UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

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1 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA DE INGENIERÍA AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO (EIAE) Mecánica de Fluidos I Poblema de ecuaciones geneales Un cilindo de adio R 0 y una cacasa concéntica con el cilindo de adio inteio R 1 y espeso h tales que h R 0 R 1 se encuentan sumegidos en un líquido de densidad ρ y viscosidad µ Cuando se pone a gia el cilindo inteio se genea un movimiento cicunfeencial del líquido que aasta a la cacasa haciéndola a gia y esta a su vez aasta al líquido exteio poniéndolo también en movimiento En el instante inicial cilindo cacasa y líquido están en eposo A pati del instante inicial el cilindo inteio se pone a gia a una velocidad constante Ω Se pide: 1- Escibi la ecuación difeencial y su condición inicial que pemite detemina la evolución con el tiempo de la velocidad angula Ω 1 (t) de la cacasa cuyo momento de inecia alededo del eje de gio es I - Escibi la ecuación condiciones iniciales y de contono que pemiten detemina la distibución de la única componente de la velocidad v θ distinta de ceo del líquido ente cilindo y cacasa y fuea de la misma 3- Escibi la ecuación que pemite detemina la vaiación adial de la pesión 4- Una vez alcanzado el égimen estacionaio la velocidad angula de la cacasa adquiee el valo estacionaio Ω 1E En este supuesto se pide detemina la velocidad v θ en el inteio y en el exteio del cilindo y la velocidad angula de gio Ω 1E de la cacasa 5- Estimen el oden de magnitud del tiempo que tada en alcanzase el égimen estacionaio anteio suponiendo que la densidad de cacasa es la misma que la del líquido Estimen este tiempo en los tes supuestos siguientes: (a) h R 0 R 1 (b) h R 0 R 1 y (c) h R 0 R 1

2 SOLUCIÓN 1- La ecuación difeencial pedida es I dω 1 dt = M donde I el momento de inecia de la cacasa M la suma de todos los momentos que actúan sobe la cacasa Estos momentos son los que el líquido a ambos lados de la cacasa ejecen sobe la misma La condición inicial paa intega esta ecuación es Ω 1 (0) = 0 y 3- Al se un líquido la ecuación de la continuidad v = 0 se escibe como v θ θ = 0 v θ = v θ ( t) La ecuación de la cantidad de movimiento adial (en ausencia de fuezas másicas) es p + ρv θ = 0 de donde se deduce que p = p ( t) La ecuación de cantidad de movimiento el la diección cicunfeencial (también en ausencia de fuezas másicas) es ρ v θ t = µ 3 ( vθ ) ] La única componente del tenso de esfuezos viscosos que es distinta de ceo es τ θ = τ θ = µ ( vθ ) Las condiciones de contono paa el líquido inteio ente eje y cacasa son v θi = ΩR 0 en = R 0 v θi = Ω 1 R 1 en = R 1 Mientas que paa el líquido exteio son v θe = Ω 1 (R 1 + h) en = R 1 + h v θe 0 en La condición inicial es v θ ( 0) = 0 4- Cuando se espea el tiempo suciente con el cilindo inteio giando a la velocidad Ω constante se alcanza el estado estacionaio con la cacasa giando también a una velocidad angula constante Ω 1E En el caso estacionaio la ecuación de cantidad de movimiento se educe a 3 ( vθ ) ] = 0 y la de inecia de la cacasa a M = 0

3 La integación de la ecuación de cantidad de movimiento anteio popociona v θ = C C 1 que con las condiciones de contono paa el líquido del inteio se obtiene C 1 = (Ω Ω 1E) R0 R 1 R1 R 0 C = Ω (Ω Ω 1E) R1 R1 R 0 v θi = Ω (Ω Ω 1E) R1 R1 + (Ω Ω 1E) R ( 0 R 1 R 0 R 1 R0) Paa detemina el esfuezo viscoso en la paed se tiene τ ] ( vθi ) ] θ =R 1 = µ = µ (Ω Ω 1E) R 0 =R 1 R1 R 0 de modo que el esfuezo viscoso en la paed inteio es τ wi = τ n con n=-ê esto es ( 0 τ ) ( )] τ wi = θ 1 τ = ( τ ) θ 0 0 θ =R 1 ê θ = µ (Ω Ω 1E) R0 =R 1 R1 ê θ R 0 La ecuación de cantidad de movimiento paa el líquido exteio con sus condiciones de contono popociona de modo que C = 0 ; C 1 = Ω 1E (R 1 + h) τ ] θ =R 1 µ +h = v θe = Ω 1E (R 1 + h) ( vθe ) ] =R 1 +h = µω 1E El esfuezo viscoso en la paed exteio es τ we = τ n con n=ê esto es ( 0 τ ) ( )] τ we = θ 1 τ = ( τ ) θ 0 0 θ =R 1 +h êθ = µω 1E ê θ =R 1 +h El momento que el líquido inteio ejece sobe el cilindo (exteio) es ˆ π (R 1 ê τ wi ) R 1 dθ = 4πµ (Ω Ω 1E) R1 R 0 0 R1 ê z R 0 del mismo modo el pa que ejece el líquido exteio sobe el mismo cilindo es ˆ π (R 1 + h) ê τ we ] (R 1 + h) dθ = 4πµΩ 1E (R 1 + h) ê z 0 En el caso estacionaio la suma de ambos momentos debe se nula que es el valo de Ω 1E En efecto (Ω Ω 1E ) R 1 R 0 R 1 R 0 = Ω 1E (R 1 + h)

4 Ω 1E = Ω ] 1 + (1 + h/r 1 ) (R 1 /R 0 ) 1 Obsévese que cuando h/r 1 0 se tiene Ω 1E = Ω (R 0 /R 1 ) de tal foma que las velocidades intena y extena en = R 1 coinciden en pimea apoximación; esto es v θe ( = R 1 + h) = Ω 1E (R 1 + h) Ω 1E R 1 v θi ( = R 1 ) = ΩR 1 (Ω Ω 1E) R 3 1 R 1 R 0 + (Ω Ω 1E) R0 R 1 ( R 1 R0) ΩR 1 (Ω Ω 1E ) R 1 = Ω 1E R 1 5- Duante el tansitoio inicial el oden de magnitud del tiempo caacteístico de difusión t d del efecto de la puesta en macha del cilindo inteio se obtiene de la ecuación de cantidad de movimiento donde el témino no estacionaio debe se del mismo oden que el viscoso Esto es ρ ΩR 0 µωr 0 t d R 0 t d R 0 µ/ρ R 0 ν Del mismo modo el tiempo caacteísticot d1 paa el uido exteio a los cilindos se tiene ρ µω 1E (R 1 + h) t d1 µω 1E (R 1 + h) (R 1 + h) t d1 (R 1 + h) ν Cuando h R 1 R 0 o bien h R 1 R 0 los tiempo t d y t d1 son del mismo oden t d t d1 R 0 /ν peo cuando h R 1 R 0 el tiempo t d t d1 h /ν A su vez el oden de magnitud del tiempo t v de vaiación de la velocidad angula Ω 1 se obtiene de la ecuación del equilibio de momentos escita anteiomente y dado que el momento de inecia po unidad de longitud de la cacasa es I ρh (R 1 + h)] (R 1 + h) y los momentos son del oden de µω 1 (R 1 + h) de modo que ρh (R 1 + h)] (R 1 + h) Ω 1E t v µω 1E (R 1 + h) t v (R 1 + h) h ν Cuando h R 1 R 0 se tiene t v R 0 /ν; cuando h R 1 R 0 el tiempo t v R 0 h/ν y cuando h R 1 R 0 el tiempo t v h /ν Po lo tanto el oden de magnitud del tansitoio de aanque es: a- Caso h R 1 R 0 la duación del tansitoio de aanque es del oden de t d t d1 R 0 /ν mientas que el tiempo debido a la inecia de la cacasa es t v R 0 h/ν despeciable fente al anteio b- Caso en que h R 1 R 0 En este caso todos los tiempos son del mismo oden t d t d1 t v R 0 /ν

5 c- Caso en que h R 1 R 0 Cuando el espeso de la cacasa es gande compaada con el adio del cilindo el tansitoio está deteminado po el movimiento del líquido exteio y la inecia de la cacasa ya que t d1 t v h /ν mientas que el tansitoio del líquido inteio es mucho más coto t d R0 /ν