3.3.- Cálculo del campo eléctrico mediante la Ley de Gauss

Transcripción

1 Lección 1. Campo Electostático en el vacío: Conceptos y esultados fundamentales Cálculo del campo eléctico mediante la Ley de Gauss La Ley de Gauss pemite calcula de foma sencilla el campo eléctico cuando tabajamos con distibuciones de caga ue pesentan una gan simetía. A continuación mostamos algunos ejemplos de este tipo de cálculos. Ejemplo 1. Cálculo del campo ceado po una coteza esféica de adio R cagada homogéneamente con una caga total Q. El campo debido a una coteza esféica cagada se calcula fácilmente aplicando el Teoema de Gauss. El pime paso en este tipo de cálculos consiste en analiza cómo es la distibución de caga, paa detemina el sentido del vecto campo eléctico cómo seá la dependencia de su módulo con las coodenadas. Este análisis nos pemitiá selecciona una supeficie abitaia (supeficie gaussiana) paa la ue nos sea cómodo aplica el teoema de Gauss. En el caso ue nos ocupa, la simetía del poblema nos indica dos cosas: 1.- El campo sólo debe depende de la distancia al cento de la esfea (coodenada adial ) ya ue tenemos simetía de evolución especto a cualuie eje..- El campo eléctico debe estas necesaiamente diigido en sentido adial ya ue es el único sentido compatible con la inexistencia de diecciones pivilegiadas en el espacio (ya ue, como hemos dicho, la esfea tiene simetía de evolución especto a cualuie eje). Estas dos popiedades de la distibución, nos lleva a selecciona, paa detemina el campo, de la esfea cagada, una supeficie gaussiana esféica concéntica con la distibución. El motivo de es ue a la hoa de calcula el flujo el vecto campo y el vecto supeficie seán paalelos y además, el módulo del campo seá constante en toda la supeficie gaussiana y podá sali fuea de la integal. Ota popiedad de la distibución de caga poblema es ue nos divide el espacio en dos egiones el inteio de la esfea cagada (es deci aue1ºllos puntos del espacio cuya distancia al cento de la esfea sea meno de ue R) y el exteio (es deci auellos puntos del espacio cuya distancia al cento de la esfea sea mayo de ue R). Debeemos calcula el campo en las dos egiones paa lo cual habemos de selecciona supeficies gaussianas ue se adapten a cada egión. Comenzaemos calculando el campo en el exteio de la distibución. Apuntes de Fundamentos Físicos de la Infomática. ( D. J. Gacía Rubiano)

2 Lección 1. Campo Electostático en el vacío: Conceptos y esultados fundamentales 18 a) Cálculo del campo en el exteio de la distibución ( R) Figua paa el cálculo de campo en el exteio de una coteza cagada. Extaída de Física de P.A. Tiple con lo ue E En la figua se muesta la supeficie gaussiana ue utilizaemos paa aplica el teoema de gauss, una supeficie esféica, concéntica con la distibución de caga y de adio R. Como hemos dicho, la simetía del poblema nos lleva a conclui ue en todos los puntos de esta supeficie el campo es constante de foma ue se cumpliá E Eˆ; d dˆ E d E ˆ ˆ E d Ed E d E4π De foma ue el campo en el exteio de la esfea vendá dado po: Q ( ) d Ed [1.4] Q E ˆ ; 4π R [1.4] b) Cálculo del campo en el inteio de la distibución ( < R) Paa calcula el campo en el inteio de esta distibución de caga utilizamos una supeficie gaussiana esféica de adio <R. En este caso tendemos, empleando el mismo azonamiento ue en el caso anteio, ue E d Ed E d E4π y po tanto E ; < R [1.44] Módulo del campo ceado po la coteza esféica en función de la distancia al cento de la esfea. Extaída de Física de P.A. Tiple y el campo en el inteio de la coteza esféica en nulo. En la figua se epesenta el módulo del campo en función de la distancia al cento de la esfea. Como se puede apecia, el campo es discontinuo en la supeficie de la esfea ( R) como ocue siempe en las distibuciones supeficiales de caga. Apuntes de Fundamentos Físicos de la Infomática. ( D. J. Gacía Rubiano)

3 Lección 1. Campo Electostático en el vacío: Conceptos y esultados fundamentales 19 Ejemplo. Cálculo del campo ceado po una esféica maciza de adio R cagada homogéneamente con una caga total Q. a) Cálculo del campo en el exteio de la distibución ( R) Este poblema es simila al anteio, de hecho el cálculo del campo en el exteio es idéntico de foma ue el esultado es: Q E ˆ ; 4π R [1.45] b) Cálculo del campo en el inteio de la distibución ( < R) Paa calcula el campo en el inteio de esta distibución de caga utilizamos, de nuevo, una supeficie gaussiana esféica de adio <R. En este caso tendemos, empleando el mismo azonamiento ue en el caso anteio, ue E d Ed E d E4π int eio [1.46] Tenemos ue detemina ué cantidad de caga hay enceada en el inteio de las esfea gaussiana. Paa esto utilizamos el dato de ue la caga se distibuye de foma homogénea po todo el volumen de la esfea y ue po tanto la densidad de caga es constante y vale: Figua extaída de Física de P.A. Tiple Q Q ρ [1.47] V 4 R π La caga en el inteio de la supeficie gaussiana se detemina fácilmente utilizando la ec. 1.. int eio Q d vol gaussiana R /.sup. R Q Q ρ dv 4π / / d 4 π/ R R Q [1.48] en la deducción anteio hemos utilizado ue paa la esfea: V 4 dv π 4π dv 4π d [1.49] d sustituyendo [1.48] en [1.46]: Apuntes de Fundamentos Físicos de la Infomática. ( D. J. Gacía Rubiano)

4 Lección 1. Campo Electostático en el vacío: Conceptos y esultados fundamentales E d E4 Q π int eio E R Q 4πR [1.5] de foma ue finalmente, el campo en el inteio de la esfea es Q E ˆ ; 4π R R [1.51] como vemos, el módulo del campo aumenta linealmente con la distancia al cento de la esfea. Esto se efleja en la siguiente figua. FiguaeExtaída de Física de P.A. Tiple En este caso, no hay ninguna discontinuidad en la intefase po tatase de una distibución volumética de caga. Ejemplo. Cálculo del campo ceado po un hilo muy lago homogéneamente cagado con un densidad lineal de caga λ constante. En este poblema también es más simple utiliza la Ley de Gauss debido la ue el poblema pesenta simetía de evolución en tono al eje del hilo. La supeficie gaussiana idónea paa el cálculo del campo es un cilindo de altua L y adio concéntico con el hilo. Apuntes de Fundamentos Físicos de la Infomática. ( D. J. Gacía Rubiano)

5 Lección 1. Campo Electostático en el vacío: Conceptos y esultados fundamentales 1 Figua Extaída de Física de P.A. Tiple La simetía del poblema nos indica ue el campo debe se adial, tal y como se muesta en la figua, y además, en todos los puntos de la supeficie lateal del cilindo el campo debe se constante. Aplicando la Ley de Gauss obtendemos: E d E d + E d + E d Eπ L sup. iz sup. deecha sup. lateal int eio [1.5] en la deducción anteio, el flujo en a tavés de las tapas izuieda y deecha de la supeficie gaussiana es nulo poue el campo y el vecto supeficie son pependiculaes. De esta foma, sólo ueda el flujo tavés de la supeficie lateal. Debemos calcula la cantidad de caga enceada po la supeficie gaussiana. Esta es, aplicando la ecuación [1.4] eio λ d int l λl [1.5] sustituyendo en [1.5] vol.sup. gaussiana int eio λl λ E d Eπ L E π [1.54] con lo ue finalmente se tiene ue: E λ π ˆ [1.55] luego el campo decece con la distancia al hilo. Po tanto, la disminución del campo con la distancia en un hilo es más lenta ue paa una esfea o una caga puntual. Apuntes de Fundamentos Físicos de la Infomática. ( D. J. Gacía Rubiano)

6 Lección 1. Campo Electostático en el vacío: Conceptos y esultados fundamentales Ejemplo 4. Cálculo del campo ceado po un plano de caga infinito homogéneamente cagado con un densidad supeficial de caga σ constante. La simetía del poblema nos indica ue en este caso, el campo sólo debe depende de la distancia al plano. Además seá pependicula al campo en todo punto. Po esto, la supeficie idónea paa el cálculo es la ue se muesta en la figua ue suele denominase caja de pastillas.como se puede ve, es un cilindo de altua H ue intesecta a mitad de altua con el plano. El flujo a tavés de esta supeficie ceada es: + E d sup. lateal E d sup. aiba E d + sup. abajo E d + [1.56] H El flujo a tavés de la supeficie lateal es nulo poue el campo y el elemento de supeficie son pependiculaes de foma ue sólo ueda el flujo a tavés de las tapas. Po tanto: Figua Extaída de Física de P.A. Tiple E d sup. aiba E d + sup. abajo E d EA [1.57] ya ue el campo es constante y saliente po ambas caas. i aplicamos la Ley de Gauus: E d EA int eio σa [1.58] ya ue la caga contenida en el inteio de la supeficie gaussiana seá la ue haya en el cículo de intesección ente el plano y la caja de pastillas. Así, finalmente: σ E nˆ [1.59] ue coincide con el esultado [1.6]. De esta manea volvemos a compoba ue el campo en las cecanías de una plano cagado es constante y pependicula al plano, saliente si el plano está cagado positivamente y entante si es negativo. Apuntes de Fundamentos Físicos de la Infomática. ( D. J. Gacía Rubiano)