Apuntes de Circuitos Eléctricos II Análisis de la respuesta de CA en régimen permanente sinusoidal

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1 01 Apuntes e Circuitos Eléctricos II Análisis e la respuesta e CA en régien peranente sinusoial En este ocuento se presenta un análisis e rees siples usano el étoo fasorial Usuario UTP UTP 4/07/01 1

2 1 Capítulo 1: ESPUESTA ESTACIONAIA DE CICUITOS SIMPLES CON EXCITACIONES SINUSOIDALES PO EL MÉTODO FASOIAL 1.1 INTODUCCIÓN El objetivo principal e este capítulo es hallar la respuesta en régien peranente en el oinio el tiepo e circuitos arbitrarios conforaos por eleentos pasivos lineales bilaterales invariantes con el tiepo y e paráetros concentraos para excitaciones sinusoiales usano el étoo fasorial. 1. EJEMPLO INTODUCTOIO En el circuito e la Figura 1 se esea eterinar una expresión para la corriente i en estao estable si el voltaje e alientación v S es e la fora V cos(ωt). i L + v S + v L + v Figura 1. Circuito siple serie L. La fuente e alientación es un voltaje sinusoial que tiene un valor pico e V una frecuencia angular ω e ra/s y un ángulo e fase e 0. Aplicano la ley e voltaje e Kirchoff al circuito e la figura se tiene que: v t v t v t (1.1) L s

3 one v L (t) es el voltaje instantáneo a través e la inuctancia y se relaciona con la corriente i(t) a través e la ecuación vl t L it (1.) el voltaje instantáneo a través e la resistencia es v (t) y su relación con la corriente i(t) es v t i t (1.3) reeplazano las ecuaciones (1.) y (1.3) en la ecuación (1.1) se obtiene una ecuación iferencial e prier oren que escribe la corriente L it i t V cos ωt (1.4) ignorano la respuesta transitoria e la corriente (que finalente esaparece con el tiepo) se puee plantear la siguiente solución para i(t) en régien peranente o estao estable usano el étoo e los coeficientes ineterinaos: i t Asen ωt Bcos ωt (1.5) one ese luego se requieren estiar los coeficientes A y B. El proceiiento para encontrar los coeficientes A y B se basa en plantear un sistea e ecuaciones linealente inepenientes (en este caso un sistea ) que relacionen los coeficientes ineterinaos con los paráetros conocios el circuito coo por ejeplo el valor pico el voltaje e alientación sinusoial la frecuencia angular ω y los valores e y L. eeplazano la ecuación (1.5) en la ecuación (1.4) se tiene: L Asen ωt Bcos ωt Asen ωt Bcos ωt Vcos ωt efectuano las erivaas inicaas e las funciones sinusoiales respecto al tiepo Acosωt Bsenωt Asenωt Bcosωt V cosωt para que la ecuación anterior se cupla se ebe e cuplir que: A B V (1.6) B A 0 (1.7) las os ecuaciones anteriores se resuelven e anera siultánea para encontrar los valores e los coeficientes A y B en térinos e los paráetros el circuito en efecto e la ecuación (1.7) A B 3

4 reeplazano la ecuación anterior en la ecuación (1.6) se tiene A B (1.8) B B V ultiplicano inicialente por en abos laos e la ecuación y espués factorizano el coeficiente B one el valor e B es igual a: B V V B (1.9) reeplazano el valor obtenio para B en la ecuación (1.8) se obtiene el valor e A: V A V A (1.10) una vez eterinaos los valores e A y B se tiene la solución para la corriente el circuito i(t) en régien peranente sinusoial. eeplazano las ecuaciones (1.9) y (1.10) en la ecuación (1.5) se tiene V i t sen ωt cos ωt V (1.11) la corriente i(t) aa en la ecuación anterior se puee expresar tabién e la siguiente fora: en efecto utilizano la ientia trigonoétrica i t I cos ωt θ (1.1) cosωt θ cosθcos ωt senθ senωt ultiplicano en abos laos e la ecuación anterior por la constante I teneos que 4

5 i t I cos ωt θ I cos θ cos ωt I sen θ sen ωt (1.13) coparano las ecuaciones (1.13) y (1.11) se observa que V V Icos θ I sen θ para eterinar el valor e I se realiza la siguiente operación Icos θ Isen θ usano los resultaos obtenios en el paso anterior V V Icosθ Isenθ V I cos θ s en θ V el valor e la constante I en función e los paráetros el circuito está ao por: I V (1.14) nótese que en la ecuación anterior el enoinaor coincie con la agnitu el núero coplejo Z L = + j enotaa coo Z L = Z L con parte real y parte iaginaria coo se uestra en la Figura. j Eje iaginario Z L j Luego: θ 90 Eje real Figura. elación e la agnitu e la corriente con la agnitu el núero coplejo Z L. 5

6 En el análisis e circuitos e CA en estao estable Z L se conoce en coo la agnitu e la ipeancia e la carga conforaa por la cobinación en serie e la resistencia e valor y la inuctancia e valor L (serie L) y su unia es el ohio (Ω). Para eterinar el ángulo θ se realiza la siguiente operación: I sen θ I cos θ sen θ tanθ = cos θ 1 θ tan (1.15) reeplazano las ecuaciones (1.14) y (1.15) en la ecuación (1.1) se tiene la expresión buscaa para la corriente e carga: V i t cos ωt θ. Una vez eterinaa la corriente el circuito se puee obtener el voltaje en terinales e la resistencia v (t) y en la inuctancia v L (t). Para el voltaje en la resistencia vt iot v t I cos ωt θ Cabe notar que en la ecuación anterior la aplitu e la fora e ona el voltaje en la resistencia V es igual a V I aeás la frecuencia angular e la fora e ona el voltaje en la resistencia es la isa frecuencia angular ω el voltaje e alientación v S (t) (y la corriente i(t)). El ángulo e fase e v (t) es igual al ángulo e fase e la corriente i(t) y ebio a esto se ice que la corriente y el voltaje en una resistencia están en fase. Para el voltaje en la inuctancia v L (t) vlt L iot vl t L I cosωt θ I senωt θ Aplicano la siguiente ientia: sena cosa 90 6

7 luego y tenieno en cuenta que: se tiene que: senωt θ cosωt θ 90 cosa cosa 180 senωt θ cosωt θ 90 reeplazano la ecuación anterior para el voltaje en la inuctancia v L (t) L v t I cos ωt θ 90 Cabe notar que en la ecuación anterior la aplitu e la fora e ona sinusoial el voltaje en la inuctancia V L es igual a VL I xli xl x L se conoce coo la reactancia inuctiva y su unia es el ohio (Ω). La frecuencia angular el voltaje en la inuctancia es igual a la frecuencia angular el voltaje e la fuente e alientación (y a la frecuencia e i(t) y v (t)). El ángulo e fase el voltaje en la inuctancia es igual al ángulo e fase e la corriente i(t) enotao coo θ ás 90. Debio a esto se ice que el voltaje en la inuctancia aelanta 90 en ángulo e fase la corriente que circula a través e ella. Un resuen e las foras e los voltajes y la corriente el circuito obtenios anteriorente se uestra en la tabla 1.1. v S (t) i(t) v (t) v L (t) Ecuación V cos(ωt) I cos(ωt- θ) I cos(ωt- θ) V L cos(ωt- θ-90 ) Aplitu V I =V /Z L V =I V L =I Ángulo e fase 0 - θ - θ -(θ+90 ) Tabla 1.1. esuen e las foras e ona e los voltajes en los eleentos y la corriente en el circuito serie L. Una grafica e las foras e ona e los voltajes y la corriente el circuito realizaa en Matlab se uestra en la figura 3 ajustano los paráetros el circuito con los valores inicaos en la Tabla 1.. paráetro V L ω valor 100 V 5 Ω 10 H 377 ra/s Tabla 1.. Valores utilizaos en los paráetros el circuito para realizar las graficas e los voltajes y la corriente. 7

8 v(t) i(t) vs (t) i(a) En la Figura 3 se observa en la parte superior que el voltaje en la inuctancia aelanta 90 a la corriente y aelanta tabién a el voltaje e la fuente e alientación. En la parte inferior e la figura es claro que el voltaje y la corriente en la resistencia tienen el iso ángulo e fase vs(t) vl(t) io(t) tiepo (s) tiepo(s) Figura 3. Foras e ona e los voltajes en los eleentos y la corriente i(t) en el circuito serie L. Con base en el análisis el circuito anterior se puee concluir lo siguiente: Toas las foras e ona el circuito (voltajes y la corriente) tienen la isa frecuencia angular ω (ra/s) que la función forzante sinusoial v S (t). Aeás las respuestas e régien peranente el circuito (voltajes y corrientes) son funciones sinusoiales e la fora: x t X cos ωt θ one x(t) puee representar un voltaje o una corriente con aplitu X y ángulo e fase θ x por lo cual se conoce la fora e las respuestas estacionarias el circuito y por lo tanto la solución sipleente iplica eterinar los valores e las constantes X y θ x. Ejercicio: Para el circuito e la Figura 4 eterinar una expresión para la corriente i(t) en estao estable luego eterine el voltaje en el capacitor v C (t) y en la resistencia v (t). x 8

9 i C + v S + v C + v Figura 4. Circuito siple serie C. 9