Potencial Eléctrico, Capacitores y Dieléctricos

Transcripción

1 Pauta o Cetamen CONSIDERACIONES GENERALES: Cada pegunta tiene como nota máxima un 7.. La nota final se tomaá como el pomedio ente las notas de cada pegunta. Poblema En los puntos A, B, C que coesponden a los vétices de un cuadado de lado a =,[m], se colocan las cagas puntuales q, +q y q, donde q = 8 [C]: Detemina la enegía del sistema fomado po las tes cagas. El tabajo paa taslada una caga de 3 8 [C] desde el cento al vétice D. a) La enegía del sistema de cagas está dado po U = U AB + U BC + U AC donde U ij = q i q j 4πǫ i j = q i q j 4πǫ con es la distancia que sepaa las cagas q i y q j. Las enegías involucadas son U AB = q A q B = 9 9 ( 8 )( 8 ) = 3,6 5 [J] 4πǫ AB, U BC = q B q C = 9 9 ( 8 )( 4 8 ) = 7, 5 [J] 4πǫ BC, U AC = q A q C = 9 9 ( 8 )( 4 8 ) = 5, 5 [J] 4πǫ AC, Po lo tanto U = U AB + U BC + U AC = ( 3,6 5 7, 5 + 5, 5) [J] = 5,7 5 [J] b) El tabajo ealizado paa move la caga q = 3 8 [C] desde el cento hasta el vétice D es el mismo si se calcula el tabajo al modifica el sistema completo al move la caga q. Po lo tanto, el tabajo es el negativo de la vaiación de la enegía potencial del sistema, es deci W = U = U i U f donde U i es la enegía del sistema cuando la caga q está en el cento, y U f es la enegía del sistema cuando q se ubica en el vétice D. Las enegías están dadas po U i = U AB + U BC + U AC + U AO + U BO + U CO = U + U AO + U BO + U CO U f = U AB + U BC + U AC + U AD + U BD + U CD = U + U AD + U BD + U CD donde O denota el cento del cuadado. Evaluando, tenemos U i = 5, , , ,5 =, 4 [J] U f = 5, , , 9 9 6, =,8 4 [J] Entonces, el tabajo es W = U i U f = 3 5 [J]. Sin embago, este es el tabajo ealizado po el sistema al taslada la caga q desde el cento al vétice. Po lo tanto, el tabajo ealizado po un agente exteno es W ext = 3 5 [J]

2 Pauta o Cetamen Poblema Dos capacitoes idénticos se conectan como se muesta en la figua. Una placa de dieléctico se intoduce ente las amaduas de uno de ellos estando la fuente conectada. Descibi cuantitativamente lo que ocue a cada uno de los condensadoes antes y después de intoduci el dieléctico efeente a: la caga la capacitancia la difeencia de potencial el campo eléctico la enegía almacenada C C C C = C La capacitancia de cada uno de los condensadoes es C. Dado que los capacitoes se conectaon en seie, ambos obtienen la misma caga, dado que cicula la misma coiente en ambos. La caga entonces es la que tendía una capacitancia equivalente del cicuito. Como están conectados en seie, la capacitancia equivalente es = + = C eq = C C eq C C C y como la caga de un condensado es Q = C, entonces la caga del capacito equivalente es Q eq = C. Po lo tanto, la caga de cada capacito es Q = C. A su vez, cada capacito tendía como voltaje = Q/C, y dado que la caga de cada uno es C, entonces cada capacito tendía como voltaje =. La enegía que almacena un capacito cualquiea es U = C. Dado que cada capacito tienen la misma capacitancia y el mismo voltaje, entonces la enegía que almacenan los condensadoes es la misma y es U = C = C ( ) = 8 C Si suponemos que los capacitoes tienen una distancia d medida ente las placas, entonces el módulo del campo eléctico que hay ente ellas mismas está dado po = Ed. Como ambos capacitoes tienen el mismo voltaje, tienen el mismo campo ente sus placas y es E = d = / d Cuando se intoduce el dieléctico en el segundo capacito, su capacitancia vaía de acuedo a C = C. Luego, la capacitancia equivalente del nuevo cicuito es = d = + = + C eq = C eq C C C + C

3 Pauta o Cetamen Luego, la caga que adquiee este capacito equivalente es Q = C eq = antes, es la misma caga que adquieen ambos capacitoes. + C, y como discutimos La difeencia de potencial en cada capacito es = Q. Luego, paa el pime capacito (sin dieléctico) C tenemos que el voltaje es = C = + C +. C = + C +, mientas que paa el segundo capacito es = El campo eléctico lo habíamos definido como E = /d. Luego, paa ambos capacitoes: E = d = + d d E = d = + La enegía almacenada en cada capacito es U = C /. Reemplazando, obtenemos que Resumiendo: U = ( ) C + = ( + U = ( ) C + = ( + ) C ) C Capacito C Q E U Cap. y C C d 8 C C + C + + d ( ) C + C + C + + d ( ) C +

4 Pauta o Cetamen Poblema 3 Detemina el potencial en todos los puntos del espacio debido a una esfea de adio R con densidad volúmica de caga ρ = A. Gafica () vs.. Pimeo, calculemos la caga neta de esta distibución: dado que ρ = dq/d = A, entonces Q = ρ()d = A d con d = sen θ ddθdϕ Q = A π π = 4πA Q = 8 7 πar7/ 5/ sen θ ddθdϕ 5/ d = 8 7 πa7/ R donde Q es la caga neta de la esfea. Paa enconta el potencial de la esfea, ocupaemos la elación φ b φ a = donde escogeemos algún potencial de efeencia φ a. Dado que el campo eléctico es difeente en las egiones < R y > R: El campo eléctico en > R, es, según la Ley de Gauss E ds = q enc = Q = 8 π AR 7/ ǫ ǫ 7 ǫ Si el campo es adial, E = Eˆ E d S = EdS y si E es constante en cada punto de la supeficie gaussiana de adio, con > R, entonces b a E d l E 4π = 8 π AR 7/ 7 ǫ E = A R 7/ 7 ǫ ˆ Si escogemos el potencial de efeencia en el infinito, es deci, φ =, entonces φ() = y si escogemos la tayectoia adial paa la integal de línea, entonces d l = d y po lo tanto E d l = E d = E d: φ() = E d = A R 7/ d 7 ǫ = [ ] A R 7/ 7 ǫ φ() = A R 7/, > R 7 ǫ Ota foma de esolve, paa > R, es obseva que la esfea se compota como una patícula puntual, donde su potencial es φ() = kq/, donde se llega al mismo esultado. donde E d l Po oto lado, el campo dento de la esfea lo calculamos usando la Ley de Gauss: E d S = q enc ǫ y po los mismos agumentos anteioes q enc = ρ()d = 8 7 πa7/ E 4π = 8 π A 7/ 7 ǫ E = A 3/ˆ 7 ǫ

5 Pauta o Cetamen y necesitamos un potencial de efeencia paa la egión < R. Dado que el potencial eléctico es una función contínua, en la inteface = R, φ(r) debe se univaluada, es deci, φ(r) = A R 5/, 7 ǫ paa < R y > R Po lo tanto, podemos calcula el potencial como φ() φ(r) = φ() = φ(r) + E d l, < R E d l = φ(r) + φ() = A R 5/ + A 3/ d 7 ǫ 7 ǫ = [ A R 5/ + (R 5/ 5/)] 7 ǫ 5 = [ A 7 7 ǫ 5 R5/ ] 5 5/ φ() = A [ 7R 5/ 5/], < R 35 ǫ E d