Electromagnetismo I. Solución Tarea 3

Transcripción

1 Electomagnetismo I Semeste: 25-2 Pof. Alejando Reyes Coonado Ayud. Calos Albeto Maciel Escudeo Ayud. Chistian Espaza López Solución po Calos Maciel Escudeo Solución Taea 3. Poblema: (pts) El potencial eléctico de una cieta configuación de caga está dado po la siguiente expesión: ϕ( ) = A e λ, con A y λ son constantes. Calcula el campo eléctico E( ), la densidad de caga ρ( ) y la caga total. Solución Como el potencial dado sólo tiene dependencia adial, es conveniente escibi los opeadoes difeenciales, y el elemento de volumen, en téminos de coodenadas esfécias (ya ven poque es necesaio que se las apendan). - Campo eléctico E( ) E( ) = φ( ) = ˆ + ˆθ + θ ˆϕ sin θ ϕ( ) = A ϕ e λ ˆ = Ae λ ( λ+ )ˆ 2 - Densidad de caga ρ( ) Utilizando la ley de Gauss paa el campo eletostático, sabemos que E = ρ ε. Luego ρ( ) = ε A e λ (λ + ) ˆ = 2 ε A (e λ (λ + )) ( ) ˆ + e λ (λ + ) ( ) ˆ 2 2 = ε Ae λ λ 2 + 4πδ( )(λ + ) - Caga total = ε V Ae λ λ 2 + 4πδ( )(λ + ) dv = ε A λ 2 V e λ dv + 4π δ( )(λ + )e λ dv V = ε A 4π λ 2 2π π R e λ sin θ d dθ dϕ = A e λr λre λr

2 La integación anteio se hizo sobe una esfea de adio R, de foma que si queemos conoce la caga en todo el espacio lo único que tenemos que hace es lleva R a infinito; es deci espacio = lím R A e λr λre λr = A lím R e λr A lím R λre λr = Donde el último límite lo pueden esolve utilizando el teoema de L Hôpital. 2

3 2.- Poblema: (pts) Cuál de estos dos campos no es un campo electostático? a) E = k xy êx + 2yz ê y + 3xz ê z, b) E = k y2 ê x + (2xy + z 2 ) ê y + 2yz ê z, donde k es una constante con las unidades apopiadas. En el caso en que algún inciso sí coesponda a un campo electostático, calcula el potencial escala usando el oigen de coodenadas en el que está expesado el campo vectoial como tu oigen de efeencia. Cooboa tu esultado calculando φ. Hint: Aunque el esultado no dependa de la tayectoia de integación que elijas, debes escoge una paa tenela en mente cuando ealices tu integación. Solución En geneal, sabemos que el campo electostático satisface que E dl =. C con C una tayectoia cualquiea (en igo debe se seccionalmente continua). De foma que utilizando el teoema de Stokes se tiene que E dl = E ˆndA = C S Como lo anteio se cumple paa cualquie tayectoia y supeficie, se tiene que E = es condición suficiente y necesaia paa que sea un campo, al menos, consevativo. a) (k xy ê x + 2yz ê y + 3xz ê z ) = k ê x ê y ê z x y z xy 2yz 3xz = k 2yê x + 3zê z + xê z De aquí que no pueda se campo electostático. b) ( k ) y 2 ê x + (2xy + z 2 ) ê y + 2yz ê z = k ê x ê y ê z x y z y 2 2xy + z 2 2yz = k e x + ê z + ê z = Po lo tanto este campo sí puede se un campo electostático. Como el esultado anteio muesta que el campo es de tipo consevativo, entonces paa constui el potencial φ ( ) podemos considea que como se muesta en la figua. λ E dl = E dl + E dl + λ λ 2 λ 3 E dl, 3

4 Donde: λ = x o ê x + y o ê y + z o ê z + t xê x + y o ê y + z o ê z (x o ê x + y o ê y + z o ê z ) dλ = (x x o ) tê x λ 2 = xê x + y o ê y + z o ê z + t xê x + y o ê y + z o ê z (x o ê x + y o ê y + z o ê z ) dλ 2 = (y y o ) tê y λ 3 = xê x + yê y + z o ê z + t xê x + y o ê y + z o ê z (x o ê x + y o ê y + z o ê z ) dλ 3 = (z z o ) tê z Entonces las integale de línea quedan como λ E dl = E (λ ) (x x o ) ê x dt = y2 odt = y o. 2 λ 2 E dl = E (λ 2 ) (y y o ) ê y dt = 2x (y o + t (y y o )) + zo 2 (y y o ) dt = (y y o ) 2xy o + x (y y o ) + zo 2. λ 3 E dl = E (λ 3 ) (z z o ) ê z dt = 2y (z o + t (z z o )) (z z o ) dt = 2yz o (z z o ) + y (z z o ) 2. Si tomamos, únicamente po conveniencia, o = ( esto lo puedo hace poque el potencial es el mismo aunque le sume una constante, y lo que estoy haciendo es taslada el oigen de coodenadas a o ) tenemos que el potencial es Luego que φ ( ) = E dl = xy 2 yz 2. λ φ ( ) = y 2 ê x + ( 2xy + z 2) ê y + 2yz ê z = E 4

5 3. Poblema: (2pts) Calcula el potencial dento y fuea de una esfea sólida cagada unifomemente de adio R, con caga total. Usa el oigen en infinito paa tu integación. Calcula el gadiente del potencial en cada egión y cooboa que el esultado es coecto. Gafica el potencial y el campo eléctico como función de la distancia del cento de la esfea. ué pasa si eliges el cento de la esfea como tu oigen de integación? Solución Como tenemos simetía esféica, podemos usa la ley de Gauss paa calcula el campo eléctico en todos los puntos del espacio, paa ello pimeamente calculemos la caga contenida en una esfea de adio in R dento de la esfea (ve Figua, donde in y out son los adios de las supeficies Gaussianas dento y fuea de la esfea, espectivamente), es deci in = ( 3 = R) ρ4π 2 d = 4 3 π3 ρ donde es la caga total de la esfea, dada po = 4 3 πr3 ρ y entonces aplicando la ley de Gauss paa la supeficie inteio, tenemos que E in d a = E(4π 2 ) = in ε = ε ( R de donde tenemos que el campo dento de la esfea es 5 ) 3

6 E in = R 3 ê Aplicando la ley de Gauss a la supeficie Gaussiana exteio, tenemos que E out d a = E(4π 2 ) = ε E out = 2 ê simplificando tenemos que el campo eléctico en todos los puntos del espacio es e R E 3 R; = e 2 R Una vez que tenemos el campo eléctico podemos calcula el potencial, este viene dado po V () = O E d donde O es el oigen de efeencia del potencial, en este caso elegiemos el punto, po lo que paa un punto fuea de la esfea, el potencial es V out = 2 d y entonces = V out = mientas que paa el inteio de la esfea el potencial es V in = R R d + 3 R d 2 = R R 3 R 6

7 y el potencial es V in = 3R 2 2 2R 3 y entonces el potencial en todos los puntos del espacio es: φ() = 3R 2 2 2R 3 R; R En la Figua anteio se muesta la gáfica del campo eléctico y del potencial eléctico en todos los puntos del espacio, como función de la distancia al cento de la esfea, donde se puede obseva que el campo eléctico es lineal cuado estamos dento de la esfea. Se lo espeaban?... yo digo que si pues el compotamiento del campo eléctico es simila al del campo gavitacional y seguamente esolvieon en su cuso de Mecánica Vectoial que al solta una pelota en un agujeo que ataviesa el planeta Tiea, entonces ésta tendá un movimiento tipo oscilado amónico 2, e aquí que el campo (la deivada) se compote de foma lineal. Si elegimos el cento de la esfea como oigen de efeencia, entonces sólo podemos tata el témino del potencial dento de la esfea, pues el potencial fuea de e sta va como y po lo tanto divege en el punto. Teniendo esto en cuenta, esulta que ϕ() = = 2 2R 3 R 3 d seía el potencial con oigen de efeencia en el cento de la esfea. 7

8 4. Poblema: (2pts) Calcula el potencial a una distancia s de un alambe ecto infinito que posee una densidad de caga lineal y unifome λ. Calcula el gadiente de tu potencial y evisa que obtienes el campo eléctico coecto. Solución El elemento difeencial de caga esta dado po dq = λdx el potencial eléctico asociado a este elemento difeencial de caga esta dado po dv = λdx z2 + x 2 sin embago, po azones que explicaemos al final, el potencial eléctico de la línea infinita no tiene un buen compotamiento al infinito (a difeencia del caso de la caga puntual), po lo que elegiemos como oigen del potencial el punto Z = z, y la difeencial de potencial de la línea de caga es dφ = z2 + x λdx 2 z 2 + x 2 Paa calcula el potencial total, debemos intega sobe toda la linea de caga, o lo que es equivalente a suma en el intevalo x, y multiplica po dos el esultado, es deci φ(z) = λ 2πε z2 + x dx 2 z 2 + x 2 usando el hecho de que 8

9 dx a2 + x 2 = ln( a 2 + x 2 + x) tenemos que el potencial φ(z) = po lo que el potencial eléctico es λ z2 + x ln 2 + x 2πε z 2 + x 2 + x = λ ( 2x ) ( z ) ln ln 2πε 2x z φ(z) = λ ( z ) ln 2πε z como podemos apecia, el potencial eléctico en el infinito no es ceo (a difeencia de la esfea). El campo eléctico viene dado po y el campo eléctico es E = φ z êz = λ 2πε z E = ln ( z z ) ê z λ 2πε z êz este esultado puede compobase po ley de Gauss de la siguiente manea, se elige una supeficie Gaussiana cilíndica de adio z y lago infinito, de tal manea que la linea de caga este en el eje, entonces el campo eléctico es puamente adial y podemos hace la integal de supeficie: E d a = E(2πzL) = /ε peo la densidad de caga esta dada po λ = /L, po lo que el campo eléctico es E = λ 2πε z êz que es el mismo esultado obtenido anteiomente. 9

10 5. Poblema: (2pts) Considea un cascaón esféico que posee una densidad de caga ρ() = k 2 en la egión a b (ve figua), donde k es una constante. Calcula el potencial en el cento usando el infinito como tu efeencia. ué pasa si eliges como tu oigen de integación cualquie punto dento del hueco ( < a) con? a" b" Solución Pimeo calculemos la caga como función de la distancia al cento de la esfea (en el intevalo a b) in () = k 4π 2 d a 2 = 4πk( a) = a b a aplicando diectamente la ley de Gauss tenemos que E d a = in ε y entonces el campo eléctico es E = in 2 ê sustituyendo el valo de in, tenemos E() = El potencial eléctico viene dado po: 2 ê b; a ê b a 2 φ() = a b a E d po lo que el potencial eléctico fuea de la esfea es V out = = d 2

11 y ente la esfea, es deci la egión (a b), es V bet = b = b a = (b a) d + b 2 b a b a b a d 2 + ln ( b/ ) + a a b a + ln ( b/ ) Finalmente como el campo dento la esfea es ceo, el potencial dento la esfea es el potencial V bet evaluado en = a, y entonces el potencial en todos los puntos del espacio es: φ ( ) = (b a) b; a + ln ( b/ ) a b ln ( b/a ) (b a) a De lo anteio se ve claamente que cualquie punto desde el oigen hasta a tienen el mismo potencial (de hecho es una supeficie equipotencial), po lo tanto si utilizamos cualquie punto dento del hueco como efeencia paa calcula el potencial en el oigen, éste último siempe seá ceo.

12 6. Poblema: (2pts) Calcula la capacitancia de un condensado fomado po dos esfeas huecas concénticas (conductoas pefectas), de adio a y b. Compaa tu esultado consideando el caso límite en el que la distancia ente los conductoes a b << b. En este caso puedes aplica la fómula de la capacitancia de un condensado plano. Solución Sabemos que la capacitancia está definida como C = ϕ Supongamos que tenemos una caga, entonces po la ley de Gauss, el campo ente las dos esfeas es E d a = S ε de donde esulta que E da = E4π 2 = 4π Po lo tanto el campo y el potencial son S y entonces el potencial de cada esfea es E = 2 ê φ = φ a = a φb = b φ b φ a = ( b a Finalmene obtenemos que la capacitancia del condensado esféico es ab C = a b Si a b b entonces a b y sabemos que la capacitancia de un condensado de placas paalelas es C = ε A s 2 )

13 donde A es el áea de las placas y s la sepaación ente éstas. Entonces, po la apoximación se tiene que ab a 2 = 2 y s = a b. De foma que la capacitancia se puede eescibi como 4πab C ε a b = 4πε ab a b que concueda con el esultado obtenido anteiomente. 3

14 7. Poblema TORITO: (2pts) Usando la siguiente ecuación φ( ) = ρ( ) 4πɛ V d3, calcula el potencial dento de una esfea sólida unifomemente cagada de adio R y caga total. Compaa tu esultado con el poblema 3 de esta taea. En dónde está el oigen de efeencia en este caso? Solución Tenemos que el potencial paa la distivución de caga puede escibise como φ( ) = ρ( ) V d3 donde d 3 = 2 sin θddθdϕ y si oientamos al eje Z con el cento de la esfea y el punto sobe el cual queemos calcula el potencial, que se encuenta en = ê, tenemos que entonces el potencial es = cos θ φ() = ρ 2π π R 2 sin θddθdϕ z cos θ peo obsevemos que el integando no depende de ϕ, po lo que la integal de esta vaiable es 2π. La integal en la vaiable θ esulta π sin θdθ cos θ = 2 π cos θ = = + { 2/; = < 2/ ; > po lo que el potencial queda φ() = peo consideando que ρ = ρ R 4π 2 d d = ρ 2ε, entonces tenemos que 4πR 3 φ() = ( ) 3R 2 2 8πε R 3 ) (R

15 que es exactamente el mismo esultado del poblema 3. De hecho, si la última integal la ealizan paa un punto fuea de la esfea obtienen que φ() = La ecuación de la cual patimos es la extensión del potencial de una caga puntual a una distibución de caga ρ( ), es deci ϕ( ) q = q φ( ) ρ = ρ( ) V d3 y si ecuedan, el pimeo se obtuvo con el oigen en, de aquí que el oigen paa la distibución de caga también sea el infinito. 5