Elcampomagnético 1. Tema Introducción

Transcripción

1 Índice Geneal 6 El campomagnético Intoducción Elcampomagnético B Movimientodepatículascagadasenuncampomagnético Campomagnéticounifome: movimientodeciclotón Campomagnéticonounifome: FuezadeLoentz Aplicacionesdelmovimientodepatículasencampos Selectodevelocidades Espectómetodemasas Fuezamagnéticasobeunconductoquetanspotacoiente Momentodefuezasobeunaespiaconcoiente Momentodipolamagnético Vesión2010 1

2 Tema6 Elcampomagnético Intoducción Desaollo históico del magnetismo: Aunque en Occidente la bújula(una aguja imantada que puede gia libemente) se comienza a usa haciaelaño1000,sesuponequeenchinaseconocía desde hace unos 3000 años. Los conocimientos occidentales sobe los imanes comienzan en la antigua Gecia (año 500 a. C.), donde, de acuedo con la leyenda, un pasto llamado Magnes descubió que lapuntadehieodesubastónseveíaataídapo algunas ocas mineales; con posteioidad, a estas ocas se las llamó magnetitas (Fe 3 O 4 ) y fueon los pimeos imanes conocidos. En 1269 Piee de Maicout(Pete Peeginus) ealizó vaios epeimentos con una esfeademagnetita,compobóquesisesituabauna bújula en su supeficie, la aguja siempe se oientaba siguiendo unas líneas que teminaban en dos puntosalosquedenominó polos yqueestaban situados en dos puntos diametalmente opuestos de la esfea. Es en estos polos donde la fueza magnética es más intensa. Más adelante se demostó que todo imán tiene dospolos,llamadospolonoteypolosu,quepesentan fenómenos de atacción y epulsión similaes a los pesentados po las cagas elécticas: polos distintos se ataen y polos iguales se epelen. En 1600 Gilbet amplió los epeimentos a un conjunto de mateiales que pesentaban popiedadesmagnéticasenmayoomenogadoypostuló quelatieaeaunganimánpemanente. Entono al año 1750 John Michell ealizó vaios epeimentos cuantitativos paa medi la intensidad de la fueza magnética mediante una balanza de tosión. Llegó a la conclusión de que, análogamentealafuezadecoulomb,lafuezamagnética es invesamente popocional al cuadado deladistanciaquesepaalospolos. Así mismo, descubió que no es posible obtene polos magnéticos sepaados: cuando se divide un imán no sesepaansuspolosnoteysu,sinoquesiempe seceandosnuevosimanes,cadaunodeelloscon sus polos note y su. En Electostática sí eisten cagas positivas y negativas sepaadas. La elación ente el magnetismo y la coiente eléctica fue descubieta po Oested en 1819 cuando en una epeiencia demostó que una coiente eléctica ea capaz de desvia la aguja de una bújula cecana. Poco después, Ampèe (1820) popuso que si una coiente tenía el mismo efecto que un imán, también ente dos coientes tenían que poducise los mismos fenómenos de atacción y epulsión que se poducían ente dos imanes. Midió, usando una balanza de tosión, estas fuezas y fomuló la ley que lleva su nombe y que descibe cuantitativamente las fuezas que se ejecen coientes elécticas ente sí. Po último, postuló que los efectos magnéticos de los imanes se debían a coientes de tipo micoscópico o molecula, algo que fue confimado más de 100 años después po la Mecánica Cuántica. En esa misma década, Faaday y Heny, taba- 2

3 6.2Elcampomagnético B 3 jando de foma independiente, descubieon una coneión adicional ente la electicidad y el magnetismo: cuando movían un imán en las poimidades de un cicuito(vaiaban el campo magnético que atavesaba el cicuito) se inducía en el cicuito una coiente eléctica. Asimismo, cuando modificaban el valo de una coiente en un cicuito se inducía una coiente en oto cicuito cecano. Es deci, un campo magnético es capaz de poduci un campo eléctico. En 1860 Mawell mostó teóicamente el efecto complementaio: un campo eléctico es capaz de poduci un campo magnético y fomuló las conocidas ecuaciones de Mawell. Estas ecuaciones pedicen la eistencia de ondas electomagnéticas que se popagan con la velocidad de la luz,esultadoapatidelcualpostulóquelaluzea una onda electomagnética. Las ondas electomagnéticas fueon geneadas y detectadas con posteioidad po Hetz. Las ecuaciones de Mawell(son 4) unifican la electicidad y el magnetismo en una teoía única: a pati de ese momento la electostática y la magnetostática no son más que casos paticulaes de estas ecuaciones: se poducen cuando se considean fenómenos que no vaían con el tiempo. En nuestos días, el magnetismo tiene una infinidad de aplicaciones: electoimanes, contactoes, geneadoes de coiente eléctica, motoes, tenes como el Maglev, etc. 6.2 Elcampomagnético B Concepto de campo magnético: Enlaegióndel espacioque odeaaunimáno una caga eléctica en movimiento se cea un campo magnético. La pesencia de dicho campo puede ponese de manifiesto, po ejemplo, mediante una bújula que puede gia situándose de manea que elpolonotedelaagujaapunteenladieccióndel campo magnético. Así mismo, las líneas de campo magnético pueden visualizase usando limaduas de hieo que al espolvoealas sobe los imanes sealineandemaneatangentealaslíneasdecampo magnético, tal y como se muesta en la figua 6.1. Cuando intodujimos el concepto de campo eléctico pesentamos las inteacciones elécticas en dos pasos: 1) Una distibución de caga eléctica en eposo Figua 6.1: Las limaduas de hieo espolvoeadas sobe un imán dibujan las líneas de campo magnéticoalalineasedemaneatangentealasmismas. poduceuncampoeléctico Eenelespacioque la odea. 2) El campo eléctico ejece una fueza F =q E sobe una caga q que se encuente en dicha egión del espacio. Ahoa intoduciemos el concepto de inducción magnéticaocampomagnético Bsiguiendoun poceso análogo paa la descipción de las inteacciones magnéticas: 1) Unacagaenmovimientoounacoientepoducen un campo magnético(además del campo eléctico) en es espacio que la odea. 2) Elcampomagnéticoejeceunafueza F sobe cualquie coiente o caga en movimiento que esté pesente en el campo. Enestetemanoscentaemosenestudiaelsegundo aspecto de la inteacción, es deci, la fueza queejeceelcampomagnéticosobeunacagaen movimiento. En el tema 7 estudiaemos el punto1,estoes,cómolascagasenmovimientoolas coientes poducen campos magnéticos. Como el campo eléctico, el campo magnético es un campo vectoial cada punto del espacio tendá un vecto de campo B asociado. Definiemos el campomagnético Benunpuntodelespacioentéminos de la fueza ejecida sobe un objeto pueba. Enestecasoelobjetopuebaseáunpatículade caga puntual q que se desplaza con una velocidad v.

4 6.2Elcampomagnético B 4 Fueza ejecida po B sobe una caga puntual en movimiento: Epeimentalmente se demuesta que la fueza magnética F poducida po un campo magnético B sobe la caga q que se desplaza con un velocidad vvienedadapo F m q >0 F =q v B (6.1) α Figua 6.2: Fueza magnética ejecida po el campo magnético B sobeunacagaq>0quese mueve con una velocidad v. La fueza magnética sobe una caga puntual tiene las siguientes popiedades: Magnitud: depende de la caga q, de la velocidadv, de lamagnituddel campo B y del ángulofomadopo vy B(ánguloα). F =q v B =q v B sinα Diección: viene dada po la diección del poducto vectoial v B es siempe pependiculaalplanofomadopo vy B. Sentido: el sentidode v B viene dadopo laegladelamanodeecha,potanto: - siq>0elsentidode F eselmismoqueel sentidode v B - si q < 0 el sentido de F es el opuesto al sentidode v B Si v y B son paalelos (α = 0) la patícula cagada se mueve de foma paalela al campo) la fueza magnética es nula. La fueza sobe una caga positiva tiene diección opuesta a la fueza sobe una caga negativa. v Difeencias y analogías ente la fueza eléctica y la fueza magnética: Es inteesante obseva las difeencias ente la ecuación(6.1)ylaquenosdescibelafuezaejecidapouncampoeléctico Esobeunacagapuntual q: Mientas que la fueza eléctica siempe actúa en la diección del campo eléctico, la fueza magnética siempe es pependicula al campo magnético. La fueza eléctica siempe actuaá sobe una patícula cagada mientas que la fueza magnéticasólolohaásilapatículacagadaestá en movimiento. Laslíneasdecampoelécticocomienzanenlas cagas positivas y teminan en las cagas negativas. Sin embago las líneas de campo magnético foman lazos ceados. La fueza eléctica ealiza un tabajo al actua sobe la patícula cagada peo la fueza magnéticano ealizatabajo. Estosedebe aque la epesión paa el tabajo ealizado en un desplazamiento elemental seía F d l= F vdt ycomolafuezaylavelocidadsonpependiculaes, el poducto escala y po lo tanto el tabajo esulta se nulo. Estoimplicaquelafuezamagnéticanoescapaz de suminista enegía a la patícula cagadaypolotantonopuedevaiasuenegía cinética, es deci no puede modifica el módulo del vecto velocidad. Sin embago si es capaz de modifica la diección del vecto velocidad. Unidadesdel campomagnético B: A pati de la epesión F = q v B podemos epesa la unidad de campo magnético en función de magnitudes fundamentales. LaunidaddelcampomagnéticoenelSIeseltesla (T) en hono a Nikola Tesla ( ), ingenieo sebio-ameicano. De esta manea, una caga de1culombioquesemueveconunavelocidadde 1m/s en el seno de un campo magnético de valo 1Tepeimentaunafuezade1N.Polotanto: 1T= N Cm/s = N Am

5 6.2Elcampomagnético B 5 En muchos casos, se suele emplea una unidad cgs quesedenominagauss(g)cuyaelacióncon lateslaes1t=10 4 G. Paahacenosunaideadelamagnituddeuntesla, diemos que el campo magnético teeste es del oden de 0.5 gauss mientas que en los laboatoios es elativamente simple llega a obtene valoes de 2.5T. Ejemplo1 Hallalafuezaqueseejecesobeun potónquesemueveconunavelocidad v= ˆm/senuncampomagnético B=2ẑT. F =q v B= ( ˆ ) (2ẑ) de donde F = ŷ N Ejemplo2 Un potón se mueve con una velocidad de 10 6 m/s siguiendo el eje y. Enta en una egión donde eiste un campo magnético contenido en el plano y, de valo 2T que foma un ángulo de 30 con el eje y. Halla la fueza magnética que se ejece sobe el potón al enta en la zona de campo magnético así como la aceleación. Repeti el ejecicio paa el caso en el que se tate de un electón. Datos: m p = kg., m e = kg. B z F me, v F m, p Figua 6.3: Fueza magnética ejecida po el campo Bsobeunpotón( F m,p )yunelectón( F m,e ). α B y y Enlafiguasepuedevelaepesentacióngáfica de los vectoes velocidad y campo magnético. Como B =2entonces poloque B y = 2cos30 = 3 B = 2sin30 =1 B=ˆ+ 3ŷ a)paaelcasodelpotón: F p = q p v B = ( ŷ ) (ˆ+ 3ŷ) = ẑ N F a p = p = ẑ m p = ẑ m/s 2 b)paaelcasodelelectón: F e = q e v B = ( ŷ ) (ˆ+ 3ŷ) = ẑ N a e = F e m e = ẑ = ẑ m/s 2 Ejemplo 3 Al medi el campo magnético teeste en un punto de la supeficie se obtiene un valo de la magnitud de 0.6 G y una diección paa el vecto que, estando contenida en el plano del meidiano,fomaunánguloconlahoizontalde70. Un potón con caga q = 1, C se mueve hoizontalmente y con diección note, con v = 10 Mm/s. Halla la fueza magnética que se ejece sobe el potón. Ve figua.

6 6.3 Movimiento de patículas cagadas en un campo magnético 6 O S F m + q v Figua 6.4: 70º Asignamos a la diección Su e y a la diección Este, mientas que z seá la vetical. Po tanto, v=v ˆ= 10 7ˆ m/s B=B ˆ+B z ẑ=bcos70 ˆ Bsin70 ẑ T Po lo tanto, la epesión de la fueza magnética es F =q v B=q[v ˆ (B ˆ+B z ẑ)]= qv B z ŷ sustituyendo valoes numéicos esulta F = ( 10 7) ( 2sin70 )ŷ = ŷ N 6.3 Movimiento de patículas cagadas en un campo magnético Campo magnético unifome: movimiento de ciclotón. 1. Caso vpependicula a B: Consideamosunapatículadecagaq>0moviéndose con velocidad v en el seno de un campo magnéticounifome B demaneaque,inicialmente, vy Bsonpependiculaes(supondemosquela N E diección de B es pependicula al plano del papel talycomosemuestaenlafigua6.5) v +q F +q F v B Figua 6.5: Tayectoia cicula de una patícula cagada(q>0)quesemueveconunvectovelocidad vpependiculaalcampo B. Los vectoes v y B son pependiculaes, de modo quelafuezamagnética F tienemagnitudf =qvb ydiecciónpependiculaa vy B. Lapatículase desplazabajolainfluenciadedeunafuezademagnitud constante que es siempe pependicula a v poloquenopuedecambialamagnituddelavelocidad,sólosudiección. Enlafigua6.5sepuede vecomolasdieccionestantode vcomode F vaían continuamente. Sin embago la magnitud de la velocidad es constante. Po lo tanto, la tayectoia que sigue la patícula es una cicunfeencia cuyo plano es pependicula al campo magnético. Si la caga es positiva, el sentido de otación seá contaio a las agujas del eloj (figua 6.5). Si la cagaesnegativagiaáenelsentidodelaagujas del eloj. Esta fueza debe se idéntica a la popocionada po la aceleación centípeta v 2 /R po lo que, de acuedoconlasegundaleydenewton F +q F = q v B =q v B = mv2 R dondemeslamasadelapatículayreladiode la tayectoia. Despejando el R obtenemos: R= mv q B La fecuencia angula de gio es ω= v R =B q m

7 6.3 Movimiento de patículas cagadas en un campo magnético 7 y el peiodo de evolución: T = 1 f = 2π ω = 2πm q B De los esultados anteioes se deduce que ni ω ni T dependen de la velocidad de la patícula ni del adio. Sin embago, ambas son función de la elación q/m. A la fecuencia f se la conoce como fecuencia de ciclotón po emplease en un dispositivo aceleado de patículas llamado ciclotón. 2. Caso vnopependiculaa B En el caso de que v no sea pependicula a B, sino que fome un cieto ángulo con éste, siempe es posible descompone el vecto velocidad en dos componentes: Campo magnético no unifome: Cuando las patículas cagadas se mueven en campos magnéticos no unifomes se poducen movimientos muy complejos: Botellas magnéticas: Eselcasodelaspatículas que se mueve enun campo magnético nounifomequeesmásintensoenlosetemos ymásdébilenlapatecentalcomoelpoducido po dos lazos de coiente sepaados una cieta distancia. Como se muesta en la figua 6.7, las patículas cagadas se mueven giando en espial hasta alcanza un etemo, donde invieten su tayectoia dando luga en un movimiento peiódico hacia adelante y atás. Esta configuación se conoce como botella magnética debido a que las patículas cagadas pueden queda atapadas en ellas. v= v + v Una de ellas, v, paalela a B y po tanto no seía afectada po éste y la patícula no sufiía modificación de esa componente de la velocidad, po lo que tendeía a segui una tayectoia ecta. Otaseíapependiculaalcampo, v,ypotanto, debido a esta componente la patícula estaía sometidaaunafuezapependiculaa Bya vpo lo que tendeía a descibi una cicunfeencia. El movimiento total seía entonces una composición de ambos: una ecta y una cicunfeencia pependiculaes ente sí, es deci, se descibiía una hélice,talycomosemuestaenlafigua6.6 q z y +q Figua 6.6: Tayectoia helicoidal de una patícula cagada que se mueve con un vecto velocidad v que tiene una componente paalela al campo B. Figua 6.7: Botella magnética: las patículas cagadas se mueven giando en espial en un campo magnético no unifome en el que quedan atapadas. BandasdeadiacióndevanAllen: elcampo magnético no unifome de la Tiea atapa patículas cagadas pocedentes, pincipalmente, del Sol. Estas patículas quedan confinadas en los denominados cintuones o bandas deadiacióndevanallen, quesonegionesa una altua de vaios kilómetos de la supeficie teeste en las que potones y electones

8 6.3 Movimiento de patículas cagadas en un campo magnético 8 se mueven en espial desde el polo note al polo su. Ceca de los polos las patículas pueden escapa de estas bandas hacia la atmósfea, poduciendo las auoas boeales o auoas austales. Figua 6.10: Auoa austal. Imagen captuada po un satélite de la NASA el 26 Abil Ejemplo 4 Un potón se mueve en una óbita Figua 6.8: Cintuones o bandas de van Allen. Son cicula de 14 cm de adio en un campo magnétiáeas en foma de anillo de supeficie tooidal en co unifome de 0.35 T de manea que está diigido las que potones y electones se mueven en espial pependiculamente a la velocidad del potón. a) Halla la velocidad del potón. b) Si en luga del ente los polos magnéticos de la tiea. potón se moviea un electón, con la velocidad anteio, cuál seía el adio de su óbita cicula?. a) Como R= se deduce que v= mv qb RqB mp po tanto v ( m)( C)(0, 35T) 1, kg 6 = m/s = b) En este caso R= Figua 6.9: Auoa boeal en Bea Lake (Alaska). 18 Febeo de me v = qb m

9 6.5 Aplicaciones del movimiento de patículas en campos 9 Ejemplo 5 Se diseña un epeimento paa medi la intensidad de un campo magnético. Pimeo los electones se acelean mediante una difeencia de potencial de 350 V. Posteiomente se intoducen enlaegiónenlaqueactúael campomagnéticoa medi, desviándose el haz de electones y fomandounacicunfeenciadeadio7.5cm. Sielcampo magnético es pependicula al haz, cuál es su magnitud?. Cuál es la fecuencia angula de gio de los electones? El campo eléctico ceado po la d.d.p acelea los electones tansfiiéndoles una enegía cinética de manea que 1 2 mv2 = e V de donde 2 e V 2( v = m = 19 )(350) = m/s Como R= mv qb sepuedeobtenebdelafoma B = mv e R = ( )( ) ( )(0.075) = T Asuvez,lafecuenciaangulaωseía ω= v R = = ad/s 6.4 Fueza de Loentz Cuando una patícula cagada se mueve con velocidad v en pesencia tanto de un campo eléctico E comodeuncampomagnético B lafuezatotal sobe la patícula cagada se obtiene po supeposicióndelafuezaelécticaq Eydelafuezamagnéticaq v B. Enesecasolafuezatotalseconoce comofueza deloentzyvienedadapo: F =q E+q v B 6.5 Aplicaciones del movimiento de patículas en campos Veamos algunas aplicaciones de los pincipios vistos en este capítulo Selecto de velocidades No todas las patículas cagadas poducidas po un cátodo se desplazan con la misma velocidad, y sin embago, a veces conviene dispone de patículas cagadasquesemuevanalamismavelocidadcomo en el caso del espectómeto de masas que veemos mas adelante. Las patículas que viajan con una deteminada velocidad pueden seleccionase utilizando una disposición de un campo eléctico y uno magnético pependiculaes conocida como selecto de velocidades yquesemuestaenlafigua6.11. Fuente E + q v qv B +q qe Figua 6.11: El selecto de velocidades utiliza dos campos Ey Bpependiculaes. Sólolaspatículas conunavelocidadv=e/bnosedesvían Unpadeplacaspaalelasconductoasalasque seaplicaunad.d.p. danlugaauncampoeléctico diigido hacia abajo, mientas que un campo magnético se aplica pependiculamente a la supeficie delpapel. Paaunacagaq>0conunavelocidad vlafuezaelécticaq Eestaíadiigidahaciaabajo, mientasquelafuezamagnéticaq v Bloestaía hacia aiba. Si ambas fuezas fuean iguales la patícula se moveía hoizontalmente, es deci si qvb =qe se deduce que v= E B

10 6.5 Aplicaciones del movimiento de patículas en campos 10 Sólolaspatículasconesevalodevpuedenpasa sin se desviadas po los campos. Enlaspatículasconvelocidadmayoquelaindicada, la fueza magnética pedomina y la patícula se desvía hacia aiba, mientas que paa las patículas con velocidad infeio a v, es la fueza eléctica la que pedomina y la patícula se desvía hacia abajo. Ejemplo6 Un potón se mueve en la diección en una egión donde hay un campo eléctico E = ẑn/c y un campo magnético B = 3000ŷG. a) Halla la velocidad del potón enel caso de que éste no se desvíe. b) En el caso de que el potón se moviea con una velocidad doble de la hallada en el caso a, en qué diección se desviaá? v z = qe F e q >0 F m Figua 6.12: y = qv B v= E B = =666,7 km/s Sisemueveconvelocidaddoblequelaanteio, la fueza magnética pedominaía sobe la eléctica con lo que se desviaía en diección opuesta al campo eléctico, es deci hacia las z negativas Espectómeto de masas Este dispositivo fue diseñado po F.W. Aston en 1919comounmediopaamedilamasadelosdistintos isótopos. Hace uso de la distinta elación masa-caga de cada isótopo. Aunque eisten divesas vesiones veemos aquí la conocida como espectómeto de masas de Bainbidge. Unhaz de iones pasa po unselectode velocidadesconcampos E y B cuzadosquebloqueael paso de aquellas patículas cuya velocidad no sea v=e/b.acontinuación,penetaenunaegiónen laqueeisteunsegundocampomagnético B 0 pependiculaalplanodelpapel,talycomosemuesta enlafigua6.13. E B + q v 0 Figua 6.13: Espectómeto de masas: el haz de iones pasa pimeo po un selecto de velocidades y acontinuaciónentaenunaegióncon uncampo B 0 El ión epeimentaá una fueza que povocaá un cambio en su tayectoia que se convetiá en semicicula, con un adio que dependeá de la elación masa-caga. Como R= mv qb 0 se deduce m q = RB 0 = RB 0B v E ComoB 0 yvsonconocidos,midiendorsepuede detemina m/q. Como habitualmente se conoce po otos pocedimientos la caga del ion, es posible detemina su masa y caacteiza así los distintos isótopos. Con un sistema paecido al descito J.J.Thomson deteminó la elación e/m. R

11 6.6 Fueza magnética sobe un conducto que tanspota coiente 11 Ejemplo7 Un haz de iones Ni 58 de caga +e y masa 9, Kg se acelean haciéndoles pasa pimeo a tavés de un selecto de velocidades y después en un espectómeto de masas. Los valoes del campo eléctico y del campo magnético en el selecto de velocidades son E = 12000V/m y B = 0,12T. El campo magnético del espectómeto vale también 0,12T. Halla: a) La velocidad de los iones que ataviesan el selecto. b) Los adiosdecuvatuadelasóbitasdelosionespaael casodeni 58 yni 60 (m=9, Kg). c) La difeencia ente estos adios. La velocidad de los iones que ataviesan el selectoes v= E B = =10 5 m/s La epesión de los adios de cuvatua seía quepaaelni 58 R= mv qb R 1 = ( )(10 5 ) ( )(0.12) =0.5 m mientasquepaaelni 60 es R 2 = ( )(10 6 ) ( )(0.12) =0.517 m La difeencia de adios R 2 R 1 =0,017 m=1.7 cm las cagas que se tansmitiá al mateial del hilo demaneaquesobeésteeistiáunafuezadetipomagnéticoqueseálaesultantedelasumade todas y cada una de las fuezas magnéticas individuales que el campo magnético ejece sobe cada caga. Es posible halla una epesión matemática que decuentadelamagnitudydieccióndeestafueza. (a) (b) (c) F m q >0 d F m dq dτ d F m = qv B α B =dqv B α B = Idl B Idl Figua 6.14: Fueza magnética sobe una caga puntual(a),sobeunelementodecaga(b)ysobe un elemento de coiente filifome(c). La fueza magnética ejecida po una inducción magnética B sobe una caga puntual q con velocidaddedeiva v: v v F m =q v B 6.6 Fueza magnética sobe un conducto que tanspota coiente En un hilo conducto que conduce una coiente eléctica hay cagas en movimiento. Si un campo magnético ejece una fueza sobe una patícula cagada en movimiento, cuando un hilo que conduce una coiente esté bajo la acción de un campo magnético se ejeceá una fueza magnética sobe Sienvezdeunacagapuntualconsideamosun elemento de caga dq, la fueza magnética esultantees d F m =dq v B Teniendoencuentaquedq=Idt,lafuezasobe un elemento de coiente filifome es d F m =Idt v B=Id l B Si la coiente filifome tiene una longitud finita definida desde un punto inicial A hasta un punto

12 6.6 Fueza magnética sobe un conducto que tanspota coiente 12 final B, la fueza magnética total sobe dicha coiente es F m = B A d F m = B A ( ) Id l B Ejemplo8 Un alambe de 3mm de longitud tanspota una coiente de 3A en la diección. Yace en un campo magnético de magnitud 0,02T queestásituadoenelplanoy yfomaunángulo de 30 con el eje. Cuál es la fueza magnética ejecida sobe el alambe?. I L B dl z F m A L α y Figua 6.15: La fueza magnética sobe un conducto cuvo en un campo magnético unifome es equivalente a la fueza sobe un segmento ecto de longitud L. Enelcasodequelainducciónmagnéticaseaunifome, la epesión anteio se educe a ( ) B F m =I d l B A donde el contenido ente paéntesis es la integal de una magnitud vectoial que se foma mediante la suma de todos los desplazamientos elementales desde A hasta B po lo que el esultado seía un vecto LquevadesdeAhastaB.Polotanto,comosemuestaenlafigua6.15lafuezamagnética sobe el conducto en un campo magnético unifome es equivalente a la fueza sobe un segmento ecto de longitud L: F m =I L B Figua 6.16: La fueza magnética es F =I L B=ILBsin30 ẑ= ẑ N Ejemplo9 Un alambe tiene la foma de un lazo semicicula de adio R y yace en el plano y. Tanspota una coiente I tal y como muesta la figua. Hayuncampomagnéticounifome B=Bẑ pependicula al plano del lazo. Halla la fueza que actúa sobe el lazo semicicula. z Además, si la coiente foma un lazo ceado ( ) F m =I d l B=0 } {{ } =0 R dφ Idl y es deci, la fueza magnética total sobe un lazo ceadodecoientequeseencuentaenelsenode un campo magnético unifome es nula. Figua 6.17:

13 6.7 Momento de fueza sobe una espia con coiente 13 La fueza sobe un elemento difeencial del lazo es d F =Id l B Enestecaso,elelementodelíneavaled l=rdφˆφ, luego d F = ( ) IRdφˆφ (Bẑ)=IRBdφˆρ Lafuezatotalsobeellazovale +π/2 F = d F = (IRBˆρ)dφ π/2 π/2 = IRB ˆρdφ π/2 El vecto unitaio ˆρ depende de la coodenada φ de integaciónypo tanto no puede sacase de la integal. Paa ealiza esta integal hay que epesa ˆρ en el sistema catesiano, esto es, ˆρ = cosφˆ+ sinφŷ.entonces,lafuezaesulta ( +π/2 π/2 ) F = IRB cosφdφˆ+ sinφdφŷ π/2 π/2 [ ] = IRB (sinφ) +π/2 π/2 ˆ (cosφ) +π/2 π/2ŷ = 2IRBˆ N Enlazonaectadelhilo,lacoientetienediecciónyelcampodieccióny poloquelafueza sobeesapatees F 1 =I L B=2IRBẑ Paa halla la fueza sobe la pate cuva, planteaemos pimeo la difeencial de fueza d F 2 que se ejece sobe un elemento d l. Si el ángulo φ es el fomado po B y d l, y viendo que la diección de lafuezadebesepependiculaa B yd lydiigidahaciaadento,esdecihacialasz negativas,se obtiene df 2 = Id l B= ( ) IRdφˆφ (Bŷ)= = IRBdφ( sinφˆ+cosφŷ) ŷ = IRBsinφẑ La fueza total sobe la zona cuva se obtendía integando la epesión anteio tomando como vaiable de integación φ que vaiaía desde 0 hasta π ( π F 2 = IRB 0 ) sin φdφ ẑ= 2IRBẑ yvemoscomolasdosfuezassumadasdanceo. Ejemplo10 Un hilo doblado en foma de semicículo de adio R foma un cicuito ceado que conduce una coiente I. El cicuito se encuenta situado en el plano y estando pesenteun campo magnéticounifome Bcondieccióndelasypositivas,talycomomuestalafigua. Hallalafueza magnética sobe la pate ecta del hilo y sobe la pate cuva. I z I R Figua 6.18: y 6.7 Momento de fueza sobe una espia con coiente Hemos visto en el apatado anteio que un campo magnético ejece una fueza sobe un hilo que tanspota coiente. Consideemos una espia plana,ectangula,polaquepasaunacoientei de foma que la espia pueda gia entono a uneje contenido en su plano. Dicha espia está inmesa en uncampomagnético Bunifomepoloquelafueza total sobe la espia es ceo, peo puede habe un momento de tosiónque actúa sobe la espia. Este fenómeno es la base de funcionamiento de los motoes elécticos. Lasdimensionesdelaespiasonlywdemanea que el áea del ectángulo fomado es S = lw. Lageometíadelpoblemasemuestaenlafigua 6.19 con dos pespectivas distintas. En la pimea

14 6.7 Momento de fueza sobe una espia con coiente 14 pespectiva el planodela espiayel campomagnético son pependiculaes mientas que en la segundapespectivalanomalalplanodelaespiay el campo magnético foman un ángulo θ. O F 3 θ w l (a) F 1 1 O (b) F 1 F 2 θ F 2 I S w F 4 O' Figua 6.19: Fuezas sobe una espia de coiente enuncampomagnéticounifome B.Lafuezaesultanteesceo. a)elmomentodetosiónesceo cuando B y S son paalelos(posición de equilibio). b)laespiagiabajolaaccióndeunmomentoneto quevaleτ p =ISBsinθ. Analizaemosquesucedeencadaunodeloscasos. Conviene, paa hace estos análisis, usa el vecto supeficie S de la espia cuyo módulo es S yladiecciónpependiculaalplanodelaespiay con sentido dado po el avance del tonillo cuando éste gia en el mismo sentido en el que lo hace la coiente que tanspota la espia(egla de la mano deecha) En el pime caso mostado en la figua 6.19.a, S y B tienen la misma diección y sentido. Las fuezassobelosladossupeio F 1 einfeio F 2 son igualesenmóduloyopuestasdemaneaque F 1 =F 2 =IlB siendo la suma de ambas fuezas ceo. Delamismamanealasfuezassobelosdosladosdelongitudw, F 3 y F 4 sonigualesenmódulo, IwByopuestasendiecciónpoloquesuesultantetambiénesceo. Potanto,lafuezatotalsobe la espia es ceo. Sin embago, Las cuato fuezas están diigidas hacia afuea de la espia, ejeciéndosecadaunasobeunladodistintopoloqueel conjunto de fuezas tiende a cambia la foma de la espia defomándola; si ésta es suficientemente ígida no se defomaía. Otoefectoquesepuedeobsevaesquelasfuezas mencionadas pueden poduci un momento de fuezas de manea que si la espia fuea libe de gia en tono a un eje, este momento poduciía ungiodelaespia. Asípoejemplo,tomemosun posible eje de gio que esté contenido en el plano delaespiayseasiempepependiculaa Bcomo elejeoo quesemuestaenlafigua. Pensemos ahoa en que patiendo de la posición macada en la figua 6.19.a giamos la espia un ánguloθdemaneaqueelvectosupeficie S yel campo magnético B ya no son paalelos. La situación se descibe gáficamente en la figua 6.19.b. Ahoalasdosfuezas F 1 y F 2 tiendenahacegia laespiaentonoalejeoo demaneaquedevuelvanlaespia alaposicióndeequilibiodescitaen la6.19.a. Pootapate,lasfuezas F 3 y F 4 sonpaalelasalejeoo demaneaquenopoducenningúnmomentopoloquesuefectocontinúasiendo únicamente el de tata de defoma la espia. Apatidelafigua6.19.bsepuededeteminael momentopoducidopolafueza F 1. Ladistancia pependicula desde el eje hasta la línea de acción delafuezaes = 1 2 wsinθ yelmomentoejecidopo F1 : τ 1 = 1 F 1 = F 1 = 1 2 wf 1sinθ = 1 2 wilbsinθ Estemomentotiendeahacegialaespiaenel sentido de las agujas del eloj. También la fueza F 2 tiene un momento especto al mismo eje en el mismo sentido e igual módulo que el poducido po F 1. Polotantoelmomentototalseíalasumade

15 6.7 Momento de fueza sobe una espia con coiente 15 ambos momentos iguales, es deci τ p =wilbsinθ=isbsinθ S cons=wl. Bajolaaccióndeestemomentolaespiagiaá enel sentidode lasagujas del eloj, haciendoque la diección de S y B se apoime, es deci, disminuyendoelánguloθypotantolamagnituddel momentoquesehaceceocuando Sy Bseanpaalelos,loquenosllevadenuevoalaposición6.19.a, que es una posición de equilibio. La ecuación anteio se puede pone de foma vectoial de la manea siguiente: τ p =I S B ecuación que se puede aplica a cualquie posicionamiento de la espia especto al campo magnético. Cuandoenvezdeteneunasolaespiasedispone de una bobina con N espias este momento se ejeceásobelasn espiaspoloqueelmomento total seía τ p =NI S B donde ecodemos que el sentido del vecto S viene deteminadopolaegladelamanodeechacomo semuestaenlafigua6.22. Este momento de fueza que poduce un movimiento de otación de la bobina pemite un gan númeo de aplicaciones pácticas siendo la base de funcionamiento de los motoes elécticos o de los dispositivos analógicos de medida de tensión, coiente o esistencia. Ejemplo11 Un lazo cicula de adio 2cm tiene 10 vueltas y tanspota una coiente de 3A. El ejedel lazofomaunángulode30 conuncampo magnético de magnitud 8000 G. Halla la magnitud delpasobeellazo. τ p =NI S B =NISBsinθ= Nm R Figua 6.20: Geometía del poblema. Ejemplo 12 Un moto eléctico sencillo tiene una bobinaciculade15mmdeadioy100vueltaspo la que cicula una coiente de 65 ma. El campo magnéticoenelqueestáinmesaesunifomeyde valo B =23mT. En un deteminado instante la bobina se encuenta oientada de manea que su vecto S foma un ángulo θ = 25 con el campo como se obseva en la figua. La bobina puede gia alededo de un eje pependicula a S y a B quepasa po su cento. a) Halla el valo y la diección del momento de fueza sobe la bobina en eseinstante. b) Cómoseáτ p siseinvietelacoiente?. c) Paa qué oientación de la bobina es τ p máimoypaacualmínimo? a) τ p = NI S B = Nm Ladieccióndelmomentoeslade S B quees pependicula al plano del papel y entando. b)ladieccióndel momentoesulta selacontaia. c)elmáimovalodelmomentosealcanzacuandosinθ=±1,esdeci,cuandoθ=±90. Paaeste ánguloelvalodelmomentoes τ p =NISB= Nm Elvalomínimosepoducepaaθ=0,esdeci, cuando S y Btienenlamismadiección Momento dipola magnético Definición de momento dipola magnético: Yahemosvistoquelafuezanetasobeunaespia θ

16 6.7 Momento de fueza sobe una espia con coiente 16 de coiente en un campo magnético unifome es ceo.sinembagoeisteunpaquetiendeagiala. Asíunabobinasuspendidadeunhiloveticale inmesa en un campo magnético unifome como la que se muesta en la figua 6.21.a tendeá a gia paa alinease con el campo. El mismo compotamientoseobsevacuandoenvezdeunabobinase suspendedelhilounimáncomomuestalafigua 6.21.b. de tosión que tendeá a gia el dipolo paa alinealoconelcampo,siendo τ = p E,donde pes elmomentodipolaquesedefinecomo p=q l. m S I S S (a) (b) (c) N E p I Figua6.21: Alineamientodeunabobina(a)yde un imán (b) en un campo unifome B. Analogía con el alineamiento de un dipolo eléctico en un campo eléctico unifome E (c). Figua 6.22: Regla de la mano deecha paa deteminaladieccióndelmomentomagnético myel vecto S. El momento de tosión sobe una bobina de N vueltas, áea S y con una coiente I venía dado po: τ p =NI S B Paa dispone de una epesión del momento que sea aplicable a imanes es conveniente defini el llamado momento dipola magnético m como m=ni S de foma que el momento de tosión puede escibise como τ p = m B Lasunidadesde menelsisona m 2.Ladiección y el sentido de m coinciden con la del vecto S y viene deteminado po la egla de la mano deecha, cuandosegianlosdedosenelsentidodelacoienteel pulgaapuntaenladieccióndelosvectoes my S comosemuestaenlafigua6.22. Es inteesante nota que dicha situación es análogaalaquesemuestaenla6.21.c,enlaquetenemos un dipolo eléctico situado en un campo eléctico Eunifome. Enesecasoeistiáunmomento