TEMA 1 CAMPO ELECTROSTÁTICO

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1 Física II TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 1 TEMA 1 CAMPO ELECTROSTÁTICO 1.- Concepto de Campo. Campo de fuezas Si en una egión del espacio existe una magnitud física definida en cada uno de sus puntos, la función que asocia a cada punto el valo que la magnitud toma en él ecibe el nombe de Campo. Supongamos una habitación que tiene una estufa en un luga deteminado. Si midiéamos la tempeatua estacionaia en difeentes puntos de ella encontaíamos, en geneal, valoes difeentes (las egiones más póximas a la estufa tendían tempeatuas más altas que las más alejadas). Si a cada punto de la habitación le asignamos la tempeatua a la que se encuenta, la habitación constituye un Campo de tempeatuas. Imaginemos un ecipiente gande que contiene agua. Difeentes puntos del ecipiente tendán difeente pesión (los más póximos al fondo tendán mayo pesión que los más póximos a la supeficie). La asociación de la pesión a cada punto del ecipiente constituye un Campo de pesiones. Igualmente, los difeentes puntos de una montaña se encuentan a difeente altua sobe el nivel del ma. Si a cada punto de la montaña le asignamos la altua a la que se encuenta, tendemos un campo de altuas. En todos los ejemplos que hemos puesto hasta ahoa, la magnitud física que hemos asociado a cada punto ea una magnitud escala, azón po la cual el campo coespondiente ecibe el nombe de campo escala. Si a cada punto le asociamos una magnitud vectoial, el campo coespondiente es un campo vectoial. Supongamos un ío que discue po su cauce. En distintos puntos del mismo la velocidad del agua seá, en geneal, difeente. Si a cada punto le asociamos la velocidad, tendemos un Campo de velocidades, ejemplo caacteístico de campo vectoial. Un cuepo situado en los alededoes de la Tiea se encuenta sometido a una cieta fueza. Si a cada punto de los que odean a la Tiea le asignamos la fueza que en él expeimenta un deteminado cuepo patón, tendemos un campo de fuezas. Paa visualiza cómo vaía la magnitud asociada a cada punto en la egión en la que está definida, se ecue a epesenta los campos gáficamente. Veamos en pime luga cómo se epesentan los campos escalaes. Consideemos el campo de altuas en una montaña; la foma más sencilla de ve cómo vaía la altua es uni, mediante una línea, todos los puntos de la montaña que se encuentan a la misma altua (Figua 1a): tendemos así un conjunto de Figua 1 cuvas situadas espacialmente. Poyectando estas cuvas sobe el plano XOY, tendemos epesentadas las conocidas cuvas de nivel (Figua 1b). Obsevemos que las cuvas de nivel suministan ápidamente infomación: hacia la izquieda las cuvas están más espaciadas que hacia la deecha, lo que indica que la montaña tiene meno pendiente po la izquieda Aguia Gacía, J; Delgado Cabello, J. (11). Física II Bajo licencia Ceative Commons Attibution-Non-Comecial-ShaeAlike 3.

2 Física II TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ que po la deecha. Consideemos ahoa el ejemplo del campo de pesiones definido en un ecipiente con agua: cada plano paalelo a la base del ecipiente es el luga geomético de todos los puntos que se encuentan a idéntica pesión (Figua a). La poyección de estos planos hoizontales sobe un plano vetical da luga a un conjunto de ectas paalelas de igual pesión (Figua b): son las líneas isóbaas. En geneal, los campos escalaes se epesentan gáficamente mediante supeficies en las que el escala toma idéntico valo (isosupeficies) o bien mediante isolíneas, que son las que esultan de poyecta las isosupeficies sobe un plano. La foma más fecuente de epesenta gáficamente un campo vectoial es dibuja las líneas de campo. Dichas Figua líneas se dibujan de foma que el vecto que caacteiza al campo vectoial sea tangente a ellas en cada uno de sus puntos. En caso de los campos de fueza, las líneas de campo suelen llamase líneas de fueza. En la figua 3 hemos epesentado las líneas de campo del campo de velocidades en la supeficie de un ío. Supongamos una patícula pequeña, cagada elécticamente. Si en sus poximidades existe ota patícula cagada, se puede compoba que ente ambas existe una fueza de inteacción, cuya diección es la de la ecta que une ambas patículas. También esulta útil estudia las inteacciones elécticas basándose en el hecho de que una patícula cagada cea un campo eléctico y que cualquie ota patícula inteacciona con la pimea a tavés del campo eléctico existente. Figua 3.- Caga eléctica. Electización po inducción y po contacto Las obsevaciones sobe la atacción eléctica se emontan a la Gecia antigua. Thales de Mileto obsevó que cuando se fotaba el ámba (elektón), ataía pequeños objetos tales como plumas o pajitas. Confundió esta atacción con la atacción magnética del hieo po la pieda imán (magnetita). En el siglo XVI, Gilbet estudió sistemáticamente los efectos elécticos (apaentemente, no detectó la epulsión eléctica) y magnéticos (descubió que la Tiea es un inmenso imán, con su polo Note y su polo Su). Fue el pimeo que entendió claamente la difeencia ente la atacción eléctica y magnética e intodujo los conceptos de fueza eléctica, atacción eléctica y polo magnético. Alededo de 179, el inglés Stephen Gay descubió que la atacción y la epulsión eléctica puede tansfeise de un cuepo a oto si se conectan mediante deteminadas sustancias, especialmente metales (así pues, no solamente fotando puede electizase un cuepo). Chales Fançois du Fay ( ) obsevó que una vailla de vidio, peviamente fotada, ataía a una laminilla de oo. Si se ponían en contacto, entonces se epelían. Peo la laminilla de oo ea ataída po otas sustancias peviamente electificadas como el ámba o Aguia Gacía, J; Delgado Cabello, J. (11). Física II Bajo licencia Ceative Commons Attibution-Non-Comecial-ShaeAlike 3.

3 Física II TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 3 la esina. Po ello, sugiió la existencia de dos tipos de electicidad: la vítea y la esinosa. En 1747, Benjamín Fanklin popuso que todo cuepo tiene una cantidad de electicidad nomal. Cuando un cuepo se fota conta oto, pate de la electicidad se tansfiee de uno a oto, con lo que uno de ellos tendá un exceso de electicidad y el oto un defecto de la misma igual al exceso del pimeo, pudiendo escibise el exceso con un más y el defecto con un menos (Hoy sabemos que lo que se tansfieen son electones y, po tanto, al exceso lo caacteizamos con un menos y el defecto con un más).! Electización po inducción.- En la figua 4a pueden obsevase dos esfeas, inicialmente en estado neuto, suspendidas y en contacto diecto. Debido a la pesencia de una vailla cagada, adquieen cagas opuestas sobe cada extemo. Si las esfeas son sepaadas y la vailla etiada, cada esfea etiene su caga: la caga neta de las dos esfeas es ceo, peo hemos sido capaces de aisla las cagas positivas en una esfea y las negativas en la ota. Figua 4. Se puede coloca una caga neta sobe un cuepo, sin que exista contacto, mediante inducción electostática. (a) Cuando un cuepo cagado se aceca a uno neuto, la caa póxima adquiee caga opuesta. (b) Si se sepaan las esfeas y se etia la vailla cagada, cada esfea conseva su caga. Evidentemente, la suma total de cagas es ceo.! Electización po contacto.- Si una vailla de vidio cagada positivamente se aceca a una esfea Figua 5 metálica suspendida de un hilo no conducto, los electones de la esfea póximos a la vailla son ataídos a la Electización de una esfea po contacto con una vailla cagada supeficie, dejando la zona opuesta con un exceso de caga positiva (es la inducción electostática). Si ponemos en contacto la vailla y la esfea (Figua 5b), las cagas negativas de la esfea son neutalizadas po algunas de las cagas positivas de la vailla, con lo que la esfea quedaá cagada positivamente (po el contacto con la vailla) y seá epelida po la vailla (Figua 5c). 3.- El expeimento de la cubeta de hielo de Faaday. Consevación de la caga Las expeiencias elatadas en el epígafe anteio (incluidas las de Benjamín Fanklin) demuestan que la caga total se conseva. La pesencia de caga se midió cuantitativamente po medio de un electoscopio, que consta de dos hojas laminaes metálicas unidas. Cuando adquiían caga, la epulsión mutua oiginaba que las hojas se sepaaan. En el año 1843, Michael Faaday utilizó un electoscopio paa ealiza el sencillo, peo ilustativo, expeimento de la cubeta de hielo mostado en la figua 6. Cuando un cuepo conducto cagado se intoduce en el inteio de un conducto ceado y aislado, apaece una cantidad igual de caga en el exteio del conducto, como lo evidencia el hecho de que se sepaen las hojas del electoscopio (Figua 6b). Si se etia el cuepo Aguia Gacía, J; Delgado Cabello, J. (11). Física II Bajo licencia Ceative Commons Attibution-Non-Comecial-ShaeAlike 3.

4 Física II TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 4 cagado, la caga en el inteio y en el exteio cae súbitamente a ceo y la situación vuelve a se la de la figua 6a. Sin embago, si el cuepo cagado se pone en contacto con la paed inteio (Figua 6c), el cuepo se descaga (al se neutalizadas sus cagas positivas con las negativas de la paed inteio) y el conducto queda cagado con caga positiva (caga po contacto). Al etia el cuepo inicialmente cagado (Figua 6d), el electoscopio seguiá con sus hojas sepaadas mostando la existencia de caga en el conducto. Si este poceso se epite, la caga sobe el conducto (que ea una cubeta de hielo cuando Faaday ealizó el expeimento) puede acumulase indefinidamente. Éste es el pincipio de los geneadoes electostáticos, donde gandes cantidades de caga son almacenadas po el continuo depósito de pequeñas cantidades de caga. Esta gan acumulación de caga da luga a una gan fueza sobe cualquie ota caga póxima, azón po la que los geneadoes electostáticos se han utilizado paa acelea patículas cagadas a velocidades muy altas. Figua 6. Faaday fue el pimeo en demosta el pincipio de consevación de la caga utilizando un electoscopio y una cubeta de hielo inicialmente descagada 4.- El expeimento de Millikan. Cuantización de la caga Robet A. Millikan ( ) midió la caga del electón en su famoso expeimento de la gota de aceite dando, además, evidencia convincente de que el electón ea pate constitutiva de los átomos. En su expeimento, Millikan dejaba cae gotitas de aceite mineal ente dos placas conductoas y paalelas (Figua 7). Ajustó el valo del campo eléctico ente las placas hasta que la gotita quedó suspendida en el espacio; en ese momento, el peso de la gotita quedaba exactamente equilibado po la fueza eléctica. A pati de Figua 7. Expeimento de Millikan Aguia Gacía, J; Delgado Cabello, J. (11). Física II Bajo licencia Ceative Commons Attibution-Non-Comecial-ShaeAlike 3.

5 Física II TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 5 esta igualdad de fuezas, Millikan encontó que la caga de cada gota ea un múltiplo muy pequeño y enteo de 1,6A1-19 C y nunca obsevó un valo más pequeño que éste. La caga de la gota ea unas veces positiva y ota negativa, lo que indicaba que la gota había pedido o ganado electones, espectivamente (pesumiblemente, po fotamiento al se emitida po el pulveizado). Millikan intepetó que su expeimento entañaba que la meno caga que se puede enconta en la natualeza es 1,6A1-19 C, caga que designó po e y que, en foma negativa, atibuyó al electón. Como además, la caga de la gota ea siempe un múltiplo de e, llegó a la conclusión de que la caga está cuantizada, siendo la del electón el cuanto elemental. 5.- Ley de Coulomb Chales Augustin Coulomb ( ) midió po pimea vez, en 1785, las atacciones y epulsiones elécticas en foma cuantitativa y enunció la ley que las ige. Paa ello, utilizó una balanza de tosión (Figua 8), dispositivo que, con algunas modificaciones, fue usado más tade po Cavendish paa medi las atacciones gavitatoias y detemina el valo de la constante de gavitación univesal. Si se cagan las esfeas 1 y de la figua 8, la fueza eléctica sobe 1 tendeá a toce la fiba de suspensión. Coulomb contaestó este efecto de tosión giando la cabeza de suspensión un ángulo, necesaio paa mantene las cagas a la distancia que le inteesaba: dicho ángulo es, pues, una medida elativa de la fueza eléctica ejecida sobe la caga de 1. Los pimeos esultados expeimentales de Coulomb pueden epesentase así: 1 F donde F es la magnitud de la fueza eléctica que actúa sobe cada una de las dos cagas y es la distancia que las sepaa. Estas fuezas, según el pincipio de acción y eacción de Newton, actúan en la ecta que une las cagas, son de igual módulo y de sentidos opuestos. Figua 8. Balanza de tosión de Coulomb Coulomb también estudió cómo vaiaba la fueza eléctica con el valo elativo de las cagas existentes en las esfeas de su balanza de tosión. Siguiendo la técnica de electización po contacto, amplió la elación de la invesa de los cuadados a F q q 1 Actualmente, la ley de Coulomb se enuncia así: La fueza de inteacción ente dos cagas puntuales en eposo tiene la diección de la ecta que une las cagas y es diectamente popocional al poducto de las mismas e invesamente popocional al cuadado de la distancia que las sepaa. Matemáticamente, si llamamos u 1 a un vecto unitaio en la diección de la ecta que une las cagas, oientado hacia q (Figua 9), u 1 a su opuesto, a la fueza que actúa sobe q y F 1 a la que actúa sobe, tendemos: F q 1 Aguia Gacía, J; Delgado Cabello, J. (11). Física II Bajo licencia Ceative Commons Attibution-Non-Comecial-ShaeAlike 3.

6 Física II TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 6 q1q F1 = k u 1 [1.1] q1q F = k u 1 = F1 [1.] F = F = F = k Figua 9 La ley de Coulomb pesenta vaias esticciones contenidas en su popio enunciado y fomulación: 1º) Sólo es aplicable a cagas puntuales, es deci, a cuepos cagados cuyos tamaños sean mucho menoes que la distancia que los sepaa. º) Dichas cagas han de esta en eposo. 3º) La fomulación matemática dada sólo es aplicable en el vacío. q 1 1 [1.3] Paa acionaliza las fómulas, es costumbe escibi la constante de popocionalidad k (el subíndice ceo hace efeencia al vacío) como q k = 1 4πε [1.4] donde ε es una constante denominada pemitividad dieléctica del vacío. Hemos intoducido una nueva magnitud, la caga, y po tanto hemos de habla de sus unidades. Asimismo, tenemos que detemina el valo de k. Tenemos dos opciones: 1ª) Asigna un valo abitaio a k y, en función de él, defini la unidad de caga. º) Defini abitaiamente la unidad de caga y, en función de ella, detemina el valo de k. El pime camino es el que se sigue en el sistema electostático de unidades y el segundo en el sistema Intenacional. En el sistema electostático de unidades (que no es más que el CGS ampliado), se asigna a k el valo abitaio 1 (sin unidades). Así pues S.E.E. : k = 1 [1.5] La unidad de caga de dicho sistema ecibe el nombe de fanklin, definida po la ley de Coulomb como la caga que, situada en el vacío a una distancia de un centímeto de ota idéntica, inteacciona con ella con una fueza de una dina. Así pues: fk fk dina = fk = cm dina [1.6] cm En el Sistema Intenacional de unidades, como dijimos anteiomente, se define abitaiamente la unidad Aguia Gacía, J; Delgado Cabello, J. (11). Física II Bajo licencia Ceative Commons Attibution-Non-Comecial-ShaeAlike 3.

7 Física II TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 7 de caga. Desgaciadamente, aún no estamos en condiciones de defini dicha unidad (lo haemos en un tema posteio) y, po ahoa, nos confomaemos con su nombe: culombio. Situando en el vacío dos cagas de 1 culombio, sepaadas una distancia de 1 meto y midiendo la fueza con que inteaccionan, podemos aveigua el valo de k en el Sistema Intenacional. Dicho valo esulta se: k k = 1 S.I. : k = 8,9875A1 9 N m /C. 9A1 9 N m /C [1.7] De la fómula [1.4] podemosdeduci el valo de 9 N m 9 9 N m C 9 1 Nm C = 9 1 C ε 1 S.E.E.: ε = [1.8] 4π en ambos sistemas de unidades. 1 S.I.: ε = 8, C Nm [1.9] Vamos a detemina ahoa la equivalencia ente ambas unidades de caga, paa lo que nos basaemos en el valo que toma k en ambos sistemas de unidades. = 9 = 9 1 N 5 dinas 1 N m 1 4 cm m = 9 1 dinascm = 3 1 cm dina = 3 1 fk 1 C. 3A1 9 fk [1.1] Digamos paa finaliza que el aie se compota, desde el punto de vista electostático, pácticamente igual que el vacío (sus pemitividades dielécticas son muy similaes) po lo que la tecea esticción de la ley de Coulomb debe queda así: 3º) La fomulación matemática dada sólo es aplicable al vacío y al aie. 6.- Campo eléctico Definimos campo eléctico como cualquie egión del espacio en la que una caga eléctica expeimenta una fueza eléctica, que, evidentemente, se debe a la pesencia en dicha egión de, al menos, ota caga. Definimos intensidad de campo eléctico ( E ) en un punto de la egión (o campo eléctico, sin más) como la fueza que el campo ejeceía sobe la unidad de caga positiva situada en ese punto (lo que es equivalente a deci "la opuesta de la fueza que el campo ejeceía sobe la unidad de caga negativa situada en dicho punto"). Matemáticamente F E = q ' [1.11] donde admitimos que la pesencia de q' (llamada caga-testigo o caga-pueba) no modifica la distibución oiginal de la caga o cagas ceadoas del campo. En la páctica, esto es cieto si q' es de valo tan pequeño que su influencia es despeciable. Po ello, podíamos fomula con más igo la ecuación [1.11] en la foma Aguia Gacía, J; Delgado Cabello, J. (11). Física II Bajo licencia Ceative Commons Attibution-Non-Comecial-ShaeAlike 3.

8 Física II TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 8 F E = lim [1.11 bis] q ' q ' De la fomulación matemática de la intensidad de campo deducimos que los vectoes intensidad de campo y fueza son de la misma diección y sentido si la caga-testigo es positiva y de sentidos opuestos si dicha caga-testigo es negativa. 7.- Campo eléctico ceado po una caga puntual. Líneas de Campo Si el campo eléctico está ceado po una única caga puntual, la aplicación simultánea de la ley de Coulomb y de la ecuación [1.11] nos lleva a: ' q E = F q q k u k u [1.1] q ' = q ' = donde u es un vecto unitaio cuya diección es la de la ecta que une la caga ceadoa del Campo q con el punto en el que se evalúa la intensidad de Campo y cuyo sentido es "hacia afuea". La pesencia de un Campo eléctico en una egión puede indicase fácilmente dibujando las llamadas líneas de fueza o líneas de Campo, que son líneas imaginaias que tienen la popiedad de que el vecto Campo es tangente a ellas en cada uno de sus puntos. Paa obtene estas líneas de Campo se utilizan, además, las siguientes eglas: * El númeo de líneas de Campo que ataviesan la unidad de supeficie situada pependiculamente a ellas (densidad de líneas de Campo) es popocional al valo del Campo en la egión. Consecuentemente, el Campo es intenso cuando las líneas están muy póximas ente sí y débil si están muy sepaadas. * Las líneas de Campo se dibujan siempe saliendo de las cagas positivas (manantiales de líneas de Campo) y entando en las negativas (sumideos de líneas de Campo). Es una consecuencia obvia del hecho de que el vecto E es tangente a ellas en cada punto. * El númeo de líneas de Campo que se dibujen saliendo de un manantial o entando en un sumideo es popocional al valo de la caga. * No pueden cotase líneas de Campo en un punto en el que no exista caga, pues ello supondía la existencia en dicho punto de vectoes Campo difeentes. Esta epesentación del Campo eléctico es absolutamente coheente con la Ley de Coulomb. En efecto, consideemos una supeficie esféica de adio en cuyo cento haya una caga puntual. En cualquie punto de dicha supeficie el Campo tiene el mismo valo. El númeo de líneas de Campo que salen (si q > ) o llegan (si q < ) a la caga deben atavesa la supeficie esféica, po lo que la densidad de líneas seá N/S = N/4B. Como la intensidad de Campo es popocional a la densidad de líneas, E = CN/S = CN/4B = C'/, y ésta es, pecisamente, la ley de Coulomb. Aguia Gacía, J; Delgado Cabello, J. (11). Física II Bajo licencia Ceative Commons Attibution-Non-Comecial-ShaeAlike 3.

9 Física II TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 9 En la figua 1 pueden obsevase las líneas de Campo cuando el Campo lo cea una caga puntual positiva (Figua 1a), una caga puntual negativa (Figua 1b) y las coespondientes a un Campo unifome (Figua 1c) como el que existe ente las placas de un condensado. Nótese que en este último caso, de acuedo con las popiedades enunciadas paa las líneas de Campo, las líneas son paalelas y equiespaciadas. Figua 1 El modelo de las líneas de Campo pesenta tes inconvenientes destacables: 1º) Pueden hacenos cee que las líneas de Campo son algo mateial y ello es absolutamente falso: constituyen, sólo, un atificio paa da una descipción cualitativa del Campo eléctico. º) El hecho de que sólo se dibujen algunas líneas puede hacenos pensa que el campo está cuantizado y que sólo actúa en deteminadas diecciones, lo cual también es falso. El Campo es continuo y existe en todo punto. 3º) Puesto que los dibujos son bidimensionales, podemos pede la pespectiva espacial del campo eléctico. 8.- Pincipio de supeposición Qué ocue si el Campo eléctico está ceado po más de una caga puntual o po una distibución continua de ellas (como ocue en la figua 1c)? La espuesta está en el llamado pincipio de supeposición (de caácte empíico) que, litealmente, dice: La fueza con que inteaccionan cagas no se ve alteada po la pesencia de una tecea caga. Como consecuencia, la fueza neta que ecibe una caga puntual cuando se intoduce en un Campo ceado po n cagas puntuales seá: F F F... F F [1.13] n = n = i= 1 donde F i es la fueza que la caga i-ésima ejece sobe ella como si dicha caga i-ésima fuese la única que existiea. De la ecuación [1.13] y de la definición de intensidad de campo, deducimos que el Campo total ceado en un punto po n cagas puntuales es: E E E... E E [1.14] n = n = i= 1 En la figua 11 podemos apecia las líneas de campo del campo ceado po dos cagas opuestas (Figua 11a) y po dos cagas de distinto signo y difeente valo absoluto (Figua 11b). i i Aguia Gacía, J; Delgado Cabello, J. (11). Física II Bajo licencia Ceative Commons Attibution-Non-Comecial-ShaeAlike 3.

10 Física II TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 1 Figua 11 El pincipio de supeposición no sólo se aplica a la fueza y al campo, magnitudes como el tabajo, el flujo, la enegía potencial electostática y el potencial eléctico también lo cumplen 9.- Campo eléctico ceado po distibuciones continuas de caga Si la distibución de caga es continua, el campo que se poduce en un punto P cualquiea se puede calcula dividiendo la caga en elementos infinitesimales dq. El campo que poduce cada elemento de caga de se calcula tatándolo como si fuese una caga puntual, es deci, dq de = k u [1.15] donde es la distancia de dq al punto P (Figua 1). Po tanto, el campo total ceado po la distibución seá dq E = k u [1.16] Si la distibución de caga es espacial, definimos la densidad cúbica de caga como Figua 1 D = dq/dh [1.17] siendo dq la caga existente en el volumen dh. De la ecuación anteio, dq = D dh [1.18] Si la distibución de caga es supeficial (como en las amaduas de un condensado), definimos la densidad supeficial de caga, F, como F = dq/ds [1.19] Aguia Gacía, J; Delgado Cabello, J. (11). Física II Bajo licencia Ceative Commons Attibution-Non-Comecial-ShaeAlike 3.

11 Física II TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 11 donde dq es la caga existente en la supeficie ds. De la ecuación anteio, dq = F ds [1.] Si la distibución de caga es lineal (como, po ejemplo, un alambe muy fino cagado), definimos la densidad lineal de caga, 8, como 8 = dq/dr [1.1] siendo dq la caga existente en una longitud dr. De la ecuación anteio, dq = 8 dr [1.] Si las distibuciones de caga son homogéneas, es deci, si la densidad de caga de la distibución es constante, la ecuación [1.16] se tansfoma en dϑ - Distibución cúbica: E = kρ u [1.3] ϑ ds -Distibución supeficial: E = kσ u [1.4] S dl - Distibución lineal: E = kλ u [1.5] l Veamos ahoa cómo se aplican las ecuaciones anteioes a casos pácticos concetos: 1.- Campo ceado po una distibución lineal unifome de caga de longitud R Como la caga está unifomemente distibuida, tendemos una densidad lineal de caga 8. Y supongamos que tenemos que calcula el campo eléctico en un punto P que está situado a una distancia a de la distibución de caga, como se indica en la figua 13. Tomaemos una caga elemental dq = 8dx, y descompondemos el vecto de en sus componentes catesianas, tomando el eje X paalelo a la distibución lineal (y el eje Y pependicula a ella). λdx de x = de senθ i = k senθ i Figua 13 dx de λ y = de cosθ j = k cosθ j Aguia Gacía, J; Delgado Cabello, J. (11). Física II Bajo licencia Ceative Commons Attibution-Non-Comecial-ShaeAlike 3.

12 Física II TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 1 Puesto que tenemos tes vaiables (x, y ), escibiemos todas ellas en función de. a a x = a tg θ dx = dθ * = cos θ cosθ Sustituyendo en las expesiones de de x y de y tenemos, cos θ senθ dθ λ i k d i a cos θ a d E x = k λ a = senθ θ d E y = k λ a cos θ cosθ dθ λ j = k cosθ dθ j a cos θ a Paa obtene y, integamos las expesiones anteioes ente los límites de, es deci ente =! y = 1. E x θ 1 λ λ θ1 λ E x = k senθ dθ i = k [ cosθ ] i = k ( cosθ1 cosθ ) i θ a a a θ θ 1 λ λ θ1 λ E y = k cosθ dθ j = k [ senθ ] j = k ( senθ1 + senθ ) j θ a a a θ E y donde hemos tenido en cuenta la elación tigonomética: cos(! ) = cos. donde, en este caso, hemos tenido en cuenta la elación tigonomética: sen(! ) =!sen. Po tanto, el campo eléctico en el punto P, debido a la distibución lineal de caga finita seá: λ E = k ( cosθ1 cosθ ) i + ( senθ1 + sen θ ) j [1.6] a Si la distibución de caga es indefinida (longitud infinita),. 1. B/, con lo que es deci, el campo es pependicula al conducto. λ E = k j [1.7] a Si la distibución lineal de caga es finita y el punto P petenece a la ecta sobe la que se apoya la distibución y suponemos que se encuenta a la deecha de la misma, es fácil demosta que Q E = k i [1.8] d d ( + l) Aguia Gacía, J; Delgado Cabello, J. (11). Física II Bajo licencia Ceative Commons Attibution-Non-Comecial-ShaeAlike 3.

13 Física II TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 13 siendo, en este caso, d la distancia del punto al extemo más cecano del conducto Campo ceado po un anillo de caga unifome en un punto de su eje Sea Q la caga total del anillo (unifomemente distibuida), R su adio y a la distancia del punto P al cento del anillo (Figua 14). Debido a la simetía, el campo esultante sólo tiene coodenada x, ya que el elemento situado al oto extemo del diámeto poduce en P un campo cuya coodenada y anula a la anteio. Así pues, sólo hay que suma las coodenadas x. de = de cosθ = k x λdl cosθ Figua 14 Aunque y son vaiables, vaían paa cada punto y no dependen de R. Así pues cos π R l λ θ λ π R Ex = dex = k d = k cosθ y teniendo en cuenta que = R + a, que cos = a/ y que Q = 8BR llegamos a: E x k Q a Qa = = k 3 ( R + a ) R + a ( R + a ) Po tanto, el vecto Campo eléctico seá, finalmente, igual a: Qa E = k i ( R + a ) 3 [1.9] Si a = (cento de la espia), E C = [1.3] Si a es muy gande compaada con R, ( ) ( ) ( ) R + a = R + a a = a Q Ea>> R k i [1.31] a, con lo que es deci, igual al campo ceado po una caga puntual igual a la del anillo y situada en su cento (como ea de espea, ya que si a >> R, las dimensiones del anillo son despeciables y el anillo se compota como una caga puntual. Aguia Gacía, J; Delgado Cabello, J. (11). Física II Bajo licencia Ceative Commons Attibution-Non-Comecial-ShaeAlike 3.

14 Física II TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ Integal de supeficie. Flujo Consideemos un campo eléctico unifome en una cieta egión del espacio y una supeficie de áea S pependicula al campo (Figua 15). Puesto que la densidad de líneas de campo (N/S) es popocional a la intensidad de campo, evidentemente se cumpliá que N % E S [1.3] Al poducto de la intensidad de campo unifome po el áea de una supeficie pependicula al mismo se la denomina flujo (M) del campo a tavés de dicha supeficie. M = E S [1.33] Dada la definición de flujo, se cumple que el númeo de líneas de campo que ataviesan la supeficie es popocional al flujo a tavés de dicha supeficie. Es deci, N % M [1.34] Figua 15 Figua 16 Supongamos ahoa que la supeficie no es pependicula al campo, sino que el vecto supeficie foma con él un ángulo (Figua 16). El númeo de líneas de campo que ataviesan la supeficie S es el mismo que las que ataviesan la supeficie S' (S' = Scos, S' es la poyección de S sobe un plano pependicula a las líneas de campo). Po lo explicado anteiomente, N % E S' = E S cos [1.35] Al poducto de la intensidad de campo unifome po el áea de una supeficie plana cualquiea y po el coseno del ángulo que foman los vectoes E y S (es deci, al poducto escala de E po S se le denomina flujo del campo a tavés de dicha supeficie. Φ = E S [1.36] Evidentemente, sigue cumpliéndose la ecuación [1.34]. Genealicemos las situaciones anteioes al caso de que la supeficie no sea plana, sino cuva, y el campo no sea unifome, de modo que el campo pueda vaia en módulo, en diección o en ambos a la vez (o en ninguno) en los distintos puntos de la supeficie. Si elegimos un elemento infinitesimal de supeficie ds, podemos considealo como una supeficie plana en la que la intensidad de campo es constante en todos sus puntos (Figua 17). En estas condiciones, el flujo elemental a tavés de dicha supeficie elemental vendía dado po la ecuación [1.36], es deci, dφ = E ds [1.37] Figua 17 Paa detemina el flujo total a tavés de toda la supeficie, tendemos que suma todos los flujos elementales (pincipio de supeposición) en foma algebaica (el flujo es un escala) y extende dicha suma a Aguia Gacía, J; Delgado Cabello, J. (11). Física II Bajo licencia Ceative Commons Attibution-Non-Comecial-ShaeAlike 3.

15 Física II TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 15 toda la supeficie. Dicha extensión supone la intoducción de un nuevo tipo de integal: la integal de supeficie. Así pues, Φ = S E d S [1.38] La ecuación [1.38] constituye la definición geneal de flujo. Como hemos dicho eiteadamente, es una magnitud popocional al númeo de líneas que ataviesan la supeficie. La unidad de flujo eléctico en el Sistema Intenacional es Nm /C = Jm/C. Cuando hablemos de potencial eléctico, veemos que J/C = V (Voltio), po lo que el flujo eléctico también se expesa en Vm Ángulo sólido. Ley de Gauss Un ángulo sólido es una egión del espacio compendida dento de una supeficie cónica. Consideemos un casquete esféico de áea igual a S (Figua 18). El ángulo sólido subtendido desde el cento de la esfea po dicho casquete se define S = S/ [1.39] siendo el adio de la esfea. Si analizamos la ecuación [1.39], compobaemos que S es adimensional. Su unidad, en el Sistema Intenacional, es el esteeoadián. Puesto que el áea de una esfea es 4B, el ángulo sólido total subtendido desde cualquie punto es S = S/ = (4B )/ = 4B sad [1.4] Figua 18 Cuando la supeficie es pequeña, S se conviete en ds y no ha de se necesaiamente un casquete esféico (puede se plana). Si es pependicula a la supeficie, entonces el ángulo sólido subtendido desde un punto vale (Figua 19) ds = ds/ [1.41] Figua 19 Si el vecto ds no es paalelo a, es peciso poyecta la supeficie sobe un plano pependicula a de foma que y ds ' sean paalelos (Figua ). En esta situación, ds ' ds cosθ dω = = [1.4] Aunque la ecuación [1.4] la hemos deducido paa el caso conceto de una esfea, puede demostase (aunque nosotos no lo haemos) que el ángulo sólido total subtendido desde cualquie punto inteio de una supeficie ceada cualquiea vale 4B sad. Figua Aguia Gacía, J; Delgado Cabello, J. (11). Física II Bajo licencia Ceative Commons Attibution-Non-Comecial-ShaeAlike 3.

16 Física II TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 16 * Ley de Gauss paa el campo eléctico.- Supongamos una supeficie ceada cualquiea en cuyo inteio se encuenta una caga puntual q (Figua 1). El flujo elemental a tavés de una supeficie elemental seá (Ecuación [1.37]) q ds cosθ dφ = E d S = k u d S = kq = k q dω El flujo a tavés de toda la supeficie seá (ecuación [1.38]) Φ = E ds = k qdω = k q dω = k q π 4 S S S Figua 1 Como k = 1/(4Bg ) nos quedaá: 1 q Φ = q4π = 4πε ε Si en luga de una sola caga tenemos n cagas, el flujo, según el pincipio de supeposición seá S n 1 E ds = qi ε i= 1 [1.43] El flujo eléctico total a tavés de una supeficie ceada cualquiea es igual a la caga neta enceada po la supeficie dividida po la pemitividad dieléctica del vacío. Las cagas exteioes no contibuyen al flujo poque sus líneas de campo siempe atavesaán la supeficie un númeo pa de veces, con lo que el númeo neto de líneas de campo, paa las cagas exteioes, seá ceo (Figua ). Si el flujo es negativo, es poque entan más líneas de campo de las que salen y si es positivo es poque salen más que entan (No olvidemos que el flujo es popocional al númeo neto de líneas de campo) Aplicaciones de la ley de Gauss Aún siendo válida, la ley de Gauss sólo es útil cuando existe un alto gado de simetía en la distibución de la caga. La supeficie gaussiana (ecibe ese nombe la supeficie ceada a tavés de la cual se calcula el flujo) debe escogese con la misma simetía que la distibución de cagas. Figua. Las cagas exteioes no contibuyen al flujo eléctico Campo ceado po una distibución esféica de caga Supongamos una distibución esféica y unifome de caga (Figua 3). Distinguiemos ente el cálculo del campo en un punto exteio a la distibución ( > R) o inteio a la misma ( < R). Figua 3 Aguia Gacía, J; Delgado Cabello, J. (11). Física II Bajo licencia Ceative Commons Attibution-Non-Comecial-ShaeAlike 3.

17 Física II TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 17 a) En el exteio ( > R).- En un punto cualquiea del exteio de la esfea, que dista del cento de la misma, el campo debe tene el mismo módulo si la esfea es unifome. Puesto que u y ds tienen el mismo sentido, dφ = E ds = EdS, con lo que el flujo a tavés de la supeficie extena seá: Φ = E ds = EdS = E4π Sext Sext Según el teoema de Gauss, este flujo es igual a Q/g, siendo Q la caga enceada po la supeficie gaussiana (en nuesto caso, la de toda la distibución, Q = 4BR 3 D/3). Así pues, 3 Q 1 Q 1 Q ρ R E4π = E = E = u = u ε 4πε 4πε 3ε b) En el inteio ( < R).- Ahoa la caga enceada po la supeficie gaussiana no es la total de la distibución, sino la que existe en un volumen dado po 4B 3 /3 (Q inte = D4B 3 /3). Así pues, 1 Q ρ E = u = u 4πε 3 inte ε Es de destaca que, dento de la distibución, el campo no disminuye con el cuadado de la distancia, sino que es función lineal de la popia distancia. Evidentemente, E ( ) ; es deci, el campo en el cento de la = = distibución es nulo. Demostaemos ahoa que el campo es continuo, paa lo cual analizaemos el compotamiento del mismo en la supeficie de la distibución ( = R).! En el exteio, tomando = R queda: 3 1 Q R ρ ρ E = u = u = Ru 4πε R 3ε R 3ε 3 1 Q ρ R u = u si R 4πε 3ε E = 1 Qinte ρ si u = u R 4πε 3ε! En el inteio, tomando también = R, obtenemos el mismo esultado. Po tanto, efectivamente, el campo es continuo paa todo valo que tome Campo ceado po una distibución plana e indefinida Supongamos una distibución unifome, plana e indefinida de caga (Figua 4), siendo F la densidad supeficial. La supeficie gaussiana más conveniente es un cilindo pependicula al plano, de altua y de áea de la base S. Dada la simetía, E es pependicula Figua 4 Aguia Gacía, J; Delgado Cabello, J. (11). Física II Bajo licencia Ceative Commons Attibution-Non-Comecial-ShaeAlike 3.

18 Física II TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 18 a las bases y el flujo a tavés de la supeficie lateal del cilindo es nulo. Así pues, E ds = E ds = E ds = Eu ds = E S Scilindo Bases Base Base Según la ley de Gauss este flujo seá igual a q cículo /g, y como q cículo = FS, tendemos finalmente que E S = F S/g Y E = F/( g ). σ E = u ε [1.44] Es de destaca el hecho de que el campo es unifome (no depende de la distancia). Aún cuando no existen distibuciones infinitas como la popuesta, la ecuación [1.44] popociona esultados válidos paa distibuciones finitas si el punto no está muy alejado (en compaación con las dimensiones de la distibución) y no está póximo a los bodes Tabajo necesaio paa move una caga puntual. Enegía potencial electostática Puesto que la fueza eléctica que una caga puntual ejece sobe ota es cental y su módulo depende de la distancia ente ambas, dicha fueza seá consevativa y, po tanto, existiá una enegía potencial electostática asociada a ella, de foma que la elación ente ambas es: F C = U donde con F C hemos queido indica la fueza ealizada po el campo. Si tomamos la distancia como única vaiable, la ecuación anteio puede escibise en la foma F C du = d [1.45] A continuación estudiaemos el caso paticula en que una caga puntual q se mueve en el seno de un campo electostático ceado po ota caga puntual Q. En pime luga obtendemos U A!U B. UB B B Qq' 1 1 du = FC d du = FC d U A U B k d k Qq' U = A = A A A B U A U B = kqq A B 1 1 ' [1.46] y como el tabajo ealizado po la fueza consevativa es igual a la vaiación de la enegía potencial con signo cambiado 1 1 WC ( A B) = U = U A U B = kqq ' [1.47] A B Aguia Gacía, J; Delgado Cabello, J. (11). Física II Bajo licencia Ceative Commons Attibution-Non-Comecial-ShaeAlike 3.

19 Física II TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 19 donde con W C queemos indica tabajo ealizado po el campo. Si el campo está ceado po vaias cagas puntuales, Q 1, Q,...,Q n, el tabajo necesaio paa move una caga-testigo q' vendá dado, según el pincipio de supeposición, po n i = WC ( A B) = k Qiq ' ia ib Analicemos el signo del segundo miembo de la ecuación [1.47] a) Si el signo de Q es igual al signo de q, lo que equivale a deci que la fueza de inteacción es epulsiva, a.1) Si B > A (las patículas se alejan), entonces ambos miembos son positivos, lo que quiee deci que el sistema ha pedido enegía potencial y, po tanto, el tabajo seá ealizado po el campo (W C > ). a.) Si B < A (las patículas se acecan), entonces se poduce un aumento de la enegía potencial del sistema y eso sólo es posible si se ealiza un tabajo sobe el mismo; po tanto, el tabajo seá ealizado po un agente exteio sin cambia la Enegía cinética (W C < Y W ext =!W C + )E C > ). b) Si el signo de Q es difeente del signo de q, lo que equivale a deci que la fueza de inteacción es atactiva, b.1) Si B > A, el sistema aumenta de enegía potencial y, po tanto, el tabajo tendá que se ealizado po un agente exteio sin cambia la Enegía cinética (W C < Y W ext =!W C + )E C > ). b.) Si B < A, el sistema disminuye de enegía potencial y, po tanto, el tabajo seá ealizado po el popio campo (W C > ). Si tomamos el oigen de enegías potenciales en el infinito (U 4 = ), lo que paece lógico ya que en esas condiciones la fueza de inteacción es nula, entonces la ecuación [1.46] se tansfoma en U = k Qq ' [1.48] Establecido así el oigen de enegías potenciales, la enegía potencial de un sistema de dos cagas puntuales epesenta el tabajo que debe ealiza el campo paa sepaa las cagas una distancia infinita Cuánto valdá la enegía potencial de un sistema de 3 cagas? Como se han de sepaa una distancia infinita las cagas 1 y, las cagas 1 y 3 y las cagas y 3 k Q Q, tendemos ( k Q Q ) ( k Q Q ) ( ) U Q Q Q Q Q Q = k En geneal, si el sistema está constituido po n cagas, la enegía potencial seá U n = k i, j= 1 paes i j Q Q i ij j [1.49] Aguia Gacía, J; Delgado Cabello, J. (11). Física II Bajo licencia Ceative Commons Attibution-Non-Comecial-ShaeAlike 3.

20 Física II TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ El valo de la enegía potencial de un sistema de cagas epesenta el tabajo que deben ealiza las fuezas del campo paa sepaa todas las cagas una distancia mutua infinita. Como el tabajo ealizado po las fuezas exteioes es igual a la vaiación de la enegía cinética más la vaiación de la enegía potencial (W ext = )E C + )U), la enegía potencial de un sistema de cagas epesenta también el tabajo que debe ealiza un agente exteio paa tae las cagas desde el infinito hasta su localización definitiva sin cambia la enegía cinética de las mismas Difeencia de potencial y función potencial electostático. Supeficies equipotenciales Consideemos una caga-testigo q' en el inteio de un campo eléctico de intensidad E ceado po algún sistema de cagas: la fueza eléctica que actúa sobe q' seá q ' E y es consevativa. El tabajo ealizado po esta fueza seá: B B B W A B = F dl = q E dl = q E dl = U U ( ) ' ' A A A Puesto que la ciculación ente A y B de la fueza no depende del camino al se la fueza consevativa, las igualdades anteioes nos dicen que la ciculación del campo tampoco depende del camino y, po tanto, podemos supone que existe una función escala, que simbolizaemos po V, tal que dicha ciculación quede evaluada po la difeencia que toma la función escala en A y en B: definimos la difeencia de potencial ente dos puntos como la ciculación del campo ente dichos puntos. A B B VA VB = V = E dl A [1.5] Como el tabajo es igual a la vaiación de la enegía potencial con signo cambiado, ( ) W A B U A U VA VB = = q ' q ' B [1.51] es deci, la difeencia de potencial ente dos puntos epesenta el tabajo que el campo ealiza (agente exteio) paa taslada la unidad de caga positiva del pime punto al segundo (del segundo al pimeo, sin cambia la Enegía cinética de la misma). También epesenta el cambio de enegía potencial que expeimenta la unidad de caga positiva al se tasladada po las fuezas del campo del pime punto al segundo. Al igual que ocuía con la enegía potencial, no pueden medise potenciales absolutos sino difeencias de potencial (y ello, po definición). Si queemos medi potenciales "absolutos", es peciso toma un oigen abitaio de potenciales: como en el infinito la fueza de inteacción es nula, tomaemos dicho punto como oigen (además, de esa foma el potencial y la enegía potencial tienen el mismo oigen). Así pues, el potencial de un punto epesenta el tabajo que debe ealiza el campo (agente exteio) paa taslada la unidad de caga positiva desde ese punto hasta el infinito (desde el infinito hasta dicho punto, sin cambia la Enegía cinética de la misma). De esta foma, Aguia Gacía, J; Delgado Cabello, J. (11). Física II Bajo licencia Ceative Commons Attibution-Non-Comecial-ShaeAlike 3.

21 Física II TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 1 V P U P = q ' [1.5] ( ) La unidad de potencial electostático en el Sistema Intenacional es el voltio, definido como la difeencia de potencial que existe ente dos puntos de un campo eléctico cuando las fuezas del campo deben ealiza un tabajo de un julio paa taslada una caga de un culombio desde el pime punto hasta el segundo. Definimos supeficie equipotencial como el luga geomético de todos los puntos de un plano en los que el potencial toma el mismo valo. De la ecuación [1.5] deducimos que V P W P = = E dl q ' P dv = E d l Recodemos la expesión matemática de la difeencial de una función escala, como V, en función de su gadiente: dv = V d l [1.5.] De las ecuaciones [1.5.1] y [1.5.] deducimos que: E = V [1.5.1] [1.53] [1.5.1] Sabemos de un tema anteio que el vecto V es pependicula a las supeficies equipotenciales y tiene el sentido de los potenciales cecientes; po ello, la ecuación [1.53] nos dice que el campo eléctico es pependicula a las supeficies equipotenciales y tiene el sentido de los potenciales dececientes. La ecuación [1.48] nos da la enegía potencial de un sistema de dos cagas: utilizándola en la ecuación [1.5] obtendemos el potencial ceado po una caga puntual Q en un punto que dista de ella. Qq ' k V U Q = = = [1.54] q ' q ' k 17.- Cálculo del potencial eléctico paa divesas distibuciones continuas de caga Paa calcula el potencial ceado po distibuciones continuas de caga tenemos dos caminos: a) Dividi la distibución en elementos infinitesimales de caga dq, que pueden tatase como cagas puntuales. Según la ecuación [1.54], el potencial elemental ceado po dq seá dv = k dq, donde epesenta la distancia de dq al punto en el que se petende calcula el potencial. Según el pincipio de supeposición, el potencial total ceado po la distibución seá la suma de todos los potenciales elementales, es deci, dq V = k [1.55] Aguia Gacía, J; Delgado Cabello, J. (11). Física II Bajo licencia Ceative Commons Attibution-Non-Comecial-ShaeAlike 3.

22 Física II TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ donde la integal seá de línea, de supeficie o de volumen según sea la distibución. b) Calcula el valo del campo mediante algún pocedimiento (aplicando la ley de Gauss, po ejemplo) y aplica la definición dada po la ecuación [1.5] Potencial ceado po una distibución lineal de caga unifome e indefinida En su momento, dedujimos (Ecuación [1.7]) que el campo ceado po una distibución lineal de caga unifome e indefinido a una distancia a de la misma ea k E λ = j a Puesto que sólo tiene coodenada y (a juega el papel de y), dv k E V E dv Eda λ = = = = da da a Usaemos integales indefinidas en vez de definidas con objeto de no pesupone el oigen de potenciales da V = kλ = kλ ln a + C a A la vista de la expesión matemática que hemos obtenido, paece lógico elegi el oigen de potenciales a una distancia unidad (a = 1) del conducto, con lo que C = y el potencial queda en la foma V = k λ ln a [1.56] 17. Potencial ceado po un anillo en un punto de su eje El potencial ceado po una caga elemental del anillo (Figua 5) viene dado po Figua 5 dv kλdl kλrdθ = = R + x El potencial total seá V π kλr kλr Q kr Q kq = dθ = π = λ = = π = [1.57] R + x R + x π R R + x π R R + x Aguia Gacía, J; Delgado Cabello, J. (11). Física II Bajo licencia Ceative Commons Attibution-Non-Comecial-ShaeAlike 3.

23 Física II TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ Potencial ceado po un disco en un punto de su eje Tomemos como caga elemental la contenida en una coona cicula de adio y anchua d (Figua 6). σ ds dv = k = { S = π ds = π d} = k l πσ d + x ( ) R R d πσ πσ π σ + x V = k = k + x = k R + x x ( ) V = π k σ R + x x [1.58] Figua El dipolo eléctico. Momento dipola eléctico De paticula inteés es el estudio de un sistema fomado po dos cagas puntuales de igual magnitud y signo opuesto sepaadas po una pequeña distancia (el significado de "pequeña distancia" es poque se considea el efecto de este sistema a distancias gandes compaadas con la distancia ente las cagas). A este pa de cagas opuestas muy póximas ente sí se le denomina dipolo eléctico. Un dipolo eléctico viene caacteizado po una magnitud vectoial, p, deno- Figua 7 minada momento dipola eléctico, definida como el poducto de la caga positiva po el vecto cuyo oigen está en la caga negativa y cuyo extemo está en la positiva (Figua 7). p = q l [1.59] 19.- Dipolo eléctico en un campo eléctico unifome La figua 8a muesta un dipolo colocado en un campo eléctico exteno unifome de foma que el momento dipola foma un ángulo con el vecto campo. Sobe cada una de las cagas que constituyen el dipolo, actúan fuezas de igual módulo y diección peo opuestas F qe =, F = qe = F ( + + ) Aguia Gacía, J; Delgado Cabello, J. (11). Física II Bajo licencia Ceative Commons Attibution-Non-Comecial-ShaeAlike 3. Figua 8: (a) Dipolo en un campo exteno unifome. (b) Vista en pespectiva paa ilusta J = p E po lo que la fueza neta que actúa sobe el dipolo es nula. No obstante, ese pa de fuezas tienen un momento no nulo especto del punto O (punto medio del segmento que une las cagas). Dicho momento de tosión vale τ = l F+ = l qe = ql E = p E [1.6] Este pa de fuezas tiende a coloca el dipolo paalelamente al campo, de foma que sea nulo y p y E sean paalelos, con lo que el momento neto seá nulo y el dipolo se encontaá en una posición de equilibio (y de equilibio estable pues si se supea dicha posición, el pa tendeá, nuevamente, a situa el dipolo

24 Física II TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 4 paalelamente al campo). Si llamamos V! y V + a los potenciales ceados po el campo exteno unifome en los puntos en los que se encuentan, espectivamente, la caga negativa y la positiva, la enegía potencial del dipolo seá Aplicando la definición de difeencia de potencial (Ecuación [1.5]) V V = E dl = E dl = E cosθ dl = E cosθ dl = Elcosθ + con lo que la enegía potencial del dipolo seá: ( ) ( ) [1.61] U = U + U = qv + q V = q V V U = q ( V+ V ) = ql E cosθ = p E cos θ = p E La ecuación [1.6] nos dice que la enegía potencial es mínima cuando p y E [1.6] tienen la misma diección y el mismo sentido y sabemos que eso significa equilibio estable, tal y como habíamos azonado al habla del momento de tosión que el campo ejece sobe el dipolo. Si bien la expesión [1.6] ha sido deducida paa el caso paticula de que el campo exteno sea unifome, puede demostase su validez geneal como apoximación de la ealidad: la validez de dicha apoximación es tanto mejo cuanto mayo sea la similitud del dipolo a la de un dipolo puntual ideal, esto es l y q. ( ) Las popiedades de los dipolos en campos extenos tienen impotantes aplicaciones. Po ejemplo, cuando una sustancia iónica (po ejemplo NaCl) se disuelve en agua, cada ión en la disolución (Cl! y Na + ) polaiza las moléculas del agua existentes a su alededo (Figua 9). Estas moléculas oientadas se ligan más o menos al ión, aumentando su masa efectiva y disminuyendo su caga efectiva: si intoducimos electodos en la disolución (uno positivo y oto negativo), la pantalla que foman la moléculas oientadas disminuyen la movilidad de los iones, apantallando el campo eléctico exteno ceado po los electodos. Cuando un sólido, cuyas moléculas foman dipolos pemanentes (enlace covalente pola) se coloca en un luga en el que existe un campo eléctico, las moléculas tienden a alinease con sus dipolos paalelos al campo exteno. En esta situación, decimos que la sustancia está polaizada (volveemos sobe este punto en el póximo tema). Figua 9 Aguia Gacía, J; Delgado Cabello, J. (11). Física II Bajo licencia Ceative Commons Attibution-Non-Comecial-ShaeAlike 3.