Electricidad y Magnetismo. E.T.S.I.T. Universidad de Las Palmas de Gran Canaria

Transcripción

1 Electicidad y Magnetismo E.T.S.I.T. Univesidad de Las Palmas de Gan Canaia

2 Electostática.- INTODUCCIÓN La electostática es el estudio de los efectos de las cagas elécticas en eposo y de los campos elécticos que no cambian con el tiempo. Aunque es la más simple de las situaciones del electomagnetismo, es fundamental paa compende los modelos electomagnéticos más complicados. La explicación de muchos fenómenos natuales (como los elámpagos) y los pincipios de vaias aplicaciones industiales (como los osciloscopios, las impesoas de choo de tinta...) se basan en la electostática. Paa la exposición de la asignatua empleaemos un enfoque deductivo, en el que a pati de la expeimentación se deducen leyes que definen el compotamiento del campo eléctico. Definimos un vecto densidad de campo eléctico y se especifica su divegencia y su otacional en el espacio libe (donde las cagas nos están ligadas a estuctuas mateiales). Estos seán los postulados fundamentales, a pati de los cuales se deivan leyes como la ley de Gauss y la ley de Coulomb, que pueden usase paa detemina el campo eléctico debido a divesas distibuciones de caga. También veemos el potencial electostático y las elaciones ente las fuezas y la enegía electostática. En aquellas situaciones donde no se conocen las distibuciones exactas de caga en todos los puntos, peo deben satisfacese cietas condiciones de fontea, es necesaio emplea técnicas de esolución adicionales. " Definiciones Paa la electostática en el espacio libe sólo tenemos que considea una de las cuato cantidades de campo vectoiales fundamentales del modelo electomagnético, la intensidad de campo eléctico E. La intensidad de campo eléctico, E, se define como la fueza po unidad de caga que expeimenta una caga de pueba puntual estacionaia, al colocase en una egión donde existe un campo eléctico: F E q De esta expesión se puede deduci lo siguiente: el módulo del campo es popocional al de la fueza : E ; F el campo y la fueza tienen la misma diección. si la caga es positiva, E y F tienen el mismo sentido; si la caga es negativa, tendán sentido contaio.

3 Electostática La fueza F se mide en Newtons (N) y la caga en Coulombs (C), po lo que las unidades del campo eléctico seán Newtons po Coulombs (N/C), las cuales equivalen a oltios po meto (/m). La caga eléctica se pesenta siempe en cantidades enteas de una unidad fundamental, el electón (e.6 x -9 ), po lo que nunca podá habe caga meno que ésta. La caga de pueba seá lo suficientemente pequeña como paa no petuba el campo eléctico peviamente existente. Una elación invesa de la ecuación anteio nos da la fueza F sobe una caga estacionaia q en una campo eléctico E : F q E (N) " Postulados fundamentales Los dos postulados fundamentales en la electostática en el espacio libe, en foma difeencial, especifican la divegencia y el otacional de E : ρ E v E ε o donde ρ densidad volumética de caga libe (Cm -3 ) v q dq ρ v lim v v dv ε pemitividad del espacio libe 8.85 x - (F/m C/ m) El segundo postulado es muy impotante, ya que nos indica que el campo electostático es consevativo. Estos dos postulados son sencillos e independientes del sistema de coodenadas y se pueden usa paa deiva otas elaciones, leyes y teoemas de la electostática ya que las opeaciones de divegencia y otacional implican deivadas espaciales. En las aplicaciones pácticas nos inteesaá obtene el campo total debido a una distibución de cagas. Esto se puede obtene mediante una fomulación integal de los postulados anteioes. Paa la fomulación integal de los postulados tenemos que ecui al Teoema de Stokes y al Teoema de la Divegencia. a.-) Paa el pime postulado, tomamos la integal de volumen en ambos miembos, paa un volumen abitaio. ρ v Ed d ε o (*) (**)

4 Electostática Aplicando el Teoema de la divegencia al pime miembo: En el segundo miembo tendemos que: Edv E ds v ρv dv ε ε v Qv ρ vdv ε v donde Q v es la caga libe enceada po el volumen. Po tanto, la foma integal del pime postulado nos queda tal que: E ds s Esta última ecuación ecibe el nombe de TEOEMA DE GAUSS, y su intepetación es la siguiente: El flujo de salida total del campo electostático E a tavés de cualquie supeficie ceada en el espacio libe es igual a la caga total libe enceada po la supeficie dividida po la pemitividad del espacio libe, ε o. La supeficie S que apaece en el Teoema de Gauss ecibe el nombe de supeficie Gaussiana y epesenta cualquie supeficie ceada imaginaia en la que la componente pependicula del campo eléctico sea constante. Q v ε b.-) Paa el segundo postulado, integamos en una supeficie abieta y aplicamos el teoema de Stokes: S s Eds E dl c c E dl E dl -> Sólo depende de los puntos inicial y final c C La integal de línea se aplica a un contono ceado abitaio, c. La ecuación establece que la integal de línea escala (o ciculación) de la intensidad de campo electostático a lo lago de una tayectoia ceada es nula, lo cual implica que sólo depende de los puntos inicial y final, es deci, que el campo es consevativo.

5 Electostática Ejemplo del teoema de Gauss Calcula el campo eléctico en la siguiente distibución de cagas: ρ v a si < < 4 si ; Solucion.- Tenemos una distibución de caga esféica, en la que la distibución de cagas está enceada ente dos esfeas puntuales: Tenemos que distingui las tes zonas del espacio con las que tendemos que tabaja. En este caso hay tes, y como estamos ante un poblema con simetía esféica podemos aplica el teoema de Gauss, ya que la componente pependicula del campo eléctico seá constante en la supeficie de la esfea. Las supeficies gaussianas que se eligen seán esfeas centadas en cada una de la egiones: egión : ( )

6 Electostática S supeficie gaussiana Dado que E y d s son paalelos: E ds Eds s Sobe una esfea el campo E es adial, po lo que sólo depende de la distancia al oigen de la esfea. Debido a que ésta distancia es constante, también lo seá el campo. Po tanto: E E ds E ds S donde ds es la supeficie de la esfea, que vale 4π. Po lo que: s E ds E4π Aplicando el teoema de Gauss obtenemos que: S S ds E4 π ε o En esta egión tenemos que Q v, ya que la supeficie S no contiene ninguna caga, de lo que deducimos que en la egión no hay campo eléctico. E a Q v egión : ( )

7 Electostática S supeficie gaussiana Pocediendo de la misma foma que antes: E ds s Eds E s ds E4π Paa el cálculo de la caga empleamos coodenadas esféicas, donde: dv senθ ddθdϕ La caga enceada po la supeficie gaussiana viene dada po: Q v a ρ v dv senθ d dθ dϕ 4 esolviendo la integal obtenemos: Q v πa ( - ) El teoema de Gauss queda: E4π π a ε ( - ) Despejando obtenemos que el campo en la egión es: E a ε ( ) a

8 Electostática egión 3: ( > ) S supeficie Gaussiana Al igual que antes: E ds s Eds E s ds E4π La caga enceada po la supeficie gaussiana la podemos calcula a pati de la que hallamos en la egión, haciendo. Q v πa ( - ) El Teoema de Gauss nos queda: π a E4π ( ε - ) Despejando obtenemos que el campo en la supeficie 3 es: E 3 a ε a Obsevamos que en el exteio, el campo eléctico es igual al ceado po una caga puntual en el cento, de valo la caga total de la distibución.

9 Electostática.- CAMPO ELÉCTICO.- " Campo eléctico de una caga puntual. Ley de Coulomb. Consideemos el poblema electostático más simple, que consiste en una sola caga puntual q, en eposo, en el espacio libe ilimitado. Paa halla la intensidad de campo eléctico, E, ceado po q, dibujamos una supeficie esféica de adio abitaio con cento en q. Es deci, una supeficie gaussiana alededo de la fuente, a la cual se aplica el teoema de Gauss paa detemina el campo. Puesto que una caga puntual no tiene diecciones pefeentes, su campo eléctico debe se adial en todas pates y tene la misma intensidad en todos los puntos de la supeficie esféica. El módulo de E sólo puede se una función de la distancia a la caga, y como esta distancia es constante, también lo seá el campo E. E q a (a) Caga puntual en el oigen. Paa obtene el campo aplicamos el Teoema de Gauss: E ds s Qv caga libe enceada en S S cualquie supeficie ceada. Se elige una esfea concéntica con la caga. ds E Q v ε Como E y d s son paalelos, tenemos que: E ds E ds E s s E ds E ds 4 π

10 Electostática El campo es constante en la supeficie de adio y sale fuea de la integal: v s E ds E 4 π Q toda la caga que éste enceada en la supeficie hipotética. E 4 π adial al campo tenemos : q despejando el campo de esta ecuación y poniéndole el sentido ε q E 4 π ε o a N C donde caga: 4πε 9 9 m F q+ sentido hacia fuea q sentido hacia dento y el sentido del campo viene dado po el signo de la La ecuación anteio nos indica que el campo eléctico ceado po una caga puntual tiene diección adial hacia fuea, y su intensidad es popocional al la caga e invesamente popocional al cuadado de la distancia a la caga. Nota : El teoema de Gauss se aplica en poblemas con simetía esféica, y en cilindos, hilos y placas de dimensiones infinitas. " Ley de Coulomb Cuando se coloca una caga puntual q, en el campo ceado po ota caga puntual q, q expeimenta una fueza F debida al campo eléctico de q en q. Dicho campo es E : E q q distancia ente las cagas En la intoducción se había que:

11 Electostática F E F q E F q E () q E es un campo ceado po una caga puntual, cuya expesión hemos obtenido anteiomente: q E a ; a vecto unitaio que va de q a q 4πε o Sustituyendo en (), obtenemos la fueza que actúa ente las dos cagas: F q q aˆ 4 π ε Esta expesión se conoce como la LEY DE COULOMB y nos dice que la fueza que actúa ente dos cagas puntuales es popocional al poducto de las cagas e invesamente popocional al cuadado de la distancia que las sepaa. F actúa en la línea que une las cagas: es una fueza de epulsión cuando q y q tienen el mismo signo y una fueza de atacción cuando las cagas tienen sentido opuesto. En el caso de vaias cagas puntuales, el campo total en cualquie punto se obtiene aplicando el pincipio de supeposición: el campo total es la suma vectoial de los campos causados po cada una de las cagas individuales Ejemplo de aplicación de la Ley de Coulomb paa una distibución de cagas puntuales Calcula el campo eléctico en el punto A (,) geneado po la siguiente distibución de cagas puntuales. Calcula la fueza que se ejeceía sobe una caga de 5C colocada en dicho punto. DATOS: q C ; q C ; q 3-3C

12 Electostática E Solucion.- En geneal, el campo ceado po una caga puntual viene dado po: E 4πε q a Aplicando el Pincipio de Supeposición: Calculemos E : E E + E + E3 q C ( ) a + m cos 45 a x + sen 45 a a y a x + a y luego: E ( a x + a y ) 4πε m Calculemos E : q C ( ) a + m -cos 45 a x + sen 45 a a y - a x + a y

13 Electostática E 4 πε ( ) (- a x + a y ) E 4πε 4 a x a y m ( + ) Calculemos E 3 : q 3-3C m a a E 3 x 4πε 3 a x E 3 4πε (-3 a x ) m Po lo tanto, tenemos que el campo total es: E 4πε 3 a x + a y 4 4 Nw C Calculemos ahoa la fueza que se ejeceía sobe una caga de 5C colocada en el punto A. F q E q 5C De modo que: F 5 3 a x + a y 4πε 4 4 Nw

14 Electostática " Campo eléctico debido a una distibución continua de caga Paa calcula campo eléctico debido a una distibución continua de caga, se supone que un elemento infinitesimal de caga se compota igual que una caga puntual. Tenemos tes elementos infinitesimales de caga: volumen, supeficial y lineal, que en función de su espectiva densidad se pueden escibi como: dq ρ v.dv ρ v densidad de caga volumética q dq ρ s.ds ρ s densidad de caga supeficial dq ρ l.dl ρ l densidad de caga lineal Con pimas se denotan los puntos fuente (donde existen cagas), y sin pimas denotamos los puntos campo (donde queemos halla el campo electostático). Podemos obtene el campo eléctico ceado po una distibución de caga continua integando (supeponiendo) la contibución de un elemento de caga a toda la distibución de caga. Obsevémoslo en la figua siguiente donde se pesenta una distibución de caga volumética. ρ v dv P - dq ρ v.dv es el difeencial volumético de caga. - es el volumen de la distibución total de caga. - es la distancia existente ente un punto P del espacio y el difeencial - P punto del espacio sobe el que actúa el campo La densidad de caga es, en téminos geneales, una función de las coodenadas. Ya que un elemento difeencial de cagas se compota como una caga puntual, la contibución a la intensidad de campo eléctico en el punto fuente P de la caga dq ρ v.dv en un elemento de volumen difeencial dv es:

15 Electostática Paa una caga puntual : E q 4 π ε a Luego, paa una caga infinitesimal: dq de 4 π ε o a d E campo infinitesimal debido a dq en P Integado en toda la egión donde exista caga, tenemos que: a) Paa una distibución volumética de caga: ρv E dv' a ' 4πε o b) Paa una distibución supeficial de caga: ρ S E ds' a ' 4πε S o c) Paa una distibución lineal de caga: ρl E dl' a ' 4πε L o

16 Electostática Ejemplo Detemina la intensidad del campo eléctico de una línea de caga ecta, infinitamente laga, con densidad unifome ρ l (C/m) en el aie. Solucion.- z Paa una distibución lineal de caga: dl a z a d E Siendo: E 4πε ρ l C ' 3 dl' - distancia de un punto fente al punto campo P - ρ l densidad lineal de caga (supuesta constante) - vecto que va desde los puntos fente al punto campo a (ecto posición con especto del difeencial con especto a P) Como tenemos una densidad lineal de caga, la expesión de la intensidad de campo a utiliza en el poblema seía: d E ρl dl' 3 4πε Debido a que la caga está distibuida a lo lago del eje z, se puede escibi que: dl ' dz d E ρl dz' 3 4πε Paa esolve la integal del campo, podemos obseva que el poblema tiene simetía cilíndica, así que aplicaemos estas coodenadas: a + z' Despejando... a z' az a z

17 Electostática Entonces: ρl dz' a d E 4πε 3 ρ ldz' z' a 3 4πε z De aquí podemos dividi la ecuación en dos sub-expesiones, una dependiente únicamente de la coodenada y ota de la coodenada z: d E ρldz' a 4 πε 3 d E z ρ ldz' z' a 3 4πε z Demostamos gáficamente que: dq z z d E Como podemos ve, las componentes z de z -z d E a los vectoes del campo se anulan (z y z). dq E d E C' C ' d E + d E C' z ρ ldz' 4πε ( ' + z a ) 3 El campo no tiene componente vetical. Finalmente, esolvemos la integal y obtenemos que: E ρl πε o a

18 Electostática Ejemplo esolve el ejecicio anteio, mediante el teoema de Gauss: Solucion.- Como el hilo es infinito y ρ l cte E es adial E E Q E ds S ε o d s E d s E d s + E d s E d s E ds S tapas sup. lateal sup. lateal E // d s sup. lateal E ds sup. lateal E d s E ds Entonces, como la supeficie gaussiana es un cilindo, se cumple que: ds πl La caga Q v seá la densidad de caga po la longitud donde esté enceada: Q v ρ l L Con lo que: ρ L ρ l l E πl E a ε πε

19 Electostática 3. POTENCIAL ELÉCTICO Del postulado fundamental: E se puede deduci que existe una función, que denominaemos potencial eléctico que cumple: E O / E De esta expesión se deduce que: () El campo electoestático se diige hacia los potenciales dececientes. () El campo electoestático es pependicula a las supeficies equipotenciales Conocido el potencial podemos detemina el campo con facilidad como una opeación de gadiente, lo cual es más sencillo que un poceso de integación diecta. " Tabajo ealizado po una caga puntual. El potencial está muy ligado al concepto de tabajo en electostática. El tabajo en electostática es aquel que se ealiza en conta del campo, cuando se mueve una caga desde un punto a oto. La expesión del tabajo viene dada po: W P F dl P ( Definición geneal de tabajo ente dos puntos P y P ) Obsevamos que la expesión tiene signo negativo, esto se debe a lo mencionado anteiomente, el tabajo se ealiza en conta del campo. Supongamos que queemos calcula el tabajo necesaio paa lleva una caga puntual q, de la posición a la, en conta de la fueza ejecida po el campo:

20 Electostática W q Fdl F F e E C P qe q( ) F e P W q q( ) dl siendo W q q dl d l d. Nota: Como el integando es una difeencial exacta, el camino no inteviene en el cálculo del tabajo. W q q d q( ) q W/q es independiente del camino elegido. Si no fuese así, seíamos capaces de cea una tayectoia po donde el tabajo es el más pequeño y luego egesa po ota tayectoia, logando así una ganancia neta en tabajo y enegía. Este esultado iía conta el pincipio de consevación de la enegía ( La enegía ni se cea ni se destuye, sólo se tansfoma ). W q Análogamente al concepto de enegía potencial en la mecánica, podemos defini la enegía potencial eléctica po unidad caga con (potencial eléctico), tenemos que: W q P E dl P P E dl P Lo que definimos con esta ecuación es una difeencia de potencial (voltaje electostático) ente los puntos P y P. No podemos habla del potencial absoluto de un punto, al igual que no podemos habla de la fase absoluta de un faso o una altitud absoluta de un luga geogáfico; pimeo tenemos que especifica un punto de efeencia de inicio, en el caso de un faso (usualmente en t ), o una altitud de efeencia ceo (po lo geneal, tomaíamos el nivel del ma). En la mayoía de los casos (aunque no en todos) el punto de potencial ceo se toma en el infinito: Cuando no está en el infinito (po ejemplo, cuando está en tiea ), debe especificase de foma explícita.

21 Electostática De esta ecuación podemos hace dos obsevaciones:. El potencial aumenta al i en conta del campo eléctico.. Sabemos que la diección de es nomal a las supeficies con constante. Po lo tanto, si usamos líneas de campo diigidas o líneas de flujo paa indica la diección del campo E, siempe seán pependiculaes a las líneas equipotenciales y a las supeficies equipotenciales. " Potencial eléctico de una caga puntual Sea una caga puntual Q en el punto O (oigen de coodenadas) y supongamos que queemos taslada la unidad de caga positiva desde un punto A hasta el infinito. a F A O(Q) A(q+) F es la fueza ejecida po el campo ceado po Q. E es el campo ceado po Q. Paa halla la expesión del potencial, se calcula el tabajo necesaio paa taslada la unidad de caga positiva (C) desde una distancia a hasta el infinito: W dl C F eligiendo como camino paa esolve la integal el más sencillo, ya que el tabajo no depende del camino que se elija poque el campo es consevativo. En este caso el camino seá una ecta que una los dos puntos. W F dl q ( A) A C q C aliéndonos de la elación F q E y sustituyendo en la ecuación anteio tenemos que:

22 Electostática W E dl C A (Ecuación del tabajo del campo eléctico) Utilizando la expesión del campo eléctico deducida de la Ley de Coulomb: πε Q E a 4 Sustituimos la expesión del campo dento de la integal y consideando que dl d llegamos a la siguiente expesión paa el tabajo: a W 4πε A Q a d a esolviendo la integal llegamos a la expesión: W Q 4πε A A Se deduce la siguiente expesión paa el potencial de una densidad de caga puntual Q a una distancia A de un punto A conceto: A 4πε Q A (Ecuación del potencial paa una única caga) La expesión anteio se puede genealiza paa cualquie caso en el que queamos calcula el potencial paa una caga puntual, poniendo Q el valo de la caga, y la distancia a la caga. En el caso de vaias cagas puntuales, po el pincipio de supeposición, podemos deci que el potencial total en un punto es la suma de los potenciales de cada caga po sepaado sobe dicho punto, es deci:

23 Electostática A 4πε Q n k k A k (Ecuación del potencial poducido po n cagas sobe un punto conceto A) Ejemplo Halla el tabajo paa taslada una caga de 5C de A (,) hasta B (,) Solucion.- q 3 (5C) A B Caacteísticas de las cagas: q C y se encuenta en (,) q C y se encuenta en (,) q 3-3C y se encuenta en (,) q q Po la definición de difeencia de potencial explicada anteiomente podemos deduci que: W AB q ( 5c B A ) Entonces, tendemos que calcula el potencial en cada uno de los puntos paa pode halla el tabajo. Paa ealiza esta opeación, utilizaemos el pincipio de supeposición paa halla los potenciales ejecidos po cada caga sobe la del punto A, paa halla después el potencial total en el punto. Paa A : A 4πε A q 4πε + 4πε A 4πε A q 4πε + 4πε A 3 4πε A q 3 3 4πε 3 4πε Po la ecuación dada antes paa el pincipio de supeposición tenemos que hace:

24 Electostática πε πε πε i i A i A q Paa B : πε πε + B 4 4 πε πε B πε B Po la ecuación en la que aplicamos el pincipio de supeposición tenemos que: πε πε πε i i B i B q Finalmente, sustituimos los valoes y esolvemos: ( ) πε πε A B c AB q W " Potencial eléctico paa una distibución continua de caga En este caso vamos a supone que el compotamiento de una caga puntual y de una caga infinitesimal es análogo paa potencial. Caga puntual Distibución continua q dq

25 Electostática d q 4 π ε d dq 4 π ε ρ dv v ; ρ v densidad volumética de caga. dq ρ ds s ; ρ s densidad supeficial de caga. ρ dl l ; ρ l densidad lineal de caga. El potencial eléctico debido a una distibución de caga continua confinada en una egión dada se obtiene integando la contibución de un elemento de caga infinitesimal sobe toda la egión donde exista caga. a.) Paa una distibución volumética de caga tenemos: 4πε ' ρ v dv' ' volumen de la distibución de caga b.) Paa una distibución supeficial de caga: 4πε S ' ρ s ds' S ' supeficie de la distibución de caga c.) Paa una distibución lineal de caga: 4πε L' ρl dl' L ' longitud de la distibución de caga Ejemplo Calcula la intensidad de un campo eléctico en el eje de un disco cicula de adio B con ρ s unifome.

26 Electostática Como podemos obseva, el poblema caece de suficiente simetía como paa aplica el teoema de Gauss. iendo la geometía de la distibución de caga, podemos obseva que dicha distibución es supeficial, po lo que el potencial vendá dado po: 4πε S ' ρ s ds' De donde S es la supeficie donde existe la caga, que en este caso seá toda la supeficie del disco. En coodenadas cilíndicas tenemos que: siendo el difeencial de supeficie: S' b '] ] π,φ ds ' d' dφ' b π π b ρ s' d' dφ' ρ s ' d' dφ' 4πε z + ' 4πε z + ' ρ s ε ρ s ε ( z + b z) ( z + b + z) (Paa z>) (Paa z<) Po la definición del potencial eléctico deducida del segundo postulado sabemos que:

27 Electostática E d dz a z Finalmente, hallamos la intensidad del campo: ρ s E ε z z b a z (Paa z>) ρ s E ε + z z + b a z (Paa z<) 4. DIPOLOS.- El dipolo eléctico está constituido po dos cagas, una positiva y ota negativa del mismo valo (+q y q), sepaadas una distancia d, que se supondá pequeña compaada con la distancia que va desde el oigen hasta el punto P en el que se desea conoce el potencial y la intensidad del campo eléctico E. +q + P d d O θ a a θ >>d -q θ - d cosθ donde, d vecto, de módulo d, que va de q - a q+ a vecto unitaio desde hacia p Po supeposición el potencial en el punto P es:

28 Electostática ( q) q q + 4πε 4πε 4πε + + () Como se cumple que >> d entonces θ θ y podemos escibi + y - como: + d cosθ d + cosθ Sustituyendo estas expesiones en la ecuación (), tenemos que: con, q d cosθ 4πε d cos θ 4 >> d >> d cos 4 θ obtenemos: q d cosθ () 4πε Si definimos a como el vecto unitaio que va desde el oigen hasta el punto P, obtenemos que: d a d cosθ Si sustituimos esta expesión en la ecuación (): q d a (3) 4 πε Es inteesante destaca que el potencial debido a un dipolo disminuye con la invesa del cuadado de la distancia, mientas que paa una caga puntual disminuye con la invesa de. " Momento Dipola ( p ). Definimos el momento bipola, p, como un vecto cuyo módulo es el poducto de la caga q po la sepaación d, y que se diige desde la caga negativa a la positiva:

29 Electostática p q d Si sustituimos esta expesión en la ecuación (3), obtenemos una expesión más simple paa el potencial eléctico: pa 4πε Esta ecuación es válida paa puntos alejados del dieléctico. Po simetía, al se las cagas puntuales, E y han de se independientes del ángulo φ (en coodenadas esféicas). E ealizando las deivadas: a θ a θ p E cos 3 4πε ( θa + senθ a ) donde p es el módulo del momento dipola. Las líneas de campo eléctico de un dipolo son de la foma: θ 5.- MEDIOS MATEIALES EN UN CAMPO ELECTOSTÁTICO Elécticamente, los mateiales se pueden dividi en: -Conductoes o metales: Mateiales en los que los electones asociados a la capa más extena de los átomos pueden movese libemente en su inteio (cualquie metal). -Aislantes o dielécticos: En este tipo de mateiales, todos los electones están confinados en las óbitas atómicas (plástico, madea,...).

30 Electostática -Semiconductoes: Sólo algunos de los electones de las capas más extenas de los átomos se pueden move libemente en el inteio de un mateial (silicio, gemanio, etc). En electostática sólo consideaemos conductoes ideales y aislantes ideales. " Conducto en un campo eléctico estático Sabemos que en electostática las cagas pemaneceán fijas. Si existiea un campo eléctico en el inteio de un conducto, los electones de las capas atómicas extenas se moveían. Po tanto, en electostática, el campo eléctico en el inteio de un metal es nulo. E int Como el campo en el inteio del conducto es nulo( Eint int ), el potencial en el inteio es constante. int cte Po oto lado, del postulado fundamental de la electoestática: E E int int δ ε int E int δ int Obtenemos que la densidad de caga libe en el inteio del metal es nula. En la supeficie de un metal puede existi campo eléctico, peo paa que las cagas supeficiales no se muevan tiene que se pependicula (nomal) a la supeficie. S int Eint cte δ int v int o E S δ S caga supeficial E campo supeficial S δ S +

31 Electostática La componente tangencial del campo eléctico supeficial es nula, si no, las cagas se moveían en la supeficie. Po la continuidad del potencial eléctico, el potencial en la supeficie es igual al del inteio lo que implica que la supeficie es equipotencial S potencial en la supeficie int S Aplicando el teoema de Gauss a un pequeño cilindo en la supeficie del metal: E S s S donde, E ds Q ε Q δ S s Si s es la su Si S es la supeficie del cilindo y se puede dividi ente la pate intena y la extena al metal, en el inteio de ésta, la integal es nula, ya que el campo eléctico es ceo y en el exteio, sólo hay contibución al flujo a tavés de la tapa, ya que el campo es pependicula a la supeficie. Así: S E ds E s S ρ s E s s s ε ρ s E E s an s ρ s ε ε donde a n es un vecto unitaio pependicula a la supeficie. Cuanta más caga haya en la supeficie, más intenso seá el campo y éste seá mayo donde exista más cuvatua, ya que ahí se acumula más caga. Como el potencial eléctico es una función continua, en la supeficie del metal es constante e igual que el potencial inteio

32 Electostática # Capacidad de un metal Se define la capacidad de un conducto como el cociente ente la caga que existe ente la supeficie y su potencial. donde, C Capacidad [F Faadio] Q Caga en la supeficie Potencial del conducto C Genealizando, la capacidad de dos conductoes ente los que existe una difeencia de potencial ab, se define como: Q +Q -Q C Q ab ab - Asociación de condensadoes. a) Asociación en paalelo. Ente las amaduas de cada condensado existe la misma difeencia de potencial. Las cagas de cada condensado q,q,...,q n son popocionales a sus espectivas capacidades C,C,...,C n. La capacidad equivalente viene dada po: C C + C C n C i Si todos los condensadoes tienen la misma capacidad, a, la capacidad equivalente vendá dada po: C n a donde n es el númeo de condensadoes. b) Asociación en seie. i

33 Electostática Todos los condensadoes tienen, po influencia, la misma caga. La capacidad equivalente viene dada po la expesión: C C + C C n C i i Si todos los condensadoes tienen la misma capacidad, a, la expesión se educe a: a C n donde n es el númeo de condensadoes. - Tipos de condensadoes. Teniendo en cuenta la disposición de las dos amaduas, el condensado ecibe difeentes nombes, hablándose de condensado esféico, cilíndico, plano, etc. EJEMPLO. La capacidad de un conducto es de pf. Detemina: a) El potencial que adquiee cuando se le comunica una caga de µc. 6 Q F 3 5 voltios C a) La caga almacenada en el mismo, si se encuenta a un potencial de. 8 Q C C b) Existe algún límite paa la caga que puede adquii este conducto? En pincipio, la expesión CQ/ paece indica que el conducto es capaz de almacena cada vez más su potencial. En ealidad no ocue así; cuanta más caga almacena el conducto, mayo es el campo eléctico que cea a su alededo. Ello pemite que el medio en que se encuenta, en geneal un dieléctico, se vuelva conducto. De ese modo, se poduciá la descaga del conducto a tavés del dieléctio.

34 Electostática " Dielécticos en un campo eléctico estático En ausencia de un campo eléctico exteno, las moléculas de un dieléctico pueden se polaes o apolaes. En caso de se apolaes es obvio que éstas, po sí mismas, no son capaces de genea ningún campo eléctico. Peo incluso siendo las moléculas polaes, al esta oientadas aleatoiamente, po excitación témica, los campos debidos a ellas se cancelan ente sí, y el campo neto que poducen es nulo. En caso de existi un campo eléctico exteno, E ext, en cuyo inteio se encuente un dieléctico, las moléculas de éste no sólo se polaizan en el caso de que fuean apolaes, sino que además tienden a se oientase en el sentido del campo. Ahoa, los campos elécticos asociados a los dipolos no se cancelan mutuamente, sino que contibuyen a genea un nuevo campo eléctico asociado al dieléctico, E diel Po supeposición el campo eléctico y potencial totales seán la suma de la contibución extena y la del dieléctico: E + total Eext + Ediel total ext diel #ecto de Polaización Se define vecto de polaización P como la densidad de volumen de momento dipola dieléctico cuando el volumen tiende a ceo. Este vecto nos facilitaá el cálculo de E diel y diel.

35 Electostática Asociando un momento dieléctico, p, a cada una de las moléculas polaes según se muesta en la figua, se define el vecto de polaización, P, como la densidad de volumen de momento dipola eléctico, cuando el volumen tiende a ceo. P lim v' dp Pdv' p v' dp v' dv' p momento dipola de cada molécula enceada en v' v ' volumen cualquiea en el inteio del dieléctico Como el potencial en los dipolos ea: dipolo p a 4πε a aíz de esta ecuación hallaemos el potencial en dielécticos: d diel diel dp a 4πε ' d diel ' dp a 4πε po lo que, diel 4πε ' p a dv' Se puede demosta que diel se puede escibi como: p a δ ps dv ds' 4 + πε 4πε 4πε diel ' s' v' δ pv dv' donde, P s ' P en la supeficie del dieléctico a n vecto nomal y unitaio a la supeficie δ densidad supeficial de caga de polaización ps δ densidad volumética de caga de polaización pv

36 Electostática δ δ ps pv Ps ' a P n Paa utiliza estas expesiones, debemos conoce a pioi P, vecto de polaización del dieléctico, que depende de cada mateial. El dieléctico al se neuto, la caga total de polaización, Q diel, es nula. Po tanto se ha de cumpli que: Q diel Qv' + Qs' Qv' Qs siendo, Qv' Qs' ' S ' ρ dv' pv ρ ds' Finalmente, una vez conocido el potencial eléctico asociado al dieléctico, su campo eléctico asociado se podá calcula como: E ps diel diel #Densidad de flujo eléctico o desplazamiento eléctico. El postulado fundamental en el espacio libe (sin moléculas) viene dado po: E ρ ε o donde ρ v es la densidad volumética de caga libe Debido a la pesencia de cagas ligadas en dielécticos, el postulado fundamental queda: ( ρ + ρ ) p E ε o donde, ε ρ o E + ε o es una constante ρ v es la caga libe ρ pv, es la caga de polaización que es igual a " ρ p

37 Electostática oe P ( ε ρ o E ) + ( ε ) ρ ( ρ ε o E + P Obteniendo el nuevo postulado fundamental definido como: ρ p ) donde: D ρ D ε o E + P es la densidad de flujo eléctico o desplazamiento eléctico. Sus dimensiones son de caga/supeficie, y po lo tanto su unidad en el Sistema Intenacional seá C/m. En este paámeto estaía la infomación de si hay dieléctico o no. Integando en un volumen al nuevo postulado fundamental D aplicando el teoema de la Divegencia, se llega al teoema de Gauss genealizado: ρ, y s Dd s Q El flujo del desplazamiento eléctico a tavés de una supeficie ceada S es igual a la caga libe enceada po dicha supeficie #Constante Dieléctica Si nos encontamos ante un caso de dieléctico lineal, el vecto de polaización y el campo eléctico son popocionales:

38 Electostática P ε x E donde x e es la susceptibilidad eléctica (y es adimensional) y su valo depende del medio. Si sustituimos en la definición de D obtendemos : D ε xe + ε E ε ( x + ) E y llamando ε a ε ε ( x + ) que es la pemitividad absoluta y viene dada en [F/m][C/ m], obtendemos finalmente que : e D Eε En un medio anisótopo las popiedades elécticas dependen de la diección, po lo que D y E no tienen po qué se paalelos. En estos medios la pemitividad absoluta se modela mediante una matiz. ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε Nosotos consideaemos medios isótopos, donde ε toma valoes eales. Si además el medio es homogéneo ε es constante en todo él. Un mateial lineal, isótopo y homogéneo se dice que es simple ( ε cte, eal y positivo); es deci, el desplazamiento eléctico es un vecto con la misma diección y sentido que el campo eléctico. Si nos encontamos en el vacío entonces tendemos que: D Eε Se define la pemitividad elativa o constante dieléctica como la elación ente la pemitividad del medio y la del vacío: ε ε xe ε + de donde se deduce que en el vacío, εε o, ε y x e, y en un dielectico lineal, ε >. También se define la pemitividad absoluta como: ε ε ε La tabla que sigue popociona el valo de la constante dieléctica elativa de algunas sustancias:

39 Electostática Sustancia ε Sustancia ε acío Cea 7-8 Aie,6 Cuazo 3-4 Agua (vapo),6 Mica 5-8 Agua(líquida) 8 Paafina,-,5 Aceite -5 Pocelana 6-8 Benceno,8 Poliestieno,5 Caucho -4 idio 5- " Condiciones de contono paa campos electostáticos. Consideemos la entecaa ente dos dielécticos que tienen pemitividades ε y ε, y que ocupan las egiones y como vemos en la siguiente figua D n l a n D E h egión h egión # s E - Condiciones de contono paa la componente tangencial. Pimeo examinaemos las componentes tangenciales calculando Edl alededo de la tayectoia ceada de la figua de la izquieda, cuando h : c Edl E l E ( l ) Etl E tl + E t Et Luego las componente tangencial del campo eléctico se conseva al atavesa la supeficie de sepaación de los dos medios. -a n c S

40 Electostática - Condiciones de contono paa la componente nomal. Ahoa empleando el teoema de Gauss sobe la supeficie de la deecha: D ds Q v S La única caga libe enceada en S, cuando h, es la existente en la intecaa, cuya densidad supeficial de caga libe vale # s. h Qv # s S Dds D n S Dn S # s S D # " n D n s La componente nomal al vecto desplazamiento eléctico sufe una discontinuidad al atavesa una supeficie cagada, igual a la densidad supeficial de caga en el punto de sepaación. EJEMPLO. Condiciones de contono ente un metal y el vacío: Medio ε o Medio metal E D D n D n -D n ρ s D n ρ s D n ε o E n ε o E E ρ s / ε o Po se un conducto el campo es pependicula a su supeficie #igidez Dieléctica Si a un dieléctico le sometemos a campos elécticos cecientes, a pati de un cieto valo de éste, el dieléctico deja de compotase como tal, empezando a conduci, diciéndose que el dieléctico se ha pefoado o ha sufido uptua. El valo numéico del campo paa el cual esto sucede es caacteístico de cada dieléctico y se denomina igidez dieléctica. En la siguiente tabla se dan los valoes de ésta paa algunos dielécticos:

41 Electostática Dieléctico igidez x 3 /m Aie 3 Pocelana 6 Aceite -5 Paafina Papel 4-6 Poliestieno Baquelita 4 idio 5 Cuazo (fundido) 3 Plexiglás 4 Los dielécticos, además de aumenta la capacidad de los condensadoes, ealizan en éstos otas dos impotantes misiones. Po una pate, aseguan la sepaación de las amaduas del condensado, las cuales deben esta muy póximas paa aumenta la capacidad; po ota, al tene una igidez dieléctica supeio a la del aie, pemiten mantene difeencias de potencial ente las amaduas que no seían posibles sin ellos, ya que el aie esulta pefoado paa 3 /m, al ionizase y empeza a conduci. CUIOSIDAD. Las tomentas y sus elámpagos. Los elámpagos ocuen cuando se oigina una gan caga positiva en las pates supeioes congeladas de una nube y una gan caga negativa (junto con áea positiva más pequeña) en la poción infeio de la nube, donde nace la descaga inicial (). Como la base de la nube está cagada negativamente, es ataída hacia la tiea, nomalmente positiva, y po fin el elámpago descibe su camino conductivo a tavés del aie (). El ataque de vuelta es una descaga positiva desde el suelo a la nube y se ve como un ayo (3). La enome onda de enegía de la descaga de egeso de millones de voltios- que viaja hacia aiba po la línea conductiva da como esultado una detonación sónica conocida como tueno(4)-

42 Electostática PACTICA CASEA. Mateial necesaio: - un peine - un gifo de agua. Pocedimiento a segui: Abe el gifo de agua y egúlalo de manea que fluya un hilo muy fino. Coge ahoa el peine y pásalo vaias veces po el pelo, peinándote. Una vez ealizado lo anteio, apoxima el peine al agua; obsevaás que ésta es ataida po el peine, desviándose en su camino. 7. ENEGIA ELECTOSTÁTICA.- " Distibución disceta Supongamos una egión donde existe un campo eléctico E, y queemos tae una caga q desde el infinito hasta un punto A. q E A enegía w e (la enegía asociada a este campo se le asocia oto elemento de enegía We) El tabajo paa taslada la caga q, en conta de la fueza electostática, supone un incemento de la enegía electostática del sistema w e. w e A F d F F elec q E w ( q E) d e A A q E d E we q d we q d we A A q ( ) A

43 Electostática W q e A (este es el caso paa una sola caga) W e es el incemento de la enegía electostática po incopoa la caga q en el punto A. Se almacena en foma de enegía potencial del sistema. Supongamos ahoa una egión libe de caga con E en todas pates, a la que queemos tae una distibución disceta de cagas. La enegía potencial del sistema, W, seá la suma de la enegía potencial necesaia paa tae cada una de las cagas: n W w + w + w w n w i i donde w i es la enegía paa tae la caga i desde el infinito. Analicemos el tabajo ealizado paa el caso en el que queemos taslada tes cagas desde el infinito. El tabajo equeido paa coloca la pimea caga Q, en la posición es ceo, ya que inicialmente no hay campo. Al move la siguiente caga Q, se equiee un tabajo igual al poducto de la caga po el potencial ceado po Q en Q. Paa tae Q 3, el tabajo es el poducto de dicha caga po la suma de los potenciales debidos a Q y Q en Q 3. Po tanto, el tabajo total ealizado al coloca las tes cagas es: W E W + ( Q ) + ( Q3 3 + Q3 3 ) + W + W3 ji potencial en el punto j debido a la caga Q i. Ahoa, si taemos las cagas en oden inveso quedaía:

44 Electostática W E W 3 + W + W + ( Q 3) + ( Q 3 + Q ) Sumando las dos expesiones obtenemos dos veces la enegía almacenada: W E Q ( + 3) + Q( + 3) + Q3 ( ) El témino Q ( + 3) es el tabajo ealizado en conta de los campos de Q y Q 3, así que ( + 3), es deci, potencial en la posición. Entonces: Q + Q + Q W E 3 3 Genealizando, paa una distibución de n cagas discetas la enegía electostática viene dada po: n WE Qm m m m potencial en la posición de la caga Q m, debido al esto de las cagas. Ota foma de ve esto seía tayendo todas las cagas, una a una. Paa q : W Ya que antes no existe campo eléctico. Paa tae q : es el potencial en q debido a q

45 Electostática 4 q q w πε o 4 q q W πε o Paa tae q 3 : q q q w o o πε πε Paa tae la caga n-ésima seía: n n n n o n q q q n q n w ) ( ) (... 4πε Sumando todas las contibuciones, se llega a que la enegía del sistema es igual a: N i i i N i i n q w W i potencial electostático en la posición que ocupa q i, debido al esto de las cagas q q q W πε o

46 Electostática " Distibución continua Queemos calcula la enegía potencial electostática almacenada en una distibución de caga continua, con densidad de caga libe ρ v. Atibuyendo a una caga infinitesimal el compotamiento de una puntual: ρ v q i dq q i i dq ρ v dv Si integamos en todo el volumen donde existe caga libe,, la enegía electostática del sistema vendá dada po: w e ρ dv v v' En función de E y D ρ v D w e Ddv v' Utilizando la siguiente popiedad: llegamos a: ( D) D+ D D ( D) D w e ( D) dv v'$&$% ' Teoema Divegencia D dv v'$&$% ' E D d s s' + D Edv v' S es la supeficie que odea a.

47 Electostática Como el esultado es independiente de, mientas dento de se encuenten todas las cagas libes, se elige ( ). Entonces, como la dependencia con la distancia de las difeentes magnitudes involucadas es: D D d s s' d s W e D E dv Difeenciando la enegía se obtiene: dw e D E dv Esta expesión se conoce como densidad volumética de enegía Paa un medio lineal: D ε E, con lo que: w e dw E e ε dv dv v' ε E W e dw dv e E D ε E Existe enegía allá donde exista campo eléctico. Ejemplo A Un condensado de placas paalelas, tal que C ε, tiene un voltaje constante d aplicado enta las placas. Encuente la enegía almacenada en el campo eléctico. Despeciando el efecto de bodes, el campo es E ( / d) ente las placas y E en cualquie oto luga.

48 Electostática ε ε A W E ε E dv dv d d C 8.- ECUACIONES DE POISSON Y LAPLACE.- Hasta ahoa hemos visto técnicas de integación paa detemina la intensidad del campo eléctico, el potencial eléctico y la densidad del flujo eléctico de distibuciones de caga. A continuación expondemos otas técnicas, que consisten en esolve las ecuaciones difeenciales de Poisson y Laplace que igen la electostática. Paa ello, seá necesaio especifica las condiciones en la fontea conducto-espacio libe (o dieléctico). Paa obtene las ecuaciones de Poisson y Laplace, patiemos de los postulados fundamentales de la electostática en notación difeencial: D ρ v E Sabemos que la natualeza iotacional de E, indicada po la ecuación., nos pemite defini un potencial eléctico escala como: E - En un medio lineal D ε E, y la ecuación anteio se conviete en: εe ρ v que, sustituyendo la elación ente el campo y el potencial, queda:

49 Electostática donde ε puede depende de la posición. En el caso de un medio simple, po tanto homogéneo, ε es constante y se ve afectado po la divegencia. Así, despejando ε, tenemos que: v ε ρ En la ecuación anteio se ha intoducido el opeado laplaciano,, que epesenta la divegencia del gadiente de cualquie potencial escala. Dicha ecuación se conoce como ecuación de Poisson. En coodenadas catesianas se tiene que: x y z + + x y z a a a Y la ecuación de Poisson queda como: De foma simila, podemos obtene las siguientes expesiones de la ecuación de Poisson en coodenadas cilíndicas y esféicas. - Coodenadas cilíndicas: - Coodenadas esféicas: (ε ) - ρ v - ε ρv ε ρ φ v z + + ε ρ v z y x + + ε ρ φ θ θ θ θ θ v sen sen sen + +

50 Electostática La esolución de la ecuación de Poisson en tes dimensiones sujeta a condiciones en la fontea establecidas no es fácil. En aquellos puntos de un medio simple donde ρ no haya cagas libes, v, la ecuación.6 se educe a la siguiente: que se conoce como ecuación de Laplace. Ésta, como la ecuación de Poisson, ocupan un luga muy impotante dento del electomagnetismo. En coodenadas catesianas tenemos que la ecuación de Laplace queda, x + y + z y expesiones análogas en coodenadas cilíndicas y esféicas, haciendo ρ v. " Poblemas con valoes en la fontea A continuación veemos cómo esolve las ecuaciones de Poisson y Laplace cuando po la simetía del poblema estás sólo dependen de una sola vaiable. Lo haemos mediante la esolución de algunos ejemplos. - En coodenadas catesianas. Dos placas conductoas paalelas están sepaadas po una distancia d y se mantienen a potenciales de y, como se ilusta en la figua. La egión ente las placas está llena con una distibución continua de electones que tiene densidad volumética de caga, ρ v -ρ y/d. Suponga que el efecto maginal en los bones es insignificante y detemine: a) el potencial en cualquie punto ente las placas, y, b) las densidades supeficiales de caga en las placas. y d E Condensado de placas paalelas

51 Electostática SOLUCIÓN: La ecuación deteminante es la ecuación de Poisson, que en este caso, son el sistema de coodenadas elegido se simplifica a: d ( y) ρ y dy ε d ya que el campo eléctico es pependicula a las placas. Al intega dos veces la ecuación anteio tenemos: ρ 6ε d 3 ( y) y + Cy+ C donde C y C son constantes a detemina con las condiciones en la fontea sobe las dos placas conductoas. Éstas son: -En y, C ρd ρd -En y d, + Cd C 6ε d 6ε Al sustitui los valoes anteioes de C y C en el potencial se llega a la solución de la ecuación de Poisson: ρ 3 ρd y y y d d ( ) + 6ε 6ε Po oto lado, sabemos que la intensidad del campo eléctico es -. que en coodenadas catesianas seá : E( y) a y a y y ρ ε d y + d ρ d. 6 ε Las densidades supeficiales de caga sobe las placas conductoas pueden deteminase po la condición de contono en ellas paa el campo eléctico. - En la placa infeio, y. ε ρ () ε E() d ρ d 6 - En la placa supeio, y d. ε ρd ρ ( d) ε E( d) + d 3 En este caso, ρ() ρ(d), y ya no tiene sentido calcula la capacitancia.

52 Electostática - En coodenadas cilíndicas. En aquellos casos donde hay simetía cilíndica, es deci: φ z y la ecuación de Laplace se educe a: d d d d donde es función únicamente de la dimensión adial. Esta ecuación puede integase dos veces paa da: () C ln + C donde las constantes de integación C y C están deteminadas po las condiciones en la fontea de los poblemas. Y si el poblema es tal que el potencial eléctico sólo depende del ángulo φ, yno de las diecciones y z, la ecuación de Laplace se educe a: φ φ que integando dos veces da luga al siguiente potencial, ( φ) Kφ + K con K y K a detemina po las condiciones de contono. eamos el siguiente ejemplo: Dos planos conductoes aislados infinitos que se mantienen a potenciales de y constituyen una configuación en foma de cuña, como se ilusta en la figua. Detemine las distibuciones de potencial en las egiones: < φ < α α < φ < π

53 Electostática α φ Dos planos conductoes aislados infinitos, mantenidos a potenciales constantes SOLUCIÓN: En este ejemplo tenemos que: a) Paa φ α : En α : () K En φ α: (α) K α K α Po lo tanto, queda: b) Paa α φ π : (φ ) φ α En φ α: (α) K 3 α + K 4 En φ π: (π) π K 3 + K 4 y esolviendo las ecuaciones anteioes obtenemos lo siguiente: K3 π α K 4 π π α Finalmente, el potencial se puede expesa como: (φ ) ( π φ) π α

54 Electostática - En coodenadas esféicas. Se utiliza en caso de que el poblema tenga simetía esféica, como en el siguiente ejemplo: Los adios inteio y exteio de dos delgadas capas esféicas conductoas y concénticas son i y o, espectivamente. El espacio ente las capas está lleno con un mateial aislante. La capa inteio se mantiene a un potencial y la exteio a. Detemine la distibución de potencial en el mateial aislante esolviendo la ecuación de Laplace. o i SOLUCIÓN: Dos capas conductoas concénticas mantenidas a potenciales constantes Puesto que la situación pesentada tiene simetía esféica, el potencial eléctico es independiente de θ y de φ. Como además ρ v, se obtiene la siguiente ecuación unidimensional de Laplace: d d d d Al intega una vez la ecuación anteio con especto a se tiene: d C d y una segunda integación poduce: C + C donde las dos constantes de integación C y C, se deteminan a pati de las condiciones en la fontea en las dos capas conductoas. - En i, C ( i ) + C i

55 Electostática - En o, C o + o ( ) C La solución de las ecuaciones anteioes nos da: y C C o o i o ( ) o i i i Po lo tanto, la distibución de potencial ente las dos capas es, o i ( ) o i ( ) + o i, i o Podemos obseva en esta ecuación que es independiente de la constante dieléctica del mateial aislante. " Método de las vaiables sepaadas Cuando se tata de esolve poblemas que consisten en una seie de conductoes que están a un potencial deteminado, y el espacio ente conductoes está vacío, el método a segui consiste en esolve la ecuación de Laplace, empleando como condiciones de contono, el potencial o el campo eléctico en la supeficie de los conductoes. En geneal la solución es elativamente fácil cuando la geometía de los conductoes y sus posiciones elativas pemiten utiliza el método de sepaación de vaiables, es deci, se puede utiliza un sistema de coodenadas en el que se dan las condiciones de sepaabilidad. La sepaabilidad consiste en que la función potencial puede expesase como poducto de tes funciones, cada una de las cuales depende de una sola coodenada. Po ejemplo, en coodenadas catesianas: (x, y, z) X(x) Y(y) Z(z) Entonces la ecuación de Laplace, en deivadas paciales, se tansfoma en tes ecuaciones difeenciales, una paa cada coodenada. Supongamos que el potencial admite una solución de la foma: (x, y, z) X(x) Y(y) Z(z) Si sustituimos esta expesión en la ecuación de Laplace y dividimos po X(x) Y(y) Z(z):

56 Electostática X d X dx + Y d Y dy + Z d Z dz Como cada uno de los sumandos depende únicamente de su vaiable espectiva, la única foma de que este esultado sea cieto es que cada sumando sea una constante. O sea: X d X dx α d Y Y dy β d Z Z dz donde las constantes α, β y γ tienen que satisface la siguiente condición: γ α + β y dependeán de las condiciones de fontea sobe los conductoes. γ Las soluciones de las nuevas ecuaciones difeenciales de vaiable única son: X(x) sen(αx) Y(y) sen(βy) Z(z) senh(γz) eamos la metodología del método de sepaación de vaiables con el siguiente ejemplo: Como se obseva en la figua, tenemos un cubo en el que, el potencial es ceo en todas las caas, salvo en la supeficie (en la caa de aiba), que vale (x,y). Detemina la solución geneal del potencial en cualquie punto del espacio. Si nos fijamos en las ecuaciones anteioes, es deci: X(x) sen(αx) Y(y) sen(βy) Z(z) senh(γz) Paa X e Y se cumplen las siguientes condiciones de contono:

57 Electostática -Paa x a: X ( a) senβa -Paa y b: Y ( b) senβb Entonces: nπ α n a y β m mπ b donde: αn y β m Ζ Po lo que : γ nπ mπ n + γ π a b a n, m + m b Entonces tenemos que la solución paticula seá: nπ nπ + + n m sen x sen y senh + z a b a b m, n π Y la solución geneal es la suma de las soluciones paticulaes. Así: ( x, y) A m, n m, n m, n donde A m,n se calcula con la siguiente condición de contono: - En z c, (x, y) Y haciendo el desaollo en seie de Fouie de (x, y) se llega a que: A a 4 b nπ mπ ( x, y) sen x sen y dydx ab sen( γ c) a b m, n m, n 9.- MÉTODO DE LAS IMÁGENES.- Hay poblemas con condiciones en la fontea en los que la esolución de la ecuación de Poisson o de Laplace diectamente es muy compleja. En estos casos, a veces, algunas de las distibuciones de caga de un poblema pueden sustituise po

58 Electostática otas, llamadas cagas imagen, de foma que se pueda calcula el potencial de foma sencilla. La condición que deben cumplimenta las cagas imagen es que se conseven las condiciones de contono del poblema oiginal. A este método se le conoce como Método de las Imágenes y la solución obtenida seá válida en aquellas egiones donde pemanecen cagas oiginales. Antes de pofundiza en el método es necesaio conoce el teoema de la unicidad, que dice que una solución de la ecuación de Poisson que satisface un conjunto de condiciones en la fontea o contono, es una solución única. Po este teoema, si encontamos una solución paa un poblema que cumple un conjunto de condiciones en la fontea, ésta es la única solución posible, independientemente del método usado. eamos como se aplica el método de las imágenes con vaios ejemplos: " Caga puntual cecana a un plano conducto Una caga positiva Q está situada a una distancia d de un plano conducto infinito conectado a tiea, como se muesta en la figua. Calcule: a) el potencial en un punto abitaio P(x,y,z) de la egión y >. b) la distibución de caga inducida sobe la supeficie del plano conducto. Figua Figua