LA DERIVADA POR FÓRMULAS

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1 CAPÍTULO LA DERIVADA POR FÓRMULAS. FÓRMULAS Obtener la erivaa e cualquier función por alguno e los os métoos vistos anteriormente, el e tabulaciones y el e incrementos, resulta una tarea muy engorrosa, por lo que es preferible tener fórmulas para su cálculo. Para comprener el significao simbólico e las fórmulas, el estuiante ebe recorar que el símbolo e un operaor es el grafo o representación escrita con el que se hace alusión a la operación. Así por ejemplo, a continuación se muestran iferentes operaores conocios: + operaor suma operaor multiplicación operaor ivisión operaor raíz cuaraa De la misma manera, el operaor erivaa es. Así como en el operaor suma, como en el e multiplicación y ivisión, para que tenga sentio ebe escribirse una cantia antes y otra espués, o bien, en el operaor raíz cuaraa ebe escribirse una cantia aentro para inicar a qué cantia se le está sacano raíz, en el operaor erivaa lo que se escribe a continua- 55

2 La erivaa por fórmulas ción e icho operaor es a lo que se le aplica la erivaa, aunque a veces se escribe en el mismo numeraor cuano es una epresión muy corta. Analícense los siguientes ejemplos el uso el operaor erivaa: El operaor erivaa se está aplicano a. Por ser una epresión muy corta se prefiere escribir la en el numeraor e la siguiente manera:. El operaor erivaa se está aplicano a la raíz cua- raa. ( ) (El operaor erivaa está aplicao al polinomio). 6 sen ( ) 5 ( ) (El operaor erivaa está aplicao a la fracción). (El operaor erivaa está aplicao a la función trigonométrica seno). (El operaor erivaa está aplicao a too el polinomio elevao a la cuarta potencia). El estuio e la erivaa a través e fórmulas se hará por bloques: 56

3 La erivaa por fórmulas a) Fórmulas básicas. b) Fórmulas generalizaas: b.) Para funciones algebraicas: b..) e la forma u n (potencia), b..) e la forma uv (proucto), b..) e la forma u/v (cociente). b.) Para funciones trascenentes: b..) funciones trigonométricas, b..) funciones trigonométricas inversas, b..) funciones logarítmicas y eponenciales.. FÓRMULAS BÁSICAS () c 0 (la erivaa e una constante es cero) () (la erivaa e es ) () n n n () ( u + v +...) u + v +... (La erivaa e una suma es la suma e las erivaas). (5) u cu c (La erivaa e una constante por una función es la constante por el resultao e erivar la función. Se ice que la constante se saca e la erivación). 5

4 La erivaa por fórmulas 6 Ejemplo : Hallar la erivaa e. Por la propiea e las igualaes (lo que se haga e un lao ebe hacerse el otro para que la iguala se conserve), aplicano el operaor erivaa a ambos miembros: 6 En el lao erecho, empleano la fórmula (), one n 6 : 6 6 n n Ejemplo : Hallar la erivaa e 5. Por la propiea e las igualaes (lo que se haga e un lao ebe hacerse el otro para que la iguala se conserve), aplicano el operaor erivaa a ambos miembros: 5 Empleano primero la fórmula (5) en el lao erecho e la iguala anterior: 58

5 La erivaa por fórmulas 5 c u Ahora utilizano la fórmula (), one n : 5 ( ) 5 Obsérvese que ya en forma práctica, el 5 se obtiene e multiplicar el coeficiente 5 por el eponente e la. Ejemplo : Calcular la erivaa e. Por la propiea e las igualaes (lo que se haga e un lao ebe hacerse el otro para que la iguala se conserve), aplicano el operaor erivaa a ambos miembros: Empleano primero en el lao erecho la fórmula (5): 5

6 La erivaa por fórmulas Ahora utilizano la fórmula (): () Ejemplo : Derivar + +. Por la propiea e las igualaes (lo que se haga e un lao ebe hacerse el otro para que la iguala se conserve), aplicano el operaor erivaa a ambos miembros: + + ( ) Empleano primero en el lao erecho la fórmula (): + + En el lao erecho e la iguala eben aplicarse las fórmulas (), () y () respectivamente:

7 La erivaa por fórmulas Ejemplo 5: Hallar la erivaa e 6 +. Como la erivaa e una suma es la suma e las erivaas (fórmula ), Ejemplo 6: Hallar la erivaa e Ejemplo : Hallar la erivaa e + 5 Tómese en cuenta que la función a erivar es lo mismo que 5 + 6

8 La erivaa por fórmulas y por lo tanto los coeficientes fraccionarios e las equis y son constantes. Así que al 5 erivar se obtiene: ( ) ( ) Ejemplo 8: Hallar la erivaa e En este caso, ebe primero transformarse la epresión original, pasano la al numeraor, para lo cual ebe recorar el alumno que cambia e signo el eponente. Lo que se obtiene e esta transformación sigue sieno toavía igual a y, no a la erivaa: Escrito así ya tiene la forma e la fórmula (): ( ) ( ) n n - 6

9 La erivaa por fórmulas Como no eben escribirse eponentes negativos como resultao final, vuelve a regresarse la al enominaor para que le cambie el eponente a positivo: Nótese que se habla e eponentes negativos, no e cantiaes negativas que es iferente, por lo que el menos uno el numeraor se ejó intacto. Ejemplo : Obtener la erivaa e En este caso, ebe primero transformarse la epresión original, pasano la al numeraor, parta lo cual ebe recorar el alumno que cambia e signo el eponente. Lo que se obtiene e esta transformación sigue sieno toavía igual a y, no a la erivaa: ( ) ( ) n n - 6 Como no eben escribirse eponentes negativos como resultao final, vuelve a regresarse la al enominaor para que le cambie el signo el eponente a positivo: 6

10 La erivaa por fórmulas 6 Ejemplo 0: Hallar la erivaa e En este caso, ebe primero transformarse la epresión original, escribieno la con eponente fraccionario. Debe recorar el alumno que el numeraor es la potencia original e y el enominaor el ínice el raical. Lo que se obtiene e esta transformación sigue sieno toavía igual a y, no a la erivaa: / n De este manera ya tiene la forma e, en one n /: n n - Como no eben escribirse eponentes negativos como resultao final, ebe pasarse la al enominaor para que le cambie el eponente a positivo: 6

11 La erivaa por fórmulas También se puee escribir como Ejemplo : Hallar la erivaa e Como en los ejemplos anteriores, ebe primero transformarse la epresión original, escribieno la con eponente fraccionario y luego pasánola al numeraor. Debe recorar el alumno que cuano se escribe un eponente fraccionario, el numeraor es la potencia original e (en este ejemplo es ) y el enominaor el ínice el raical (en este ejemplo es ) y que al pasar too el eponente fraccionario al numeraor cambia su signo. Lo que se obtiene e esta transformación sigue sieno toavía igual a y, no a la erivaa: / n n - / / 65

12 La erivaa por fórmulas Ejemplo : Derivar 5 En este caso, es necesario primero reconocer que la constante es la fracción, es ecir, la función original se puee escribir también como. Luego, escribieno con 5 eponente fraccionario y finalmente pasánolo al numeraor se tiene que 5 /5 /5 ( ) 5 5 n n /5 6 5 /5 66

13 La erivaa por fórmulas Ejemplo Derivar Escribieno la función con eponente fraccionario: y / Que así ya es e la forma n. Derivano conforme a esa fórmula: 5/ o bien 5 6

14 La erivaa por fórmulas EJERCICIO (Áreas, y ) Calcular la erivaa e las siguientes funciones: ) ) ) ) 5 + π 5) 6) + 8 ) 8) + 5 ) 0) ) ) y ) ) y 8 5) 6) y ) 8) ) 0) ) ) ) ) 8 0 5) 6) 8 68

15 La erivaa por fórmulas. FÓRMULAS GENÉRICAS (Áreas, y ) El siguiente paso es trabajar con fórmulas generales, no particulares como lo fue en el apartao anterior. Fórmulas particulares se refiere a que en la fórmula anterior e n solamente la variable se elevaba a una potencia n; pero puee arse el caso que sea un polinomio el elevao a la potencia n, como por ejemplo, ( 5 + ) 6. La siguiente fórmula, llamaa e la potencia, está aa en forma genérica al utilizar la notación e u para representar cualquier función elevaa a la potencia n. (6) u n nu n u 5 Ejemplo : Hallar la erivaa e ( ) 8 8 En este caso, si u 5, la función se convierte en u. Aplicano la fórmula (6): 8 8 ( 5 ) ( 5 ) n u n - u Para erivar ( 5 ) se emplean las fórmulas básicas iniciales e la página ( ) ( ) o bien 6

16 La erivaa por fórmulas ( ) Ejemplo : Calcular la erivaa e ( ) En este caso, si u , la función se convierte en u. Aplicano la fórmula (6): ( 6 8 ) ( 6 8 ) n u n - u y efectuano la erivaa inicaa al final: ( ) ( ) Ejemplo 5: Obtener la erivaa e + En éste y en los ejemplos sucesivos, eberán emplearse eponentes fraccionarios y/o negativos eactamente como se hizo en los ejemplos 8 a e las páginas 6 a 66, para convertir n la función a la forma u. Entonces ( + ) - 0

17 La erivaa por fórmulas y la erivaa es + + ( ) ( ) n u n - u ( ) ( ) + ( + ) + Ejemplo 6: Hallar la erivaa e ( ) 5 ( ) 5/ Escribieno la función con eponente fraccionario: +. De esta mane- n ra ya se puee emplear la fórmula e la erivaa e u : ( ) ( ) n u n - u ( ) ( )

18 La erivaa por fórmulas Ejemplo : Derivar ( + 8 5) Escribieno la función con eponente fraccionario: ( + 8 5) / n con lo que ya se puee emplear la fórmula e u : ( ) / ( ) ( ) n u n - u ( 8 5) ( ) ( 8 5) ( ) 8 8 Ejemplo 8: Hallar la erivaa e ( ) 6 Escribieno la función con eponente negativo: ( )

19 La erivaa por fórmulas con lo que ya se puee emplear la fórmula e u n : ( ) ( ) 6 ( ) n u n - u ( ) ( ) ( ) ( )

20 La erivaa por fórmulas EJERCICIO 0 (Áreas, y ) Hallar la erivaa e las siguientes funciones: ( ) 5 ( + ) y ) ) ( 6 ) 8 ( ) 6 y ) ) 5) y 5 6) + + ( + + ) ( ) 5 ( 5 ) 6 ) y 8) ( ) 0 ) y 6 0) 5 ( ) ) y 5 ) 8 ( ) 8 0 ( 6 6 ) ) ) ( ) 5 5) 6) ( + ) 5 5( ) 8 ) 8) 5 ( + ) ( + ) 8 8 ) 0) 8 ( + ) ( 6 ) 0