UNIDAD Nº 1: 1. SISTEMAS DE NUMERACION. Formalizado este concepto, se dirá que un número X viene representado por una cadena de dígitos:

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1 UNIDAD Nº 1: TECNICATURA EN INFORMATICA UNLAR - CHEPES 1.1. INTRODUCCION 1. SISTEMAS DE NUMERACION El mundo del computador es un mundo binario. Por el contrario, el mundo de la información, manejada por el hombre, es mayoritariamente de texto y de cifras escritas. Por ello hay que establecer unos mecanismos de traducción o codificación que permitan convertir, los datos formados por cifras y palabras, a cadenas de bits manejables por el computador. Por lo tanto los datos Externos deben ser transformados a datos Internos para procesarlos y luego volver a convertirlos cuando los resultados vuelvan al exterior. Otro aspecto importante es la representación de la información a efectos de conseguir la detección e incluso la corrección de errores en el almacenamiento y manejo de la información SISTEMAS DE NUMERACION En un sistema de numeración posicional un número viene definido por una cadena de dígitos, estando afectados cada uno de ellos por un factor de escala que depende de la posición que ocupa en esta cadena. El sistema clásico es el decimal, en el que la posición del digito indica la potencia de 10 que lo afecta. Tomando como ejemplo el numero 732, se tiene que el 2 indica 2 unidades, el 3 decenas, esto es treinta, y el 7 setecientos. Formalizado este concepto, se dirá que un número X viene representado por una cadena de dígitos: X=( x 3 x 2 x 1 x 0, x -1 x -2 x -3 ) Seleccionados del conjunto (d p-1, d p-2, d 1, d 0 ), que a través de un vector de pesos permite calcular el valor de V(X) del numero X, mediante la siguiente regla: V(X)= p 3.x 3 + p 2.x 2 + p 1.x 1 + p 0.x 0 + p -1.x -1 + p- 2.x -2 + p i * x i i=- Lo más frecuente es utilizar una base b para generar el vector de pesos mediante sus potencias, de forma que: P=( b 3 b 2 b 1 b 0, b -1 b -2 ) En este caso, se obtiene el valor del número X de la siguiente forma: i=+ V(X)= b i * x i i=- i=+

2 Su representación ya no necesita el vector de pesos, solamente es necesario indicar la base, lo que se hace de la siguiente manera: X=( x 3 x 2 x 1 x 0, x -1 x -2 x -3 ) b Empleando la base=10 se obtiene el sistema decimal, al que estamos tan acostumbrados. Con b=2 se obtiene el sistema binario, con b=8 el octal y con b=16 el hexadecimal. Los dígitos empleables en cada caso serán los siguientes: b=10 x i =0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 b=2 x i = 1,2 b=8 x i =0,1,2,3,4,5,6,7 b=16 x i =0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F Ejemplos: , , AB 16 1BC,AA 16 Ejemplos de equivalencias entre sistemas DECIMAL BINARIO OCTAL HEXADECIMAL A B C D E F Tabla 1.1 Ejemplo de Equivalencia entre Sistemas

3 1.3. CONVERSION DE SISTEMAS DE NUMERACION La conversión entre sistemas de numeración consiste en escribir el equivalente de un numero expresado en una base de origen en una base destino Conversión al Decimal Se realiza convirtiendo el vector de pesos del sistema origen al decimal a) Conversión de Binario a Decimal Vector de pesos Equivalente decimal ,5 0,25 0,125 Así entonces 10110,01 2 = 1*2 4 +0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0, 0*2-1 +1*2-2 = 22,25 10 Para facilitar el cálculo la tabla 1.2 y la 1.3 listan potencias de 2 Potencia Valor Potencia Valor Tabla 1.2 Potencias de 2 positivas Potencia Valor -1 0,5-2 0,25-3 0, , , , , , , , Tabla 1.3 Potencias de 2 negativas

4 b) Conversión de Octal a Decimal 231,45 8 = (2x8 2 +3x8 1 +1x8 0 +4x8-1 +5x8-2 ) 10 = (2x64 + 3x8 + 1x1 + 4x1/8 + 5x1/8 2 ) 10 = ( x0, x0,015625) 10 = 153,57812) 10 c) Conversión de Hexadecimal a Decimal 73,D5 16 = (7x x16 0 +Dx x8-2 ) 10 = Conversión del Decimal a otro de base n El siguiente algoritmo para convertir un numero N 10 a su representación en una base distinta de 10, distingue entra la parte entera y la parte fraccionaria de N 10. 1) Parte Entera: Se divide la parte entera de N 10 por la base n. El cociente obtenido se divide nuevamente por n. así sucesivamente, cada coeficiente se divide por n, hasta obtener coeficiente 0. La sucesión de residuos, en orden inverso, es la representación en la base n, de la parte entera de N 10 2) Parte Fraccionaria: Se multiplica la parte fraccionaria de N 10 por la base n, y se considera la parte entera de ese producto. La parte fraccionaria del producto se multiplica nuevamente por la base n, hasta obtener parte fraccionaria cero o igual a una anterior. La sucesión de las partes enteras de los productos, en el orden en que fueron efectuados, es la representación en la base n, de la parte fraccionaria de N 10. Observación: Es claro que si N 10 es un número entero, solo aplicaremos 1), y si N 10 tiene parte entera nula, solo aplicaremos 2). a) Conversión de decimal a binario Sea en número N 10 = 218,6875 a1) Parte entera Divisiones Cocientes Residuos 218/ / / / / / / /2 0 1 Fin(coeficiente 0)

5 Luego = a2) Parte Fraccionaria Multiplicaciones Partes enteras 0,6875 x 2 = 1, ,0750 x 2 = 0, ,7500 x 2 = 1, ,5000 x 2 = 1,000 1 Fin parte fraccionaria igual a cero Luego 0, = 0, ; Por lo tanto 218, = , Sea ahora el numero 83,6 10 Divisiones Cocientes Residuos 83/ / / / / / /2 0 1 Fin(coeficiente 0) Luego = Multiplicaciones Partes enteras 0,6 x 2 = 1,2 1 0,2 x 2 = 0,4 0 0,4 x 2 = 0,8 0 0,8 x 2 = 1,6 1 0,6 x 2 = 1,2 1 0,2 x 2 = 0,4 0 0,4 x 2 = 0,8 0 0,8 x 2 = 1,6 1 Desde acá se repite una parte fraccionaria 0,6. Luego los dígitos en binario se repetirán indefinidamente Luego 0,6 10 = 0, ; binario periódico Escribimos 0,6 10 = 0, REGLA PRÁCTICA: 1) Parte entera: Se busca la mayor potencia de 2 que no exceda a N 10. Esta potencia se resta de N 10. Al resultado se lo vuelve a restar la mayor potencia de 2 que no lo supere. Se procede así a obtener una diferencia 0. El equivalente binario del entero N 10 se encuentra escribiendo 1 para las potencias de 2 que hayan sido restadas y 0 para las demás.

6 Ejemplo: Sea N 10 = (1 x 2 5 ) (1 x 2 4 ) 1-1 (1 x 2 0 ) 0 (Fin diferencia = 0) Luego =(1*2 5 +1*2 4 +0*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 ) 10 2) Parte Fraccionaria: Se va realizando una sumatoria de las potencias de 2 negativas comenzando desde el valor -1, mientras la sumatoria no supere a la parte fraccionaria, hasta que se iguale a dicha parte fraccionaria o se alcance una precisión deseada. Cuando al sumar una potencia no exceda a la parte fraccionaria se debe tomar como digito 1, al al sumar la potencia la sumatoria excede la parte fraccionaria, implica que el digito debe tomarse igual a 0. Sean N 10 = 0, = 0,5 S= 0,5 No excede, digito es = 0,25 S= 0,5 + 0,25 = 0,75 Si excede, digito es = 0,125 S= 0,5 + 0,125 = 0,625 No excede, digito es = 0,0625 S= 0, ,0625 = 0,6875 No excede, digito es 1 Fin. El valor de S igualo a la parte fraccionaria Luego N 10 = 0, =0, Observación: En algunos casos es necesario infinitos términos para que la sumatoria alcance la parte fraccionaria. En este caso se debe truncar a un cierto número de cifras, y por consiguiente no se puede alcanzar la igualdad. Un caso particular de infinitas cifras es cuando existe un periodo (grupos de cifras que se repiten). Ejemplo: N 10 = 0,6 = 0, b) - Conversión de Decimal a Octal Sea 153,

7 b1)- Parte entera Divisiones Cocientes Residuos 153/ / /8 0 2 Fin cociente 0 TECNICATURA EN INFORMATICA UNLAR - CHEPES Luego =231 8 b2)- Parte fraccionaria Multiplicaciones Partes enteras 0,4375 x 8=3,5 3 0,5 x 8= 4,0 4 Fin fracción cero luego Luego 0, = 0,34 8 ; Por lo tanto 153, = 231,34 8 c) - Conversión de Decimal a hexadecimal Sea 967,3 10 c1)- Parte entera Divisiones Cocientes Residuos 967/ / =C 3/ Luego =3C7 16 c2)- Parte fraccionaria Multiplicaciones Partes enteras 0,3x16=4,8 4 0,8x16=12,8 12=C 0,8x16=12,8 12=C Luego 0,3 10 =0,4CCC 16 (periódico hexadecimal); Por lo tanto 967,3 10 =3C7,4C Conversión entre Binario, Octal y Hexadecimal a) De Octal Binario Como 8=2 3, cada digito octal tiene una única representación binaria de 3 bits(3 dígitos binarios), como indica la siguiente tabla:

8 OCTAL BINARIO De esta manera, cada digito octal puede pensarse como una notación abreviada para el valor equivalente en 3 bits, que figura en la tabla. Según esto, para convertir un número octal a su forma binaria, directamente reemplazamos digito octal por su correspondiente binario. Sea 4206,31 8 Tendremos: Luego 4206,31 8 = , b) De Hexadecimal Binario Como 16=2 4, cada digito hexadecimal tiene una única representación binaria de 4 bits(4 digitos binarios), como indica la siguiente tabla: Hexadecimal BINARIO Hexadecimal BINARIO A B C D E F 1111 Luego para convertir un número hexadecimal a su forma binaria, directamente reemplazamos cada digito por su equivalente binario.

9 Sea 27,A3 16 Tendremos: A Luego 27,A3 16 = , c) De Binario Octal Un número binario se representa en su forma octal, particionandolo en bloques de 3 bits. Se comienza desde el punto binario hacia la izquierda y hacia la derecha. Se agregan ceros al comienzo o al final si es necesario. Luego se reemplaza cada bloque por el digito octal equivalente. Ejemplo: = = 33,24 8 d) De Binario Hexadecimal Un numero binario se representa en su forma hexadecimal particionandolo en bloques de 4 bits y reemplazándolos luego cada bloque por el digito hexadecimal equivalente. Sea Es equivalente a , Equivalente a 1C, B6C ARITMETICA DE LOS SISTEMAS DE NUMERACION La ejecución de cálculos numéricos como adición, sustracción, multiplicación y división esencialmente igual en todos los sistemas de numeración posicional. Supondremos ya conocidas estas operaciones en el sistema decimal ARITMETICA EN EL SISTEMA BINARIO a) Adición: el algoritmo para sumar en el sistema binario es el mismo que se utiliza en el sistema decimal, haciendo uso de las siguientes reglas básicas: S = 0 S = 1 S = 1 S = 10 o bien 1 + 1=0, llevando 1 a la siguiente columna de la izquierda. S = 11 o bien 1+1+1= 1 llevando 1 a la siguiente columna de la izquierda Ejemplo: 11011, , ,101 2

10 , , , Lo sumamos de a dos , , , , TECNICATURA EN INFORMATICA UNLAR - CHEPES , b) Sustracción: el algoritmo para restar en el sistema binario es el mismo que se utiliza en el sistema decimal, haciendo uso de las siguientes reglas básicas: R = 0 R2 1-0 = 1 R3 1-1 = 0 R4 0-1 = 1 tomando prestado 1 de la siguiente columna de la izquierda(esta disminuye en 1) Aclaremos esta ultima regla: como 1+1=10 entonces 10-1=1. La diferencia 0-1 requiere tomar 10(tomar uno de la siguiente columna de la izquierda) y se obtiene 10-1=1 Ejemplo: 1101, , , , , c) Multiplicación: como la multiplicación decimal, la binaria se reduce a multiplicar números por dígitos y luego sumar. Ejemplo 11,01 2 x 101,1 2 M1-0 x 0 = 0 M2 0 x 1 = 0 M3 1 x 0 = 0 M4 1 x 1 = 1 11,01 (2 dígitos luego del punto) * 101,1 (1 dígito luego del punto) , (dígitos luego del punto)

11 d) División: como la división decimal, la binaria se reduce a multiplicar números el divisor por un digito y restar este resultado al dividendo. Ejemplo: 111,00001 / 1, , , , Observación: como en la división decimal, no siempre la división es con resto cero. El resto debe ser menor que en divisor ARITMETICA OCTAL a) Adición: Regla práctica: al sumar dos dígitos octales: 1. Si la suma decimales es menor o igual a 7, coincide con la suma octal y no debemos hacer conversión. 2. Si la suma decimal es mayor a 7, debemos convertirla al sistema octal. Veamos con un ejemplo que sucede en este caso: La suma decimal de es 13. En el sistema octal esta suma es 15. Para obtener el residuo 5 restamos Para el residuo 1 no restamos nada El procedimiento práctico puede disponerse entonces como sigue: Suma decimal (mayor que 7) Modificación de la suma Suma en octal Regla practica para la adición de dígitos octales: 1) Se calcula la suma decimal de los dígitos dados 2) Si la suma decimal es menor o igual a 7, coincide con la suma octal

12 3) Si la suma decimal es mayor que 7, restamos 8 y al resultado le agregamos un 1 adelante, obteniendo así la suma octal. Ejemplo: (sumas decimales) Resultado: ARITMETICA HEXADECIMAL a) Adición: Regla práctica: al sumar dos dígitos hexadecimales: 1. Calculamos la suma decimal de digitos. 2. Si la suma decimal es menor o igual que 15, concide con la suma hexadecimal, teniendo en cuenta que A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15 3. Si la suma decimal es mayor que 15, restamos 16 y le agregamos un 1 adelante del resultado obteniendo así la suma hexadecimal Veamos con un ejemplo que sucede en este caso: suma decimal - 16 modificación 11=B suma hexadecimal Ejemplo: C D9 16 C D (sumas decimales) Resultado: 13B B 4 1