CAPÍTULO III EL POTENCIAL ELÉCTRICO. El trabajo que se realiza al llevar la carga prueba positiva

Transcripción

1 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y.m. Chobadjian. CPÍTULO III EL POTENCIL ELÉCTICO.. Definición de difeencia de potencial El tabajo ue se ealiza al lleva la caga pueba positiva del punto al punto B, lo epesentamos po W B. La difeencia de potencial ente y B, está definida po la ecuación: WB (.) B La difeencia de potencial ente dos puntos es igual al tabajo ealizado al lleva la caga pueba ente dichos puntos po un agente eteno, dividida po la magnitud de la caga pueba. Suponiendo ue el potencial en el punto B es mayo ue en ; al lleva una caga positiva, al punto B, tendá un potencial mayo ue en. La unidad de potencial eléctico es [] [J/C] olt Joule / Coulomb también se puede escibi ue Genealmente cuando se habla de potencial eléctico se efiee a difeencias de potencial. Paa poblemas donde se desea calcula el potencial eléctico de cagas aisladas o de una distibución eléctica, odinaiamente se toma como potencial de efeencia el de un punto situado en el infinito, donde el valo del potencial es ceo. Paa algunos cicuitos elécticos se toma como efeencia de potencial a la tiea y se le da el valo de ceo, esto se veá más detalladamente en el capítulo siguiente. 7

2 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y.m. Chobadjian... Cálculo del potencial eléctico a pati del campo eléctico El tabajo ue se efectúa paa lleva una caga pueba del punto al punto B en la figua anteio, está dado po: W F dl B B l movese la caga lentamente del punto al punto B, se tiene ue el campo ejece una fueza o E sobe la caga pueba. Paa evita ue la caga pueba se acelee, hay ue aplica una fueza eactamente igual a o E, con lo anteio se puede escibi W B B E dl La integal sobe la tayectoia de a B, también se conoce como integal de línea. Sustituyendo la epesión anteio en la Ec.., se tiene B W B B E dl (.) Si se considea el punto en el infinito, cuyo potencial es ceo, se obtiene el valo del potencial en el punto B, dado po: B E dl (.) La epesión anteio pemite detemina el potencial a pati del campo eléctico... Potencial de una caga puntual La difeencia de potencial ente los puntos y B, ue se encuentan sepaados de la caga a distancias y, espectivamente, se puede enconta calculando pimeo el campo eléctico B en la vecindad de la caga puntual, el cual está dado po E π ˆ e 8

3 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y.m. Chobadjian. Sustituyendo en la ecuación paa el potencial, se obtiene π eˆ dl B B De la siguiente figua se apecia ue dl está en diección opuesta a ê. demás dl d, luego de donde se encuenta: π B B B π B d (.) De esta ecuación vemos ue cuando está dado po:, ; entonces el potencial en el punto B (.5) π.. Potencial debido a una distibución de caga Paa calcula el potencial de una distibución de caga, vamos a considea ue está compuesta de N cagas discetas,,...,, n, entonces, el potencial en un punto P, se obtiene sumando algebaicamente los potenciales poducidos po cada una de las cagas en el punto P; usando 9

4 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y.m. Chobadjian. la Ec. (.5) paa una caga puntual, tenemos ue paa un conjunto de cagas discetas tal como se muesta en la siguiente figua, el potencial está epesado po: n i i π n i i i (.6) donde es el potencial debido a la caga ue se encuenta a una distancia del punto P. i Esta suma es algebaica y de auí su facilidad paa enconta el campo eléctico usando el potencial como veemos en la siguiente sección. i Distibución de cagas puntuales en el espacio Cuando la distibución de caga es continua, se puede toma el límite continuo de la ecuación anteio en foma siguiente: n d n i d ; (.7) i i i i Obteniéndose paa el potencial debido a la distibución continua la siguiente epesión π d (.8) donde λdl ( distibución lineal) d σ ds ( distibución supeficial) ρ dυ ( distibución volumética) 5

5 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y.m. Chobadjian..5. Deteminación del campo eléctico a pati del potencial B pati de la epesión E dl, se puede escibi d E dl (.9) Si ocue ue dl d (coodenadas catesianas), entonces se puede escibi E (.) Luego las componentes del campo E están dadas po: (, y, z) E (, y, z) ; E y y (, y, z) ; E z z En foma vectoial E i j k i j k y z y z ˆ + ˆ + ˆ ˆ + ˆ + ˆ También se puede escibi E (.) Donde es la epesentación simbólica del opeado gadiente. Y iˆ ˆ + j + kˆ ; ( se conoce como nabla.) y z lgunas aplicaciones: El tubo de ayos catódicos En un tubo de ayos catódicos simple como el mostado en la siguiente figua, los electones son aceleados po una difeencia de potencial ente dos placas denominadas cátodo (placa negativa) y ánodo (placa positiva). El flujo de electones pasa a tavés de una abetua en el ánodo donde aduieen su mayo enegía cinética paa después choca con una pantalla fluoescente. 5

6 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y.m. Chobadjian. Cuando se tiene una difeencia de potencial ente las placas, se sabe ue la enegía cinética máima ( υ / ) m coesponde a la enegía potencial inicial ( e ) esto es m υ e Luego la velocidad con la ue los electones chocan en la pantalla fluoescente, está dada po υ e m Desviación de un haz de electones po un campo eléctico En la siguiente figua se tienen dos placas paalelas de longitud l y sepaadas una distancia d, ente las cuales hay una difeencia de potencial, ue poduce un campo eléctico ue es el ue desvía el haz de electones. Paa calcula la desviación y del haz de electones cuando enta a las placas, la fueza ue ejece el campo en el eje de las es ceo y en el eje de las y está dada po: F y e E 5

7 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y.m. Chobadjian. dado ue E / d y ue la fueza se puede epesa como y y F ma. Sustituyendo y despejando la aceleación obtenemos: e / d a y m e md De cinemática, se tiene ue: y ay t υ t t υ Sustituyendo la aceleación y el tiempo y e md υ Se encuenta e y (paábola) mdυ El electón-olt La cantidad de tabajo necesaia paa move la caga de un electón ( e.6 tavés de una difeencia de potencial de [olt], ecibe el nombe de electón-olt. 9 [C]), a 9 electón-olt.6 [C ] [] [ e ].6 9 [ J ]. lgunos múltiplos del electón volt son: kiloelectón olt [ ke ] [ e ] 6 Megaelectón olt [ Me ] [ e ] 9 Gigaelectón olt [ Ge ] [ e ] 5

8 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y.m. Chobadjian. Enegía de un dipolo Cuando un dipolo eléctico está inmeso en un campo eléctico, las fuezas ue epeimentan las cagas son iguales en magnitud peo opuestas en diección, po consiguiente la fueza neta es ceo, peo eiste un momento sobe el dipolo ue tiende a alinealo con el campo y ue está dado po: Dado F E y P a, se tiene τ F( a senθ ) (.) τ a E senθ (.) En foma vectoial τ P E senθ τ P E (.5) Suponiendo ue el dipolo tiene una oientación inicial de θ, con el campo y cambia su oientación a θ, el tabajo ealizado está dado po: U Enegía Potencial dw θ θ τ dθ Sustituyendo τ P E senθ, obtenemos: U θ θ P E senθ dθ Paa el caso en ue P y E sean constantes: U P E senθ d PE [ cosθ ] θ θ θ 5

9 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y.m. Chobadjian. sí paa θ π / obtenemos: U PE cosθ (.6) En foma vectoial U v P E (.7) Taea: Epliue el funcionamiento del Micoondas.6. Poblemas esueltos Poblema. En un pa de placas paalelas se tiene un campo eléctico unifome E, calcule la difeencia de potencial ente el punto y el punto B al ecoe la tayectoia señalada en la figua. De la ecuación paa el potencial B B E dl E dl E dl B uí vemos ue el último sumando es ceo poue la tayectoia de C a B es pependicula al campo, entonces: C d E dl E cos8 dl E d B B E d 55

10 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y.m. Chobadjian. Poblema. Dos gotas de agua idénticas están cagadas al mismo potencial, encuente el nuevo potencial si las dos gotas colapsan en una sola gota. Sean (potencial de cada gota po sepaada) π (potencial de las dos gotas juntas) π olumen ( gotas) olumen(gota) π / π Po oto lado, dado ue las densidades deben se las mismas, se puede escibi ρ ρ π / π / de donde se encuenta Sustituyendo en π, se obtiene π eemplazando / π / / 56

11 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y.m. Chobadjian. Poblema. Una esfea metálica maciza de adio a, tiene una caga total. a) Calcule el campo eléctico. Paa < a y > a. b) El potencial eléctico paa puntos dento y fuea de la esfea. c) Haga una gáfica cualitativa del campo eléctico vesus el adio, y ota del potencial vesus el adio. a) Paa < a: Po la Ley de Gauss vemos ue E (no hay caga enceada). Paa > a: E π ˆ e b) Paa < a: (ve poblema.5) Paa > a: (ve poblema.5) π a c) π 57

12 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y.m. Chobadjian. Poblema. Línea de caga finita Se tiene una línea de caga de longitud L con una distibución de caga λ unifome. Calcula el potencial eléctico a una distancia de la línea sobe la pependicula bisectiz. Sustituyendo en la Ec. (.8) d λ dz y ( + z ) obtenemos: integando π d π + z ( λ dz ) [ Ln ( z + z )] L λ dz λ L + π ( + z ) π y evaluando λ π L / + L / + Ln Poblema.5 Utilizando el esultado del poblema anteio (con ), calcule el campo eléctico en el mismo punto p a una distancia de la línea de caga. Tenenos ue: λ π L / + L / + Ln 58

13 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y.m. Chobadjian. y de acuedo con la ecuación donde en coodenadas cilíndicas ( E,φ, z ) es: eˆ + eˆ dφ φ + z eˆ z Se puede ve ue en esta ecuación ue los últimos dos téminos valen ceo ya ue no eiste vaiación del potencial con especto a φ ni con especto a z; entonces: esultando: λ E π ( L / + E ˆ L / e + ) L / + + ˆ e Paa una línea de caga infinita, L obtenemos de la epesión anteio: E λ π ˆ e Poblema.6 a) Gafiue la enegía almacenada de un dipolo como función del ángulo. b) Calcule cuál es la máima enegía almacenada. a) Esta gáfica es la de la Ec. (.6), ue es la siguiente: 59

14 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y.m. Chobadjian. b) De la misma ecuación (.6), se apecia ue la enegía almacenada es máima cuando cosθ entonces: U má PE Se obseva ue este esultado está de acuedo con la gáfica anteio. Poblema.7 Un disco de plástico de adio tiene una caga epatida unifomemente en su supeficie con densidad supeficial de caga σ. Calcule el potencial y el campo eléctico en un punto del eje del disco ue dista de su cento. Se divide el disco en elementos de áea π d ue se puede conside como anillos elementales de adio, cuya caga po unidad de longitud es λ σ d. Se empieza calculando el campo ceado po un anillo. Un elemento de anillo de longitud d ϕ cea un campo elemental de * λ dϕ π ( + ) Integando paa todo el anillo elemental de adio, y teniendo en cuenta ue la suma de las componentes del campo en la diección pependicula al eje se anula, el campo diección del eje : E * π λ dϕ ( * de cosα π + + / λ / ( + ) ) ( ) * E tiene la 6

15 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y.m. Chobadjian. hoa bien, teniendo en cuenta ue λ σ d, * E es el campo ceado po un elemento de disco y, po tanto, un campo elemental de. El campo ceado po todo el disco es E σ d de / + ( ) σ E σ E σ + donde se ha consideado positiva la aíz cuadada del denominado paa,, es deci lo ue está de acuedo paa >. Si se pasa al límite paa, a la deecha y a la izuieda del disco, se obtiene el campo eléctico de un plano indefinido ( << ) con caga supeficial σ. lim E( ) ( + ) σ u σ lim E( ) ( ) Este esultado significa ue, al atavesa un plano cagado, el campo eléctico sufe una discontinuidad Δ E. u Δ E σ σ σ u u u Paa calcula el potencial en un punto P del eje ue dista del cento se divide la supeficie del / disco en anillos elementales de caga d λ dφ σ d dϕ ue distan ( + ) del punto P. El potencial ceado en el punto P po la caga de un anillo elemental es d σ dϕ d π + / ( ) 6

16 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y.m. Chobadjian. El potencial debido a todo el disco cagado seá y siendo σ π σ ( ) π ( ) El potencial es máimo paa, Si >, el potencial se puede epesa π dϕ π / ( () π + ) ( + ) d Paa puntos alejados / ( ) + π << + / + se tiene el potencial de Coulomb (caga puntual) ( ) π Poblema.8 Un disco de mateial aislante de adio tiene una caga epatida en su supeficie, de modo ue la densidad supeficial de caga, σ, vaía popocionalmente con la distancia al cento del disco. Calcule el potencial y el campo eléctico en un punto del eje del disco ue dista de su cento. 6

17 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y.m. Chobadjian. Tomando σ k, la caga del disco es de donde σ ds π k π k dϕ d π k Paa calcula el potencial en un punto P del eje ue dista del cento se divide la supeficie del disco en elementos de supeficie de áea ds dϕ d en coodenadas polaes y ue distan ( / + ) del punto P. El potencial ceado en el punto P po la caga de un elemento del disco es d k dϕ d π + El potencial debido a todo el disco cagado seá / ( ) k π π dϕ ( + ) / d esolviendo la integal y sustituyendo el valo de k, se obtiene ( π + ) / a + ( + ) ln / Paa calcula el campo eléctico se pocede de modo análogo, teniendo en cuenta ue, debido a la simetía del poblema, las componentes del campo pependiculaes al eje del disco se anulan. El campo en el punto P sólo tiene componente en la diección del eje, y su valo se obtiene integando las componentes en la diección del eje de los campos geneados po cada elemento de áea E de cosα k dϕ d de π ( + k d π ϕ ) d + + / ( ) ( ) 6

18 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y.m. Chobadjian. Integando paa todo el disco, es deci, ente y π paa ϕ y ente y paa, se tiene / + ( + ) ln π ( + ) / Poblema.9 Una caga está distibuida en el volumen de una esfea de adio con una densidad cúbica de caga no unifome ρ ( ), siendo la distancia al cento de la esfea y una constante. Calcule: a) El valo de la constante en función de y de. b) El campo eléctico y el potencial de la esfea en puntos inteioes y eteioes. c) Los valoes del potencial en el cento y en la supeficie de la esfea. a) La caga total de la distibución es de donde π ρ dυ ( ) π d υ, π b) Los campos tienen simetía esféica y sus diecciones son adiales. plicando el teoema de Gauss a una supeficie esféica de adio <, se tiene E i ds ρ dυ ( ) π d 6

19 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y.m. Chobadjian. como el módulo de E tiene el mismo valo en todos los puntos de la supeficie gaussiana se veifica Ei ds Ei ds Ei ds E π, i po tanto E i π π π E i π ( ) El campo en un punto eteio se obtiene aplicando el teoema de Gauss a una supeficie esféica de adio >, E e ds ρ dυ e El potencial se calcula a pati de la ciculación del campo E π (paa < ) E d i π ( )d + + π (paa Paa > ) E e d π d π π De donde < + () π > () π 65

20 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y.m. Chobadjian. c) El potencial en el cento de la esfea se obtiene sustituyendo en la epesión () el valo de. π El potencial en la supeficie de la esfea, ya calculado, se obtiene sustituyendo en cualuiea de las epesiones () ó () Poblema. π El espacio compendido ente dos cilindos coaiales indefinidos de adios a y b (a < b) está cagado elécticamente con una densidad cúbica de caga no unifome, ρ, siendo la distancia al eje de los cilindos y una constante. Calcúlese: a) El campo eléctico en las distintas egiones del espacio. b) La difeencia de potencial ente los puntos, y, siendo a < < b y > b. a) En la egión < a E En la egión el campo eléctico tiene simetía cilíndica y su diección es la adial de las coodenadas cilíndicas. plicando el teoema de Gauss a una supeficie cilíndica de adio y altua h, y teniendo en cuenta ue el flujo del campo eléctico a tavés de las bases es ceo, se tiene a < < b E π h π h d, a 66

21 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y.m. Chobadjian. de donde se obtiene Del mismo modo, paa obteniéndose > b E E a b π h π h a E b a d b) Se calcula, a pati de la ciculación del campo eléctico b E d E b d b b a d b a d b + a ln + b ln b Poblema. Una esfea conductoa () de adio se caga a un potencial y después se aísla. continuación la esfea () se odea po ota esfea conductoa hueca (), concéntica con ella, de adios y < ), y se desea calcula los potenciales de las esfeas en las ( situaciones sucesivas siguientes: a) La esfea () está aislada y descagada. b) La esfea () se une a tiea. c) La esfea () se desconecta de tiea y después la esfea () se conecta a tiea. 67

22 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y.m. Chobadjian. Inicialmente la esfea () se conecta al potencial aduiiendo una caga continuación se aísla, manteniendo su caga constante. π. a) La esfea () tiene una caga π y la esfea () po inducción aduiee una caga en la supeficie inteio y + en la supeficie eteio. plicando el pincipio de supeposición, se tienen los potenciales de las dos esfeas + + π π π + π π π b) l conecta a tiea la esfea (), su potencial es y la caga de la esfea () es, colocada en la supeficie inteio. Como sólo hay campo en el espacio ente las dos esfeas, el potencial de la esfea () es E d π d π c) l desconecta de tiea la esfea () se mantiene su caga. l conecta a tiea la esfea (), su potencial es y su caga cambiaá a, paa ue sea ceo. Los valoes de los campos son ( < < ( > ) ) E E π π y los potenciales se calculan a pati de la ciculación de los campos E d π 68

23 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y.m. Chobadjian. d π π De estas dos ecuaciones se obtienen la caga de la esfea (), y el potencial de la esfea (), : + + π ) ( + Poblema. Tes láminas metálicas paalelas de áea S están dispuestas como se indica en la figua: la lámina cental, aislada, tiene una caga y las otas están unidas elécticamente y sepaadas de la lámina cental distancias d y d, espectivamente. Si a la lámina izuieda se le da una caga igual a, detemina: a) Las distibuciones de caga en las supeficies de las tes láminas. b) La fueza ue actúa sobe la lámina cental. Se despecian efectos de bodes ) ( S d <<. 69

24 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y.m. Chobadjian. a) Como las láminas y C están unidas elécticamente, la caga de la lámina se epate ente las caas de ambas láminas. Denominando las densidades de caga de las tes láminas con los subíndices ue se indican en la figua y teniendo en cuenta la consevación de la caga eléctica, se obtiene: Láminas y C: Lámina B: σ + σ + σ 5 + σ 6 () S σ + σ () S plicando el teoema de Gauss a las supeficies punteadas indicadas en la figua, como el campo en el inteio de los conductoes es ceo, también es ceo la caga enceada po la gaussiana (elementos coespondientes) σ + σ () σ + σ () 5 Las placas y C están al mismo potencial, es deci, la ciculación del campo C ente ellas es igual a ceo: Po tanto σ σ σ d + d + σ Po último, utilizando agumentos de simetía σ σ 6 esolviendo el sistema de las seis ecuaciones se obtienen los valoes σ σ 6 σ σ S S σ σ 5 S S S 7

25 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y.m. Chobadjian. b) El módulo de la fueza po unidad de áea (o pesión electostática) sobe la lámina cental es df ds σ σ 9 S S S su diección es nomal a la placa y el signo negativo indica ue está diigida hacia la izuieda. La fueza total sobe la lámina cental es F Poblema. Una esfea conductoa de adio está conectada a una fuente de potencial. Si la esfea se odea de una capa esféica dieléctica, concéntica con la esfea, de adios inteio y eteio y 9, espectivamente, ué pemitividad elativa debeá tene el dieléctico paa ue el campo eléctico en la zona vacía coloca el dieléctico? ( > 9) sea,5 veces mayo ue el ue había antes de ntes de pone el dieléctico, la caga de la esfea es, π π Después de pone el dieléctico la caga libe de la esfea es, ue se obtiene de la condición de ue el potencial de la esfea se mantiene igual a. 9 d π π 9 d 7

26 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y.m. Chobadjian. + π 9 π 9 De donde se encuenta ue 6π + 8 Como el campo en la zona vacía debe se,5 veces mayo después de pone el dieléctico, paa es deci > 9 se veifica,5 π π,5 6π + 8,5 (π ) de donde se despeja el valo de la pemitividad elativa del dieléctico, obteniéndose,6 Poblema. Considee una esfea sólida aislante de adio cagada en foma unifome con una caga. Detemine el potencial eléctico en las egiones ue se indican: a) > y b) < a) El potencial en este caso está dado po ( > ) E d E( > ) d Sustituyendo el valo del campo fuea po: E( > ) π Se obtiene 7

27 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y.m. Chobadjian. Integando se encuenta d ( > ) π ( > ) π b) El potencial está dado po ( < ) E d E( > ) d E( < ) d Sabiendo ue, E( > ), y ue E( < ), se obtiene π π ( < ) π d π d ( < ) π π ( ) Odenando téminos se encuenta ( ) π < Poblema.5 Considee una esfea conductoa aislada de adio con caga total. Detemine el potencial eléctico en las egiones ue se indican: a) > y b) a) El potencial al igual ue en poblema anteio está dado po ( > ) E d E( > ) d 7

28 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y.m. Chobadjian. Sustituyendo el valo del campo E( > ) y luego integando se encuenta π ( > ) π b) El potencial está dado po ( ) ) d E d E( > ) d E( < Sabiendo ue, E( > ), y ue E ( < ), se obtiene π Luego d ( ) π ( ) π 7