Práctica 4 FLUJO POTENCIAL

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1 Ampliación de Fenómenos de Tanspote Áea de Mecánica de Fluidos PIV - 1 Ampliación de Fenómenos de Tanspote Áea de Mecánica de Fluidos PIV - Páctica 4 FLUJO POTENCIAL 4.1. INTRODUCCIÓN Mucos poblemas de diseño en el áea de flujo de fluidos equieen un conocimiento exacto de las distibuciones de velocidad y pesión, po ejemplo, el flujo sobe supeficies cuvas a lo lago de las alas de un aeoplano, a tavés de los pasos en una bomba, en un compeso, o sobe la cesta de una compueta. El conocimiento del flujo en dos o tes dimensiones de un fluido incompesible, no viscoso ofece una visión más amplia de mucas situaciones eales del flujo. En esta páctica se desaollan los pincipios del flujo iotacional de un fluido ideal y se aplican a situaciones elementales. Una vez establecidas las condiciones del flujo, se definen los conceptos de potencial de velocidad y función de coiente. Finalmente se estudian situaciones de flujo en dos dimensiones. 4.. EL FLUJO IDEAL. Paa que el fluido se considee ideal debe de cumplise que éste sea: - Incompesible (ρ constante). - No viscoso (µ 0). - Iotacional. De acuedo con lo expuesto po Pandtl, sólo dento de la capa límite existen esfuezos que no pemiten la suposición de fluido no viscoso. Sin embago, si el flujo de un fluido ideal sobe un cuepo se oigina de un flujo iotacional, como el caso de una coiente libe unifome, el Teoema de Kelvin asegua que el flujo se mantendá iotacional aún ceca del popio cuepo. Esto es, el vecto voticidad seá ceo en cualquie punto del fluido. En situaciones de flujo incompesible, en donde la capa límite es muy delgada, los esultados del fluido ideal pueden se aplicados al caso de un flujo de fluido eal, obteniéndose un gado de apoximación excelente. Supóngase una patícula fluida sobe el plano xy (figua 4.1). Figua 4.1. Esquema del movimiento de una patícula sobe el plano xy. (C.G. es el cento de gavedad, u es la velocidad en la componente oizontal y v es la velocidad en la componente vetical). Si la patícula de la figua 4.1 se desplaza con una velocidad, u (u,v), y estuviea giando se tendía que (consideando el sentido antioaio como positivo, de acuedo a la figua 4.): ωu ωv u dx v dy v v + dx v x v dx u + dy u x dy u u + dy Figua 4.. Esquema vectoial de la velocidad de una patícula giando sobe el plano xy. De esta foma, el valo pomedio de la velocidad angula seía: v v + dx (Ec.4.1) ω + ω ω dx dy u v 1 v u z (Ec.4.) siendo ω z la componente total de la velocidad angula sobe el eje Z (PL XY). Haciendo lo mismo paa los otos planos, y aplicando la definición del vecto voticidad:

2 Ampliación de Fenómenos de Tanspote Áea de Mecánica de Fluidos PIV - 3 Ampliación de Fenómenos de Tanspote Áea de Mecánica de Fluidos PIV - 4 w v) w ) v ) ot u xu i + j + k y z z x (Ec.4.3) donde es el opeado vectoial, y donde la velocidad tiene componentes ( u uî + vĵ + wkˆ ). De esta foma se puede ve que ot u ω. Po la condición de iotacionalidad ( ot u 0), entonces debe cumplise que w v z w ; z v ; es deci, que las 3 componentes de la voticidad deben se nulas. Cuando se tata de flujos bidimensionales el poblema se estinge a 1.3 POTENCIAL DE VELOCIDADES. v (Ec.4.4) (Ec.4.5) Se puede obseva que, si el flujo es iotacional (ecuación 4.5), existe una función escala (Φ) del espacio y del tiempo tal que su deivada en una diección cualesquiea es la componente de la velocidad del fluido en esa diección. Matemáticamente, la función escala, en flujo bidimensional, se define po las ecuaciones: φ u φ ; v A la función Φ se le llama velocidad potencial, y los campos de flujo que son iotacionales se les llaman flujos potenciales. Un equisito fundamental del flujo iotacional, es que los flujos potenciales cumplan con la ecuación de Laplace o Laplaciano de la función φ φ 0 (Ec.4.6) Es impotante obseva que cualquie función Φ que satisfaga el Laplaciano es un posible caso de flujo iotacional. Dado que φ es lineal (apaece a la pimea potencia en cada témino del Laplaciano), la suma de dos o más soluciones cualesquiea también son solución: ( φ1 ) ( φ ) 0 0 y ( ) ( φ + φ ) 0 cφ c cte En la bibliogafía especializada, a la línea definida po cualquie función φ(x,y) cte. se le llama línea equipotencial LA FUNCIÓN DE CORRIENTE. Dado que se deben cumpli las condiciones de iotacional e incompesible, entonces se puede defini una función ψ tal que satisfaga la ecuación de continuidad ψ ψ ψ u + ψ ; v 0 (Ec.4.7) A cualquie función ψ que satisfaga estos equisitos se le llamada función de coiente, y dada su definición, esta función es válida paa todos los flujos bidimensionales, sean iotacionales o otacionales. Paa cumpli con la condición de iotacional, un flujo bidimensional se puede modela como que es una condición necesaia y suficiente. 1 v v ω z 0 ó 0 A la línea Ψ(x,y) cte. se le conoce como línea de coiente y es, en todos sus puntos, tangente al vecto velocidad. Las líneas de coiente y las líneas equipotenciales son otogonales, es deci, se cotan ente sí en ángulos ectos, excepto en los puntos singulaes APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES POTENCIAL Y DE CORRIENTE a) Coiente unifome. Una coiente de velocidad constante (U cte.) tiene deivadas nulas y, po tanto, satisface la condición de iotacionalidad y la ecuación de continuidad. Supóngase pimeo que el flujo es unidieccional en la diección del eje x; las funciones φ y ψ esultantes son Integando, se obtiene ψ φ u U const ψ φ v 0 φ U x + C1 ψ U y + C (Ec.4.8a)

3 Ampliación de Fenómenos de Tanspote Áea de Mecánica de Fluidos PIV - 5 Ampliación de Fenómenos de Tanspote Áea de Mecánica de Fluidos PIV - 6 Las constantes de integación C 1 y C no afectan ni a las velocidades ni a las pesiones, po tanto, se pueden ignoa. Estas funciones se an epesentado en la figua siguiente (figua 4.3) y consisten en una malla de líneas de coiente ectas, pependiculaes a líneas equipotenciales, también ectas. Es costumbe pone flecas en las líneas de coiente mostando la diección del flujo. U y φu φu φ3u 0 x a) ψ 3U ψ U ψ U Figua 4.3. Esquema de un flujo potencial. Coiente libe. a) Coiente oizontal. b) Inclinación con un ángulo α. y φ1 φ φ3 b) ψ4 ψ 3 α 0 x ψ ψ1 donde, ( ) Q v πb const π bm m v m es una constante y se le conoce como intensidad de la fuente o del sumideo. Si m es positivo se tiene una línea de fuente bidimensional, y si m es negativo un sumideo bidimensional. Obviamente las líneas de coiente (Ψ) de las fuentes apuntan acia fuea como en la figua 4.4, con una velocidad tangencial (v θ ) ceo. En el caso de que la intensidad m fuea negativa, las líneas de coiente apuntaían acia adento. 3mπ ψ 4 ψ m π mπ ψ φm ln( 1 ) φm ln( ) ψ0 kπ φ kπ φ 4 ψ-k ln( 1 ) ψ-k ln( ) φ0 Se puede genealiza la coiente unifome de tal foma que fome un ángulo α con el eje x, como en la figua 4.3b. De esta foma se tiene que a) b) ψ φ u U cosα ψ φ u U senα Integando, paa la coiente unifome a un ángulo α se tiene φ U ψ U ( x cosα + y senα) ( y cosα x senα) lo que es útil paa poblemas de pefiles con ángulos de ataque. b) Fuentes o sumideos. (Ec.4.8b) Figua 4.4. Esquema de un flujo poducido po una fuente. a) líneas de coiente. b) líneas equipotenciales. Po simplicidad, se obtene Ψ y Φ en coodenadas polaes m 1 ψ θ v θ ψ 1 φ vθ 0 θ Integando, se obtienen las funciones de coiente y potencial paa las fuentes (+m), o los sumideos (-m) φ mln ψ mθ (Ec.4.9a) Supóngase aoa un tubo delgado situado en el eje z, que estuviese pefoado y emitiese tansvesalmente un caudal unifome a lo lago de su longitud. Miando a lo lago del eje z, se veía un flujo adial como se muesta esquemáticamente en la figua 4.4. En flujo estacionaio, la cantidad de fluido que ataviesa una supeficie cilíndica, de adio cualquiea y longitud b, es constante: Éstas se an epesentado esquemáticamente en la figua 4.4. Su foma en catesianas seía: φ m ln ( x + y ) y ψ m actg x 1/ (Ec. 4.9b)

4 Ampliación de Fenómenos de Tanspote Áea de Mecánica de Fluidos PIV - 7 Ampliación de Fenómenos de Tanspote Áea de Mecánica de Fluidos PIV - 8 Es posible compoba, po simple sustitución, que Ψ y Φ satisfacen la ecuación de Laplace en cualquie sistema de coodenadas. c) Doblete Un doblete se define como el esultado de la suma de una fuente y un sumideo de igual intensidad, cuando se apoximan el uno al oto, de tal foma que el poducto de sus intensidades y la distancia ente ellos es la constante πλ. A λ se le llama intensidad del doblete. Las ecuaciones en coodenadas catesianas son: φ ψ λx x + y λy x + y (Ec.4.1) Las líneas de coiente constante son cículos tangentes al eje x y pasan po el oigen; las líneas de equipotenciales son cículos que pasan po el oigen tangentes al eje y. En el oigen, la velocidad es infinita y po tanto se le considea un punto singula. Figua 4.5. Notación paa la deivación de un doblete bidimensional. Si una fuente se encuenta en (a, 0) y un sumideo de igual intensidad se encuenta en (-a, 0), el potencial de velocidad paa ambos, en algún punto P, es: Φ -m ln 1 + m ln (Ec.4.10) con 1 y las distancias desde la fuente y el sumideo especto al punto P. Po tanto πµ es la intensidad del sumideo y de la fuente. Paa pode toma el límite a medida que se apoxima a ceo paa amλ es necesaio altea la foma de la expesión paa Φ. Los téminos 1 y pueden se expesados en coodenadas polaes (,θ) según la ley de cosenos. Después de manipula las ecuaciones, y tomando el límite cuando a se apoxima a ceo, se llega a λcosθ φ (Ec.4.11a) La ecuación (Ec.4.11a) epesenta al potencial de velocidad paa un doblete bidimensional en el oigen con el eje en la diección + x. Paa obtene la función de coiente, se emplean las elaciones en coodenadas cilíndicas, con lo que: λsenθ ψ (Ec.4.11b) Figua 4.6. Líneas equipotenciales y líneas de coiente paa un doblete bidimensional. d) Cuepo semiinfinito de Rankine Cuando a una coiente unifome se le añade una fuente o un sumideo, se obtiene uno de los flujos más inteesantes. Si la coiente incidente tiene velocidad U en la diección del eje x, y la fuente está situada en el oigen, la función de coiente del conjunto es, en coodenadas polaes. ψ Usen θ+ mθ (Ec.4.13) Paa epesenta las líneas de coiente se le puede da a esta función divesos valoes constantes y dibuja las líneas coespondientes, o utiliza el método gáfico allando la intesección de las líneas oizontales de la coiente unifome con las líneas adiales de la fuente. Un cuepo semiinfinito, apoximadamente elíptico, sepaa a la coiente unifome de la fuente.

5 Ampliación de Fenómenos de Tanspote Áea de Mecánica de Fluidos PIV - 9 Ampliación de Fenómenos de Tanspote Áea de Mecánica de Fluidos PIV - 10 ( ) m π θ La foma de la pate supeio del cuepo está dada po la línea Ψ πm (ó ), de donde se U sen θ puede dibuja en función de θ. No es ealmente una elipse. 1 ay ψ U y mtg U senθ + m x + y a ( θ θ ) 1 La foma de la pate infeio es Ψ - πm. Las dos pates coinciden en un punto de emanso (V 0) en x -a -m/u, donde también cuza la línea Ψ 0. Se debe ecoda que las líneas de coiente pueden cuzase en los puntos de emanso. Las componentes catesianas de la velocidad son ψ m u U + cosθ ψ m v senθ (Ec.4.17) Haciendo u v 0, se detemina la posición del punto de emanso: θ 180º y m/u ó (x, y) m / U, 0). La velocidad esultante en cualquie punto está dada po ( a a V u + v U 1+ + cosθ donde se a sustituido m U a. Hay un gadiente de pesión favoable desde el punto de emanso asta s 3 a(θ 63º), donde U s, máx 1.6 U, a pati de aquí ay un gadiente adveso suave ya que U s U cuando s. Se puede aplica la teoía de la capa límite al flujo de la figua 4.7.(b) paa ve cuándo se despende la coiente. Con el método de Twaites, no se pedice sepaación. Po tanto, se puede conclui que la figua 4.7.(a) epesenta un flujo muy ealista y útil, simulando la pate fontal de un cuepo cilíndico inmeso en una coiente. Cuando x, las líneas de coiente que epesentan al cuepo de la figua 4.7.(a) tienden a las líneas ectas y ± πa; esto es, lejos aguas abajo de la fuente, el semicuepo tiene un espeso unifome de valo πa. Las líneas de coiente se an epesentado en la figua 4.7c, y son la imagen exacta a un espejo de las de la figua 4.7a. El punto de emanso está en x +a m/u. La distibución de velocidad sobe la supeficie se muesta en la figua 4.7d. e) Óvalo de Rankine Figua 4.7. Flujo de Rankine. a) Coiente unifome y una fuente, c) coiente unifome y un sumideo. Cuando se dibujan las líneas de coiente, Ψ constante, a pati de la ecuación anteio, se obtiene un cuepo de foma oval como el de la figua 4.8. La semilongitud (L) y la semiancua () del óvalo dependen de la intensidad elativa de la fuente y de la coiente unifome, esto es, de la elación m/u a, que en la figua 4.8b es igual a 1. Las líneas de coiente ciculatoias en el inteio del óvalo no son inteesantes y nomalmente no se muestan. La línea oval coesponde a Ψ 0. Hay puntos de emanso en la pate fontal y posteio del óvalo (x ± L, y 0), y puntos de velocidad máxima y pesión mínima en (x 0, y ± ). Todos estos valoes son funciones de paámeto adimensional básico m/u a, y se pueden detemina de las ecuaciones: Cuando una fuente y un sumideo se alinean en la diección de una coiente unifome, como en la figua 4.7a, se obtiene una foma elíptica denominada óvalo de Rankine, de longitud mayo a su ancua. La función de coiente del conjunto es:

6 Ampliación de Fenómenos de Tanspote Áea de Mecánica de Fluidos PIV - 11 Ampliación de Fenómenos de Tanspote Áea de Mecánica de Fluidos PIV - 1 a L a cot a m U a (Ec.4.17) 1 m 1 + U a u U max m U a a (Ec.4.18) Tabla 4.1. Relaciones paa detemina el efecto en el Óvalo de Rankine. Todos los óvalos de Rankine, excepto los muy delgados, tienen un gadiente adveso de pesión muy gande en su pate posteio. Se despende la capa límite fomándose una estela anca, de modo que no esultaía ealista aplica el modelo no viscoso a esta zona INSTALACIÓN EXPERIMENTAL. En el laboatoio José Maía Savión se cuenta con la mesa de Helle-Saw, que es un equipo que pemite el estudio de flujo potenciales y a tavés del cual es posible ealiza la visualización de cuepos aeodinámicos. La mesa se abastece con agua de la ed, po lo cual es necesaio, pimeo, abi la válvula todo/nada que se encuenta dento del fegadeo. Con la válvula de entada al depósito de llenado (ubicada exactamente po debajo de éste) se debeá contola el caudal que cicula po la zona de visualización (o zona de puebas). En el panel fontal supeio se encuentan las válvulas que pemiten contola las fuentes, mientas que en el panel fontal infeio se encuentan aquéllas que pemiten contola los sumideos. Finalmente, po encima del ábol de válvulas de sumideos, se encuentan las válvulas sintonizadoas que pemiten ajusta la intensidad de la fuente (o del sumideo, según coesponda). Figua 4.8. Óvalo de Rankine. Resultado de suma una fuente y un sumideo a una coiente libe. Cuando aumentamos m/u a desde ceo asta valoes gandes, la foma del óvalo aumenta de tamaño y espeso desde una placa plana de longitud a a un cilindo enome casi cicula. Esto se muesta en la siguiente tabla 4.1. En el límite m/u a, L/ 1 y u max /u, se tiene el flujo alededo de un cilindo cicula. Mientas el depósito de entada se empieza a llena, se ecomienda pepaa la tinta vegetal que seviá como elemento tazado. La popoción seá de una cucaada pequeña de polvo po cada dos litos de agua. Una vez pepaada la tinta vegetal, ésta se pondá en el depósito destinado paa tal efecto. Debe aseguase que el estangulado que se encuenta en el tubo de latex no pemita que la tinta se deame. Una vez que el depósito de entada ya se a llenado, puede abise el estangulado del tubo de latex paa que el tazado fluya po el peine de agujas. Esta inyección de tinta pemite detemina si el flujo a tavés de la zona de puebas es lamina; esto se consigue obsevando las líneas de tazas que se genean. Las líneas de tazas deben se paalelas a lo lago de la zona de visualización DATOS EXPERIMENTALES. Dento del cuepo del infome debeán contestase las siguientes peguntas, ealizando los cálculos necesaios dento de la memoia de cálculo.

7 Ampliación de Fenómenos de Tanspote Áea de Mecánica de Fluidos PIV - 13 Ampliación de Fenómenos de Tanspote Áea de Mecánica de Fluidos PIV - 14 RECUERDE QUE ESTO ES SÓLO UNA GUÍA Y QUE EL INFORME DEBERÁ REALIZARSE A MANO, DE FORMA LIMPIA, Y ORDENADA, DEJANDO CLARA LA MEMORIA DE CÁLCULO Y LAS CONCLUSIONES Y/O COMENTARIOS. Nombe: Gupo: Feca: VISUALIZACIÓN DE FLUJOS POTENCIALES. En esta pate de la páctica se popone que el alumno obseve y desciba algunos de los flujos potenciales que se pueden genea con el equipo en cuestión. En conceto, se poponen tes tipos: 1) obsevación y descipción de una coiente unifome, ) obsevación y descipción del semi-óvalo de Rankine, y 3) obsevación y descipción del óvalo de Rankine. Paa obseva la coiente unifome, sólo es necesaia la inyección del tazado. Las líneas de taza, paalelas, indican el compotamiento lamina del flujo. El semi-óvalo de Rankin se genea a tavés de la suma de la coiente unifome (ya geneada en el paso anteio), y una fuente o un sumideo. Paa ello se popone abi una o más válvulas de fuentes (o sumideos, según se desee) y caliba la visualización a tavés de las válvulas de sintonización. Debeá descibise el flujo así geneado. Paa temina esta pimea pate de la páctica, se popone que el alumno obseve el flujo geneado po la suma de una coiente unifome más una fuente y más un sumideo. La fuente y el sumideo debeán esta alineados con la coiente unifome. Qué sucedeía si la distancia ente la fuente y el sumideo se acota? VISUALIZACIÓN DE PERFILES AERODINÁMICOS. En esta pate de la páctica, el alumno debeá se capaz de obseva el flujo que se genea alededo de difeentes pefiles sumegidos en la coiente unifome. De esta foma se petenden efoza los conceptos de capa límite, despendimiento de la capa límite, y estela. Actualmente se cuenta con dos pefiles básicos (un cículo y un pefil aeodinámico) y dos modelos de coce. Pimeamente se popone obseva el flujo alededo de un cuepo cilíndico, que en dos dimensiones se tansfoma en un cículo. Levántese la tapa supeio de la zona de puebas, colóquese el cilindo y obsévese el flujo que se genea. Se puede aumenta o disminui el caudal en la zona de puebas paa veifica compotamientos a difeentes velocidades de coiente unifome. Cuándo la capa límite se sepaa, qué fenómeno se poduce especto a la fueza de aaste? Finalmente, los modelos de coce pemitián confima los conceptos de punto de emanso o estancamiento, y estela. Paa ello, colóquese uno de los modelos sobe la coiente unifome (pueden colocase los dos simultáneamente, aunque no es muy ecomendable poque pueden pedese alguno efectos impotantes en las líneas de coiente) CUESTIONES TEÓRICO-PRÁCTICAS: Intepeta la visualización que se a obtenido al genea las líneas de coiente con los difeentes peines de agujas. Se puede considea que se a geneado un flujo lamina? Al intoduci el cículo de cauco, po qué tienden a despegase las líneas de coiente en la pate de atás del obstáculo? Siendo un flujo lamina, tiene sentido este efecto? Intepeta la influencia de la vaiación del ángulo de ataque en las tayectoias en el caso del pefil ala La suma de la coiente libe con una fuente, genea el cuepo semiinfinito de Rankine? Qué sucede si se aumenta la intensidad de la fuente? La suma de la coiente libe con un sumideo, genea el cuepo semiinfinito de Rankine? Qué sucede si se aumenta la intensidad del sumideo? La suma de la coiente libe más un sumideo más una fuente, genea el óvalo de Rankine? Qué sucede confome se acecan la fuente y el sumideo? Intepete la visualización en los modelos a escala. Se obsevan los puntos de estancamiento y de sepaación de la capa límite? Cómo citeio pesonal, podía mejoa la aeodinámica de su veículo aplicándole algún elemento tuning? Podía considea la visualización de flujos como una eamienta impotante? Cuándo debeía aplicase y cuando seía consideada como una pédida de tiempo? En el caso de estudio del pefil aeodinámico, se popone que el alumno obseve el compotamiento de las líneas de coiente cuando éste se coloca con difeentes ángulo de inclinación. En este caso las líneas de coiente se sepaan, geneando una estela, confome el pefil cambia de posición.

8 Ampliación de Fenómenos de Tanspote Áea de Mecánica de Fluidos PIV EVALUACIÓN DE LA PRÁCTICA (PUNTUACIÓN DE 0 A 10). Evalúe la dificultad de la páctica, el mateial empleado, el desaollo popuesto, la paticipación del pofeso, e indique cualquie sugeencia que cea que pemitiá mejoa los conocimientos adquiidos duante el desaollo páctico y duante la elaboación del infome. Mateial: Guión: Dificultad: Sugeencias: