EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO: UNA SOLUCIÓN EXACTA DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER

Transcripción

1 Funaentos e Quíica Teóica EL ÁTOMO DE HIDÓGENO: UNA SOLUCIÓN EXACTA DE LA ECUACIÓN DE SCHÖDINGE M sistea ea M asa nucea asa e eectón sistea oeo M M E átoo e hiógeno está copuesto po un núceo un eectón. La eviencia epeienta es que e núceo e eectón tienen caa uno su popia asa M espectivaente un oviiento inepeniente aunque se petuban utuaente. Una epesentación esqueática es a e sistea ea en a figua anteio. La ao copejia e átoo e hiógeno paa a apicación e a ecuación e Schöinge es a pesencia e as os patícuas (e núceo e eectón). Po eo es peciso cea un sistea oeo (ve figua) one se consiea un núceo e asa infinita e eectón con una asa que se conoce coo asa eucia. Ota copejia es que se tata e un sistea tiiensiona peo esta es peciso tenea en cuenta en too e esaoo. esevaos toos os eechos e epoucción. Luis A. Monteo Cabea Univesia e La Habana Cuba 3.

2 Funaentos e Quíica Teóica esevaos toos os eechos e epoucción. Luis A. Monteo Cabea Univesia e La Habana Cuba 3. Consieaeos un potencia e una patícua cagaa e asa con especto a un núceo e caga opuesta asa : 4 Ze o πε o que aía una epesión cásica paa a enegía tota e sistea: E p p p Paa tabaja en ecánica cuántica eepaaos as agnitues ináicas p p p E po sus opeaoes ifeenciaes quea a ecuación e opeaoes: t i Obsévese que a coponente potencia no vaía e a foa cásica a a cuántica. Usaeos a ecuación e Schöinge paa enconta a función e ona t Ψ e este sistea: t i t i Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ a apica e opeao apaciano.

3 Funaentos e Quíica Teóica Desaoo e a soución paa e átoo e hiógeno: Hacieno una sepaación e vaiabes inicia ao que e potencia no epene e tiepo: iet ( t) ψ '( ) e Ψ entonces a ecuación e Schöinge inepeniente e tiepo paa e átoo e hiógeno quea coo: ψ ' ( ) ( ) ψ '( ) Eψ '( ) Paa a soución e esta ecuación ifeencia e peciso sepaa as vaiabes e as tes iensiones en tes ecuaciones e una soa vaiabe. Eo se oga con cooenaas esféicas eiante una tansfoación inea ta que cos po tanto cos ( ) ψ ( ) O ˆψ ' one e vao popio e opeao e tansfoación es evienteente unitaio. Así se sipifica sobe too a potencia pues soo epene e a istancia a núceo (cooenaa ): () Ze 4πε esevaos toos os eechos e epoucción. Luis A. Monteo Cabea Univesia e La Habana Cuba 3.

4 Funaentos e Quíica Teóica esevaos toos os eechos e epoucción. Luis A. Monteo Cabea Univesia e La Habana Cuba 3. E apaciano en cooenaas esféicas quea: Finaente a ecuación e Schöinge en téinos e cooenaas esféicas quea en foa genea: ψ ψ ψ E con una función e ona que ebe se sepaabe o factoabe según: ψ Φ paa oga una soución viabe. La ecuación epania quea coo: () Φ Φ Φ E Ejecutano as eivaciones paciaes eoenano aecuaaente: () [ ] E Φ Φ Coo puee obsevase en esta ecuación caa téino contiene soo una e as vaiabes po o que a están sepaaas eso faciita a soución e a isa.

5 Funaentos e Quíica Teóica Las coponentes epenientes e as funciones anguaes Φ se pueen tata e foa iéntica a copotaiento e una patícua sobe un anio una esfea espectivaente. Iguaaos abos téinos e esa ecuación a un núeo a conocio e a soución e a patícua en e anio en a esfea. De esta foa paa e caso e Φ teneos po una pate una ecuación ifeencia sencia e opeao e oviiento angua e un eectón en tono a núceo e hiógeno epeniente e a vaiabe con un vao popio a igua que a patícua en un anio: cua soución es: Φ Φ i ( ) Φ e. π Esta función seía físicaente a e una patícua obitano en tono a un cento cuas coniciones e contono e que Φ Φ( π ) soo se satisfacen con vaoes popios: L one 3... o sea: ± ±... po o que os estaos e esta función e ona angua Φ están eteinaos po este aao núeo cuántico obita. esevaos toos os eechos e epoucción. Luis A. Monteo Cabea Univesia e La Habana Cuba 3.

6 Funaentos e Quíica Teóica eoenano a ota pate e a ecuación: [ ()] E De nuevo os os téinos e a ecuación epenen e vaiabes ifeentes po o que os poeos iguaa a una constante que po conveniencia seá () queaán os nuevas ecuaciones ifeenciaes e vaoes vectoes popios. La que epene e a ota coponente angua es: ( ) que utipicaa en abos iebos po eoenano quea: ( ( ) ) IE } pues coincie eactaente con a soución e os aónicos esféicos en a patícua sobe una esfea. Así a igua que en a encionaa soución paa a pate angua a e núeo cuántico aiuta : IE ( ) one... aeás esevaos toos os eechos e epoucción. Luis A. Monteo Cabea Univesia e La Habana Cuba 3.

7 Funaentos e Quíica Teóica La función angua e átoo e hiógeno está aa tabien entonces po una seie e potencias enoinaas poinoios e Legene: one P P ( )( ) ( )! P cos! ( cos ) ( cos ) i! cos ( cos ) ( cos ) P ( cos ) Consecuenteente os aónicos esféicos constituen a función angua tota: ( )( ) 4π ( )! Y ( )! e i P ( cos ) esevaos toos os eechos e epoucción. Luis A. Monteo Cabea Univesia e La Habana Cuba 3.

8 Funaentos e Quíica Teóica La ecuación aia espués e iguaaa a () utipicaa en abos téinos po / hacieno e potencia () igua a eectostático ente un núceo con Z cagas positivas e e eectón e caga negativa e esaoano a eivaa queó coo: ( ) e Z E En e caso en e que E seá negativa a ecuación puee sipificase con a intoucción e un nuevo paáeto n efinio en a eación: E n Z ( 4πε ) n e 4 una nueva vaiabe efinia po: n e Z Efectuano a sustitución a ecuación quea ( ) n 4 que tiene una soución e a foa u( ) e si se cupe que 3... con a esticción e que n. A n se e conoce coo núeo cuántico pincipa. esevaos toos os eechos e epoucción. Luis A. Monteo Cabea Univesia e La Habana Cuba 3.

9 Funaentos e Quíica Teóica Si en a epesión e a enegía se efectúan as constantes se epesa a enegía en eectón votios quea coo: E n 3.6n que coincie con a enegía e ioniación e átoo e hiógeno paa n. estituia a vaiabe evauaas as constantes e integación a soución fina e a ecuación ifeencia o sea a función aia e átoo hiogenoie es: n ) ( n )! n[ ( n )!] 3 Z na ( 3 Z e na Z na L n Z na Z one Ln son poinoios e Lagee que son ifeentes paa na caa n así coo a es e aio e Boh ao po 4 πε a Å. e Obsévese que paa efini e estao e sistea ao po a función aia os aónicos esféicos hacen fata tes núeos cuánticos n. No obstante a enegía soo epene e vao e n. esevaos toos os eechos e epoucción. Luis A. Monteo Cabea Univesia e La Habana Cuba 3.