Ayudantía 11. Problema 1. Considere un cascarón esférico de radio interno a y radio externo b con polarización

Transcripción

1 Pontificia Univesidad Católica de Chile Facultad de Física FIS1533 Electicidad y Magnetismo Pofeso: Máximo Bañados Ayudante: Felipe Canales, coeo: facanales@uc.cl Ayudantía 11 Poblema 1. Considee un cascaón esféico de adio inteno a y adio exteno b con polaización P () = β Encuente el campo eléctico de las siguientes fomas: Foma 1 (a) Encuente las densidades de caga volumética y supeficiales de caga polaizada. (b) Encuente el potencial V () en todo el espacio. (c) Encuente el campo eléctico. Foma (a) Encuente las densidades de caga volumética y supeficiales de caga polaizada (b) Encuente el campo eléctico po ley de gauss Foma 3 (a) Encuente el campo eléctico utilizando ley de gauss paa dieléctico Foma 1 (a) Po definición las densidades de caga volumética y supeficiales de polaización son (la divegencia se considea en coodenadas esféicas A = 1 ( A ) + 1 (sin(θ)a sin(θ) θ θ ) + 1 A φ y solo se toma en cuenta la pate adial): sin(θ) φ ρ P = P = 1 ( β ) = β

2 σ Pi = P n = β a = β a σ Pe = P n = β b = β b (b) Calculamos el potencial V () = K dq = 1 ( ρ P 4ε dv + σ Pi da + σ Pe da ) Calculemos la pimea integal ( es una posición fija y bae po toda la distibución de caga) ρ b P( ) β dv = ( + cos(φ )) 1 dφ dθ d a b = β ( + cos(φ )) 1 dφ d a La integal dφ d tiene dos soluciones dependiendo del caso + cos(φ ) ( + cos(φ )) 1 dφ = > < Entonces (ecoda que bae ente a y b (a < < b)) ρ P( ) dv = 4β 4β R d a La segunda integal en el cálculo del potencial: R b 1 d 4β(R a) = = 4βR + 4βa > = 4β ln ( b ) < R σ Pi( ) da = β a a ( + a a cos(φ )) 1 dφ dθ = βa sin(φ ) ( + a a cos(φ )) 1 dφ 4βa = 4β > a < a La tecea integal en el cálculo del potencial

3 σ Pe( ) da = β b b sin(φ ) ( + b b cos(φ )) 1 dφ dθ = βb ( + b b cos(φ )) 1 dφ 4βb > b = 4β < b Entonces tenemos el potencial en 3 zonas distintas Paa < a V () = β ε ln ( b a ) β ε + β ε = β ε ln ( b a ) Paa a < < b Paa > b V () = β ε ln ( b ) β ε + βa ε βa ε + β ε = β ε ln ( b ) V () = βb ε + βa ε βa ε + βb ε = (c) El campo eléctico a pati del potencial se obtiene como (gadiente en coodenadas esféicas = + 1 y φ + 1 θ ) φ sin(φ) θ E = V = V = β ε < a a < < b > b Foma (a) Al igual que en la Foma 1, po definición las densidades de caga volumética y supeficiales de polaización son (la divegencia se considea en coodenadas esféicas A = 1 ( A ) + 1 (sin(θ)a sin(θ) θ θ ) + 1 A φ y solo se toma en cuenta la pate adial): sin(θ) φ ρ P = P = 1 ( β ) = β σ Pi = P n = β a = β a σ Pe = P n = β b = β b

4 (b) Po ley de gauss tenemos E da = Q ε Po la simetía esféica del poblema 4 E = Q ε E = Q 4ε Peo Q es la integal de las densidades de caga y se distinguen 3 egiones Paa < a Q = ρ P dv = Paa a < < b Paa > b Q = ρ P dv + σ Pi da = β sin(φ) dφ a = 4β( a) 4βa = 4β dθ d + β a a sin(φ) dφ dθ Q = ρ P dv + σ Pi da + σ Pe da b = β sin(φ) dφ dθ d + β a a sin(φ) dφ dθ a Entonces el campo eléctico nos queda + β b b sin(φ) dφ dθ = 4β(b a) 4βa + 4βb = E = Q 4ε = β ε < a a < < b > b Foma 3 (a) Po ley de gauss tenemos D da = Q libe =

5 Po la simetía esféica del poblema De la definición de desplazamiento eléctico 4 D = D = D = ε E + P = E = 1 ε P = β ε < a a < < b > b Poblema. Una esfea de adio a se caga a potencial V y se aísla. Posteiomente se conecta con la Tiea a tavés de un condensado cuya capacidad es C. (Po definición la tiea está a potencial ceo independientemente de la caga que adquiea). Calcule el potencial final de la esfea, la caga en la esfea y en el condensado. Cuánta enegía se disipó al hace conexión a Tiea? La caga inicial de la esfea es fácil de obtene ya que nos dan como dato el potencial. Como el potencial a distancia geneado po una esfea conductoa cagada es Tenemos que en la supeficie V () = Q 4ε Q i = 4ε av Ahoa, al conecta la esfea a una de las placas del condensado, ambos conductoes quedan al mismo potencial V f. Además, como el oto conducto que compone al condensado está conectado a tiea, este se encuenta a potencial ceo. Luego, la difeencia de potencial ente las placas del condensado es V f. Si llamamos Q f a la caga final de la esfea y Q C a la del condensado, se cumple que: Q i = Q f + Q c Q f = 4ε av Q c = CV f La pimea elación es la consevación de caga ente la esfea y la placa del condensado conectada a esta. Recodemos que en un condensado (cagado) no hay taspaso de caga ente los conductoes constituyentes. La segunda ecuación elaciona la caga de la esfea con el potencial. Aquí estamos asumiendo que la esfea es suficientemente gande como paa despecia el efecto del campo eléctico geneado po el condensado. La ultima ecuación elaciona la caga y el potencial del condensado. Así, tenemos tes ecuaciones paa las tes incógnitas Q f, Q C y V f. Resolviendo el sistema y eemplazando el valo de Q i encontamos:

6 V f = 4ε av C + 4ε a Q c = 4ε av C C + 4ε a Q f = (4ε a) V C + 4ε a La enegía inicial del sistema es la enegía almacenada en el campo eléctico de la esfea conductoa U i = Q iv La enegía final es la almacenada en el campo eléctico de la esfea (luego de conectase a tiea) más la enegía almacenada en el campo eléctico del condensado Luego, la enegía disipada viene dada po: U f = Q fv f + Q cv f ΔU = U f U i = Q fv f + Q cv f Q iv = (Q f + Q c )V f Q iv = Q iv f Q iv = Q i(v f V ) Reemplazando los valoes de Q i y V f obtenemos: ΔU = Q i(v f V ) = ε av (V 4ε av C + 4ε a ) Poblema 3. Un condensado cilíndico de caga Q, cuyos adios inteno y exteno son a y b espectivamente, es intoducido veticalmente en un líquido dieléctico (lineal) de pemitividad ε. Suponga que el conducto exteno se encuenta conectado a tiea, y el conducto inteno está a un potencial fijo V. Suponiendo que el líquido dieléctico ha subido una altua h, y que la densidad de masa del líquido es ρ, detemine una ecuación paa enconta h.

7 La capacitancia de dos cilindos coaxiales con vacío intemedio, po ayudantía 7 es C v = ε (L h) Paa cilindos coaxiales con dieléctico como medio ente cilindos es La enegía almacenada en cada uno es Entonces la enegía total del sistema es U = U v + U d = V ε (L h) C d = La fueza del sistema poducida paa educi su enegía εh U v = CV = V ε (L h) U d = V εh + V εh ln(b a F U = U = U h k = V (ε ε ) k ) = V (ε L + h(ε ε )) Entonces esa fueza de subida del líquido debe igualase a la fueza de gavedad paa que haya equilibio F g = mg = ρv g = ρ (b a )hg = gρ(b a )hk F U = F g V (ε ε ) = gρ(b a )h Entonces h = V (ε ε ) gρ(b a )