Tangencias y enlaces. Aplicaciones.

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1 DIBUJ Tangencias y Enlaces TEA 38: Tangencias y enlaces. Aplicaciones. Esquema:.- Intoducción. pepaadoes@aakis.es Web: Tazados de ectas tangentes...- Posiciones elativas ente ecta y cicunfeencia...- ectas tangentes a una cicunfeencia...a.- Po un punto de la cicunfeencia...b.- Paalelas a una diección dada...c.- Po un punto exteio..3.- ectas tangentes a dos cicunfeencias..3.a.- A dos cicunfeencias de igual adio..3.b.- A dos cicunfeencias de distinto adio..4.- Enlaces de ectas y cuvas. 3.- Tazados de cicunfeencias tangentes Posiciones elativas de cicunfeencias Nomenclatua segui y casos de tangencias que se pueden plantea Tazados de cicunfeencias tangentes. 3..a.- Casos de tangencias esueltos po lugaes geométicos. 3..b.- Casos de tangencias esueltos po dilataciones. 3..c.- Casos de tangencias esueltos po potencias. 3..d.- Casos de tangencias esueltos po homotecia. 3..e.- Casos de tangencias esueltos po invesión. 7.- Conclusiones. 8.- efeencias bibliogáficas y documentales..- INTDUCCIÓN. En este tema apendeemos a esolve los distintos casos de tangencias ente ectas y cicunfeencias y ente cicunfeencias que se pueden plantea. Los casos de tangencias son limitados y admiten esoluciones po distintos métodos, el método a elegi iá condicionado muchas veces en función de la disposición de los datos, muchos de los casos de tangencias se simplifican educiéndolos a un caso más sencillo. PEPAADES DE PSICINES PAA LA ENSEÑANZA Tel.:

2 DIBUJ Tangencias y Enlaces Las tangencias tienen una gan aplicación en el mundo del diseño industial, el ate, la aquitectua, la ingenieía y las obas públicas..- TAZADS DE ECTAS TANGENTES...- Posiciones elativas ente ecta y cicunfeencia. Fig.a Fig.b Fig.c d d d T Fig. d > d < d = ECTA EXTEI Fig. Fig.b T ECTA SECANTE ECTA TANGENTE Si la mínima distancia d desde el cento de la cicunfeencia a la ecta es mayo que el adio se dice que la ecta es exteio (Fig.a), si es meno que el adio la ecta es secante (Fig.b) y si es igual al adio la ecta es tangente, al punto de contacto se le llama punto de tangencia T (Fig.c)...- ectas tangentes a una cicunfeencia...a.- Po un punto de la cicunfeencia. Dada una cicunfeencia y un punto P contenido en ella paa dibuja la ecta tangente se une el punto P con el cento y se dibuja una t pependicula al adio obtenido po el punto P (Fig.a). t Fig.a t d..b.- Paalelas a una P diección dada. Dada una cicunfeencia y una diección d paa dibuja las tangentes paalelas a dicha diección se taza en pime luga PEPAADES DE PSICINES PAA LA ENSEÑANZA Tel.:

3 DIBUJ Tangencias y Enlaces 3 una pependicula desde el cento de la cicunfeencia a la diección, dicha pependicula cota a la cicunfeencia en dos puntos T y, las paalelas a la diección po dichos puntos seán las soluciones (Fig.b)...c.- Po un punto exteio. El pime método se basa en el concepto de aco capaz de 90º que es media cicunfeencia, dado una cicunfeencia y un punto exteio P, se une el punto exteio P con el cento, se halla el punto medio de dicho segmento y se dibuja una cicunfeencia de diámeto P, dicha cicunfeencia cota a la dada en dos puntos y que unidos con el punto exteio P deteminan la ectas tangentes t y t (Fig.3a). Fig.3a Fig.3b Fig.3c t P t P t T α t t P Fig.3 En el segundo método se dibuja una cicunfeencia de cento y adio, doble, a continuación con cento en P se dibuja un aco que pase po el cento y cote a la cicunfeencia de adio doble en los puntos y, al uni y con el cento se obtienen los puntos de tangencia y que unidos con el punto P deteminan las ectas solución, dicho método se basa en que el tiángulo P,, es un tiángulo isósceles y el punto es el punto medio del lado desigual, po lo tanto la tangente es la altua que es pependicula a la base (Fig.3b). En el tece método se une en pime luga el punto P con, a continuación con centó en el punto y adio P se dibuja un aco, po el punto se dibuja una pependicula al segmento P hasta que cote a dicho aco en el punto, se une con y se obtiene el punto T que unido con el punto P detemina la ecta solución, dicho método se basa en de los tiángulos PT y son iguales puesto que tienen dos lados iguales P= y =T y el ángulo α igual po se común, po lo tanto los ángulos y TP son iguales y ectos (Fig.3c). PEPAADES DE PSICINES PAA LA ENSEÑANZA Tel.:

4 DIBUJ Tangencias y Enlaces ectas tangentes a dos cicunfeencias..3.a.- A dos cicunfeencias de igual adio. Fig.4a Fig.4b t t t t Fig.4 Paa halla las tangentes exteioes se unen en pime luga los centos, las pependiculaes a dicha ecta po los centos de las cicunfeencias deteminan los puntos de tangencia que unidos dan las ectas solución (Fig.4a). Paa halla las tangentes inteioes se halla en pime luga el punto medio de la ecta que une los centos, el poblema se educe a dibuja la ectas tangentes a una cicunfeencia po un punto exteio ya estudiado (Fig.4b).3.b.- A dos cicunfeencias de distinto adio. Este poblema se esuelve po el método de las dilataciones, dicho método consiste en encoge la cicunfeencia de meno adio hasta convetila en un punto o lo que es lo mismo educila en una magnitud equivalente a su adio, la cicunfeencia mayo se educe en la misma popoción, el caso queda educido a dibuja la ectas tangentes desde un punto exteio, a una cicunfeencia de cento y adio -, una vez hallados los puntos de tangencia y se unen con el cento y se obtienen los puntos de tangencia definitivos y, las paalelas po a los segmentos, y deteminan los puntos de tangencia y que unidos con y definen la ectas solución (Fig.5a). Paa halla las tangentes inteioes la cicunfeencia de meno adio se educe a un punto y la de mayo adio se dilata una magnitud equivalente al adio de la de meno adio, el poblema queda educido como el caso anteio a dibuja las tangentes desde un punto exteio PEPAADES DE PSICINES PAA LA ENSEÑANZA Tel.:

5 DIBUJ Tangencias y Enlaces 5 Fig.5a Fig.5b t t s - t t + Fig.5 a una cicunfeencia de cento y adio +, una vez obtenidos los puntos y se unen con el cento y se obtienen los puntos de tangencia definitivos y, las paalelas po a los segmentos - y - deteminan los puntos de tangencia y que unidos con y definen la ectas solución (Fig.5b)..4.- Enlaces de ectas y cuvas. Los enlances son básicamente aplicaciones de casos de tangencias, no obstante algunos de ellos no se pueden inclui dento de ningún caso como son los siguientes: Enlaza puntos con una seie de acos dado el adio del pime aco. Se hallan en pime luga las mediatices de los segmentos que unen los puntos, a continuación con cento en el pime punto P y adio se dibuja un aco que cota a la pimea mediatiz en el punto cento del pime aco, paa halla el º aco se une el cento del º con el º punto P dicha ecta cota a la ª mediatiz en el punto cento del º aco, y así sucesivamente (Fig.6a). Fig.6a P6 Fig.6b P P P3 5 3 Fig.6 P4 04 P5 s PEPAADES DE PSICINES PAA LA ENSEÑANZA Tel.:

6 DIBUJ Tangencias y Enlaces 6 Enlaza dos ectas paalelas con dos acos del mismo adio y sentido contaio dados los puntos de tangencia en cada una de la ectas. Se unen los puntos de tangencia y y se halla la mediatiz de dicho segmento, a continuación se vuelven a halla las dos mediatices de los dos segmento esultantes, donde las pependiculaes po los puntos de tangencia a la ectas coten a dichas mediatices estaán los centos de los acos y (Fig.6b). 3.- TAZADS DE CICUNFEENCIAS TANGENTES Posiciones elativas de cicunfeencias. Fig.7 SECANTES EXTEIES INTEIES -<<+ >+ <- TG. EXTEIES TG. INTEIES CNCENTICAS = =+ =- =0 Las posiciones que pueden tene dos cicunfeencias son los que apaecen en la siguiente figua: (Fig.7) 3..- Nomenclatua segui y casos de tangencias que se pueden plantea. El númeo de casos de tangencia que se pueden plantea son un total de. Paa pode clasificalos utilizaemos la siguiente nomenclatua que se efiee a la foma de da los datos: P: significa que la cicunfeencia solución pasa po un punto dado. Estos puntos podá se de tes tipos: Pe: el punto es exteio a la cicunfeencias dada (podá esta fuea o dento de la cicunfeencia nunca en el contono). P: el punto está contenido en una ecta dada. PEPAADES DE PSICINES PAA LA ENSEÑANZA Tel.:

7 DIBUJ Tangencias y Enlaces 7 Pc: el punto está contenido en una cicunfeencia dada. : significa que la cicunfeencia solución seá tangente a una ecta dada. c: significa que la cicunfeencia solución debeá se tangente a una cicunfeencia dada. : significa que conocemos el adio de las cicunfeencias buscadas. Así po ejemplo el caso de tangencias,c,pc significa que nos dan de dato una ecta una cicunfeencia y un punto contenido en esa cicunfeencia y hay que halla cicunfeencias que sean tangentes a la ecta y a la cicunfeencia dada en el punto Pc. Los datos siempe seán tes y los casos que se pueden plantea así como los pocedimientos de esolución son los que figuan en la siguiente tabla (Fig.8): C aso!"!!!#!!!!!!! #" #! ## ETDS DATS Pe,, Pc,c, Pe,c,,,,c, c,c, P,Pe, Pe,Pe, Pc,Pe,c Pe,Pe,c P,, Pe,, P,,c Pc,,c Pe,,c Pc,c,c Pe,c,c,,,,c,c,c c,c,c P,, a.- Casos de tangencias esueltos po lugaes geométicos. Fig.9 Cicunfeencias tangentes a una ecta dado el punto de tangencia en la ecta conocido el adio. (P,,) Caso. P Se dibuja en pime luga una pependicula a la ecta po el punto P, con cento en dicho punto y adio se dibuja un aco que cota a la pependicula en los puntos y centos de las cicunfeencias solución (Fig.9). PEPAADES DE PSICINES PAA LA ENSEÑANZA Tel.:

8 DIBUJ Tangencias y Enlaces 8 Cicunfeencias tangentes a una ecta que pasen po un punto dado conocido el adio. (Pe,,) Caso. P d Fig.0 Se dibuja una paalela a la ecta dada a una distancia del adio dado, con cento en el punto P y adio se dibuja un aco que cota a la paalela en los puntos y centos de las cicunfeencias solución, las pependiculaes a la ecta po y deteminan los puntos de tangencia y. Este ejecicio tiene una solución si d=, soluciones si d< y 0 soluciones si d> (Fig.0). Cicunfeencias tangentes a una cicunfeencia dado el punto de tangencia en la cicunfeencia conocido el adio. (Pc,c,) Caso 3. Pc Fig. Se une el punto de tangencia Pc con el cento de la cicunfeencia dada, a continuación con cento en el punto de tangencia Pc se dibuja un aco de adio que cota a la ecta anteio en los puntos y centos de las cicunfeencias buscadas (Fig.). Cicunfeencias tangentes a una cicunfeencia que pasen po un punto conocido el adio. (Pe,c,) Caso 4. Fig. + Pe PEPAADES DE PSICINES PAA LA ENSEÑANZA Tel.: Con cento en el punto exteio dado Pe se dibuja un aco de adio a continuación con cento en el punto se dibuja oto aco de adio + que cota al anteio en y centos de las cicunfeencias solución, uniendo y con el cento se obtienen los puntos de tangencia y. Este

9 DIBUJ Tangencias y Enlaces 9 ejecicio tiene 0 soluciones si el segmento Pe>+, una solución si Pe=+ y dos soluciones si Pe<+ (Fig.). Cicunfeencias tangentes a dos ectas dado el adio. (,,). Caso 5. T8 3 T7 T6 T5 4 Fig.3 s Se dibujan paalelas a las ectas dadas a una distancia igual al adio dado a ambos lados, donde se coten las 4 paalelas estaán los 4 centos de las cicunfeencias solución. Las pependiculaes a las ectas po los centos deteminaán los puntos de tangencia (Fig.3). Cicunfeencias tangentes a una ecta y una cicunfeencia conocido el adio. (,c,). Caso 6. Este ejecicio tiene distintas soluciones en función de lo que midan las distancias d y d, si d> 0 soluciones, si d= solución, si d< soluciones, si d= 3 soluciones y si d< 4 soluciones. Hallaemos en la Fig.4 las soluciones en la que la cicunfeencia dato queda exteio y en la Fig.5 las soluciones en la que la dato queda inteio. Se dibuja en los dos casos una ecta paalela a la dada a una distancia de, a continuación se dibuja con cento en un aco de adio + en el pime caso y de adio - en el segundo caso, donde estos acos Fig.4 + d d PEPAADES DE PSICINES PAA LA ENSEÑANZA Tel.: - A B Fig.5 coten a la paalela estaán los centos de las cicunfeencias solución. Las pependiculaes a la ecta po los centos deteminaán los puntos

10 DIBUJ Tangencias y Enlaces 0 de tangencia con ella y, los puntos de tangencia con la cicunfeencia dato se obtienen uniendo y con, puntos y (Fig.4 y 5). Cicunfeencias tangentes a dos cicunfeencias conocido el adio. (c,c,). Caso 7. Este caso al igual que el anteio tiene distinto nº de soluciones en función la distancia d ente centos, si d> 0 soluciones, si d= solución, si d< tendá ente y 8 soluciones en función de que sea mayo o meno que y. esolveemos un pime caso (Fig.6) en el que las cicunfeencias dato quedan exteioes especto a las soluciones y un segundo caso (Fig.7) en el que una queda inteio y la ota exteio. Se dibujan con cento en y dos acos de adio + y + espectivamente, donde se coten se obtienen los centos de las cicunfeencias solución que unidos con y deteminan los puntos de tangencia (Fig.6). En el segundo caso se dibujan con cento en y dos acos de adio - y + espectivamente, donde se coten se obtienen los centos de las cicunfeencias solución que unidos con y deteminan los puntos de tangencia (Fig.7). Si lo que se desea es que una cicunfeencia quede exteio especto a las soluciones hay que sumale el adio que dan de dato, y si lo que se quiee es que quede inteio hay que estale al adio dado el adio de la cicunfeencia en cuestión. Cicunfeencias tangentes a una ecta dado el punto de tangencia en dicha ecta y que pasen po un punto dado. (P,Pe,) Caso Fig.7 Fig PEPAADES DE PSICINES PAA LA ENSEÑANZA Tel.:

11 DIBUJ Tangencias y Enlaces Este caso es muy sencillo, se dibuja en pime luga una pependicula a la ecta po el punto P, a continuación se halla la mediatiz del segmento PPe, donde la mediatiz cote a la pependicula se obtiene el cento de la cicunfeencia solución (Fig.8). Fig.8 P Pe cicunfeencia dada con el punto Pc, donde dicha ecta cote a la mediatiz anteio se obtiene el cento de la cicunfeencia solución (Fig.9). Cicunfeencias tangentes a una cicunfeencia dado el punto de tangencia en dicha cicunfeencia y que pasen po un punto dado. (Pc,Pe,c) Caso 0. Se unen los dos puntos dados Pc y Pe y se halla la mediatiz, a continuación se une el cento de la Pc Pe Cicunfeencias tangentes a dos ectas conocido el punto de tangencia en una de ellas. (P,,). Caso. Fig.9 P s Fig.0 Se dibujan las dos bisectices de los dos ángulos que foman las ectas, a continuación se dibuja una pependicula po el punto dado P a la ecta s, donde dicha pependicula cote a las bisectices se obtienen los centos de las cicunfeencias solución y, las pependiculaes a la ecta po los centos deteminan los puntos de tangencia y (Fig.0). Cicunfeencias tangentes a tes ectas. (,,). Caso 9. Este ejecicio se esuelve fácilmente hallando las bisectices de los ángulos que foman las ectas ente sí, obteniéndose los centos donde éstas se coten y dibujando a continuación las pependiculaes a las ectas po los centos paa halla los puntos de tangencia (Fig. y ). PEPAADES DE PSICINES PAA LA ENSEÑANZA Tel.:

12 DIBUJ Tangencias y Enlaces Fig. t T6 T8 Fig. T5 T6 s T5 0 T9 T b.- Casos de tangencias esueltos po dilataciones. Cicunfeencias tangentes a una cicunfeencia y una ecta dado el punto de tangencia en la ecta. Fig.3 (P,,c). Caso 4. P Fig.4 Se dibuja po él punto dado P una pependicula a la ecta, a continuación se tanspota sobe dicha pependicula hacia un lado y hacia el oto el adio de la cicunfeencia dada y se obtienen los puntos y N, se hallan las mediatices de los segmentos y N, donde dichas mediatices coten a la pependicula a la ecta po P se obtienen los centos de las cicunfeencias solución y que unidos con el cento deteminan los puntos de tangencia y (Fig.3 y 4). N P Cicunfeencias tangentes a dos cicunfeencias dado el punto de tangencia en una de las cicunfeencias. (Pc,c,c) Caso 7. Este ejecicio tiene dos soluciones en función de que la dilatación se ealice hacia el exteio o el inteio de la cicunfeencia, paa esolvelo se une el cento de la cicunfeencia con el punto de tangencia Pc y se tanspota sobe esta ecta a pati del punto el adio de la ota PEPAADES DE PSICINES PAA LA ENSEÑANZA Tel.:

13 DIBUJ Tangencias y Enlaces 3 cicunfeencia a un lado y al oto obteniéndose el punto, se une el punto con en cento y se halla la mediatiz del segmento esultante, donde dicha mediatiz cote a la ecta que pasa po y Pc se obtienen los centos de las cicunfeencias solución que unidos con el cento de la ota cicunfeencia deteminan los puntos de tangencia (Fig.5 y 6). Fig.5 Pc 0 03 Pc 0 Fig.6 Cicunfeencias tangentes a dos ectas y una cicunfeencia. (,,c) Caso 0 Este ejecicio es una mezcla ente dilataciones y homotecia o ente dilataciones y potencia (ve apatados 3..c y 3..d). Cicunfeencias tangentes a dos cicunfeencias y una ecta. (,c,c). Caso. Este ejecicio es una mezcla ente dilataciones e invesión (ve apatado 3..e). Cicunfeencias tangentes a tes cicunfeencias. (c,c,c). Caso. Este ejecicio es una mezcla ente dilataciones e invesión (ve apatado 3..e). 3..c.- Casos de tangencias esueltos po potencias. Cicunfeencias tangentes a una ecta y que pasen po dos puntos dados. (Pe,Pe,) Caso 9. Dados los puntos A y B y la ecta, se polonga el segmento AB hasta que cote a en N, el segmento AB es el eje adical de todas las cicunfeencias que pasan po A y B incluidas las dos soluciones, el punto N es el punto medio ente los dos puntos de tangencia de las PEPAADES DE PSICINES PAA LA ENSEÑANZA Tel.:

14 DIBUJ Tangencias y Enlaces 4 cicunfeencias solución y tendá la misma potencia especto a todas la cicunfeencias que pasen po A y B, se dibuja una cicunfeencia cualquiea que tenga su cento en la mediatiz de AB y que pase po estos dos puntos (cicunfeencia de cento ), se taza la tangente a esta cicunfeencia desde el punto N uniéndolo con el cento y hallando el aco capaz de 90º (punto T), con cento en N y adio NT se dibuja un aco que cota a la T N A B Fig.7 ecta en los puntos de tangencia y, puntos de tangencia de las cicunfeencias soluciones, se tazan po estos dos puntos dos pependiculaes a la ecta y donde coten a la mediatiz de AB estaán los centos de las cicunfeencias soluciones y (Fig.7). Cicunfeencias tangentes a una cicunfeencia y que pasen po dos puntos dados. (Pe,Pe,c). Caso. Se halla en pime luga la mediatiz del segmento AB, se dibuja a continuación una cicunfeencia cualquiea que tenga su cento en dicha mediatiz, que pase po AB y que cote a la cicunfeencia dada en y (cicunfeencia de cento ), se une y y se alaga hasta que cote a la polongación del segmento AB en el punto, desde se dibujan las dos ectas tangentes en y a la cicunfeencia dada mediante un aco capaz de 90º, se unen y con el cento y donde coten dichas ectas a la mediatiz de AB se obtienen los puntos y centos de las cicunfeencias solución. Fig.8 A N B Dicha constucción se basa en que la ecta que pasa po A y B es el eje adical de las infinitas cicunfeencias que pasan po A y B (incluidas las cicunfeencias solución), y el punto es el cento adical de las dos cicunfeencia solución y de la cicunfeencia dato po lo tanto tendá la misma potencia especto a las tes cicunfeencias (la distancia del cento adical a los puntos de tangencia es la misma) (Fig.8). PEPAADES DE PSICINES PAA LA ENSEÑANZA Tel.:

15 DIBUJ Tangencias y Enlaces 5 Cicunfeencias tangentes a dos ectas y que pasen po un punto dado. (Pe,,). Caso 3. Paa esolve este ejecicio se dibuja en pime luga la bisectiz del ángulo que definen las dos ectas dadas, a continuación se halla el simético del punto dado A especto a A dicha bisectiz (punto A ), el ejecicio se educe al Caso 9 Pe,Pe,. Se tataá de halla A s las cicunfeencias que pasan po A y A que sean Fig.9 tangentes a una de las dos ectas dadas (Fig.9). Cicunfeencias tangentes a una cicunfeencia y una ecta dado el punto de tangencia en la ecta. (P,,c). Caso 4. Se dibuja po el punto dado P una pependicula a la ecta, se taza a continuación una cicunfeencia cualquiea que tenga su cento en dicha pependicula que pase po el punto de tangencia con la ecta P y que cote a la cicunfeencia dada en los puntos y (cicunfeencia de cento ), se unen y (eje adical) y donde dicha ecta cote a la dada se obtiene el punto (cento adical), con cento en dicho punto y adio P se dibuja un aco que cota a la cicunfeencia dada en los puntos de tangencia y, que unidos con deteminan los centos de la cicunfeencia solución donde coten a la P Fig.30 pependicula a la ecta po P (Fig.30). Cicunfeencias tangentes a una ecta y una cicunfeencia dado el punto de tangencia en la cicunfeencia. (Pc,,c). Caso 5. Se une el punto de tangencia en la cicunfeencia Pc con el cento, se dibuja la pependicula a dicha ecta po el punto Pc, dicha pependicula es el eje adical de las infinitas cicunfeencias que son tangentes en el punto Pc, dónde el eje adical cote a la ecta dada se PEPAADES DE PSICINES PAA LA ENSEÑANZA Tel.:

16 DIBUJ Tangencias y Enlaces 6 Pc Fig.3 obtiene el punto (punto medio del segmento que une los dos puntos de tangencia de las cicunfeencias solución con la ecta) con cento en dicho punto se dibuja un aco de adio Pc que cota a la ecta dada en los puntos de tangencia y, las pependiculaes a la ecta dada po dichos puntos deteminan los centos de los cicunfeencia solución donde coten a la ecta Pc (Fig.3). Cicunfeencias tangentes a dos cicunfeencias dado el punto de tangencia en una de las cicunfeencias. (Pc,c,c). Caso 7. Se une el punto de tangencia en la cicunfeencia Pc con su cento, se dibuja la pependicula a dicha ecta po el punto Pc, esta ecta es el eje adical de las infinitas cicunfeencias que son tangentes en el punto Pc (incluidas las dos soluciones), con cento en un punto cualquiea de la ecta que pasa po y Pc (punto ) se dibuja una cicunfeencia que pase po Pc y que cote a la cicunfeencia de cento en los puntos y, se dibuja una ecta que pase po y que cota al eje adical en el punto (cento Fig.3 Pc adical de las infinitas cicunfeencias tangentes en Pc y la cicunfeencia de cento ), con cento en y adio Pc se dibuja un aco que cota a la cicunfeencia en los puntos de tangencia y que unidos con el cento deteminan los centos de las cicunfeencias solución donde coten a la ecta que pasa po y Pc. (Fig.3). Cicunfeencias tangentes a dos ectas y una cicunfeencia. (,,c). Caso 0. Paa esolve este ejecicio se dilatan (se desplazan paalelamente sobe si mismas) en pime luga las ectas dadas hacia al inteio en el pime caso ( soluciones) o hacia el exteio en el segundo ( soluciones) una magnitud equivalente al adio de la cicunfeencia dada PEPAADES DE PSICINES PAA LA ENSEÑANZA Tel.:

17 DIBUJ Tangencias y Enlaces 7, el ejecicio queda educido al Caso 3,,Pe siendo las ectas las dilatadas y el punto Pe el cento de la cicunfeencia dada, se esuelve y se deshace la dilatación (Ve Fig.9). 3..d.- Casos de tangencias esueltos po homotecia. Cicunfeencias tangentes a una ecta y que pasen po dos puntos dados. (Pe,Pe,). Caso 9. La esolución de este ejecicio se basa en que dos cicunfeencias siempe son homotéticas Fig.33 ente si, la ecta tangente a las dos detemina dos B puntos homotéticos que son los puntos de tangencia. Paa esolvelo se halla la mediatiz de la ecta que A V une los dos puntos exteioes A y B, donde dicha mediatiz cote a la ecta dada se obtiene el cento de homotecia V, se dibuja a continuación una cicunfeencia cualquiea que tenga su cento en la mediatiz de AB y que sea tangente a la ecta (cicunfeencia de cento ), se une el cento de homotecia V con el punto B cotando a la cicunfeencia anteio en los puntos y que se unen a su vez con el cento, las paalelas po B a los segmentos - y - deteminan los centos de las cicunfeencias solución donde coten a la mediatiz de AB. Los puntos de tangencia con la ecta se obtienen tazando las pependiculaes po y a la ecta (Fig.33). Cicunfeencias tangentes a dos ectas y que pasen po un punto dado. (Pe,,) Caso 3. Paa esolve este ejecicio se dibuja en pime luga la bisectiz del ángulo que definen las dos ectas dadas, se taza a continuación una cicunfeencia cualquiea que sea tangente a las dos ectas y tenga su cento en la bisectiz, se une el cento de homotecia V con el punto dado Pe que cota a la cicunfeencia en y, se unen y con el cento, las paalelas po Pe a las ectas - y - deteminan los centos de las cicunfeencias solución donde coten a la bisectiz (puntos y 3), los puntos de tangencia se obtienen dibujando las PEPAADES DE PSICINES PAA LA ENSEÑANZA Tel.:

18 DIBUJ Tangencias y Enlaces 8 pependiculaes a las ectas po los centos (Fig.34). Pe s V Fig.34 Cicunfeencias tangentes a dos ectas y una cicunfeencia. (,,c). Caso 0. Fig.35 T5 ectas las dilatadas y el punto Pe el cento de la cicunfeencia dada, se esuelve y se deshace la dilatación (Fig.35 y 36). 0 T6 0 s T5 0 0 Paa esolve este ejecicio se dilatan (se desplazan paalelamente sobe si mismas) las ectas dadas hacia al inteio en el pime caso ( soluciones) o hacia el exteio en el segundo ( soluciones) una magnitud equivalente al adio de la cicunfeencia dada, el ejecicio queda educido al Caso 3,,Pe siendo las 0 T6 0 Fig.36 s PEPAADES DE PSICINES PAA LA ENSEÑANZA Tel.:

19 DIBUJ Tangencias y Enlaces 9 3..e.- Casos de tangencias esueltos po invesión. Dada la amplitud del tema y puesto que la invesión no es un tema específico del temaio únicamente esolveemos po este método debido a su inteés los casos siguientes (paa entende este tipo de ejecicios son necesaios conceptos pevios de invesión, ve bibliogafía ecomendada): Cicunfeencias tangentes a dos cicunfeencias y que pasen po un punto dado (c,c,pe) Caso 8, que a su vez se puede conveti en una de sus vaiantes en el caso Cicunfeencias tangentes a una cicunfeencia y que pasen po dos puntos dados (Pe,Pe,c) Caso. El último caso Cicunfeencias tangentes a tes cicunfeencias (c,c,c) Caso conocido también como poblema de Apolonio se conviete en el caso Cicunfeencias tangentes a dos cicunfeencias y que pasen po un punto dado (c,c,pe) Caso 8 po lo que no lo esolveemos. Cicunfeencias tangentes a una cicunfeencia y que pasen po dos puntos dados. (Pe,Pe,c) Caso. Se toma uno de los puntos dados como cento de invesión (punto A), se dibuja la tangente po A a la cicunfeencia dada siendo AT la potencia de invesión k con lo que la cicunfeencia dada es invesa de si misma, se dibuja un aco con cento en A y adio AB que cota a la cicunfeencia dada en C, se une C con A y se halla su inveso C se une A con B y con adio AC se dibuja un aco que cota a AB en B inveso de B, po B se dibujan las tangentes a la cicunfeencia dada (ectas t y t), las invesas k T A=A C t C t B B Fig.37 de t y t seán las cicunfeencias solución, paa ello se unen y con A obteniéndose sus invesos donde coten a la cicunfeencia dada y, se unen los puntos y con y donde coten a la mediatiz de AB se obtendán los centos de las cicunfeencias solución y (Fig.37). Cicunfeencias tangentes a dos cicunfeencias y que pasen po un punto. (c,c,pe) Caso 8. Este ejecicio se puede hace de dos fomas en la pimea se hace que PEPAADES DE PSICINES PAA LA ENSEÑANZA Tel.:

20 DIBUJ Tangencias y Enlaces 0 una de las cicunfeencias sea invesa de la ota, paa ello se dibujan las ectas tangentes a las cicunfeencias y la ecta que une los centos, las tes ectas se cotan en el punto C cento de invesión, se halla a continuación el inveso del punto P paa lo cual se dibuja una cicunfeencia que pase po P y po dos puntos invesos y (cicunfeencia de cento ), se une el cento de invesión C con el punto P y donde cote a la cicunfeencia anteio se halla el inveso del punto P (punto P ), el ejecicio se educe al P k C P P Fig.38 PEPAADES DE PSICINES PAA LA ENSEÑANZA Tel.: C Caso Pe,Pe,c siendo los dos puntos P y P y la cicunfeencia una de las dato, si en vez de taza las tangentes exteioes se tazan las inteioes se obtiene un nuevo cento de invesión C y otas soluciones (Fig.38). En el segundo método se considea el punto P como cento de invesión y como potencia de invesión k la tangente desde P a una de las cicunfeencias PT con lo que la cicunfeencia de cento es invesa de si misma, paa halla la invesa de la ota se dibuja un aco de adio PT que cota a la cicunfeencia en y (puntos dobles), la invesa de pasaa po y y seá tangente a la ecta P (se esuelve el caso de tangencias Pe,Pe, siendo los P puntos y, y la ecta t3 t P obteniéndose la 03 cicunfeencia de cento s ), una vez halladas 0 las invesas de y 0 t T se dibujan las 4 ectas tangentes a dichas t4 0 cicunfeencias (ectas t,t,t3,t4), las invesas de dichas ectas seán Fig.39 las cicunfeencias solución, en el ejecicio de la Fig.39 se ha hallado la invesa de t paa lo cual se unen y con el cento de

21 DIBUJ Tangencias y Enlaces invesión P, donde coten a las cicunfeencias invesas de y se obtienen los puntos y, que unidos con y deteminan donde se coten el punto 3 cento de una de las soluciones (Fig.39). 7.- CNCLUSINES. Las tangencias pueden se de tes tipos: ectas tangentes a una cicunfeencia (po un punto de la cuva, po un punto exteio y paalelas a una diección dada), ectas tangentes a dos cicunfeencias (exteioes o inteioes) y cicunfeencias que sean tangentes a otas ectas o cicunfeencias bien conocido el adio o bien pasando po algún punto, en este tece tipo de tangencias los datos siempe seán tes y los casos que se pueden plantea son un total de, estos casos se pueden esolve po lugaes geométicos, po dilataciones, po homotecia, po potencias, o po invesión o po combinación de los anteioes, el método a elegi iá en función de la disposición de los datos y de su gado de dificultad. Las tangencias tienen una gan aplicación en el mundo del diseño industial, aquitectónico, publicitaio etc y en el tazado de obas públicas. 8.- EFEENCIAS BIBLIGÁFICAS Y DCUENTALES. Auto: GNZALEZ NSALVE, AI PALENCIA CTÉS, JULIAN Tazado Geomético. Editoial: Los autoes. Auto: DIGUEZ DE ABAJ, F. JAVIE Cuso de Dibujo Geomético y Coquización. Editoial: afil S.A Auto: PUIG ADA, P Cuso de geometía mética (Tomo I y Tomo II). Editoial: Eule Editoial S.A Auto: VILLIA SAN IGUEL, VICT Fundamentos geométicos. Editoial: Dossat S.A PEPAADES DE PSICINES PAA LA ENSEÑANZA Tel.:

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