Magnetismo Módulo 1. Los imanes son capaces de atraer pequeños pedazos de hierro. Presentan dos polos uno llamado Norte y otro llamado Sur.

Transcripción

1 A.Paniagua-H.Poblete Física 21 Campo Magnético Magnetismo Módulo 1 Los imanes son capaces de atae pequeños pedazos de hieo. Pesentan dos polos uno llamado Note y oto llamado Su. Si el imán está ubicada de tal manea que pueda gia se oientaá de tal foma que su polo Note apunte hacia el Note geogáfico. Los polos de distinto nombe se ataen. Los polos de igual nombe se epelen. Po lo tanto el polo note geogáfico es un polo Su magnético ya que atae a el polo Note de un imán. Los polos de un imán son indivisibles. N S N S N S N S Si colocamos limaduas de hieo entono a un imán, éstas se odenan de una deteminada foma, lo mismo sucede alededo de un alambe po el cual cicula una coiente. Po lo tanto un imán y un alambe con coiente pesentan en su entono la misma popiedad de actua sobe limaduas de hieo. Decimos entonces que entono a ellos existe algo que llamaemos Inducción Magnética o Campo Magnético y que designaemos po B. Las líneas que foman las limaduas entono a los imanes y a los alambes con coiente epesentan a las líneas del campo magnético y se denominan Líneas de Inducción Magnética o Líneas de Campo Magnético. Se les asigna el sentido saliente del polo Note y entante al polo Su. Las líneas de campo magnético tienen las siguientes caacteísticas: 1) La tangente a una línea de campo en un punto dado, indica la diección de B en ese punto. 1

2 2) Las líneas de campo se dibujan de tal foma que el númeo de lineas po unidad de áea tansvesal es popocional a la magnitud de B. Donde las líneas están más concentadas el campo magnético B es mayo que en aquellas zonas donde están las líneas más sepaadas. Imán en un Campo Magnético unifome Imán en un Campo Magnético no unifome Definición del Campo Magnético Se obseva expeimentalmente que cuando una caga eléctica tiene una velocidad v en la poximidad de un imán o un alambe con coiente, existe una fueza sobe ella que depende del valo y diección de la velocidad. Los expeimentos ealizados con divesas cagas móviles con vaias velocidades en un punto del espacio dan los siguientes esultados coespondientes a la fueza magnética. 1) La fueza es popocional a la caga q. 2) La fueza es popocional a v. 3) El valo, diección y sentido de la fueza depende de la diección y sentido de la velocidad v. 2

3 4) Si la velocidad de una patícula está diigida a lo lago de una deteminada línea del espacio, la fueza es ceo. 5) Si la velocidad no está diigida a lo lago de esa línea, existe una fueza que es pependicula a la misma y es también pependicula a la velocidad. 6) Si la velocidad foma un ángulo! con esta línea, la fueza es popocional al sen!. 7) La fueza sobe una caga negativa es de sentido opuesto, a la ejecida sobe una caga positiva con la misma velocidad. Podemos esumi estos esultados expeimentales definiendo un campo magnético vectoial B diigido a lo lago de la línea descita en el punto 4) y escibiendo como valo de la fueza magnética F = q v! B (1-T) Unidades Tesla = Webe m 2 = Nt amp! m 1 Tesla =10 4 gauss Repesentaemos el campo magnético entante al plano de la hoja po una x y el campo magnético saliente del plano de la hoja po un punto. Dibuje en la fig la fueza paa cada una de las cagas que se encuentan en el campo B Movimiento de una patícula cagada en un campo magnético Analizaemos las siguientes situaciones: 1) Campo Magnético Unifome a) Cuando la patícula peneta pependiculamente al campo magnético. b) Cuando la patícula no peneta pependiculamente al campo magnético. 3

4 2) Campo Magnético No Unifome Campo Magnético Unifome a) v es pependicula a B En este caso estudiaemos el movimiento de un electón en un campo magnético unifome. Ya que la fueza magnética es pependicula a la velocidad, el movimiento que expeimenta el electón es un movimiento cicula unifome. Tenemos entonces en este caso que la fueza centípeta es poducida po el campo magnético. Recodemos que : F C Fueza Centípeta. F C = m v2 (2-T) F m = q v B sen! (3-T) F m Fueza Magnética. m = masa del electón q = caga del electón. Ya que F C = F m y! = 90 tenemos entonces a pati de las ecuaciones (2-T) y (3-T) que v = q B m (4-T) = v m q B (5-T) De estas expesiones vemos que la velocidad de la patícula y el adio de la tayectoia que descibe son popocionales, po lo tanto las patículas que posean mayo velocidad giaán en tayectoias ciculaes de mayo adio. Encontaemos ahoa el peíodo T de dicho movimiento peo ecuedan qué es peíodo? 4

5 Peíodo es el tiempo que demoa una patícula en da una vuelta completa. Fecuencia es el númeo de vueltas en una unidad de tiempo y coesponde al inveso del peíodo. Tenemos que la velocidad angula! está dada po:! = " t = 2# T y consideando que! = v Tenemos que el peíodo T está dado po la siguiente expesión; T = 2" v eemplazando v de la expesión (4-T) tenemos finalmente paa el peíodo: T = 2! m q B (6-T) De esta expesión vemos que el peíodo no depende del adio de la tayectoia que sigue la patícula en el campo magnético. Cómo es posible qué suceda esto? Recodemos que la velocidad de la patícula es popocional al adio, po lo tanto las patículas que gian en un adio mayo poseen mayo velocidad y po esta azón es que es posible que dos patículas iguales que gian en dos tayectoias de distinto adio demoen el mismo tiempo en da una vuelta. En este pincipio se basa el Ciclotón que es un aceleado de patículas. Estas patículas aceleadas se utilizan posteiomente paa bombadea núcleos y estudiales su estuctua. b) v no es pependicula a B Tenemos que en este caso v foma un ángulo! con el campo magnético B Consideaemos en nuesto análisis que la patícula es positiva. 5

6 Paa analiza el movimiento de la patícula descomponemos la velocidad en dos componentes una paalela al campo magnético y la ota pependicula al mismo. La componente de la velocidad pependicula al campo poduce un movimiento cicula. La componente de la velocidad paalela al campo poduce un movimiento vetical unifome pues la fueza es nula en esa diección. De la supeposición de ambos movimientos obtenemos que la tayectoia descita po la patícula es una hélice. Campo Magnético no Unifome Analicemos ahoa el movimiento de una patícula cagada en un campo magnético no unifome. Obsevando la figua vemos que el campo epesentado en la fig. es más intenso en los extemos y más débil en el cento tenemos po lo tanto que se tata de un campo magnético no unifome. Fig. 1 Paa analiza la situación consideemos que peneta al campo magnético una patícula, cagada positivamente, en la posición que se indica en la figua. Analizaemos en pime luga la mitad izquieda del campo magnético, en ella vemos que la patícula expeimenta una fueza en el sentido que se indica en la figua. Paa enconta la tayectoia que descibe dicha patícula descomponemos la fueza en dos componentes una pependicula al campo y la ota hoizontal. La componente pependicula al campo hace que la patícula desciba una tayectoia cicula y la componente hoizontal de la fueza hace que acelee hacia la deecha. 6

7 Puesto que la fueza magnética es siempe pependicula a la velocidad, el módulo de ésta no puede vaia y po lo tanto un aumento de la componente hoizontal de la velocidad implicaá una pequeña disminución de la componente pependicula al campo magnético. Recodemos que el adio de la tayectoia cicula que descibe la patícula está dado po: = v m q B De esta expesión podemos ve que si la patícula pasa a una zona en que el campo magnético es más débil su adio aumenta, peo po oto lado tenemos en este caso que la componente pependicula de la velocidad también disminuye; si la vaiación de la velocidad es pequeña compaada con la disminución del campo entonces el adio de la tayectoia va aumentando. Tenemos po lo tanto que la patícula sigue una tayectoia como se muesta en la fig. 2. fig. 2 La patícula acelea hoizontalmente hasta que la componente hoizontal de la fueza magnética se hace nula, hecho que ocue en el punto medio. La patícula continúa moviéndose hacia la mitad deecha del campo po inecia, peo en esta pate podemos ve (fig 1) que la componente hoizontal de la fueza magnética cambia de sentido y comienza a desacelea el movimiento hacia la deecha hasta llega a anula la componente hoizontal de la velocidad. Cuando eso sucede la patícula comienza a acelea hoizontalmente hacia la izquieda hasta llega al cento donde empieza nuevamente a desacelea, así este poceso se epite una y ota vez quedando las patículas cagadas atapadas en el campo magnético no unifome. Analice que sucede si una patícula en luga de peneta en el luga indicado en la figua lo hiciea de igual foma en la pate de abajo del mismo campo. 7

8 Un caso de campo magnético no unifome es el campo magnético teeste. Si hacemos un cote tansvesal a la tiea, las líneas de campo magnético se veían como apaece en la fig. Debido a ese campo magnético no unifome es que las patículas cagadas que vienen desde el sol quedan atapadas en egiones del espacio conocidas como Cintuones de Van Allen. Estas zonas siven como escudo potecto de la tiea. Encuente alguna explicación paa el hecho de que las patículas positivas quedan atapadas en un anillo y las negativas en oto. Fueza sobe un alambe con coiente Tenemos un tozo de alambe de longitud L=l y áea tansvesal A, po el cual cicula una coiente i. Dicho alambe está ubicado pependiculamente al campo magnético B. En la fig. que apaece a la izquieda se ha dibujado la fueza magnética sobe los electones en movimiento en el conducto. Calculaemos ahoa la fueza magnética F que actúa sobe el alambe. Tenemos que F = NF e = nvf e = nalf e (7-T) 8

9 donde F e es la fueza magnética sobe cada electón libe en el conducto, N el númeo total de electones en el conducto y n el númeo de electones po unidad de volumen. Tenemos que la fueza magnética sobe un electón libe en el conducto está dada po F e = e v d B sen = e v d B (8-T) 1 Puesto que v d = j ne y j = i A tenemos entonces de (8-T) que F e = i na B Reemplazando esta expesión en (7-T) tenemos que la fueza magnética que actúa sobe el alambe esta dada po F = i l B Esta expesión podemos escibila vectoialmente como F = i l! B (9-T) Donde l es un vecto a lo lago del alambe y que apunta en el sentido de la coiente. En la siguiente fig. se tiene un campo magnético pependicula saliente al plano de la hoja. En el se encuentan ubicados tes tamos de alambe po los cuales cicula coiente en el sentido que se muesta en la fig. Dibuje la fueza que actúa sobe cada uno de estos tamos. 9

10 Movimiento de una espia con coiente en un campo magnético F 2 F 1 Fig. 3 Fig. 4 Tenemos que la fueza magnética sobe un alambe con coiente en un campo magnético está dada po F = i l! B Aplicando esta expesión a una espia tenemos = F 4 = ibb sen(90!" ) = ibb cos " = F 3 = iab sen = iab tenemos entonces que 1 F! = 0 Peo las fuezas F 1 y F 3 poducen un toque sobe la espia.! = " F "! = bf 1 sen# = iabb sen# Si existen N espias tendíamos entonces que el toque total es:! = N!" = { Niab Bsen# (10-T) µ momento dipola magnético 10

11 Paa escibi la expesión (10-T) vectoialmente se define un vecto momento dipola magnético µ cuya diección y sentido es el que se muesta en la fig. y su magnitud es NiabB Tenemos entonces que el toque queda definido po la expesión! = µ " B (11-T) Enegía de una espia con coiente en un campo magnético Tenemos que:!u 1"2 = #W 1" 2 $ 2 W 1!2 = " # d $ 2 % $ = &% " 'd$ $ 1 $ 1 $ 2 $!U 1"2 = % #d$ = % µb sen$ d$ = &µb cos $ 2 $1 $ 1 $ 2 $ 1 U 1! U 2 =!µbcos " 2 + µb cos " 1 U =! µ B (12-T) 11

12 Analiza cuando el equilibio de una espia con coiente en un campo magnético es: a) Estable. b) Inestable. c) Indifeente. Equilibio Inestable Equilibio estable Aplicaciones del movimiento de una espia con coiente en un campo magnético a) Galvanómeto Hemos citado anteiomente que los apaatos de medida tales como el voltímeto, ampeímeto y óhmeto se basan en un dispositivo que sive paa detecta coientes elécticas llamado galvanómeto. Ahoa veemos que es un galvanómeto y como funciona. Paa entende su funcionamiento analicemos más en detalle el movimiento de una espia con coiente en un campo magnético. Veamos que sucede con las espias que se muestan a continuación cuando po ellas cicula coiente en el sentido que se muesta en la fig. 12

13 En ambos casos se poduce un toque sobe las espias, peo estos son en sentido contaio. Dicho gio hace que en ambos casos el momento dipola µ se alinie con el campo. Un galvanómeto tiene en su inteio un conjunto de espias que se encuentan ubicadas en un campo magnético poducido po dos imánes como muesta la siguiente fig. Al cicula coiente po las espias estas expeimentan un toque, que se ve equilibado po oto toque en sentido contaio poducido po un alambe en espial ubicado en el eje de gio de las espias. Esto hace que la aguja del galvanómeto se equilibe en una deteminada posición que depende de la intensidad de la coiente aplicada pemitiendo de este modo medi dicha coiente. Explique qué sucedeía si en un galvanómeto no se espeta la polaidad de coiente indicada en el apaato? b) Motoes elécticos de coiente continua Hemos visto en la pate anteio que el sentido del gio de espias con coiente en un campo magnético depende del sentido de la coiente que cicula po ellas. 13

14 fig. a fig. b fig. c fig. d En las fig. a,b y c se muesta el gio de la espia en un campo magnético. A la posición d, pasa la espia po inecia. Vemos que en esta posición apaece un toque en sentido contaio al gio que taía, haciendo que la espia desacelee y gie en sentido antihoaio. Po lo tanto la espia en estas condiciones esta imposibilitada de da un gio completo. Veamos que sucede si cuando las espias se encuentan en la posición d cambia el sentido de la coiente. fig. e fig. f fig. g fig. h Tenemos entonces que el cambio de sentido de la coiente pemite que la espia ealice la ota mitad del gio hasta llega a la posición h donde nuevamente debe cambia el sentido de la coiente paa pasa a la situación indicada en la fig. a e inicia nuevamente el ciclo. Hemos visto entonces que la coiente en la espia debe cambia su sentido cada medio ciclo. Aqui suge la pegunta cómo puede hacese este cambio de tal manea que sea automático y deteminado po la posición de la espia? En la fig. se muesta un cote tansvesal de un moto. 14

15 En la fig de la izquieda podemos ve que la coiente fluye desde la pate nega a la pate blanca de la espia. En cambio en la fig. de la deecha podemos ve que fluye desde la pate blanca a la pate nega de la espia. En las siguientes figuas se puede ve las espias junto con los cabones que siven paa cea el cicuito con la bateía. Vista de un moto elemental de coiente continua. En las figuas anteioes se puede obseva las espias con coiente ubicadas en un campo magnético en distintas posiciones de su gio. También se puede obseva en ellas los cabones de contacto y la fuente eléctica que popociona coiente a la espia. 15

16 Poblemas Poblema 1. H-33-28(V), 36(N) ESPECTRÓMETRO DE MASA La figua muesta un dispositivo utilizado po Dempste paa medi las masas de los iones. La pueta S es una cámaa en la cual se está efectuando una descaga en un gas y poduce un ion de masa M y caga q casi sin velocidad. El ion se acelea mediante una difeencia de potencial V y se hace enta en un campo magnético B. En el campo descibe un semicículo y va a choca con una placa fotogáfica a una distancia x de la abetua de entada dejando ahí su maca. Demosta que la masa M está dada po la siguiente expesión: M = B2 q x 2 8V Datos Iones son patículas cagadas obtenidas de átomos que han pedido o ganado electones po lo tanto pueden se positivos o negativos. M masa del ion. q caga del ion. V i = 0 Velocidad inicial del ion. V difeencia de potencial (dicha difeencia de potencial acelea al ion hasta una velocidad V f ). El ion peneta con cieta velocidad V f a un campo magnético B y descibe la tayectoia que se muesta en la fig. Diga cuál es el signo del ion paa que desciba esta tayectoia? x distancia donde choca el ion y x = 2 M=? Plan de Solución Tenemos que la tayectoia que sigue el ion en el campo magnético B y está deteminada po la velocidad que tiene al peneta en él. 16

17 Consideando que x = 2 tenemos F m = F c po lo tanto qvb = Mv 2 x = 2Mv qb v =? (1-P1) La velocidad con que la patícula enta al campo magnético es la velocidad que adquiee la patícula después de acelea en la difeencia de potencial V. Entonces v = v f Recodemos que!k +!U = 0 y!u = q!v tenemos entonces que!k = "q #!V Mv f! Mv i =!q( v f! v i ) (2-P1) ya que v i = 0 pues los iones salen casi sin velocidad y ( V f! V i ) =!V debido a que los iones acelean desde un punto de mayo a uno de meno potencial, tenemos entonces de la expesión (2-P1) 1 2 Mv 2 = qv (3-P1) de esta expesión podemos obtene la velocidad con la que la patícula peneta al campo magnético. Solución Tenemos entonces de la expesión (3-P1) paa la velocidad del ion v = 2qV M eemplazando esta expesión en (1-P1) y despejamos M tenemos: M = x2 q B 2 8V que coesponde a la expesión que nos pedían enconta en el enunciado del poblema. 17

18 Poblema 2. H (V), 38 (N) Un positón de 2 Kev se dispaa en un campo magnético de inducción B = 0.10 Webe / m 2 y su vecto velocidad de 89 con B. Cecióese de que la tayectoia seá una hélice, con su eje en la diección de B. Enconta el peíodo, el paso p, y el adio de la hélice. P v F B B Datos Positón es la antipatícula del electón po lo tanto posee su misma masa y magnitud de caga, peo de signo positivo. m p = 9.11"10 #31 Kg q p =1.60 "10 #19 Coul K = 2Kev K enegía cinética del positón Kev (Kiloelectonvolts) =10 3 ev ev =1.6!10 "15 Joule y epesenta la enegía que adquiee un electón cuando acelea en una difeencia de potencial de un volts. B = 0.10 Webe / m 2 (es un campo magnético unifome)! = 89! es el ángulo que foma la velocidad de la patícula en el campo magnético B La tayectoia de la patícula seá una hélice, ve apuntes: movimiento de una patícula cagada en un campo magnético unifome. El movimiento se puede descompone en un movimiento cicula y uno vetical. Peíodo T es el tiempo que demoa una patícula en da una vuelta. Paso p es el desplazamiento vetical de la patícula en un peíodo de tiempo T. es el adio de la tayectoia cicula que sigue el positón. 18

19 Plan de solución B En este caso debemos descompone la velocidad de la patícula en dos componentes una paalela al campo magnético y ota pependicula al mismo. La componente de la velocidad pependicula v! al campo es la que detemina el movimiento cicula de la patícula y po lo tanto con ella se puede detemina el adio. La componente de la velocidad paalela v II al campo detemina el desplazamiento vetical de la patícula y po lo tanto con ella se puede detemina el paso de la tayectoia. Recodemos la expesión de la fueza magnética: F = q v! B Tenemos entonces que la fueza magnética vetical en este caso es nula ya que la componente paalela de la velocidad foma ceo gado con el campo magnético. Po lo tanto el movimiento vetical del positón es un movimiento unifome. v! v v II Solución Calculaemos en pime témino la velocidad con que el positón peneta al campo magnético. K = 1 2 m v2 entonces v = 2K m v = 2. 7!10 7 m / seg a) T = 2!m qb T = 3.6!10 "10 seg b) p = v II T = vcos 89 T p = 0.17!10 "3 m c) = m v " q B = m v sen89 q B = 1.5!10 "3 m 19

20 Poblema 3 Se tiene un alambe que tiene la foma indicada en la figua, si po el cicula una coiente i y está ubicado pependiculamente a un campo magnético B, enconta la fueza total que actúa sobe dicho alambe. Solución Subdividimos el alambe en cuato tamos y dibujamos en cada uno de ellos la fueza magnética. Tenemos F 1 F = i l! B = F 2 = F 3 = F 4 l! B l = a = iab sen90 = iab F 1 = F 1 ˆ j F 2 =! F 2 cos 30 i ˆ + F 2 sen30 ˆ j F 3 = F 3 cos 30 ˆ i + F 3 sen30 ˆ j F 4 = F 4 ˆ j F T = (! F 2 cos30 + F 3 cos30 )ˆ i + F sen30 + F sen30 + F ! F T = # 2iaB sen " + 2iaB $ & ˆ j = 3 iab ˆ j % 1 2 ( F 1 ) ˆ j F T = 3 iab j ˆ 20