d AB =r A +r B = 2GM

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1 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 1 [a] Enuncia la tecea ley de Keple y compueba su validez paa una óbita cicula. [b] Un satélite atificial descibe una óbita elíptica alededo de la Tiea, como se indica en la figua. Las velocidades en los extemos del eje mayo son v A y v B. Si la masa de la Tiea es M y la constante de la gavitación G, calcula la distancia AB. [c] Explica azonadamente si v A es mayo, igual o meno que v B. Tiea A B [a] Compueba que a pati de la tecea ley de Keple se puede deduci la ley de gavitación univesal. [b] En pime luga, se dibuja las velocidades, elativas al satélite, en los puntos A y B. vb A A Tiea B B v A El movimiento del satélite está egido po dos leyes de consevación: la del momento angula y la de la enegía mecánica. En consecuencia, se cumple que: A mv A = B mv B A v A = B v B B 1 mv A GMm A = 1 mv B GMm De la 1ª ecuación se deduce que:, simplificando se llega a: B v A GM A =v B GM ; llevando este esultado a la ª ecuación, escita A = v B v A B en la foma v B v A =GM( 1 B 1 A ), queda: v B v A =GM( 1 B v A v B B ) ; v B v A =GM( v B v A, de donde se puede obtene el valo de B : v B B ) B = GM(v B v A ) v B v b v A = GM(v B v A ) v B (v B v A )(v B +v A ) = GM v B (v B +v A ). El valo de A es, entonces, A = GM v A (v B +v A ) d AB = A + B = GM. Po lo tanto, la distancia AB es:. [c] El satélite evoluciona sometido a la acción de una fueza cental; en consecuencia, el momento angula del satélite especto a la Tiea se conseva, esto es, A mv A = B mv B ; A v A = B v B ; como en el punto A el satélite se encuenta más ceca de la Tiea que en el punto B, la apidez en A es mayo que la apidez en B. v A v B fagm, septiembe 009 { 1 }

2 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad En los Juegos Olímpicos del año teeste 14 celebados en Mate, un atleta maciano obtiene la medalla de oo en salto de altua al supea el listón colocado a 5,75 m. [a] Calcula la gavedad en Mate. [b] Si las puebas olímpicas se hubiean ealizado en la Tiea, calcula la altua que hubiea podido salta el atleta maciano. DATOS: Constante de la Gavitación Univesal, G = 6, U.S.I., masa de Mate, M = 6, kg, adio de Mate, R = 3400 km, gavedad en la supeficie de la Tiea, g = 9,81 m/s². [a] Hay que entende, en pime luga, que gavedad en Mate significa intensidad del campo gavitatoio en su supeficie. Po lo tanto, g Mate =G M Mate 11 6,50$103 =6,67$10 =3,75. (3,4$10 6 ) kg [b] Se puede calcula la apidez con que el atleta maciano inicia el salto. De ente las ecuaciones del MRUA la más significativa ahoa es: v²-v o ² = a y; al aplicala al salto en Mate queda: 0 v o =$( 3,75)$5,75; v o =43,1; v o =6,57( m s). Paa calcula la altua en la Tiea aplicamos la misma ecuación, con la difeencia de que ahoa la incógnita es el desplazamiento vetical: 0 43,1 =$( 9,81)$ y y ; = 43,1 19,6 =,0m. R Mate fagm, septiembe 009 { }

3 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 3 La N.A.S.A. coloca en óbita cicula un satélite atificial de 300 kg de masa, de foma que un obsevado teeste, convenientemente situado, podía velo inmóvil en el fimamento. Este tipo de satélite se denomina geoestacionaio o geosincónico y se utiliza pincipalmente en comunicaciones. [a] Calcula el adio de la óbita y su altua especto a la supeficie teeste. [b] Detemina la enegía mecánica del satélite en su óbita. DATOS: Constante de la Gavitación Univesal, G = 6, U.S.I., masa de la Tiea, M = 5, kg, adio de la Tiea, R = 6370 km. [a] De la infomación del enunciado se deduce que el peiodo del satélite es de 4 h. Si se aplica la ª ley de Newton al satélite, se puede escibi: G M Tm =m ; po oto lado, sabemos que = T ; de ambas, simplificando la masa del satélite, se llega a: G M T = 4 ; ; 3 T 3 = GM TT 4 = 3 GM TT 4 =. La altua especto a 3 6,67$10 11 $5,97$10 4 $(8,64$10 4 ) 4 =4,$10 6 m =4.00km la supeficie teeste es: h = R T =4,$10 6 6,37$10 6 =35,8$10 6 m =35.800km. Vemos que los esultados son independientes de la masa del satélite y que la altua a que se encuenta un satélite geoestacionaio es casi seis veces el adio teeste (35800/6370 = 5,6). [b] La enegía mecánica de un cuepo que descibe una óbita cicula se calcula mediante: E m = G M Tm ; así que E m = 6.67$10 115,97$104 $300 $4,$10 = 1.4$10 9 (J). 7 fagm, septiembe 009 { 3 }

4 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 4 [a] Explica el concepto de enegía potencial gavitatoia. Qué enegía potencial gavitatoia tiene una patícula de masa m situada a una distancia de ota de masa M? [b] La enegía potencial gavitatoia de una patícula de masa m en las poximidades de la supeficie de un planeta, po ejemplo la Tiea, puede expesase en la foma apoximada E p = mgh, donde h es la altua especto a un cieto nivel de efeencia. En qué cicunstancias es válida esta expesión? El mencionado nivel de efeencia, debe se necesaiamente la supeficie del planeta? Razona tus contestaciones. [a] Consulta los apuntes de Física. [b] Si se toma como efeencia la supeficie del planeta, la enegía potencia gavitatoia de una patícula de masa m a una distancia del cento del planeta, de adio R, se calcula mediante: GMm U() = R = GMm[ 1 ]. Se cumple que, R =GMm[ 1 R 1 ]=GMm( R) R =R +h siendo h la altua de la patícula especto a la supeficie. En las poximidades del planeta, se puede hace la siguiente apoximación: =R +hjr, po lo que la expesión anteio se puede escibi como sigue: U =GMm h = GMmh, ya que. (R+h)R R =mg o h g o = GM R La condición que hemos impuesto es que la patícula se mueva ceca de la supeficie teeste; po oto lado, al hace la integal se ha supuesto que la enegía potencial gavitatoia es ceo en la supeficie del planeta. fagm, septiembe 009 { 4 }

5 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 5 [a] Escibe y comenta la Ley de Gavitación Univesal. [b] La Tiea tada un año en ealiza su óbita en tono al Sol. Esta óbita es apoximadamente cicula con adio R = 1, m. Sabiendo que G = 6, Nm²kg -, calcula la masa del Sol. [a] Consulta el libo de Física. [b] La Tiea evoluciona po la acción de la fueza de atacción gavitatoia del Sol; esta fueza se compota como fueza centípeta, po lo que, al aplica la ª ley de Newton al movimiento de la Tiea, queda: G M SM T =M ; la masa de la Tiea se puede simplifica T en esta expesión y, como = T, finalmente se llega a M S = 4 3. El peiodo del movimiento de la Tiea alededo del Sol vale: T =365(d as)$4 hoas s d a $3600 d a =3,15$10 7 (s). La masa del Sol es, entonces, 4 M S = $(1,49$10 11 ) 3 6,67$ $(3,15$10 7 ) =1,97$10 30 (kg) GT fagm, septiembe 009 { 5 }

6 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 6 Imagina un planeta sin atmósfea, pefectamente esféico, de adio R = 5000 km y masa M = kg. Desde su supeficie, se dispaa hoizontalmente un poyectil. G = 6, Nm²kg -. [a] Calcula la velocidad con que debe dispaase el poyectil paa que desciba una óbita cicula asante a la supeficie del planeta. [b] Explica qué es la velocidad de escape y calcúlala en nuesto caso. [a] Se aplica la ª ley de Newton al poyectil en su óbita cicula asante. El adio de esta óbita coincide con el adio del planeta, R. Se cumple que G Mm R =m v ; al simplifica, queda: R GM 6,67$10 11 $5$10 4 G M R =v ; v = R = 5$10 =8,17$10 3 ( m. 6 s ) m v M R $6,67$10 11 $5$10 4 [b] La velocidad de escape es la velocidad que hay que comunica a una patícula en la supeficie de un planeta paa que escape de su atacción gavitatoia. Se calcula mediante la expe- GM sión: v escape = R = 5$10 =1,15$10 4 ( m s). 6 Este esultado es coheente con el del apatado anteio: hace falta más enegía cinética paa lanza, desde la supeficie del planeta, un satélite al infinito que paa ponelo en óbita. fagm, septiembe 009 { 6 }

7 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 7 [a] Momento angula de una patícula: definición; teoema de consevación. [b] Un satélite atificial, de masa m = 00 kg, descibe una óbita cicula de adio R = 6700 km en tono a la Tiea. Calcula su momento angula especto al cento de la Tiea. Es constante? Po qué? DATOS: G = 6, Nm²kg - ; M T = 5, kg. [a] Véase el libo de Física. [b] El módulo del momento angula del satélite especto al cento de la Tiea se calcula mediante: L =Rmv, donde v es la apidez del satélite en su óbita. Esta apidez se puede calcula a pati de la ª ley de Newton aplicada al movimiento cicula del satélite: G M Tm R =m v, de donde se deduce que. En R v = R = 6,7$10 =7,7$10 3 ( m s) 6 consecuencia, L =6,7$10 6 (m)$00(kg)$7,7$10 3 ( m s) =1,03$10 13 kg$m s. GM T 6,67$10 11 $5,98$10 4 fagm, septiembe 009 { 7 }

8 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 8 La Luna es apoximadamente esféica, con adio R = 1, m y masa M = 7,3510 kg. [a] Calcula la aceleación de la gavedad en la supeficie luna. [b] Si se deja cae una pieda desde una altua de m sobe la supeficie luna, cuál seá su velocidad al choca con la supeficie? DATOS: G = 6, Nm²kg -. [a] La aceleación debida a la gavedad coincide numéicamente con la intensidad del campo gavitatoio, esto es, g o = GM R = 6,67$10 11 $7,35$10. (1,74$10 6 ) =1,6( kg ) [b] Se tata de un movimiento ectilíneo unifomemente aceleado; paa este ejecicio se puede utiliza la expesión: v v o =g o h; como la velocidad inicial es nula, v = $1,6$ =!,55( m s). En este caso, si consideamos positivas las magnitudes que apuntan hacia aiba, lo el signo - tiene sentido, así que la velocidad es -,55 (m/s). fagm, septiembe 009 { 8 }

9 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 9 [a] Enuncia la tecea ley de Keple y compueba que se cumple paa óbitas ciculaes en tono a un planeta esféico de masa M. [b] Los satélites de comunicaciones geoestacionaios desciben óbitas ciculaes en el plano ecuatoial de la Tiea. El peiodo de estas óbitas coincide con el de otación de la Tiea (un día), de foma que cada satélite geoestacionaio se encuenta siempe sobe el mismo punto del ecuado. Calcula el adio de esta óbita. DATOS: G = 6, Nm²kg - ; M T = 5, kg. [a] Se tata de deduci la 3ª ley de Keple a pati de la ley de la gavitación univesal y de las leyes de Newton de la dinámica. La fueza gavitatoia sobe un objeto en óbita cicula alededo de un planeta se compota como fueza centípeta, po lo que G Mm =m v, de donde se deduce que v = GM. Po oto lado, el peiodo del movimiento cicula del objeto es: T = v, po lo que T = 4 v ; al sustitui en esta igualdad el valo de la apidez antes calculado, se llega a: T = 4, expesión que coesponde a la 3ª ley de Keple. GM 3 [b] De la infomación del enunciado se deduce que el peiodo del satélite es de 4 h. Acabamos de ve que T = 4, de donde se deduce que 3 = GMT ; GM 3 = 3 GMT 4 = 3 6,67$10 11 $5,97$10 4 $(8,64$10 4 ) 4 4. =4,$10 6 m =4.00km fagm, septiembe 009 { 9 }

10 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 10 Una nave espacial, con los motoes apagados, descibe una óbita cicula de adio R =, m en tono a la Tiea. [a] Calcula la velocidad obital de la nave y el peiodo de la óbita. [b] Calcula la enegía cinética y la enegía potencial gavitatoia de la nave, de masa m = 510³ kg. [c] Cuánto tabajo tendían que ealiza, como mínimo, los motoes de la nave paa escapa de la atacción gavitatoia de la Tiea? Explica tu planteamiento. DATOS: G = 6, Nm²kg - ; M T = 5, kg. [a] Se aplica la ª ley de Newton a la nave espacial en su óbita cicula. La fueza gavitatoia sobe la nave espacial se compota como fueza centípeta, po lo que G M Tm =m v, de GM T 6,67$10 11 $5,98$10 4 donde se deduce que v = GM T ; v = =,55$10 =3,95$10 3 ( m s). El peiodo 7 es el tiempo invetido po la nave en una vuelta completa: T = v = $,55$107 3,95$10 =4,06$10 4 (s) =11,3(h). 3 [b] La enegía cinética es: E c = 1 mv = 1 5$103 $ (3,95$10 3 ) =3,90$10 10 (J). La enegía potencial gavitatoia vale: U = G M Tm = 6,67$10 11 $5,98$10 4 $5$10 3,55$10 = 7,8$10 10 (J) 7 [c] La enegía mecánica de la nave es: E m =3,90$10 10 (J) 7,8$10 10 (J) = 3,9$10 10 (J). Si se quiee que la nave escape de la atacción teeste, es deci, que llegue al infinito, debeá tene una enegía mecánica nula (sin enegía cinética ni potencial gavitatoia). En consecuencia, se debeá cumpli: E m,óbita +W motoes =E m, ; 3,9$10 10 (J) +W motoes =0; W motoes =3,9$10 10 (J). Este es el valo mínimo, ya que la nave llega al infinito con velocidad nula. fagm, septiembe 009 { 10 }

11 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 11 Tes patículas iguales de masa M están fijas en tes vétices de un cuadado de lado L. [a] Detemina el potencial gavitatoio en los puntos A y B, vétice vacante y cento del cuadado, espectivamente. [b] Si situamos una cuata patícula en el punto A y la soltamos con velocidad inicial nula, se moveá hacia B. Po qué? Detemina la velocidad de esta patícula cuando pase po B. Supón conocida la constante de gavitación univesal, G. M L B A M L M [a] El potencial gavitatoio del campo ceado po una patícula de masa M, a una distancia, se calcula mediante: V = G M. El potencial gavitatoio en el punto A es la suma de los potenciales gavitatoios asociados a las tes patículas; el punto A está de dos ellas a una distancia L, mientas que de la ota se encuenta a una distancia igual a la diagonal del cuadado: L. Po lo tanto, V total,a = G M L G M = 4GM L L GM L = GM(4+ ) L De manea simila se calcula el potencial gavitatoio en el punto B; en este caso, el punto se encuenta a la misma distancia de las tes patículas: L = L V total,b = 3 GM L = 3 GM L = 6 GM L ; en consecuencia, [b] Puede compobase que el potencia gavitatoio en A es mayo que el potencial gavitatoio en B; una patícula se mueve espontáneamente de los puntos de mayo potencial a los de meno potencial; po lo tanto, la cuata patícula se moveá de A a B. La simetía de la distibución sugiee que la cuata patícula se moveá según la diagonal que pasa po los puntos A y B. Paa detemina su velocidad en B tenemos en cuenta la consevación de la enegía mecánica: E m,a =E m,b ; mv A = 1 mv B +mv B ; al simplifica la masa de la cuata patícula, queda: V A V B = 1 v B ; v B =(V A V B ). Al sustitui los valoes de los potenciales gavitatoios se llega a: v B = GM(4+ ) L + 6 GM L = GM L ( 4 +6 ) =3,071 GM L 3GM L la patícula cuando pasa po B es, finalmente, v B =.. La velocidad de fagm, septiembe 009 { 11 }

12 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 1 [a] Escibe y comenta la Ley de Gavitación Univesal. [b] Calcula el adio de la óbita de Neptuno en tono al Sol, supuesta cicula, sabiendo que tada 165 años teestes en ecoela. DATOS: G = 6, Nm²kg - ; M Sol = 1, kg. [a] Véase cualquie libo de texto. [b] Si se aplica la ª ley de Newton al planeta Neptuno, se puede escibi: G M SM =M ; po oto lado, sabemos que = T ; de ambas, simplificando la masa del planeta, se llega a: G M S = 4 ; ; po oto lado, el peiodo del movimiento cicula de Neptuno vale: 3 T 3 = GM ST 4 T =165(años)$365 d as año $4 hoas d a $3600 s d a =5,0$10 9 (s); el adio de la óbita es, entonces, = GM ST 3 =4,50$10 1 m. 4 = 3 6,67$10 11 $1,99$10 30 $(5,$10 9 ) 4 fagm, septiembe 009 { 1 }

13 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 13 [a] La intensidad media del campo gavitatoio teeste en la supeficie de la Tiea es g = 9,81 N/kg. Calcula la masa de la Tiea. [b] A qué altua sobe la supeficie se educe g a la mitad del valo indicado? DATOS: G = 6, Nm²kg - ; adio de la Tiea: R = 6, m. [a] En la supeficie teeste, la intensidad del campo gavitatoio vale: g o =G M T R ecuación se deduce que M T = gor G = 9,81( /kg)$(6,37$106 ) (m ) 6,67$ ( m kg ) =5,98$10 4 (kg) ; de esta [b] Se ha de cumpli que g = 1 g o, es deci, G M T = 1, de donde se deduce que ; GM T R =R = R. Po oto lado, sabemos que =R +h, po lo que h = R; al sustitui el valo calculado de, queda: h = R R =( 1)R =0,414$6,37$10 6 =,64$10 6 (m). fagm, septiembe 009 { 13 }

14 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 14 Una sonda de exploación, de masa m = 500 kg, descibe una óbita cicula en tono a Mate. Sabiendo que el adio de dicha óbita es R = 3, m, que la masa de Mate es M = 6,410 3 kg y que G = 6, Nm²kg -, calcula: [a] La velocidad obital de la sonda y su momento angula especto al cento de Mate. [b] Las enegías cinética, potencial y mecánica de la sonda. [a] Se aplica la ª ley de Newton a la sonda de exploación en su óbita cicula. La fueza gavitatoia sobe la sonda se compota como fueza centípeta, po lo que G Mm =m v, de donde se deduce que v = GM GM 6,67$10 ; v = = 11 $6,4$10 3 3,50$10 =3,50$10 3 ( m s). 6 El módulo del momento angula de la sonda es: L =mv =3,50$10 6 (m)$500(kg)$3,50$10 3 ( m s) =6,13$10 1 kg$m s. [b] La enegía cinética es: E c = 1 mv = 1 5$10 $ (3,50$10 3 ) =3,06$10 9 (J). La enegía potencial gavitatoia vale: U = G Mm = 6,67$10 11 $6,4$10 3 $5$10 3,50$10 = 6,1$10 9 (J). 6 La enegía mecánica de la sonda es, entonces: E m =3,06$10 9 (J) 6,1$10 9 (J) = 3,06$10 9 (J). fagm, septiembe 009 { 14 }

15 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 15 [a] Explica los conceptos de enegía potencial gavitatoia y potencial gavitatoio. Qué potencial gavitatoio cea una patícula de masa M? Cómo son las supeficies equipotenciales? [b] Imagina dos esfeas iguales de masa M y adio R. Se sitúan de foma que la distancia ente sus centos es 10R y se libea una de ellas con velocidad inicial nula. Con qué velocidad se moveá cuando llegue a choca con la ota? Supón conocida la constante de gavitación univesal. 10R M M R R [a] Véase dichos conceptos en cualquie manual de Física. El potencial gavitatoio ceado po una patícula de masa M, en un punto situado a una distancia de su cento, está dado po: V = G M. Las supeficies equipotenciales son los lugaes geométicos en los que el potencial gavitatoio es constante; de acuedo con la expesión anteio, si V es constante, también lo es, po lo que el luga geomético de los puntos que equidistan de oto fijo es una cicunfeencia, si se tabaja en el plano, o una supeficie esféica, paa casos tidimensionales. [b] Las esfeas evolucionan sometidas a la acción de un campo consevativo, así que la enegía mecánica del sistema pemanece constante. Sea el estado 1 el mostado en el enunciado y sea el estado el epesentado a continuación: v 10R Tenemos que: E m,estado1 =E m,estado. En el estado 1 el sistema sólo tiene enegía potencial gavitatoia, mientas que en el estado el sistema tiene enegía cinética y enegía potencial gavitatoia; po lo tanto, G M 10R = 1 Mv G M 1 R ; Mv =G M R G M 1 10R ; Mv =G M 5R ; al dividi todo po M y multiplica po dos, queda: v = 4GM. La apidez de la esfea móvil 4GM 5R cuando choca con la esfea fija es, entonces, v =. 5R fagm, septiembe 009 { 15 }

16 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 16 [a] Explica el concepto de enegía potencial gavitatoia. Qué enegía potencial gavitatoia tiene una patícula de masa m situada a una distancia de ota de masa M? [b] Seguo que la expesión E p = mgh paa la enegía potencial gavitatoia te esulta familia. Explica su significado y las cicunstancias en las que es aplicable. [a] Consulta el libo, o incluso los apuntes, de Física. La enegía potencial gavitatoia de una patícula de masa m, en un punto situado a una distancia de ota patícula de masa M, está dada po: U = G Mm. [b] Si se toma como efeencia la supeficie del planeta, la enegía potencia gavitatoia de una patícula de masa m a una distancia del cento del planeta, de adio R, se calcula mediante: GMm U() = R = GMm[ 1 ]. Se cumple que, R =GMm[ 1 R 1 ]=GMm( R) R =R +h siendo h la altua de la patícula especto a la supeficie. En las poximidades del planeta, se puede hace la siguiente apoximación: =R +hjr, po lo que la expesión anteio se puede escibi como sigue: U =GMm h = GMmh, ya que. (R+h)R R =mg o h g o = GM R La condición que hemos impuesto es que la patícula se mueva ceca de la supeficie teeste; po oto lado, al hace la integal se ha supuesto que la enegía potencial gavitatoia es ceo en la supeficie del planeta. fagm, septiembe 009 { 16 }

17 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 17 [a] Momento angula de una patícula: definición; teoema de consevación. [b] Un cometa ealiza una óbita elíptica con el Sol en uno de los focos. El cociente ente las a distancias máxima (afelio) y mínima (peihelio) del cometa al cento del Sol es. Calcula la elación ente las velocidades del cometa en estos dos puntos,. v a v p p =100 [a] Véase el libo de Física. [b] En pime luga, dibujamos un esquema con las posiciones del cometa especto al Sol: P Sol p a v p va A El cometa evoluciona sometido a la acción de una fueza cental; en consecuencia, el momento angula del cometa especto al Sol se conseva, esto es, a mv a = p mv p ; de donde a se deduce que: p = vp v a v a ; estos cocientes son iguales a 100, po lo que v p =0,01; como en el punto P el cometa se encuenta más ceca del Sol que en el punto A, la apidez en P es mayo que la apidez en A. La distancia al Sol y la apidez del cometa son invesamente popocionales. fagm, septiembe 009 { 17 }

18 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 18 [a] Enuncia las Leyes de Keple. [b] Euopa es un satélite de Júpite que tada 3,55 días en ecoe su óbita, de 6, m de adio medio, en tono a dicho planeta. Oto satélite de Júpite, Ganímedes, tiene un peiodo obital de 7,15 días. Calcula el adio medio de la óbita de Ganímedes y la masa de Júpite. Constante de gavitación: G = 6, Nm²kg -. [a] Consulta el libo de Física. [b] En pime luga, se dibuja un esquema con los dos satélites de Júpite. Se ha de cumpli paa los mismos la 3ª ley de Keple: los cuadados de los peiodos son popocionales a los cubos de las distancias medias de los satélites al planeta, esto T es, T, que se puede escibi: T E = [ G ; G = E T G T E = 3 Euopa 3 Gan medes T G E ] 3 3 G =6,71$10 8 (m)$ G =1,07$10 9 (m). 7,15 d as 3,55 d as 3 Euopa E G Ganímedes Paa halla la masa de Júpite nos fijamos en los datos elativos al satélite Euopa. Éste evoluciona po la acción de la fueza de atacción gavitatoia de Júpite; esta fueza se compota como fueza centípeta, po lo que, al aplica la ª ley de Newton al movimiento de Euopa, queda: G M JM E =M ; la masa de Euopa se puede simplifica en esta expe- E sión y, como = T, finalmente se llega a M J = 4 3 GT. El peiodo del movimiento de Euopa alededo de Júpite vale: T =3,55(d as)$4 hoas s d a $3600 d a =3,07$10 5 (s). La masa de Júpite es, entonces, 4 M J = $(6,71$10 8 ) 3. 6,67$10 11 $(3,07$10 5 ) =1,90$10 7 (kg) fagm, septiembe 009 { 18 }

19 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 19 [a] Explica el concepto de campo gavitatoio ceado po una o vaias patículas. [b] Dos patículas de masas M 1 y M = 4M 1 están sepaadas una distancia d = 3 m. En el punto P, situado ente ellas, el campo gavitatoio total ceado po estas patículas es nulo. Calcula la distancia x ente P y M 1. M x P 1 d M i=n gi i=1 [a] Si se dispone en una egión del espacio de una o más patículas, el espacio alededo de las mismas adquiee cietas caacteísticas que no existían cuando las patículas no estaban. Este hecho se puede compoba acecando ota patícula de pueba. Decimos que las patículas oiginales han ceado un campo gavitatoio. Éste está descito vectoialmente mediante la llamada intensidad del campo gavitatoio. Si el campo gavitatoio está ceado po vaias patículas, la intensidad del campo gavitatoio esultante es la suma vectoial de las intensidades individuales: g total =. [b] Dibujamos los vectoes intensidad del campo gavitatoio, ceados po cada una de las patículas, en el punto P: M g P g 1 1 Los módulos de dichas intensidades son: g 1 =G M 1 x y g. Como la intensidad del =G 4M 1 (3 x) campo gavitatoio esultante es nula, se cumpliá que g total =g 1 g =0; G M 1 x =G 4M 1 ; (3 x) ; si se extae la aíz cuadada, tenemos: x = 3 x ; x = 3-x; 3x = 3; x = 1 (m). 1 x = 4 (3 x) x d M fagm, septiembe 009 { 19 }

20 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 0 [a] Escibe y comenta la Ley de Gavitación Univesal. [b] Recientemente ha sido puesto en óbita el satélite euopeo Envisat (envionment satellite; satélite del medio ambiente). La altua de su óbita sobe la supeficie de la Tiea es h = 800 km. Calcula la velocidad obital del Envisat y el peiodo de su óbita. DATOS: G = 6, Nm²kg - ; M T = 5, kg; R T = 6, m. [a] Véase el libo de Física. [b] El adio de la óbita del Envisat es: =R T +h =6,37$ ,8$10 6 =7,17$10 6 (m). Se aplica la ª ley de Newton a dicho satélite en su óbita cicula. La fueza gavitatoia sobe el mismo se compota como fueza centípeta, po lo que G M Tm =m v, de donde se deduce GM T 6,67$10 11 $5,97$10 4 que v = GM T ; v = = 7,17$10 =7,45$10 3 ( m s). El peiodo es el tiempo 6 invetido po la nave en una vuelta completa: T = v = $7,17$106 7,45$10 =6,05$10 3 (s) =1,68(h). 3 fagm, septiembe 009 { 0 }

21 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 1 [a] Calcula la intensidad del campo gavitatoio, g, en la supeficie de Júpite. A qué altua sobe la supeficie de Júpite, h, se educe g al valo supeficial teeste de 9,81 N/kg? DATOS: G = 6, Nm²kg - ; M J = 1, kg; R J = 6, m. [b] El peiodo de oscilación de un péndulo simple en la supeficie de la Tiea es T = 1, s. Cuál seía su peiodo de oscilación en la supeficie de Júpite? [a] En la supeficie de Júpite la intensidad del campo gavitatoio se calcula mediante: g o =G M J. Esta intensidad es algo más de dos veces y media R = 6,67$10 11 $1,90$10 7 =6,0 J (6,98$10 7 ) kg supeio a la existente en la supeficie teeste. A una distancia del cento de Júpite, la intensidad del campo gavitatoio es: g =G M J ; de GM J 6,67$10 11 $1,90$10 7 donde se deduce que = GM J g ; = g = 9,81 =1,14$10 8 (m); la altua sobe la supeficie seá, entonces, h = R J =1,14$10 8 6,98$10 7 =4,4$10 6 (m). [b] El peiodo de oscilación de un péndulo de longitud L está dado po la expesión: T = L g L g o,tiea En la supeficie teeste, el peiodo es: T Tiea =. L g o,júpite En la supeficie jupiteina, el peiodo vale: T Júpite =. T Júpite T Tiea = g o,tiea g o,júpite Al dividi la segunda ecuación po la pimea, se obtiene: ; T Júpite 9,81 T Tiea = 6 =0,614; T Júpite =0,614$T Tiea =0,614$1,(s) =0,737(s). Este esultado es coheente con el hecho de que, cuanto mayo sea la atacción gavitatoia, meno seá la duación de una oscilación completa del péndulo. fagm, septiembe 009 { 1 }

22 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad [a] Explica el concepto de enegía potencial gavitatoia. Qué enegía potencial gavitatoia tiene una patícula de masa m situada a una distancia de ota patícula de masa M? [b] Un planeta esféico sin atmósfea tiene masa M = 1,10 3 kg y adio R = 1,310 6 m. Desde su supeficie se lanza veticalmente un poyectil que llega a alcanza una altua máxima h = R/ antes de volve a cae hacia la supeficie. Con qué velocidad inicial se ha lanzado el poyectil? G = 6, Nm²kg -. [a] Consulta el libo, o incluso los apuntes, de Física. La enegía potencial gavitatoia de una patícula de masa m, en un punto situado a una distancia de ota patícula de masa M, está dada po: U = G Mm. [b] Se tata de un ejecicio que puede esolve fácilmente mediante la ley de consevación de la enegía mecánica; peo antes, dibujamos un esquema de la situación. La posición final del poyectil es: =R +h =R + R = 3R. Se cumple que: v = 0 E m,inicial =E m,final R v o h=r/ 1 mv o G Mm R = GMm Al dividi todo po m vemos que el esultado es independiente de la masa del poyectil: 1 v o =GM( 1 R ) 3R v o =GM 1 3R ; v o = GM 3R v o = $6,67$10 11 $1,$10 3 3$1,3$10 =,03$10 3 ( m s). 6 fagm, septiembe 009 { }

23 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 3 Un satélite atificial descibe una óbita elíptica, con el cento de la Tiea en uno de sus focos. [a] En el movimiento obital del satélite, se conseva su enegía mecánica? Y su momento v angula especto al cento de la Tiea? Razona P tus espuestas. [b] Supón que se conocen las distancias máxima y mínima del satélite al cento de la Tiea (apogeo y peigeo), R A y R P espectivamente. Plantea azonadamente, sin esolvelas, las R P R A ecuaciones necesaias paa detemina las M velocidad obitales del satélite en estos puntos, v A y v P. DATOS: Constante de gavitación univesal, G. v A Masa de la Tiea, M. [a] Si se supone que el satélite evoluciona sometido exclusivamente a la acción del campo gavitatoio teeste, que es un campo consevativo, la enegía mecánica del satélite pemanece constante. La fueza gavitatoia sobe el satélite es una fueza cental, así que el momento de la misma especto al cento de la Tiea es nulo; en consecuencia, el momento angula del satélite también pemanece constante. [b] La consevación de la enegía mecánica exige que: E m,p =E m,a, esto es, 1 mv P G Mm R P = 1 mv A G Mm R A ; al dividi po la masa del satélite m, multiplica po dos y eodena los téminos de la igualdad, se llega a: v P v A =GM 1 (1) R P 1 R A La consevación del momento angula implica que: R P mv P =R A mv A ; R P v P =R A v A () Resolviendo el sistema fomado po las ecuaciones (1) y () se obtendía las velocidad obitalev A y v P. Si tienes ganas, puedes compoba que las soluciones de este sistema de ecuacio- nes son: v A = v P = GMR P R A (R A +R P ) GMR A R P (R A +R P ) fagm, septiembe 009 { 3 }

24 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 4 [a] Explica el concepto de campo gavitatoio ceado po una o vaias patículas. [b] La distancia ente los centos de la Tiea y la Luna es d = 3, m. En un cieto punto P, situado ente ambas, el campo gavitatoio total es nulo. Sabiendo que la masa de la Tiea es 81 veces supeio a la de la Luna, calcula la distancia x ente P y el cento de la Luna. Tiea d P x Luna [a] Véase la actividad 19. [b] Dibujamos los vectoes intensidad del campo gavitatoio, ceados po la Tiea y la Luna, en el punto P: Tiea g 1 g P x d Luna Los módulos de dichas intensidades son: g 1 =G M T y g =G M L. Como la intensidad del campo gavitatoio esultante es nula, se cumpliá que g total =g 1 g =0; G M L x =G M T ; ( d x x ) = M T M L ; si se extae la aíz cuadada, tenemos: M L ; el miembo de la deecha vale 9, po lo que d x =9x;d=10x;x= d 10 =3,84$107 (m). (d x) d x x = M T x (d x) fagm, septiembe 009 { 4 }

25 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 5 Dos planetas esféicos tienen masas difeentes, M 1 y M = 9M 1, peo en sus supeficies la intensidad del campo gavitatoio es la misma, g 1 = g. [a] Calcula la elación ente los adios de los planetas, R /R 1, y ente sus densidades de masa, / 1. [b] Son iguales las velocidades de escape desde las supeficies de los dos planetas? Razona tu espuesta. [a] En pime luga, escibimos las expesiones de las intensidades de campo gavitatoio g 1 =G M 1 R debidas a los dos planetas: 1. Si son iguales se cumpliá que ;. g =G 9M R R 1 =9R 1 R 1 =3 R En función de la densidad y del tamaño del planeta, la masa del mismo es: M 1 = 4 3 R Las intensidades de campo gavitatoio son, ahoa: g 1 = 4 3 G R 1 1. Si estas intensidades g = 4 3G R son iguales, se cumpliá: R 1 1 =R ;. 1 = R 1 R = 1 3 [b] La velocidad de escape es la velocidad que hay que comunica a una patícula en la supeficie de un planeta paa que escape de su atacción gavitatoia. Se calcula mediante la expesión: v escape = R = gr. Vemos que la velocidad de escape depende de la intensidad GM de campo gavitatoio en la supeficie del planeta y del adio del mismo. En nuesto caso, los dos planetas tienen el mismo valo de la intensidad y difeente adio (R > R 1 ); po lo tanto, la velocidad de escape seá mayo paa el segundo planeta. fagm, septiembe 009 { 5 }

26 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 6 [a] Enuncia las Leyes de Keple y demuesta la tecea en el caso paticula de óbita ciculaes. [b] Neptuno y la Tiea desciben óbitas en tono al Sol, siendo el adio medio de la pimea óbita teinta veces mayo que el de la segunda. Cuántos años teestes tada Neptuno en ecoe su óbita? [a] Consulta el libo de Física. Se tata de deduci la 3ª ley de Keple a pati de la ley de la gavitación univesal y de las leyes de Newton de la dinámica. La fueza gavitatoia sobe un objeto en óbita cicula alededo de un planeta se compota como fueza centípeta, po lo que G Mm =m v, de donde se deduce que v = GM. Po oto lado, el peiodo del movimiento cicula del objeto es: T = v, po lo que T = 4 v ; al sustitui en esta igualdad el valo de la apidez antes calculado, se llega a: T = 4, expesión que coesponde a la 3ª ley de Keple. GM 3 T = 3 eptuno [b] De acuedo con la 3ª ley de Keple, T ; ; T eptuno T Tiea = eptuno 3/ Tiea T eptuno = eptuno 3 Tiea T eptuno T Tiea = 3/ ; Tiea TTiea =30 3/ $1(año) =9,7(años). eptuno 3 Tiea fagm, septiembe 009 { 6 }

27 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 7 [a] Explica cómo es y qué intensidad tiene el campo gavitatoio en las poximidades de la supeficie teeste. Qué enegía potencial gavitatoia tiene una patícula de masa m en pesencia de este campo? Explica tu contestación. [b] Desde una altua especto al suelo h = 10 m se lanza una patícula con velocidad inicial v i = 0 m/s, fomando un vi ángulo α = 30º con la hoizontal. Supuesta despeciable la ficción con el aie, detemina la velocidad de la patícula cuando choca con el suelo, v f α (módulo, v f, y ángulo especto al suelo, θ). Considea g = 10 m/s². h v f θ [a] Véase cualquie libo de Física. [b] En pime luga, se elige un sistema de efeencia; las condiciones iniciales son, entonces, x o =0 v i,x =0 cos 30 =17,3( m s) a continuación, se esciben las ecuaciones de y o =10(m) v i,y =0sen30 =10,0( m s) los movimientos en los ejes X e Y: y EjeX x =17,3$t v a=-10 (m/s ) i v x =17,3( m s) vi,y α EjeY y =10 +10$t 5$t v i,x v y =10 10$t El tiempo que tada en llega al suelo x se obtiene de la condición: y = 0, 0 =10 +10$t 5$t ; t =,73(s) ; θ así que las componentes de la velocidad cuando la patícula llega al suelo vf v x =17,3( m s) son:. El v y =10 7,3 =17,3( m s) módulo de esta velocidad es: v = v x +v y =17,3$ =4,5( m s), la cual foma con la hoizontal un ángulo = 45 o. fagm, septiembe 009 { 7 }

28 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 8 L L [a] Momento angula de una patícula: definición; teoema de consevación. [b] Un satélite atificial de masa m = 500 kg descibe una óbita cicula en tono a la Tiea, a una altua h = 600 km sobe su supeficie. Calcula el módulo del momento angula del satélite especto al cento de la Tiea. Si la óbita está en el plano ecuatoial, qué diección tiene el momento angula,? Es un vecto constante? Po qué? DATOS: G = 6, Nm²kg -. Masa y adio de la Tiea: M T = 5, kg; R T = 6, m. [a] Consulta el libo de Física. [b] En pime luga, se calcula la velocidad del satélite en su óbita cicula. El adio de la óbita del satélite es: =R T +h =6,37$ ,6$10 6 =6,97$10 6 (m) La fueza gavitatoia sobe el mismo se compota como fueza centípeta, po lo que G M Tm =m v, de donde se GM T 6,67$10 11 $5,98$10 4 deduce que v = GM T ; v = = 6,97$10 =7,56$10 3 ( m s). 6 El módulo del momento angula se calcula mediante: L =mv =6,97$10 6 (m)$500(kg)$7,56$10 3 ( m s) =,63$10 13 kg$m s. La diección del momento angula es pependicula al plano de la óbita, esto es, pependicula al plano ecuatoial. Se tata de un vecto constante, ya que el momento angula del satélite especto al cento de la Tiea se conseva. La consevación del momento angula es debido a que el momento de la fueza gavitatoia sobe el satélite, especto al cento de la Tiea, es ceo. El sentido del momento angula se muesta en la siguiente figua. L v Satélite Tiea fagm, septiembe 009 { 8 }

29 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 9 [a] Escibe y comenta la Ley de Gavitación Univesal. [b] Se deja cae un cuepo desde una altua h = m sobe la supeficie de la Luna. Calcula su velocidad cuando choca con la supeficie y el tiempo de caída. DATOS: G = 6, Nm²kg -. Masa y adio de la Luna: M L = 7,3410 kg; R L = 1, m. [a] Consulta cualquie libo de Física. [b] Hemos se calcula la aceleación en la supeficie luna; esta aceleación coincide numéicamente con la intensidad del campo gavitatoio en la supeficie de la Luna, esto es, a L =g o =G M L 11 7,34$10 =6,67$10. Con el sistema de efeencia mostado R L (1,74$10 6 ) =1,6 m s en la figua, y teniendo en cuenta que se tata de un movimiento ectilíneo unifomemente aceleado, se puede escibi: vo = 0 m x a = 1,6 m/s² v v o =a y v = a y =! $1,6$ =,55( m s) De las dos soluciones que tiene la aíz cuadada, se ha elegido el signo +, que es el que tiene sentido de acuedo con el sistema de efeencia. v=? y fagm, septiembe 009 { 9 }

30 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 30 La aceleación de la gavedad en la supeficie de Mate es g = 3,87 m/s². [a] Calcula la masa de Mate. [b] Se lanza veticalmente un objeto desde la supeficie de Mate, con velocidad inicial igual a la mitad de la de escape. Calcula la máxima altua sobe la supeficie, h, que llega a alcanza el objeto. DATOS: G = 6, Nm²kg -. Radio de la Tiea: R M = 3,310 6 m. [a] La intensidad del campo gavitatoio en la supeficie de Mate es: deduce que: M M = gor M G = 3,87( /kg)$(3,3$106 ) (m ). 6,67$10 11 ( m /kg ) =6,40$10 3 (kg) [b] Se sabe que la velocidad de escape está dada po: v escape = GM M R M g o =G M M R M ; de donde se. El objeto se mueve en un campo de fuezas consevativo en el que la enegía mecánica pemanece constante. Po lo tanto; E m,inicial =E m,final h=? v = 0 RM v o = v / escape 1 mv o G M Mm R M = G M Mm Si se divide todo po la masa m del objeto y se sustituye la velocidad inicial po su valo, queda: 1 1 GM M R M GM M Simplificando se llega a: R M = GM M GM M R M = GM M = 4 3 R M; h = R M = 4 3 R M R M = 1 3 R M; h = 1 3 3,3$106 =1,11$10 6 (m). fagm, septiembe 009 { 30 }

31 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 31 Un satélite de masa m = 500 kg descibe una óbita cicula de adio = 7, m en tono a la Tiea. [a] Calcula la velocidad obital del satélite. [b] Paa pasa a ota óbita cicula de adio, cuánto tabajo deben ealiza los motoes del satélite? DATOS: G = 6, Nm²kg -. Masa de la Tiea: M T = 5, kg. [a] Se aplica la ª ley de Newton al satélite en su óbita cicula. La fueza gavitatoia sobe el satélite se compota como fueza centípeta, po lo que G M Tm =m v, de donde se deduce GM T 6,67$10 11 $5,98$10 4 que v = GM T ; v = = 7,50$10 =7,9$10 3 ( m s). 6 [b] El tabajo que tienen que hace los motoes es la difeencia ente las enegías mecánicas final e inicial: W motoes =E m,final E m,inicial. Po oto lado, la enegía mecánica de un objeto de masa m que descibe una óbita cicula de adio en tono a la Tiea está dada po: E m = GM Tm ; en consecuencia, W motoes = GM Tm 4 + GM Tm =GM T m( ) = GM Tm 4 W motoes = 6,67$10 11 $5,98$10 4 $500 4$7,50$10 6 =6,65$10 9 (J) fagm, septiembe 009 { 31 }

32 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 3 [a] Explica el concepto de campo gavitatoio ceado po una o vaias patículas. La Tiea es apoximadamente esféica, de adio R T = 6, m. La intensidad media del campo gavitatoio en su supeficie es g g = 9,81 m/s². [b] Calcula la densidad de masa media de la Tiea, ρ. [c] A qué altua h sobe la supeficie de la Tiea se educe g a la cuata pate de g o? DATO: G = 6, Nm²kg -. i=n gi i=1 [a] Si se dispone en una egión del espacio de una o más patículas, el espacio alededo de las mismas adquiee cietas caacteísticas que no existían cuando las patículas no estaban. Este hecho se puede compoba acecando ota patícula de pueba. Decimos que las patículas oiginales han ceado un campo gavitatoio. Éste está descito vectoialmente mediante la llamada intensidad del campo gavitatoio. Si el campo gavitatoio está ceado po vaias patículas, la intensidad del campo gavitatoio esultante es la suma vectoial de las intensidades individuales: g total =. [b] La densidad es la masa po unidad de volumen; paa el caso de la Tiea, la densidad está dada po: = M T. Vemos que se necesita conoce la masa de la Tiea. Esta V T = M T 4 = 3M T 3 R T 3 4 R3 T magnitud se puede calcula a pati de la intensidad del campo gavitatoio en la supeficie teeste: g o =G M T ; de donde se deduce que M T = gor T ; sustituyendo este valo en la expe- R T G 3$9,81 sión anteio tenemos: = 3goR T 3go 4 GR t = 4 $6,67$ $6,37$10 =5,51$10 3 kg 6 m 3 4 GR T 3 = [c] A una distancia del cento de la Tiea, la intensidad del campo gavitatoio es: g =G M T ; po oto lado, la intensidad del campo gavitatoio en la supeficie teeste es: g o =G M T ; al dividi la segunda po la pimea, queda: g o g = R T lo que =4R T ; =R T ; la altua sobe la supeficie es, entonces, h = R T =R T =6,37$10 6 (m). ; el miembo de la izquieda vale 4, po R T fagm, septiembe 009 { 3 }

33 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 33 [a] Calcula la velocidad de escape desde la supeficie de la Luna. [b] Se lanza veticalmente un objeto desde la supeficie de la Luna, con velocidad inicial igual a la de escape. A qué distancia del cento de la Luna se educe su velocidad a la mitad de la inicial? DATOS: G = 6, Nm²kg -. Masa y adio de la Luna: M L = 7,3410 kg; R L = 1, m. [a] La velocidad de escape es la velocidad que hay que comunica a una patícula en la supeficie luna paa que escape de su atacción gavitatoia. Se calcula mediante la aplicación de la ley de consevación de la enegía mecánica: E m,inicial =E m,, esto es, 1 mv escape G M Lm GM R L =0; de donde se deduce que v escape = L. [b] El objeto se mueve en un campo de fuezas consevativo en el que la enegía mecánica pemanece constante. Po lo tanto; E m,inicial =E m,final RL v = v escape / =? v o = v escape 1 mv escape R L G M Lm R L = 1 m1 4 v escape G M Lm De esta ecuación hemos de obtene el valo de ; antes de que el alumno se lance como un poseso a sustitui valoes, es conveniente lleva a cabo alguna simplificación algebaica. Si se divide todo po la masa m del objeto y se multiplica po ocho, queda: 4v escape 8G M L R L =v escape 8G M L 3v escape 8G M L R L = 8G M L Sustituyendo la velocidad de escape po su valo se llega a: 6G M L R L 8G M L R L = 8G M L ; G M L R L = 8G M L ; R L = 8 ; =4R L =4$1,74$10 6 =6,96$10 6 (m). Obseva la sencillez y la elegancia de la espuesta po habe utilizado leticas. fagm, septiembe 009 { 33 }

34 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 34 Desde la supeficie de un planeta esféico sin atmósfea, de adio R =,310 6 m y masa M = 8,610 3 kg, se dispaa un poyectil con velocidad inicial v o hoizontal, es deci, en diección tangente a la supeficie. [a] Calcula el valo de v o paa que el poyectil desciba una óbita cicula asante a la supeficie del planeta. Cuál es el peiodo de esta óbita? [b] Si el poyectil se dispaa con una velocidad doble de la anteio, escapaá de la atacción gavitatoia del planeta? Justifica tu espuesta. DATO: G = 6, Nm²kg -. [a] Se aplica la ª ley de Newton al poyectil en su óbita cicula asante. El adio de esta óbita coincide con el adio del planeta, R. Se cumple que GM 6,67$10 11 $8,6$10 3 G Mm R =m v o ; al simplifica, queda: R G M R =v o ; v o = R =,3$10 =5,00$10 3 ( m. El peiodo de esta óbita es: 6 s ) T = R v o = $,3$106 5$10 =,89$10 3 (s) =0,80(h). 3 m v o M R $6,67$10 11 $8,6$10 3 [b] La velocidad de escape es la velocidad que hay que comunica a una patícula en la supeficie de un planeta paa que escape de su atacción gavitatoia. Se calcula mediante la expe- GM sión: v escape = R =,3$10 =7,06$10 3 ( m s). 6 Si se lanza el poyectil con una velocidad doble de la obtenida en el apatado anteio, se supea con ceces la velocidad de escape y el poyectil escapa de la atacción gavitatoia del planeta; incluso llega al infinito con una velocidad distinta del ceo. fagm, septiembe 009 { 34 }

35 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 35 [a] Explica el concepto de enegía potencial gavitatoia. Qué enegía potencial gavitatoia tiene una patícula de masa m situada a una distancia de ota patícula de masa M? [b] Un meteoito se diige hacia la Luna, de masa M L = 7,3410 kg y adio R L = 1, m. A una altua h = 3R L sobe la supeficie de la Luna, la velocidad del meteoito es v o = 500 m/s. Calcula su velocidad cuando choca con la supeficie. DATO: G = 6, Nm²kg -. [a] Consulta el libo de Física. [b] La enegía mecánica del meteoito pemanece constante, ya que evoluciona en un campo consevativo. En el instante inicial el meteoito se encuenta a una distancia =h +R L =4R L del cento de la Luna. Se cumple, entonces, que: RL v =? v o h = 3R L E m,inicial =E m,final 1 mv o G M Lm 4R L = 1 mv G M Lm R L Si se multiplica toda po dos y se divide po la masa del meteoito m, se obtiene: v o G M L R L =v G M L R L v =v o +3G M L R L ; v = v o +3G M L R L v = $6,67$10 11 $7,34$10 $1,74$10 6 =1,68$10 3 ( m s) La velocidad del meteoito cuando choca con la supeficie luna es mayo, como tiene que se, que la que tenía inicialmente. fagm, septiembe 009 { 35 }

36 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 36 [a] Enuncia las Leyes de Keple y demuesta la tecea en el caso paticula de óbitas ciculaes. [b] Rhea y Titán son dos satélites de Satuno que tadan, espectivamente, 4,5 y 15,9 días teestes en ecoe sus óbitas en tono a dicho planeta. Sabiendo que el adio medio de la óbita de Rhea es 5,910 8 m, calcula el adio medio de la óbita de Titán y la masa de Satuno. DATO: G = 6, Nm²kg -. [a] Se tata de deduci la 3ª ley de Keple a pati de la ley de la gavitación univesal y de las leyes de Newton de la dinámica. La fueza gavitatoia sobe un objeto en óbita cicula alededo de un planeta se compota como fueza centípeta, po lo que G Mm =m v, de donde se deduce que v = GM. Po oto lado, el peiodo del movimiento cicula del objeto es: T = v, po lo que T = 4 v ; al sustitui en esta igualdad el valo de la apidez antes calculado, se llega a: T = 4, expesión que coesponde a la 3ª ley de Keple. GM 3 [b] En pime luga, se dibuja un esquema con los dos satélites de Satuno. Se ha de cumpli paa los mismos la 3ª ley de Keple: los cuadados de los peiodos son popocionales a los cubos de las distancias medias de los satélites al planeta, esto es, T, que se T R puede escibi: T T = [ R ; T = R T T T R 3 T =5,9$10 8 (m)$ T =1,$10 9 (m). T ] 3 15,9 d as 4,5 d as 3 Rhea T 3 Rhea = 3 Titán Titán Paa halla la masa de Satuno nos fijamos en los datos elativos al satélite Rhea. Éste evoluciona po la acción de la fueza de T atacción gavitatoia de Satuno; esta fueza se compota como fueza centípeta, po lo que, al aplica la ª ley de Newton al movimiento de Rhea, queda: G M SM R =M ; la masa de Rhea se R puede simplifica en esta expesión y, como = T, finalmente se llega a M S = 4 3 GT. El peiodo del movimiento de Rhea alededo de Satuno vale: T =4,5(d as)$4 hoas s d a $3600 d a =3,91$10 5 (s). La masa de Satuno es, entonces, 4 M S = $(5,9$10 8 ) 3 6,67$ $(3,91$10 5 ) =5,73$10 6 (kg) R fagm, septiembe 009 { 36 }

37 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 37 [a] Escibe y comenta la Ley de Gavitación Univesal. [b] Dos planetas esféicos tienen la misma masa, M 1 = M, peo la aceleación de la gavedad en la supeficie del pimeo es cuato veces mayo que en la del segundo, g 1 = 4g. Calcula la elación ente los adios de los planetas, R 1/R, y ente sus densidades, 1 /. [a] Consulta el libo de Física. [b] En pime luga, escibimos las expesiones de la intensidad del campo gavitatoio paa los g 1 = GM 1 R dos planetas: 1. Al impone la condición del enunciado se llega a: ; g = GM 1 R = 4 1 R R R 1 ;. Se compueba, como tiene que se, que en el planeta más pequeño -con la R = 1 R 1 4 R =0,5 misma masa- la intensidad del campo gavitatoio en su supeficie es mayo. En función de la densidad y del tamaño del planeta, la masa del mismo es: M 1 = 4 3 R Las intensidades del campo gavitatoio son, ahoa: g 1 = 4 3G R 1 1. Con la condición g = 4 3 G R 1 del enunciado, se cumpliá: R 1 1 =4R ; = 4R R 1 = 4 0,5 =8. Con las condiciones del enunciado vemos que el planeta más pequeño ha de se el más denso. fagm, septiembe 009 { 37 }

38 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 38 La elación ente los adios medios de las óbitas de Mate y la Tiea en tono al Sol es R M/R T = 1,53. Calcula el peiodo de la óbita de Mate en tono al Sol (duación del año maciano ). Se ha de cumpli paa los dos planetas la 3ª ley de Keple: los cuadados de los peiodos son popocionales a los cubos de las distancias medias de los planetas al Sol, esto es, T R 3 Tiea = T R 3 Mate R M 3 R T = T M T T ; esta igualdad se puede escibi como sigue: ; se extae la aíz cuadada a los dos miembos de la igualdad: T M =T T R M R T 3/. R M 3/ T R T = M T T ; de donde se deduce que: El peiodo de evolución de la Tiea en tono al Sol es de 1 año; en consecuencia, el peiodo de evolución de Mate alededo del Sol seá: T M =1(año)$(1,53) 3/ =1,89(años). El año maciano dua 1,89 años teestes. fagm, septiembe 009 { 38 }

39 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 39 La óbita de Plutón en tono al Sol es notablemente excéntica. La elación de distancias máxima y mínima ente su cento y el del Sol (afelio y peihelio) es R a/r p = 5/3. Razonando tus espuestas, calcula la elación (cociente) ente los valoes en el afelio y en el peihelio de las siguientes magnitudes de Plutón: [a] Momento angula especto al cento del Sol. [b] Enegía cinética. [c] Enegía potencial gavitatoia. R p Sol Plutón R a [a] Sobe Plutón está actuando una fueza gavitatoia diigida hacia el cento del Sol. El momento de esta fueza especto dicho punto es ceo, po lo que el momento angula de Plutón, especto al cento del Sol, es constante. Po lo tanto, la elación ente los valoes de L a esta magnitud en el afelio y en el peihelio es igual a la unidad: L p =1. [b] El momento angula de una patícula de masa m, que lleva una apidez v, situada a una distancia del punto de efeencia está dada po: L =mv. Po oto lado, la enegía cinética de dicha patícula vale: E c = 1 mv. De la pimea ecuación, v = m L ; sustituyendo esta expesión en la segunda ecuación se llega a E c = L. m Aplicando esta expesión al caso de Plutón, en el afelio y en el peihelio, se obtiene: E c,a = L a MR a E c,a. Los momento angulaes son iguales, po lo que. E c,p = L p E c,p = R p R a =( 3 5 ) = 9 5 MR p La apidez en el afelio es meno que en el peihelio, lo mismo que la enegía cinética. [c] La enegía potencial gavitatoia se calcula mediante: U = G Mm ; esta magnitud es invesa- U a U p = Rp R a = 3 5 mente popocional a la distancia de Plutón al Sol; po lo tanto,. fagm, septiembe 009 { 39 }

40 Física de º Bachilleato Campo gavitatoio Actividad 40 Io es un satélite de Júpite cuya masa es M io = 8,910 kg y su adio R io = 1,810 6 m. El adio de la óbita, supuesta cicula, en tono a Júpite es = 4,10 8 m. [a] Cuál es el peiodo de otación de Io en tono a Júpite? [b] Detemina la velocidad y la aceleación de Io en su óbita, (módulo y diección). DATOS: G = 6, Nm²kg - ; M Júpite = 1, kg; R Júpite = 6, m. [a] Se aplica la ª ley de Newton al satélite en su óbita cicula. La fueza gavitatoia que ejece Júpite sobe el satélite Ío se compota como fueza centípeta, po lo que G M JM Io =M ; como, la expesión de la ª ley de Newton se puede escibi: Io = T G M J = 4 ; de donde se deduce que ;. 3 T T = GM J T = $(4,$10 8 ) 3 6,67$10 11 $1,90$10 =1,5$10 5 (s) 7 [b] El módulo de la velocidad se obtiene de la aplicación de la ª ley de Newton escita de foma GM J 6,67$10 11 $1,90$10 7 conveniente: G M JM Io v ;. =M Io v = = 4,$10 =1,74$10 4 ( m s) 8 También se puede obtene el valo de la apidez una vez conocido el peiodo: v = T = $4,$108 1,5$10 =1,74$10 4 ( m s). 5 La aceleación de Io coincide con el valo de la intensidad del campo gavitatoio, debido a Júpite, a esa distancia; esto es, a =g=g M J = 6,67$10 11 $1,90$10 7 =0.718 m. (4,$10 8 ) s La diección y el sentido de los vectoes velocidad y aceleación se muestan en la siguiente figua. La velocidad es tangente a la tayectoia y la aceleación, que es centípeta, está diigida hacia el cento de Júpite. Son dos vectoes pependiculaes que están en el mismo plano. v Ío Júpite a fagm, septiembe 009 { 40 }

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