5 m 4. a) n una egión de la atmósfea teeste se ha medido el campo eléctico esultando se de 5 / a una altua de 5 m y de 7 / a 4 m, en ambos casos diigido hacia abajo. a) alcula el flujo del vecto campo eléctico a tavés de un cubo de lado 5 m cuyas caas infeio y supeio se encuentan a altuas 5 y 4 m, espectivamente. b) Aplica la ley de Gauss paa calcula la caga en el inteio del cubo. c) alcula la densidad de caga de la atmósfea en esa egión. aa hace los cálculos supón que el campo es unifome ente 5 y 4 m y despecia la cuvatua de la Tiea. a) aa obtene el flujo del vecto campo eléctico a tavés del cubo, hay que considea el flujo a tavés de cada una de las caas. l flujo a tavés de las caas lateales es nulo, ya que el vecto supeficie es pependicula al campo eléctico. o lo tanto, sólo hay que considea el flujo a tavés de las caas supeio e infeio: 6 Φ = S = 5 5 cos º =, 4 V m S h = 4 m 6 Φ = S = 7 5 cos 8º =, 9 V m l flujo total es: 6 5 Φ = Φ Φ =, 4, 9 = 4, 5 V m b) La caga en el inteio del cubo se puede calcula a tavés de la ley de Gauss: Φ = S = S cosθ = ε Φ =, = ε ε µ 5 = = 8, 85 4, 5 =, 98 = 4, c) La densidad de caga de la atmósfea en esa egión: S h = 5 m 4, ρq = = = = 8 V S h 5 5, /m

5 Facultad de iencias uso - 5. Dos cagas elécticas q =, µ y q =-5, µ se encuentan en las posiciones señaladas en la figua. alcula a) el campo eléctico (módulo, diección y sentido) en el punto, b) potencial q, m A, m q, m eléctico en los puntos A y y c) el tabajo paa taslada una caga de -, µ desde A hasta. d) ué difeencia hay si la caga que se taslada es de, µ? a) Se actúa de la misma foma que en ejecicios anteioes. luego, q 4 = k = 9 =, 7 ;cos α =,senα = = = ( cos α, senα ) (,58 ;, 4 ) = De la misma foma: 9 = = 9 = 5, q 5 k luego, = (, ) = ( ;5, ) q α q X La intensidad de campo en el punto seá: = =,58 ;, 4 ;5, =,58 ; 4, 57 l módulo del vecto intensidad de campo eléctico es: =, 58 4, 57 = 4, 6 l vecto se encuenta en el pime cuadante y foma fomando un ángulo y θ = actg = 8º con el eje X positivo. x b) l potencial en los puntos A y se obtiene de la foma siguiente: q q VA = V A V A = k k = 9 9 =, 5 kv A A

6 Facultad de iencias uso - q q V = V V = k k = 9 9 =, 4 kv 5 c) l tabajo paa taslada una la caga de -, µ desde A hasta viene dado po: W = q V V =, 5 4 = 4, mj A A d) Si la caga que se taslada es positiva, el tabajo sale del mismo valo peo negativo. llo indica que hay que ealiza un tabajo en conta del campo eléctico paa taslada la caga desde A hasta. 6. Dos cagas puntuales =6, n y =-, n están situadas en los vétices infeioes de un cuadado de lado l=5, cm como se indica en la figua. a) alcula el valo y oientación del campo eléctico en el vétice supeio deecho del cuadado (punto de la figua). b) alcula el potencial en mismo punto. alcula c) el tabajo paa taslada un electón desde el infinito hasta el punto y d) la fueza sobe el electón cuando se encuenta en el punto. l a) Las distancias ente las cagas y el punto son: =, 5, 5 =, 75m ; =, 5m Se actúa de la misma foma que en ejecicios anteioes. Y,y = sen α α,y = cos α,x = α,y = - X 6,, 5 = k = 9 = ; cosα = = s enα,75,

7 Facultad de iencias uso - luego, ( 4 4 = cos α, senα =, 7 ;, 7 ) 4 luego, = (, ) = ( ;, 7 ), k = = 9 =, 7, o lo tanto, = = (,7 ;,7 ) ( ;,7 ) = (,7 ;) , 9, b) V = V V = k k = 9 9 =, 8kV, 75, 5 c) l tabajo paa taslada un electón desde hasta viene dado po: W = q V V = e V =,, =, J d) La fueza debido al campo eléctico es el poducto del vecto intensidad de campo po la caga a la que afecta dicha inteacción: F q, 6 = =, 7 i =, 4 i 7. Tes cagas puntuales q, q y q están situadas en los vétices de un tiángulo equiláteo de lado,5 m. alcula la enegía potencial de esta distibución de cagas a pati del tabajo necesaio paa tae las cagas desde el infinito hasta sus posiciones finales si q = q = q = 4, µ. aa ello, a) supón una caga positiva de 4, µ en un punto cualquiea y calcula el tabajo necesaio paa situa una segunda caga igual a la pimea a una distancia de,5 m. Después, b) calcula el tabajo paa situa una tecea caga igual a las anteioes a una distancia de,5 m de las otas dos de manea que las tes queden situadas en los vétices de un tiángulo equiláteo de lado,5 m. Finalmente, c) calcula la enegía potencial de la distibución. a) Se sitúa la pimea de las cagas en uno de los vétices (A), lo cual no conlleva tabajo ya que no existe aún ningún campo eléctico. n segundo luga se tae la segunda caga desde el infinito hasta oto de los vétices (). l tabajo paa taslada esta caga, q, teniendo en cuenta que ya se tiene una caga eléctica, q, que cea un campo eléctico a su alededo, viene dado po:

8 Facultad de iencias uso - q q ( 4, ) 9 W = q V V = qv = k = 9 =, 64 J, 5 b) o último, se tae ota caga, q, desde el infinito hasta el tece vétice (), teniendo en cuenta que ahoa tenemos un campo eléctico ceado po las dos pimeas cagas: q ( 4, ) 9 W = q V V = qv = q k k = 9 =, J, 5 c) Teniendo en cuenta que las tes cagas tienen el mismo valo, q, y se encuentan sepaadas ente sí la misma distancia,, el tabajo total seá: q 4 q, 9 W = W W = k = 9 =, 9 J, 5 Además, W = = = =, 9 J 8. n las poximidades de un plano de gandes dimensiones con una densidad de caga,4 µ/m se coloca una caga puntual de n. a) alcula el valo, diección y sentido del campo eléctico en el punto de la figua. b) n qué punto de la línea pependicula al plano que une éste con la caga es nulo el campo eléctico? c) alcula el valo, diección y sentido del campo eléctico en el punto de la figua. cm cm a) Se calculan los módulos de las intensidades de los campos: k 9 9 = = 9 = 7 (,) σ σ, 4 = = = ε 8,85 Los dos vectoes se encuentan oientados tal y,, como muesta la figua, luego: = 5 i

9 Facultad de iencias uso - b) aa que el campo eléctico sea nulo en punto de la línea pependicula al plano que une éste con la caga, los módulos de los vectoes intensidad de campo deben se iguales ya que su sentido es contaio. σ ε 8, 85 k = = k = 9 =, m, 9 9 ε σ 4 c) Los módulos de los vectoes intensidad de campo son los mismos que en el apatado a), peo en este caso son pependiculaes ente sí, de tal foma que: cuyo módulo es: = = (7 ; ) p 7 eje X positivo: α = actg = 5º = 5, y el ángulo con el σ, α, 9. Dos planos, de dimensiones muy gandes, unifomemente cagados y con densidades de caga σ y σ. Se disponen tal y como se muesta en la figua. Sabiendo que σ > y que el campo eléctico en el punto A es A = j ( ). a) ómo debe se σ, positiva o negativa? ué valoes tienen σ y σ? b) uál es el valo del campo eléctico en el punto? a) Si el plano está cagado positivamente, el campo eléctico ceado po este plano en el punto A tiene el sentido positivo del eje z. aa que el campo total en A esté oientado en el sentido positivo del eje y, el campo ceado po el plano en A tiene que tene una A A

10 Facultad de iencias uso - componente en el sentido positivo del eje y. o lo tanto, la caga del plano debe se negativa, tal como se muesta en la figua. l vecto campo en el punto A: l vecto campo en A: σ = ε,, / σ σ =, cos 45, sin 45 / ε ε expesión donde los valoes de σ y σ se están consideando positivos. l campo total: σ σ σ = A, cos, sin = ε ε ε,, / Igualando las componentes y y z a su valo numéico, podemos obtene los valoes numéicos de: σ ε cos = = =, /m, /m ε cos σ 5 5 σ σ sin 45 = σ = σ sin 45 =, 5 sin 45 =, 77 /m, 8 /m ε ε ntonces, teniendo en cuenta el signo de las cagas, σ =,8-9 /m y σ =-,5-9 /m. b) Los campos y en el punto : 9 σ, 8 ε 8, 85 =,, =,, =,, 96 / σ ( 45 45) ( ) = = ε l campo total en el punto es: y su módulo:, cos,sin,, / ( 96 ) ( 96) =,, =,, / = = 96 /