EL MODELO CUÁNTICO PARA ÁTOMOS HIDROGENOIDES

Transcripción

1 EL MODELO CUÁNTICO PARA ÁTOMOS HIDROGENOIDES De su cota y espectacula existencia ( el átomo de Boh dejó una imagen simple del átomo y vaios conceptos nuevos y fundamentales, como el de númeos cuánticos y el de niveles de enegía. Sin embago, como el átomo de Boh no podía explica las obsevaciones expeimentales en átomos mayoes que el hidógeno, después de vaios intentos de modificación tuvo que se finalmente abandonado paa da luga al modelo cuántico del átomo, más sofisticado y difícil de visualiza. En este modelo, los electones no tienen tayectoias fijas, solamente se conocen las pobabilidades de que los electones se encuenten en deteminadas egiones, y dichas pobabilidades se extienden a gandes distancias del núcleo, de modo que el concepto de tamaño de un átomo piede significado. La distibución electónica se obtiene esolviendo la ecuación de Schödinge paa el átomo, y ésta solo tiene solución exacta paa átomos hidogenoides. Paa poblemas de más de dos patículas se utilizan métodos apoximados. 1. LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER PARA ÁTOMOS HIDROGENOIDES Los átomos hidogenoides pueden se consideados como sistemas fomados po dos patículas puntuales que inteaccionan a tavés de la atacción coulómbica ente sus cagas: el núcleo de masa M, caga (e y coodenadas x 1, y 1, z 1, y el electón de masa m, caga ( e y coodenadas x 2, y 2, z 2. En ausencia de campos extenos la enegía potencial es: V = (+Ze( e (x2 x (y 2 y (z 2 z 1 2 donde el denominado es la distancia ente las dos cagas. En estas coodenadas la enegía clásica total del sistema es: E T = 1 2 M(ẋ2 1 + ẏ ż m(ẋ2 2 + ẏ ż 2 2 Ze 2 (x2 x (y 2 y (z 2 z 1 2 Haciendo un cambio de coodenadas análogo al del poblema del oto ígido se tiene que, 1

2 E T = 1 2 (M + m(ẋ2 1 + Ẏ Ż µ(ẋ2 2 + ẏ2 2 + ż2 2 Ze 2 x 2 + y 2 + z 2 donde el pime témino epesenta la enegía de taslación de una patícula de masa (M + m localizada en el cento de masa, µ es la masa educida: mm m + M y las coodenadas x, y, z son las coodenadas elativas. Cambiando estas últimas a coodenadas polaes, y sepaando el movimiento de taslación que no está cuantizado, el Hamiltoniano del poblema se puede escibi como: y la ecuación de Schödinge como: donde E es la enegía electónica: Ĥ = h2 2µ 2 (, θ, φ Ze2 [ ] h2 2µ 2 (, θ, φ Ze2 Ψ(, θ, φ = EΨ(, θ, φ (2 (1 E = E total E taslacional 2. AUTOFUNCIONES Y AUTOVALORES Substituyendo el Laplaciano po su expesión en coodenadas polaes, postulando una función de onda sepaable: Ψ(, θ, φ = R(Θ(θΦ(φ (3 y dividiendo ambos miembos de la ec. 2 po Ψ(, θ, φ, ésta se tansfoma en: ( 1 d 2 R d 2 dr d senθ Θ ( d dθ senθ dθ dθ d 2 Φ 2 sen 2 θ Φ dφ 2 + 2µ ( h 2 E + Ze2 = 0 Multiplicando po 2 se obtiene una nueva ecuación en la que solamente los téminos pimeo y último dependen de, mientas que los demás dependen de los ángulos θ y φ. Esta ecuación es sepaable en: 2

3 ( 1 d R d 2 dr d ( 1 1 d senθ Θ dθ + 2µ2 h senθ dθ dθ ( E + Ze sen 2 θ Φ = β (4 d 2 φ = β (5 dφ2 donde β es una constante. La ec. 5 es exactamente igual a la ecuación del oto ígido si substituimos: β = 2IE h 2 Sus soluciones son los amónicos esféicos Y lm (θ, φ, y sus autovaloes E l son: E = h2 l(l + 1 l = 0, 1, 2,... 2I De lo anteio se deduce que β = l(l + 1 y la ecuación difeencial adial (ec. 4 puede escibise como: [ ( 1 d 2 d 2 dr d l(l µ ( ] Ze 2 h 2 + E R = 0 (6 La ec. 6 puede modificase aun más hasta hacela queda en una foma equivalente a la de una ecuación difeencial bien conocida, la ecuación asociada de Laguee. Las autofunciones dependen de dos númeos cuánticos, n y l y son: donde ( 2Z 3 (n l 1! R nl ( = na 0 2n{(n + l!} 3 e ρ 2 ρ l L 2l+1 n+l (ρ (7 a 0 = h2 µe 2 y ρ = 2Z na 0 y los Ln+l 2l+1 (ρ son los polinomios asociados de Laguee. Los autovaloes solo dependen del númeo cuántico n y son E n = Z2 e 2 2a 0 n 2 (8 Este esultado es idéntico al obtenido con el modelo atómico de Boh, lo cual explica el éxito del átomo de Boh en la pedicción del especto del átomo de hidógeno. 3

4 Las autofunciones del átomo de hidógeno son: Ψ(, θ, φ = R nl (Y lm (θ, φ y se caacteizan po tes númeos cuánticos n, l, m. El númeo cuántico n, o númeo cuántico pincipal, puede toma los valoes 1, 2, 3,.... Paa cada valo de n, el númeo cuántico azimutal l, puede vale 0, 1, 2,..., n 1; y paa cada valo de l, el númeo cuántico magnético m puede vale 0, ±1, ±2,..., ±l. Los nombes que se dan a estos númeos cuánticos povienen de la utilizada tadicionalmente en espectoscopía. Se acostumba, además, denomina con las letas s, p, d, f, g, h,... a los estados caacteizados po l = 0, 1, 2, 3, 4, 5,... espectivamente. (Las cuato pimeas letas no siguen el oden alfabético. Povienen de las palabas shap, pincipal, diffuse y fundamental, usadas con elación a las líneas del especto del átomo de hidógeno. En foma análoga al caso del oto ígido, es conveniente hace combinaciones lineales de las funciones imaginaias 2p +1, 2p 1, 3d +2, 3d 2, etc. paa foma funciones eales que puedan se epesentadas gáficamente. Todas las funciones hidogénicas hasta n = 3 están tabuladas en el Apéndice 9. Las funciones hidogénicas son llamadas obitales atómicos po analogía con las óbitas del modelo de Boh. Un obital atómico es la función de onda de un electón con especto a un cento. 3. UNIDADES ATÓMICAS Es fácil demosta que cualquie ecuación de la mecánica cuántica puede se escita en unidades atómicas (el boh y el hatee haciendo la substitución de las constantes h, a 0, e (la caga electónica y m (la masa del electón po la unidad. Se utilizan dos tipos de unidades atómicas: las absolutas, en las cuales la masa m del electón es igual a uno, y las elativas, en las cuales la masa educida µ del electón es igual a uno. En lo que sigue, se usaán las unidades atómicas elativas. La demostación paa el caso del hidógeno es la siguiente. Dado el Hamiltoniano y usando la elación: Ĥ(egs = h2 2µ 2 e2 4

5 (cm = a 0 (boh se tiene que: 2 2 = 1 2 a Substituyendo en la expesión paa Ĥ y usando a 0 = h2 µe 2 Ĥ(egs = h2 2µa 2 2 (hatees e2 0 a 0 = [ (hatees 1 ] ( e 2 a 0 (9 Como 1 hatee = e2 a 0, (10 se tiene finalmente que: H(hatees = [ ] (11 que es equivalente a elimina las constantes h, a 0, e y µ de Ĥ (egs. En estas unidades las autofunciones de los átomos hidogenoides también quedan simplificadas. Po ejemplo, la función de onda paa el átomo de hidógeno en su estado fundamental en unidades atómicas es, ψ 1s = 1 π e (12 4. DIAGRAMA DE NIVELES DE ENERGIA La enegía de los niveles de los átomos hidogenoides, en hatees, es: 5

6 E n = Z2 2n 2 (13 que depende solamente del númeo cuántico n. Como consecuencia, paa n > 1 hay vaias funciones de onda paa un mismo valo de la enegía y los niveles son degeneados. Es fácil veifica que la degeneación es n 2. El diagama de niveles es el de la Fig Todos los niveles coesponden a enegías negativas. Existen también estados de enegía positiva que no coesponden a estados ligados y en los cuales la enegía no está cuantizada: son los estados del contínuo que el electón alcanza cuando el átomo está ionizado. 5. REPRESENTACION DE LAS FUNCIONES DE ONDA Paa la epesentación de las funciones Ψ nlm (, θ, φ, seía necesaio un diagama tetadimensional. La foma más común de gafica estas funciones es la de hace gáficos sepaados paa R nl ( y Y lm (θ, φ. Es inteesante nota que, paa los estados de tipo s, la función R n ( es máxima en el oigen, de manea que la egión de máxima densidad de pobabilidad se encuenta alededo del oigen. Este hecho paece contadictoio, ya que se sabe que el electón no tiende a esta en el núcleo. Sin embago la pobabilidad de que el electón ocupe una egión de volumen V es: P obabilidad V = Ψ Ψdτ volumen V y en coodenadas polaes el elemento de volumen es dτ = 2 senθ d dθ dφ de manea que, paa = 0, se tiene dτ = 0, y la pobabilidad tiende a ceo en el oigen aunque la densidad de pobabilidad sea máxima. A fin de enconta cuales son los valoes más pobables del adio atómico, independientemente de los ángulos, se define la función de distibución adial P ( como: P (d = Ψ Ψ 2 senθ d dθ dφ donde la integación se lleva a cabo solamente sobe los ángulos. Substituyendo Ψ po R nl (Y lm (θ, φ, se obtiene: 6

7 P (d = 2 Rnl(d 2 Y lm (θ, φ 2 dθ dφ Como los amónicos esféicos están nomalizados, la integal vale uno, y P (d = 2 R 2 n(d (14 Paa el caso paticula del átomo de hidógeno en su estado fundamental: Se puede escibi: P ( = 2 (2e 2 = 4 2 e 2 P ( = 4π 2 Ψ 2 y P (d epesenta entonces la pobabilidad de que el electón ocupe un casquete esféico de espeso d a una distancia del núcleo, cuyo volumen es de 4π 2 d. Las funciones de distibución adial paa los pimeos estados del átomo de hidógeno están epesentadas en la Fig La cuva P ( paa el 1s del hidógeno pesenta un máximo a una cieta distancia max del núcleo. Este es el valo más pobable de paa el electón del hidógeno. Paa calculalo basta hace la deivada de P ( con especto a : En los máximos y mínimos: dp ( d = (8 8 2 e 2 8(1 e 2 = 0 Las aíces = 0 y = coesponden a los mínimos y la aíz = 1 coesponde al máximo. El valo más pobable de es: max = 1 boh = a 0 el cual esulta se idéntico al adio de la pimea óbita de Boh. Este adio difiee del valo medio, que es de 1.5 boh, y ambos difieen del adio atómico, definido como aquél que es tal que un cieto pocentaje (po ejemplo, el 90% de la pobabilidad total de los valoes de sea meno que él: 2π π 0.9 Paa el hidógeno en su nivel fundamental, Ψ Ψ 2 senθ d dθ dφ = = 2.6 boh 7

8 Se obseva que, paa cada tipo de función angula (s, p, d,... mismo patón en la foma de las funciones P (: se epite el 1. La pimea función de un tipo angula (1s, 2p, 3d,... tiende a ceo en el oigen y en el infinito, y no tiene nodos intemedios. La segunda (2s, 3p, 4d,... tiene un nodo intemediaio ente el ceo y el infinito. La tecea (3s, 4p, 5d,... tiene dos nodos,... etc. El númeo de nodos de la función adial es igual a n l El máximo absoluto siempe es el último, o sea el que coesponde al mayo valo de. 3. El pime máximo se ecoe hacia el oigen a medida que cece n. Las funciones angulaes Y lm (θ, φ son las autofunciones del oto ígido, y su epesentación en diagamas polaes se discutió en el capítulo anteio. Cabe hace dos comentaios al especto de las funciones angulaes. En pime luga, las supeficies epesentan solamente la dependencia angula de los obitales y no deben se confundidas con pobabilidades. En segundo luga, el signo de los lóbulos no tiene nada que ve con el signo de las cagas en las difeentes egiones del espacio: el signo de los lóbulos se efiee exclusivamente al signo de la función Y lm (θ, φ paa los coespondientes valoes de θ y de φ. Las cagas son siempe negativas ya que se tata de electones. 8