TALLER 3 GEOMETRÍA VECTORIAL Y ANALÍTICA FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

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1 TALLER GEOMETRÍA VECTORIAL Y ANALÍTICA FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA. 0- Pofeso: Jaime Andés Jaamillo González (jaimeaj@conceptocomputadoes.com) Pate del mateial ha sido tomado de documentos de los pofesoes Albeto Jaamillo, Gimaldo Oleas y Luís Henando Gómez Valencia.. En cada enunciado indique con V si lo considea vedadeo ó con F si lo considea falso. Paa los que considee falsos de una beve justificación o mueste un contaejemplo. a. ( ) Si u v v u y u y v son no nulos, entonces ( u v) y v tienen la misma diección. b. ( ) Cualquie vecto, en el espacio, puede expesase como combinación lineal de tes vectoes linealmente independientes en el espacio. c. ( ) Dado que la magnitud de un vecto nunca puede se negativa, puede afimase que al suma dos vectoes, da como esultado un nuevo vecto que necesaiamente tiene una magnitud mayo que cualquiea de los dos oiginales. d. ( ) En el espacio, si se tienen tes vectoes, de los cuales al toma dos cualquiea de ellos, se obseva que no son paalelos, puede afimase que estos tes vectoes son linealmente independientes. e. ( ) En todo tiángulo, la mediana es mayo que uno de los lados que paten de su vétice y meno que el oto. f. ( ) Si u v v u y u y v son no nulos, entonces u y v son paalelos y v u. Demueste que en todo tiángulo, el segmento que une los puntos medios de dos lados, es paalelo al tece lado y su longitud es la mitad de la longitud de este.. Demueste que si en un tiángulo cualquiea se taza, desde el punto medio de uno de sus lados, una paalela a oto de ellos, ésta pasa po el punto medio del tece lado.. Sea ABCD un tapecio con base mayo AB y base meno CD y sean P y Q los puntos medios de las diagonales. Poba que es paalelo a las bases del tapecio y que la longitud del segmento es de 6

2 5. Demueste que si una ecta cota a dos lados de un tiángulo, dicha ecta divide a los dos lados en foma popocional si y sólo si ella es paalela al tece lado. 6. Dados puntos A, B, C, D en el espacio que foman un cuadiláteo (no plano genealmente). Si E, F, G y H son los puntos medios de los cuato lados del cuadiláteo, entonces EFGH es un paalelogamo. 7. Demueste que un cuadiláteo es un paalelogamo si y solo si sus diagonales se bisecan 8. Demueste que en un cuadiláteo cualquiea los segmentos que unen los puntos medios de lados opuestos se bisecan. 9. Demueste que en todo tapecio, los puntos medios de las bases y el punto de intesección de las ectas que contienen los lados opuestos no paalelos, son colineales. 0. Sean V, V, V,,V n, los vétices de un polígono convexo de n lados, (n natual ). Demueste que : V V V V... V 0 nv. En un tiángulo ABC sean D, E, F los puntos medios de los lados,. Poba que AE BF CD 0.. Demueste que en todo tiángulo, la suma de los vectoes con punto inicial en los vétices y extemo final en el baicento, es el vecto nulo.. Demueste que en un pentágono egula, la suma de los vectoes tazados desde el cento a los vétices es el vecto nulo.. Si A, B, C son los vétices de un tiángulo cualquiea y L, M, N los puntos medios de sus lados, poba que, paa todo punto O se cumple queoa OB OC OL OM ON. Es posible genealiza paa cualquie polígono convexo? 5. Demosta que las medianas de un tiángulo se cuzan en un punto que está a una distancia del vétice coespondiente, en cada una de ellas, de / de su longitud 6. Demueste que en un tiángulo cualquiea, los segmentos tazados desde dos de sus vétices a los espectivos lados opuestos, no pueden bisecase. 7. Sea ABCD un cuadiláteo cualquiea; P el punto medio del segmento que une los puntos medios de las diagonales. Demueste que si O es un punto de efeencia cualquiea, entonces OP (OA OB OC OD) de 6

3 8. Sea CAB un tiángulo cualquiea; D un punto que divide al lado CB en la elación :, es deci: CD DB. Sea P el punto medio del segmento AD. Demueste que si O es un punto cualquiea en el espacio, entonces OP OA OB OC 6 9. Sea ABCD un paalelogamo. Sean M y N los puntos medios de los lados AB ycd, espectivamente, demueste que los segmentos BN y DM tisecan la diagonal AC. 0. Sea ABCD un paalelogamo, demueste que los segmentos tazados desde A a los puntos medios de los lados no concuentes en A, tisecan la diagonal BD.. Sea ABCD un paalelogamo. Sea E el punto que divide a BC en la elación :n (nbe EC, n natual). Demueste que el segmento AE divide a la diagonal BD en la elación :n. Sea G el baicento de un tiángulo ABC. Demueste que si O es un punto cualquiea en el espacio, entonces OG (OA OB OC).. Demueste que en todo tiángulo isósceles los segmentos tazados desde los puntos medios de los lados conguentes al punto medio del tece lado, son conguentes.. Demueste que si M. N Y R son puntos que dividen los lados de un tiángulo equiláteo en la misma azón, entonces el tiángulo MNR es equiláteo. 5. Sea ABCDEF un hexágono egula. Demueste que AB AC AD AE AF AD. 6. Sea ABC un tiángulo; E un punto inteio de BC que divide a este en la elación :, es deci BE EC. Sea D el punto medio de AB. Demueste que el segmento AE biseca al segmento CD. 7. En el tiángulo MNP, Q divide al lado MN en la elación : y R divide al lado NP en la elación :. Demueste que MR divide a PQ en la elación :. 8. En el paalelogamo MNPQ, R es el punto medio de NP y S divide a NP en la elación : (N-R- S-P colineales). Demueste que QR divide a MS en la elación 6:. 9. Sea ABCD un paalelogamo; H el punto medio de CD. F y G tisecan al lado CB, es deci CF FG GB. EL punto E divide al lado AB en la elación :, o sea AE EB. Sea P el EP punto de cote ente EF y HG.Calcule. PF de 6

4 0. Dado el tetaedo egula ABCD con M y N baicentos de las caas ABD y BCD espectivamente. Halla MN como combinación lineal de los vectoes DA, DB y DC.. A y B son dos puntos del espacio cuyas coodenadas se conocen: A (x, y, z ) Y B (x, y, z ). Use métodos vectoiales paa enconta: Las coodenadas del punto C tal que OC OA OB Las coodenadas del punto medio M del segmento AB. Distancia de A a B. Aplique paa A (, -, ) y B (-,, 0).. Considee, en el espacio, el tiángulo ABC: A(, -, ), B(,, -) y C(0, -, ). Use métodos vectoiales paa enconta: Las coodenadas del baicento G del tiángulo. La distancia del baicento al oigen del sistema de coodenadas. La longitud de cada mediana. El peímeto del tiángulo.. En el plano, A(6, ) y B (, ). Use métodos vectoiales paa enconta las coodenadas del punto C de modo que el cuadiláteo OABC sea un paalelogamo.. M, N y P son los puntos medios del tiángulo ABC en el espacio: M (,, ), N (,, -) y P (0, 0, 0). Encuente las coodenadas catesianas de los vétices del tiángulo ABC. 5. Encuente las ecuaciones paaméticas paa cada una de las siguientes ectas: : X-5Y6; : 7X6Y X λ 6. Dado el plano π: X-YZ5; y la ecta : Y λ Z λ Halle si existe, el punto de intesección de con π. 7. El plano π tiene ecuación: XY-Z; la ecta tiene ecuaciones paaméticas: Xλ Yλ Zλ Puebe que es paalela a π. está contenida en π? de 6

5 8. Tes planos tienen las siguientes ecuaciones catesianas: π : X-YZ; π : XY-Z π : -6XY-6Z7. Encuente: a. π π b. π π c. π π π 9. La ecta tiene ecuaciones paaméticas: Xλ Y-λ Z-λ Encuente la ecuación catesiana del plano que contiene a y a C(,0.). 0. La ecta tiene ecuaciones siméticas: X Y 5 Z 7 Detemine si está contenida en el plano π: X-Y-Z8.. La ectas y tienen ecuaciones siméticas así: Y Z : X X : Y 7 Z Encuente la ecuación del plano paalelo a y que contiene al punto A(,,-). Detemine si existe un plano que contenga las dos ectas dadas. En caso afimativo, encuente la ecuación de dicho plano, de lo contaio explique po qué no existe un plano que las contenga: a. AB ; A(, ); B(,5, ) x λ : y 8λ z 5λ b. x α : y α z α x 5 y z : 5 de 6

6 6 de 6 c. ), (5, ); (,7. ; B A AB : z y x d. : z y x β β β 5 : z y x