Facultad de Ingeniería Instituto de Ciencias Básicas

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1 Facultad de Ingenieía Instituto de Ciencias Básicas TÓPICOS DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO (Pimea Vesión) (Incluye poblemas esueltos) Julio Pozo Péez y Rosa Maía Chobadjian 6

2 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. INDICE CAPÍTULO I: FUERZA ELECTRICA Y CAMPO ELÉCTRICO..... Caga eléctica Conductoes y aisladoes Fueza eléctica (Ley de Coulomb) Densidad de caga eléctica Campo Eléctico 7.6. Líneas de fueza.9.7. Poblemas Resueltos CAPÍTULO II: LEY DE GAUSS Ley de Gauss Flujo eléctico...8. Poblemas Resueltos 9 CAPÍTULO III: EL POTENCIAL ELÉCTRICO Definición de difeencia de potencial Cálculo del potencial eléctico a pati del campo eléctico Potencial de una caga puntual Potencial debido a una distibución de caga Deteminación del campo eléctico a pati del potencial Poblemas Resueltos..55 CAPÍTULO IV: CONDENSADORES Y DIELECRICOS CAPÍTULO V: CIRCUITOS ELÉCTRICOS CAPÍTULO VI: EL CAMPO MAGNÉTICO CAPÍTULO VII: LEY DE AMPERE - LEY DE BIOT-SAVART CAPÍTULO VIII: LEY DE FARADAY CAPÍTULO IX: INDUCTANCIA CAPÍTULO X: PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA CAPÍTULO XI: ECUACIONES DE MAXWELL

3 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. CAPÍTULO I FUERZA ELECTRICA Y CAMPO ELÉCTRICO.. Caga eléctica La caga eléctica en sí duante el poceso de fotamiento no se cea, sólo existe una tansfeencia de caga negativa (electones), de la lana a la ebonita. Po consiguiente, la ebonita ueda cagada negativamente y la lana positivamente. Una obsevación expeimental es ue cuepos con cagas de igual signo se epelen y con cagas de signos distintos se ataen (Ley de polaidad). La mateia se compone de átomos y éstos a su vez de electones, potones, neutones y otas patículas ue son de meno impotancia en electostática. Los átomos son elécticamente neutos. Los electones son patículas cagadas negativamente, los potones son patículas con cagas positivas. El átomo tiene igual númeo de electones ue de potones. Cuando decimos ue un objeto está cagado, lo ue ueemos deci es ue tiene un exceso de caga; ue puede se positiva (deficiencia de electones) o negativa (exceso de electones). Expeimentalmente se obseva ue "la caga neta en un sistema ceado se conseva", esto es el enunciado del pincipio de la consevación de la caga. En el siglo pasado se ceía ue la caga eléctica ea un fluido continuo, peo a pincipios de este siglo, se descubió ue la caga eléctica está dada en unidades o pauetes de cagas sepaadas, y esta popiedad de la caga eléctica se conoce como "cuantización de la caga". Esta caga básica es la caga del electón ue se epesenta simbólicamente po e, y su valo -9 está dado e.66 [Coulomb]. Notación: las cagas macoscópicas se epesentan po o Q y euivalen a N e donde N es un númeo enteo.

4 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian... Conductoes y aisladoes Respecto al compotamiento eléctico, los mateiales pueden clasificase en geneal en dos clases: conductoes y aisladoes (dielécticos) de la electicidad. Los conductoes son substancias metálicas, como el cobe, plata, fieo, etc., ue contienen un gan númeo de potadoes de caga libe. Estos potadoes de caga (genealmente electones) se mueven libemente en el conducto. Los dielécticos, son mateiales en los ue las patículas cagadas no se mueven debido a ue están fuetemente ligadas a las moléculas de las ue foman pate, po ejemplo, vidio, plástico, pocelana, etc... Fueza eléctica (Ley de Coulomb) Uno de los pimeos científicos ue ealizó expeimentos paa el estudio cuantitativo de la fueza de atacción o epulsión ente dos cagas puntuales, fue el científico fancés Chales Augustin Coulomb (l76-86). Utilizando una balanza de tosión, simila a la ue utilizó posteiomente Cavendish paa medi las atacciones gavitacionales. El expeimento ue ealizó Coulomb fue diseñado con el popósito de analiza cómo la fueza ente dos cagas puntuales vaía con el poducto de la magnitud de las cagas e invesamente a su sepaación elevada al cuadado. Las cagas son epesentadas po y, y la sepaación ente las cagas po. Coulomb encontó ue la fueza ue ejecía una caga sobe la ota, estaba descita po: F K (.) Donde K epesenta una constante de popocionalidad cuyo valo dependeá del sistema de unidades ue se utilice. Esta expesión ecibe el nombe de Ley de Coulomb. La ecuación (.) se puede escibi en foma vectoial como donde ê F K es el vecto unitaio a lo lago de ˆ e ; eˆ ˆ e (.) como se indica en la siguiente Fig.; el signo algebaico de y, son los ue nos entegan el sentido de la fueza, si y, son 4

5 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. positivos, el sentido de la fueza en es en el sentido de ; si es negativa y es ê positiva, el sentido de F es contaia a ê. En el sistema SI la ley de Coulomb se puede escibi en la foma siguiente: F 4π ε ˆ e (.) donde K y ε, es una constante ue se conoce como la pemitividad del vacío o del espacio libe y su valo está dado po: - C ε N m Paa simplifica los cálculos se puede considea: K 9 4π ε 9 [ N m /C ] Cuando se considea la inteacción de un conjunto disceto fomado po vaias cagas puntuales y se desea sabe la fueza esultante sobe una caga específica, se encuenta ue la fueza total esultante es simplemente la suma vectoial de las fuezas debidas a cada una de las cagas. Esto se conoce como el Pincipio de Supeposición..4. Densidad de caga eléctica Densidad de caga volumética. Cuando una caga eléctica es distibuida en toda una egión del espacio, podemos defini la densidad de caga eléctica pomedio como la caga total en la egión dividida po el volumen de la egión. La densidad de la caga eléctica se simboliza po 5

6 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. ρ y tiene las unidades de [C/m ], cuando el volumen υ contiene la caga total, entonces la densidad de caga pomedio es: ρ υ pom (.4) La caga total se puede enconta a pati del volumen y la densidad de caga pomedio, es deci: ρ pom υ Estas elaciones son similaes a la definición de la densidad de la masa. En la inteacción ente cagas, supongamos ue lleguen a un aeglo euilibado en el cuál la fueza neta actuando en cada caga sea ceo; po lo tanto, es fecuente enconta distibuciones de caga ue no son unifomes. Podemos defini la densidad de la caga vaiable en función de la posición, esto es: ~ ( ) donde xiˆ + yj ˆ + zkˆ ue descibe la pesencia de cagas infinitesimales (d en cada egión infinitesimal) del espacio con volumen dv; es deci ue podemos expesa la densidad de la caga como: d ρ( ) lím (.5) V υ dυ Si la densidad de la caga no es función de la posición, entonces es constante; si se asume ue el límite existe y es independiente de los detalles de la subdivisión se puede escibi: ρ( ) dυ (.6) El difeencial de volumen d υ puede expesase en difeentes sistemas de coodenadas dependiendo del poblema en cuestión (catesianas, esféicas y cilíndicas). Densidad de caga lineal y supeficial. Si la egión cagada elécticamente es muy delgada compaada con su longitud y distante de otos cuepos, entonces se puede epesenta po una línea matemática (ideal), con una distibución de caga unidimensional λ, definida mediante 6

7 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. de donde se tiene ue d λ ( l) lím (.7) l l dl λ ( l) dl (.8) si λ es independiente de l o constante, entonces: L λ dt λ L La densidad de caga lineal está expesada en unidades de [C/m]. Si la caga se encuenta distibuida sobe una supeficie en una egión del espacio distante de otos cuepos se puede epesenta matemáticamente po la siguiente expesión: d σ ( ) lím (.9) S s ds de donde se obtiene σ ( ) ds (.) El difeencial de supeficie se debe expesa en sus coodenadas apopiadas. La densidad de caga supeficial está dada en unidades de [C/m ]..5. Campo Eléctico ( E ) Cuando una caga eléctica expeimenta una fueza de atacción o epulsión (en ausencia de campos gavitacionales y magnéticos) en una egión del espacio, existe un campo eléctico en esa egión. La magnitud del campo eléctico dependeá de la magnitud de la fueza eléctica y de la magnitud de la caga pueba (caga ue expeimenta la fueza). La fueza eléctica puede se geneada po cagas aisladas o bien po una distibución de caga. Supongamos ue la fueza se debe a una caga aislada, entonces se obseva expeimentalmente ue la atacción o epulsión sobe la caga de pueba es adial y se puede dibuja líneas adiales a la caga ue epesenten gáficamente la diección de epulsión o atacción, estas 7

8 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. líneas adiales se conocen como líneas de campo (las cuales son imaginaias) ue salen de las cagas positivas y entan a las cagas negativas como se muestan en la figua. El campo eléctico se define como la azón de la fueza eléctica F (ue expeimenta la caga pueba), po unidad de caga pueba ( ) ue po definición se considea positiva. Esto es: E De la Fig. anteio se obseva ue la diección de la fueza está en la diección del campo. F Si se tiene una caga punto, y a una distancia se encuenta una caga pueba, se puede emplea la ley de Coulomb, ecuación (.). Paa obtene ue: F 4π ε ˆ e Si se divide ambos lados de la ecuación po se obtendá una expesión del campo eléctico paa cagas aisladas. E F 4π ε ˆ e (.) 8

9 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. Paa detemina el campo eléctico en el punto P, debido a la pesencia de un conjunto disceto de cagas puntuales se utiliza el pincipio de supeposición el cual consiste en la suma vectoial de los campos en el punto P, dado po E n F i i 4π ε n i i i eˆ i (.) Donde i epesenta la caga de cada una, y la distancia de las cagas al punto donde se i desea calcula el campo. Deteminación del campo eléctico paa distibuciones continuas Tomando el límite continuo de la ecuacion (.) ue consiste en escibi: n i i i d (.4) Se obtiene ue el campo paa una distibución continua de caga, está dado po E 4π ε d ˆ e (.5) donde λdl ( distibución lineal) d σ ds ( distibución sup eficial) ρ dυ ( distibución volumética) d es una difeencial de caga, es la distancia ente el difeencial de caga y el punto donde se desea calcula el campo y e es el vecto unitaio ue nos indica la diección del campo, siguiendo la tayectoia de. ˆ.6. Líneas de fueza Las líneas de fueza o líneas de campo son líneas imaginaias tazadas de tal foma, ue la tangente en un punto coincide con la diección del campo eléctico en dicho punto. 9

10 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. a) Dos cagas iguales. b) Dipolo eléctico. c) Placa cagada. d) Dos placas paalelas con la misma densidad de caga, y signo contaio.

11 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. e) Cascaones cilíndicos concénticos con la misma caga total, de signos contaios. Al analiza los diagamas de la Fig. anteioes paa difeentes distibuciones de caga, se obseva ue:. Las líneas de Fueza comienzan en las cagas positivas y teminan en las cagas negativas.. La tangente a la línea de fueza en cualuie punto es paalela a la diección del campo eléctico en ese punto.. El númeo de líneas de fueza po unidad de áea en una egión del espacio está en elación diecta a la magnitud del campo eléctico. A mayo númeo de líneas de fueza po unidad de áea, mayo la magnitud del campo. 4. Las líneas de fueza nunca se cuzan..7. Poblemas esueltos Poblema. En cada uno de los vétices de un tiángulo euiláteo de lado a m se tienen las siguientes cagas l C, l C, -6 C. Cuál es la fueza esultante sobe?

12 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. De acuedo con el pincipio de supeposición: F R F iˆ + F x y ˆj Del diagama vectoial de la Fig. anteio: F x F + F cos 6 F y F sen 6 de la aplicación de la Ley de Coulomb, se puede escibi ue : F x + cos 6 4 π ε a 4 π ε a dado ue, se tiene ue F x 6 4 π ε a ( + cos ) F y sen 6 4 π ε a Teniendo pesente ue 9 K /( ) 9 [ Nm C / ]. Sustituyendo los datos se tiene: F x 9 Nm 9 C m C ( +.5) F x 7 [ N]

13 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. F y 9 9 Nm C m C 5.58 [ N] La fueza esultante escita en foma vectoial es: F R (7 eˆ x eˆ ) [ N] y Poblema. Paa el sistema de la figua fomado po dos péndulos idénticos, cagados con cagas iguales y de masas iguales m. Detemine: a) El valo del Anguloθ paa ue el sistema se encuente en euilibio. b) La distancia de sepaación x, entes las cagas paa ángulos peueños. θ θ l senθ / l a) Del DCL de la caga del lado deecho de la figua anteio, se tiene θ F E K F G mg De la figua anteio F E F G tanθ

14 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. Sustituyendo los valoes de las fuezas espectivas y sabiendo a pati de la pimea figua ue lsenθ, se obtiene de donde se encuenta ue K mg tanθ (l senθ ) K sen θ tan θ 4l mg b) Paa ángulos peueños se tiene: ecuación anteio, se encuenta x / tan θ senθ. Entonces, eemplazando en la l x 8l K lk x ; 4l mg mg K luego x l πε mg / Poblema. Dos patículas de igual masa m, están suspendidas po cuedas de longitud l de puntos sepaados, una distancia d como se muesta en la figua. Calcule la magnitud de cada caga si la distancia hoizontal ue sepaa las patículas es. 4

15 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. Siguiendo el mismo pocedimiento ue el empleado en el poblema anteio (.), también se puede escibi F E F G tanθ Sustituyendo los valoes de las fuezas espectivas senθ mg tanθ mg cosθ de donde se encuenta senθ mg cosθ po oto lado, de la figua anteio, se tiene ue d lsen θ + d senθ l expesando cosθ sen θ, después de sustitui, se obtiene mg { l [( d ) / ] [( d ) / ] } / Poblema.4 Si se tiene una esfea dieléctica de adio R con una densidad de caga volumética ρ A [C/m ]; donde A es constante. Calcule la caga total enceada en la esfea. Utilizando la ecuación (.6) tenemos ue ρ A entonces: A dυ A d υ Dado ue el volumen de una esfea es 4/ π R, entonces 4/ π R A. 5

16 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. Poblema.5 Una esfea maciza, no conductoa, de adio a, con una cavidad esféica de adio b, como se muesta en la figua, tiene una distibución de caga volumética ρ A/ donde A es una constante. Calcule la caga ue se encuenta en la esfea. Utilizando la ecuación (.6), se tiene ue: ρ dυ En coodenadas esféicas dυ dsenθ dθ dφ, entonces ρ dυ ππ a b A dsenθ dθ dφ Luego 4 π A a b d De donde se encuenta ue la caga en la esfea es: 4π A a Ln b 6

17 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. Poblema.6 Una semiesfea hueca dieléctica tiene una distibución de caga eléctica σ ( θ ) σ senθ, donde σ está expesada en [C/m ]. Calcule la caga total ue se encuenta en la semiesfea hueca. Paa una distibución supeficial de caga se tiene ue : σ (θ ) ds en esta caso ds senθ dθ dφ. Sustituyendo, se obtiene ππ / σ ( σ sen senθ dθ dφ ) π π / dφ sen θ d θ π / [ θ senθ θ ] σ π cos evaluando: σ π [ C]. Esta expesión nos muesta ue la caga total ue no está distibuida unifomemente. 7

18 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. Poblema.7 Dipolo eléctico. Se tienen dos cagas iguales de signo contaio sepaadas po una distancia peueña, como se muesta en la figua, esta configuación se conoce como Dipolo eléctico. Suponiendo ue >> a, calcule el campo eléctico debido a estas cagas en un punto localizado a una distancia del cento del dipolo, según la pependicula bisectiz de la línea ue une las cagas. (donde R + a ) De acuedo con el pincipio de supeposición: E E + E Según la ecuación.: De la Fig. E E E 4π ε R E cosθ donde a cos θ. R Sustituyendo los valoes de E 4π ε E, R y de ( a + cos θ, se obtiene: ) a 4π ε a ( a + ) ( a + ) Paa el caso en ue a <<, entonces, se puede omiti el a del denominado y la magnitud del campo eléctico paa el dipolo está dada po: E 4π ε a 8

19 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. El poducto a se conoce como momento del dipolo eléctico P, y en geneal paa el cálculo del campo eléctico nunca se tabaja con los factoes y a sepaados, sino siempe con el poducto ue se sustituye po P. Paa el caso en, el cual escibi como: Poblema.8 E 4π ε P >> a el campo del dipolo se puede Se tiene un anillo de adio a, cagado positivamente con una distibución de caga unifome lineal λ. Calcula E a una distancia x sobe el eje del anillo a pati de su cento. (ve Fig.). De la definición de densidad lineal de caga, se tiene ue d λ dl lo cual poduciá un difeencial de campo eléctico en el punto en cuestión, ue de acuedo con la ecuación (.4), esulta: de d λ dl 4π ε 4π ε ( a + x de la Fig. se puede ve ue al intega, la componente pependicula al eje se anula uedando solamente la componente colineal, de auí ue: ) donde: E de cosθ cos θ ( x x + a ) 9

20 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. entonces: λ dl x λ x E 4π ε ( a + x ) 4π ε ( a + x ) π a dl Integando y evaluando Paa x >> a, se tiene ue π a λ x E 4π ε ( a + x ) E 4π ε π a λ x donde π a λ epesenta la caga total del anillo. Del esultado anteio se puede conclui ue paa gandes distancias, el anillo se compota como una caga puntual. Poblema.9 Considee un aco semicicula como el de la figua, cagado unifomemente con una densidad lineal λ. Detemine el campo eléctico en el cento de cuvatua del aco. dl θ de de cosθ a De la figua se tiene de y de cosθ po simetía E x Po oto lado, de la definición de campo eléctico se obtiene ue de d

21 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. sustituyendo en la ecuación anteio, se puede escibi de y d cosθ paa este caso d λdl, donde, dl adθ y a, entonces λ dl λ a dθ de y cosθ cosθ a Integando En foma vectoial π / λ λ cosθ dθ a πε a E y π / E λ ( ˆ πε a y e y ) Poblema. La mitad de un cascaón esféico, no conducto de adio inteio, tiene una caga total Q distibuida unifomemente en su supeficie inteio. Calcula el campo eléctico en el cento de cuvatua. De la figua se ve ue po simetía E, (ve poblema anteio), entonces se puede escibi y de x de cosθ

22 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. De la ecuación (.5), se tiene ue de 4π ε d d de x de cosθ cosθ 4π ε Sabiendo ue d σ ds e integando se obtiene E x 4π ε σ ds cosθ dado ue ds senθ dθ dφ, se tiene E x 4π ε σ ds cosθ 4 σ π ε ππ / senθ cosθ dθ dφ E x σ ε π / senθ cosθ dθ como π / sen θ cosθ dθ, se tiene E x σ 4ε Q dado ue σ π, sustituyendo se encuenta E x Q 8 π ε Poblema. Paa un anillo cicula de adio a con una distibución de caga lineal λ λ ( + cosθ ) como el de la Fig. Calcule la caga total del anillo.

23 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. Paa esta caso la caga eléctica se detemina a pati de λ dl donde λ λ ( + cosθ ) y de la figua se tiene ue dl adθ Reemplazando se encuenta de donde se obtiene ue π λ ( + cosθ adθ ) πaλ Poblema. Una esfeita no conductoa con una caga, cuelga de un hilo de longitud l dento de un campo eléctico E. Calcule la masa de la esfeita si el ángulo ente la vetical y el hilo es θ a) Del DCL de la caga se tiene θ F E E F G mg

24 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. De la figua anteio F E F G tanθ Sustituyendo lo valoes de las fuezas, se tiene E mg tanθ de donde se encuenta m E g tanθ Poblema. Detemine la caga en el volumen definido po [m] en coodenadas esféicas si: 5cos φ ρ [ C / m ] 4 La caga en un volumen está dada po ρ dυ donde d υ (en coodenadas esféicas), luego ρ dυ π ππ 5cos π 4 φ cos φ dφ senθ dθ d senθ dθ dφ 5 d Dado ue cos φ + cos(φ ), se tiene π 5 ( + cos(φ )) dφ senθ dθ π d 5 ( π )() 5π [ C] 4

25 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. Poblema.4 Demueste ue la magnitud máxima del campo eléctico a lo lago del eje de un anillo Q cagado unifomemente ocue cuando x a / y tiene un valo de E 6π ε a El campo eléctico paa este caso es E 4 πε Q x / ( a + x ) Deivando con especto a x e igualando a ceo se obtiene x a / Evaluando el valo del campo en x a /, se encuenta E Q 6π ε a Poblema.5 Una vailla de longitud L no conductoa tiene una distibución de caga lineal unifoma λ. Detemine el campo eléctico en el punto P a una distancia b sobe la pependicula bisectiz. x dx x L / x L / de x de senθ b θ. P de de y de cosθ 5

26 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. De la figua se tiene ue de de y x de cosθ desenθ la componente E x po simetía como E, se tiene ue de d d de y de cosθ cosθ Paa esta caso d λ dx, y cos θ b /, luego sustituyendo se tiene como + / ( x b ) se obtiene de y λdx b 4 λb πε dx Integando λb dx de y 4 πε + b / ( x ) E y λb L / dx / L / ( x + b ) dx x Dado ue / / ( x + b ) b ( x + b ), se encuenta λ L E y 4 πε b + b / ( L / 4 ) También se puede escibi E λ L y πε b + b / ( L 4 ) 6

27 Tópicos de Electicidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. Poblema.6 Detemine el campo eléctico en un punto P ubicado a una distancia b del extemo izuiedo de la baa del poblema anteio. P. x b L dx x L + b Teniendo pesente el poblema anteio, se puede escibi de d 4 πε λ dx x Integando se encuenta L b λ dx λ E x b L + b b 7