Consideraremos el átomo como un sistema físico ligado tridimensionalmente y consistente de dos partículas, de masas m y M. M m. Sistema Real. 1 r.

Transcripción

1 Capítulo 7 Átomos con un electón El sistema físico Consieaemos el átomo como un sistema físico ligao tiimensionalmente y consistente e os patículas, e masas m y M. mm /mm M m µ Sistema Real Masa eucia Ecuación e Schöinge o Potencial e Coulomb V ( R) ( X, Y, Z ), F 4πε Ze Z H H neuto Z He Helio ionizao o Enegía total p E + V µ one p p x + p y + p z V V ( x, y, z) Definieno los opeaoes p x ih x La función e ona Ψ( x, y, z ) E i t Ψ nos quea la ecuación e Schöinge

2 Ψ Ψ Ψ + + µ x y z + Ψ VΨ i t tenemos, Ψ Ψ + VΨ i µ t Solución po cambio e vaiables iet ( x, y, z, t ) Ψ( x, y z ) e Ψ, µ Ψ + VΨ EΨ Ecuación e Schöinge en cooenaas esféicas o V V () tiene simetía esféica o Ze V ( ) 4 πε Utilizano sepaación e vaiables esféicas Ψ (,, ϕ ) R( ) Θ( ) ( ϕ ) z z x φ y y x

3 Ψ µ (,, ϕ ) + V ( ) Ψ(,, ϕ ) EΨ(., ϕ ) one + sen ϕ + sen sen ealizano las eivaas paciales se obtiene µ Θ R + RΘ sen + ϕ R sen sen Θ + VRΘ ERΘ multiplicano la ecuación po µ sen RΘ tenemos µ sen R sen Θ sen sen ϕ R (habla con el pofeso paa aegla) falta Θ Ambos laos eben se iguales a una constante, po ejemplo [ E V ( ) ] m l : luego ϕ m l Ecuación Acimutal téminos) : Ahoa sustituimos m l en la ecuación geneal, nos quea (eaeglano R R + µ m Θ ( E V ) sen sen l Θsen De nuevo obtenemos una ecuación e vaiables sepaaas... se iguala a una l l + constante que llamaemos ( )

4 m l Θ sen Θsen sen Θ l( l + ) R µ ( E V ) R l( l + ) + R Colocano V ( ) e πε hiógeno. Llegamos a las expesiones e la ecuación e Schöinge paa el átomo e Ecuación paa R R µ + E l + 4 πε Ecuación paa Θ z Θ ml Θ sen + l( l + )Θ sen sen Ecuación paa m l φ R ( l + ) Así obtenemos tes ecuaciones ifeenciales oinaias: sólo la ecuación e R epene e la foma el potencial. Soluciones e la ecuaciones. La ecuación paa es la más fácil solución. lφ ( φ ) Ae im como no (??? ) se unívoca nos quea Ae l Ae ( φ + π ) im l φ im

5 e moo que φ y φ + π ientifican el mismo plano φ φ + π Esto sólo puee ocui si, ±, ±,... m l La cantia m l númeo cuántico magnético. La ecuación paa Θ se esuelve e manea simila que la ecuación e Shöinge inepeniente el tiempo. Se encuentan sluciones aceptables (finitas) siempe que la constante l sea tal que: m l, ±, ±,, ±l y l se enomina el númeo cuántico obital. 3. La ecuación paa R es simila al utilizao en el caso el oscilao amónico simple. En este caso la conición que ebe satisface la solución es que E ebe se `positiva tene un valo negativo igual a one n,, 3,... y que n l + l,,,.., (n-) 4 µ Z e E E n ( 4πε ) n n

6 Númeos Cuánticos Tabla e Númeos Cuánticos n l m l ± ± 3 3 ± 3 ± Paa un ao n l,,,, n- m l, ±, ±,, ±l Los númeos cuánticos pemitios paa n,, 3paa un átomo e electón. En base a los númeos cuánticos las soluciones aceptables paa R son: one el paámeto a es: (ecuación) a 4πε µ e Z - Z a nl son polinomios en a a que toman ifeentes fomas e acueo a los valoes n y l. - E n sólo epene el númeo cuántico n. Númeo cuántico pincipal n. Cuantización e la enegía E E n n

7 Númeo cuántico obital l Cuantización el momento. Este númeo tiene que ve con el hechho e que la enegía total e la patícula (electón) tiene una componente cicula aemás el aial. E K RADIAL + K ORBITAL + V Númeo cuántico magnético m l Está elacionao con la cuantización el espacio. El electón en su movimiento genea una coiente eléctica y un campo magnético e tipo ipola. Las caacteísticas e este campo están elacionaas con el vecto L el electón. M l especifica la iección e L Autofunciones Las autofunciones que esciben las soluciones e las ecuaciones e Schöinge paa el átomo e hiógeno toma la foma, Ψ nlml La foma gemeal paa caa facto es: ( φ) e ml imlφ (,, φ) R ( ) Θ ( ) ( φ) nl Lml ml Θ ( ) sen R Lml nl ml (polinomios en cos ) ( cte) n ( ) e l (polinomios en ) Toas las autofunciones tienen básicamente la misma estuctua matemática. Estan expesaas en teminos el paámeto: a 4 πε.59 x m. 59 A µ e one a es el aio el átomo e Boh.

8 Densia e Pobabilia Ejecicio (Eisbeg p.9) Demueste la autofunción Ψ e a sen e iφ epesenta una solución que satisface la ecuación e Schöinge El estuio e la infomación que se puee obtene e las autofunciones el átomo con un electón consiste en el analiza las funciones e ensia e pobabilia Ψ * Ψ. Ψ * Ψ R* Θ* * nl Lml ml R nl Θ Lml ml Una escipción completa y simultánea e este poucto es muy ifícil (son funciones e tes cooenaas), pe se pueen sepaa las epenencias funcionales paa caa cooenaa. Densia e Pobabilia Raial P nl ( ) R * nl ( ) R nl ( ) es la pobabilia po unia e volumen, en el volumen limitao po os esfeas e aio y +. Las funciones P nl () no epene el númeo cuántico m L. Figua -5. Pobabilia Raial..5 n L 5 nla

9 Discusión.. No se obtienen valoes efinitivos e,, φ sino sólo las pobabiliaes elativas e enconta el electón en vaios lugaes.. El electón no se mueve aleeo el núcleo en alguna foma convencional. La pobabilia Ψ es inepeniente el tiempo y cambia consieablemente. Depenencia angula e la ensiae pobabilia: epenencia azimutal. Ya sabemos que, Ψ * Ψ R* R Θ* Θ * nlml nlml nl nl Lml Lml ml ml y que ml e imlφ one m L es el númeo cuántico magnético En este caso la ensia e pobabilia imlφ imlφ * e e.. ml ml Es una constante y no epene e φ Intepetación. La pobabilia e enconta el electón a un ángulo acimutal φ es una constante y no epene e φ en absoluto. Esto quiee eci que, la ensia e pobabilia angula es simética aleeo el eje z, puesto que la pobabilia e enconta al electón en cualquie ángulo φ es la misma. Densia e pobabilia cenital La función Θ vaía con el ángulo cenital paa toos los númeos cuánticos L y m L excepto paa L m L. En este caso la ensia e pobabilia Θ es constate. Esto significa que la ensia e pobabilia Ψ * Ψ Ψ tiene el mismo valo en cualquie iección paa una istancia aa. Autofuncion el átomo H Es costumbe especifica el númeo cuántico angula L el siguiente moo

10 L s p f g h i... ( Esta notación se oiginó en un intento empíico e clasifica el especto atómico en seies llamaas: Shap(s), pincipal(p), iffuse (), funamental (f). ). Notación Actualmente se utiliza una combinación el númeo cuántico pincipal con la leta que epesenta el númeo cuántico obital. Po ejemplo, un estao n, l es el estao 5, etc. L n s s p 3 3s 3p 3 4 4s 4p 4 4f 5 5s 5p 5 5f 5g 6 6s 6p 6 6f 6g 6h La pobabilia P() e enconta al electón en una concha e aio y volumen v senφ es P( ) R (tabla pagina 7-9) Estaos egeneaos Hemos visto que paa el mismo númeo cuántico n existen os o más autofunciones con la misma enegía total E n. En este fenómeno se enomina egeneación y las coesponientes autofunciones se enominan egeneaas.ç La egeneación cuántica epene e la epenencia aial el potencial. Paa un átomo monoelectico aislao el númeo e funciones egeneaas. Paa caa valo e n, hay n valoes posibles e L.. Paa caa valo e L, hay (L+) valoes posibles e m L. 3. Pa caa valo e n, hay un total n autofunciones egeneaas.

11 N 3 L m L Impulso angula obital El númeo cuántico obital L etemina la magnitu L el momento angula el electón L, que es una cantia vectoial. L quea especificao po (L, iección). L L xvm x p m v El electón genea un campo magnético e tipo ipola que puee, eventualmente, con un campo magnético exteno. El númeo magnético m L especifica la iección e L a este fenómeno se efiee como la cuantización espacial. l m l ± ± En ausencia e campo B la iección e L es abitaia. Lz m L - -

12 Ejecicios: (Eisbeg / Resnick). Tabla 6-. Poblemas Capítulos 6, p Poblemas Capítulo 7 Peguntas Poblemas (Beise) Capítulo 6 6.3(), 6.5(4), 6.7(4)