A.Paniagua-H.Poblete (F-21)

Transcripción

1 A.Paniagua-H.Poblete (F-2) ELECTRICIDAD MODULO 5 Condensadoes Un condensado es un dispositivo ue está fomado po dos conductoes ue poseen cagas de igual magnitud y signo contaio. Según la foma de las placas conductoas se tienen condensadoes planos, cilíndicos y esféicos. En la fig. se pueden ve las difeentes fomas de los condensadoes y las líneas de campo eléctico coespondientes a cada uno de ellos. Los condensadoes comunes se componen de dos láminas paalelas muy póximas o de dos cilindos concénticos. Los condensadoes sive paa almacena caga eléctica y también enegía como veemos más adelante. En la fig. tenemos el cote tansvesal de un condensado plano en el cual se han dibujado las láminas planas muy guesas, paa facilita la explicación. Podemos obseva ue la lámina de la izuieda se encuenta aislada. A esa lámina se le popocionan cagas elécticas, las cuales inducen en la lámina de la deecha cagas de igual magnitud y de signo contaio 76

2 Capacidad C Es una caacteística de los condensadoes y se define como la elación ue existe ente la caga eléctica en una de sus placas y la difeencia de potencial ente ellas. C =! (4 T) Puesto ue la difeencia de potencial ente las placas de un condensado es popocional a la caga en una de ellas, tenemos entonces de la expesión (4 T) ue la capacidad no dependeá de la caga y sólo dependeá de la estuctua geomética del condensado (tamaño, foma y distibución de las placas conductoas). La cantidad de caga almacenada en un condensado está limitada po el hecho de ue campos elécticos gandes ionizan las moléculas de aie y lo hacen conducto, descagándose las placas a tavés de él. Este fenómeno conocido como uptua del dieléctico se poduce en el aie cuando la intensidad del campo eléctico es de: E! 3 " 6 N C = 3 " 6 volts m Unidades de la capacidad de un condensado C =! faad = coulomb volt Puesto ue el faad es una unidad muy gande, se utilizan submúltiplos de él como son: micofaad (µf ) =!6 faad( f ) picofaad(pf ) =!2 faad ( f ) Conexiones de condensadoes Fecuentemente se utilizan conexiones de dos o más condensadoes. Cuando se tiene en un cicuito más de un condensado, se puede sustitui esta conexión po un solo condensado euivalente ue almacene la misma cantidad de caga paa una difeencia de potencial deteminada. 77

3 Entonces la capacidad euivalente de una conexión esta dada po = T (42 T) En los cicuitos elécticos se indica un condensado mediante el símbolo Condensadoes en paalelo Es una conexión en la cual los condensadoes están unidos a una misma difeencia de potencial como se muesta en la figua La capacidad euivalente de esta conexión esta dada po Donde = T (42 T) T = (43 T) y = = 2 = 3 (44 T) Reemplazando estas expesiones en (42 T) tenemos = = { { 2 { 3 C C 2 C 3 Tenemos entonces ue la capacidad euivalente de esta conexión en paalelo esta dada po = C + C 2 + C 3 (45 T) Paa un númeo cualuiea de condensadoes la capacidad euivalente de la conexión en paalelo está dada po n =! C i (46 T) i= 78

4 Condensadoes en seie Es una conexión en la cual los condensadoes están unidos como se muesta en la fig. y el potencial eléctico se epate ente ellos. La capacidad euivalente de esta conexión esta dada po Donde = T = y T = = = 2 = 3 (42 T) Tenemos entonces = (47 T) Invitiendo (45 T) tenemos = = { { 2 { 3 Tenemos entonces ue la capacidad euivalente de esta conexión en seie esta dada po C C 2 C 3 = C + C 2 + C 3 (48 T) Paa un númeo cualuiea de condensadoes la capacidad euivalente de la conexión en seie está dada po = n! (49 T) i= C i La capacidad euivalente de una conexión en seie de condensadoes es meno ue la meno capacidad ue inteviene en dicha conexión. 79

5 Condensadoes de placas paalelas con dieléctico a) Se tienen dos condensadoes iguales conectados a una misma difeencia de potencial, como se muesta en la fig. Si uno de los condensadoes se llena completamente con un dieléctico, se puede compoba expeimentalmente ue este almacena una caga d, K veces mayo ue el condensado sin dieléctico. d = K! ya ue = d =, C = Entonces y C d = d C d = K!C (5 T) Tenemos entonces ue un condensado ue tiene el espacio ente sus placas completamente lleno con dieléctico y está conectado a una difeencia de potencial fija, tiene una capacidad K veces mayo ue cuando no tiene dieléctico ente sus placas. b)si se caga un condensado, ue está conectado a un medido de voltaje, se puede compoba expeimentalmente ue, al llena completamente el espacio ente sus placas con un dieléctico, el voltaje ente sus placas disminuye K veces. d = K (5 T) Puesto ue la caga de dicho condensado no vaía tenemos ue las capacidades sin y con dieléctico están dadas po C = C d = d Reemplazando estas expesiones en (5 T) tenemos C d = K!C 8

6 K se llama constante dieléctica y depende del mateial del dieléctico. De (5 T) tenemos d = K. Consideando ue = E! d en un condensado plano, donde E es el campo eléctico ente las placas del condensado y d la sepaación ente ellas, se tiene d = E! d E d! d = K E E d = K E d = E K tenemos entonces ue el campo eléctico en un condensado plano con dieléctico disminuye K veces compaado con el campo en un condensado plano sin dieléctico. Dielécticos o aislantes. Compotamiento de los átomos Sabemos ue los dielécticos se polaizan en pesencia de un campo eléctico exteno E ext, peo existen también dielécticos ue tienen dipolos pemanentes. Un ejemplo es la molécula de agua. Los dipolos se encuentan en el dieléctico en foma desodenada como se muesta en la fig. Al coloca el dieléctico en un campo eléctico E dichos dipolos se alinean. 8

7 Apaecen entonces en el dieléctico cagas elécticas inducidas po la pesencia del campo eléctico exteno. Las cagas elécticas inducidas en el dieléctico poducen un campo eléctico E i de sentido contaio al campo exteno ue las indujo. Po lo tanto el campo eléctico esultante dento del dieléctico está dado po la expesión E R = E ext + E i E R < E ext ya E ext! " E i Donde: E e campo eléctico exteno y E i campo eléctico inducido. Po lo tanto el campo eléctico ente las placas del condensado disminuye en pesencia de un dieléctico. Puesto ue la difeencia de potencial, ente las placas de un condensado plano, esta dada po = E! d, tenemos entonces ue la difeencia de potencial también disminuye cuando se coloca un dieléctico ente sus placas. Utilizando la expesión (4 T) de la definición de capacidad C =, tenemos ue al disminui el potencial ente las placas de un condensado aumenta la capacidad. Ley de Gauss con dieléctico Tenemos un condensadoes plano de áea de placas A y sepaación ente ellas d. Apliuemos la ley de Gauss a la supeficie ceada fomada po un paalelepípedo y cuyo cote tansvesal apaece indicado en la fig. po medio de una línea punteada. 82

8 Tenemos ue el flujo del campo eléctico a tavés de las supeficies veticales es nulo al igual ue el flujo a tavés de la supeficie hoizontal supeio. Tenemos entonces " E! ds = $ E # A = % E # = A# Colouemos dento del condensado plano un dieléctico ue llena el espacio ente las placas. Apliuemos nuevamente la Ley de Gauss. Tenemos ue en este caso la caga enceada po la supeficie Gaussiana está dada po! i " E d!ds = # i (52 T) $ i caga en la placa del condensado. caga inducida en el dieléctico. E d A =! i " # E d =! i A" Puesto ue E d = E k tenemos! i = k "! $ # k % = i (53 T) Puesto ue k >! i < Reemplazando (53 T) en (52 T) tenemos: " E d!ds = k# 83

9 Esta expesión se conoce como Ley de Gauss con dieléctico y aunue se ha deivado paa un condensado de placas paalelas, es aplicable en todos los casos. Expeimento Utilizaemos el electoscopio como un apaato de medida de la capacidad de un condensado. Paa lo cual conectaemos el electoscopio en Cp paalelo con un condensado plano al cual deseamos detemina su capacidad. Si popocionamos a la conexión una caga ella se epate ente el condensado plano y el electoscópio. = P + e Puesto ue el electoscopio aduiee una caga e sus agujas se sepaan. Si sepaamos las placas del condensado plano, vemos ue las agujas del electoscópio se sepaan aún más, tenemos entonces e! > e (54 T) Siendo e! la caga ue aduiee el electoscopio en su nueva sepaación. Tenemos po la tanto ue la caga en el electoscópio cece. Ce Puesto ue la caga total pemanece cte =! p < p La caga en el condensado plano disminuye. Si consideamos ue la vaiación de la abetua ente las agujas del electoscópio, no influye en la vaiación de su capacidad, tenemos entonces = C! e Si la capacidad del electoscopio no vaía puesto ue su caga aumentó, debeá también aumenta su voltaje C =! " e > e 84

10 ya ue el electoscópio y el condensado plano están en paalelo e = p! " e! = p > p! p El voltaje aumenta al sepaa las placas del condensado plano. La capacidad del condensado plano inicial mente es al sepaa las placas es puesto ue! p < p y! p > p C p = p p C p! =! p! p! C p " < C p (55 T) De las expesiones (54 T) y (55 T) podemos ve ue la capacidad del condensado plano está en elación invesa a la abetua de las agujas del electoscópio. Tenemos entonces ue al sepaa las placas del condensado plano como las agujas del electoscopio se sepaan entonces su capacidad disminye. Almacenamiento de enegía en un condensado Consideemos el poceso de caga de un condensado imaginando ue un agente exteno saca caga de una placa llevándola a la ota placa. Supongamos ue se saca caga negativa y se lleva a la ota placa. Una placa ueda entonces con deficit de caga negativa po lo tanto cagada positivamente y la ota ueda con exceso de caga negativa po lo tanto cagada negativamente. Tenemos entonces ue el tabajo ealizado paa caga el condensado ueda almacenado como enegía potencial eléctica. De la expesión (27 T) en la cual se define difeencial de potencial eléctico tenemos! A" B =!U A" B = # W A" B 85

11 Si escibimos esta expesión en función del tabajo ealizado po un agente exteno tenemos! A" B =!U A" B = W ext A" B (56 T) Consideando ue la cantidad de caga ue deseamos lleva de una placa a la ota es un d y ue la difeencia de potencial ente las placas se expesa a tavés de la capacidad como! A" B = C podemos entonces escibi de (56 T) ext dw A! B = du A! B = d (57 T) C Si se continúa este poceso hasta comunica una caga Q al condensado tenemos entonces ue la enegía almacenada en el condensado es Q U =! d = C 2 Consideando ue Q = C tenemos o U = 2 Q 2 C Q 2 C = 2 C 2 (58 T) Suponemos ue la enegía almacenada en un condensado eside en el campo eléctico ue existe ente sus placas. Puesto ue el campo eléctico tiene el mismo valo ente las placas, podemos defini una densidad de enegía po unidad de volumen u = U Ad = 2C 2 Ad Consideando ue = Ed y C =! A d tenemos u = 2! E 2 86

12 Poblemas Poblema Calcula la capacidad de un condensado plano cuyas placas tienen un áea A y están sepaadas po una distancia d. Solución C =!! i" s difeencia de potencial ente la placa infeio y supeio. s! i" s = # E $ d s % l = E $ dl d % cos8 = E $ dy dl = dy E =? i i % (-P) Paa calcula el campo eléctico ente las placas del condensado, aplicamos la ley de Gauss a la supeficie ue se indica en la fig.! E = # E "d S + # E " d S + # E "ds = sv shs shi $ sv Supeficies veticales. shi Supeficie hoizontal infeio. shs Supeficie hoizontal supeio.! E = E " ds 678 # cos 9 + E "d # 2 3 S + # E " ds cos = sv shs shi $ E= dento de un conducto EA =! " E = A! = #! E =! " # ˆ j 87

13 Reemplazando el valo de E en (-P) tenemos: d! i "s = $ dy = d A# A# ya ue C =! C = A! d Poblema 2 Se tiene la conexión indicada en la figua. Enconta: a) La capacidad euivalente de dicha conexión. b) La caga almacenada en cada condensado. c) La difeencia de potencial en cada condensado. Si C =µf, C 2 = 5µf, C 3 = 4µf y c c 3 c 2 =volts Solución c e(,2 ) c 3 c = c et (,2,3) Solución a) (,2) =.5! "5 faad T = (,2) + C 3 = T = 3.6! "6 faad.5! "5 faad + 4! "6 faad 88

14 Solución b) y c) T = 3 =,2 3 = + 2 T = volts T = T! T = 3.6 " #4 coulomb 2 = 2 (,2) = 3.6! "4 coulomb.5! "5 faad = 2.! volts = 2.volts 3 = 3 C 3 = 3.6! "4 coulomb 4! "6 faad = 7.9! volts = 79volts 2 = = 2 = 2.volts 2 = C 2! 2 =.6 " #4 coulomb Poblema 3 Se tiene la conexión de condensadoes ue se indica en la figua. Las capacidades de dichos condensadoes son las siguientes: C = C 3 = C 5 =µf C 2 = C 4 = 8µf =volts Enconta: a) La caga almacenada en cada condensado. b) La difeencia de potencial en cada condensado Solución 3 4,5 2,3,(4,5) 2 c et 89

15 =volts 2 = 44.5volts 3 = 35.6volts 4 = 9.8volts 5 =9.8volts =!3 C 2 = 3.56! "4 C 3 = 3.56! "4 C 4 =.58! "4 C 5 =.98! "4 C T =.36! "3 C Poblema 4 Se tiene un condensado esféico de adios a y b ue tiene la mitad del espacio ente sus placas lleno de pocelana, como muesta la figua a)calcula la capacidad de dicho condensado. b) Cuál es la máxima difeencia de potencial ue puede existi ente las placas del condensado sin ue exista uptua si a =.5cm b b= 3a c) Cuál es la máxima caga ue puede almacena dicho condensado? + a - Solución a) C =! b! =?! a" b = #% E $d l c = # E $ d b % l # % E $dl a a c b = 3a Sepaación ente las placas b! a = 2a Espeso del dieléctico b! a 2 = a c = a + espeso del diélectico = 2a 2a! a" b = # E d $ d 3a % l # % E $ dl (-P4) Debemos entonces paa calcula la difeencia de potencial conoce E d =? campo eléctico en la zona ue tiene dieléctico a 2a 9

16 E =? campo eléctico en la zona ue sin dieléctico Es suficiente calcula E, ya ue E d = E k Aplicamos la ley de Gauss a la supeficie indicada de la figua - E! ds " = E 4# 2 = E = $ E 4!" 2 d = K p 4!" 2 b + a eemplazando E y E d en (-P4) Supeficie Gaussiana 2a 3a! a" b = #% E d $ d # % E $d = # ( * 4&' ) * a 2a! a" b = # K p 4$% a & 3+ K p 6K p La constante dieléctica de la pocelana es K p = 6.5 Solución b) C =! = 24"# ak p 3+ K p = 2.28 $ %2 faad 2a 3a d % + d + - % 2 2, - = Intensidad dieléctica (I.D) Kv/mm. = máximo campo eléctico ue puede existi sin uptua del dieléctico (o sea sin ue el diélectico se haga conducto y las placas se descaguen a tavés de él) Intensidad eléctica Aie ID Pocelana ID ( ) A =.8Kv / mm ( ) P = 4Kv / mm a 2a 9

17 máx = ( ID) P d P + ( ID) A d A d P espeso de la pocelana d A espeso del aie d P = a =.5cm d A = a =.5cm máx = 2. 4! 4 volts Solución c) Qmáx =? C =! C = Q máx máx Q máx = C! máx = 5.48 " #8 coul 92