Física y Mecánica de las Construcciones ETS Arquitectura/ Curso

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1 Física y Mecánica de las Construcciones ETS Arquitectura/ Curso 8-9 C) VIBRACIONES Y ONDAS 1. VIBRACIONES MECÁNICAS INTRODUCCIÓN Una vibración ecánica es la oscilación repetida de un punto aterial o de un cuerpo rígido en torno a una posición de equilibrio. En uchos dispositivos conviene que haya oviientos vibratorios coo el péndulo utilizado para regular un reloj o la cuerda pulsada de una guitarra. Sin ebargo, las vibraciones que se producen en las estructuras a causa de terreotos, del viento o de la circulación de vehículos próxios pueden dañarlas e incluso destruirlas La vibración ecánica aparece cuando aplicando una uerza adicional se desplaza un punto aterial o un cuerpo rígido que estaba en equilibrio estable. Adeás sobre el cuerpo se ejercen uerzas recuperadoras que le hacen volver a su posición de equilibrio. No obstante cuando el cuerpo alcanza su posición de equilibrio tiene velocidad no nula y sobrepasa dicha posición. En uchos casos, la posición o el oviiento del cuerpo se pueden especiicar por copleto con una coordenada. Se dice que estos cuerpos tienen un grado de libertad. En general si son necesarias n variables para especiicar copletaente la posición de un sistea ecánico decios que el sistea tiene n grados de libertad. Así por ejeplo, un disco que se oviera en el plano sin restricciones tendría tres grados de libertad, por una parte los desplazaientos x e 1

2 Física y Mecánica de las Construcciones ETS Arquitectura/ Curso 8-9 y de su centro de gravedad y por otro parte el ángulo de rotación alrededor del centro de gravedad. Un sólido rígido que se ueve libreente tiene seis grados de libertad, tres de traslación que dan la posición en el espacio de su centro de asas en cada instante y tres de rotación. Por lo tanto son necesarias seis coordenadas para expresar su posición en el espacio. No necesariaente un sistea de un grado de libertad es un sistea siple. Por ejeplo, un otor de autoóvil, con toda su coplejidad ecánica, si está ontado rígidaente tiene la posición de todos sus eleentos en cada instante de tiepo descrita por una única variable, que puede ser el ángulo de giro del cigüeñal. El valor de ese ángulo deterina la posición de todos los eleentos óviles del otor y por tanto el sistea tiene un único grado de libertad. Las oscilaciones que se repiten unioreente reciben el nobre de periódicas, las no se repiten unioreente se denoinan aperiódicas o aleatorias. Características iportante de una oscilación periódica son: - Periodo (T): tiepo que ha de transcurrir para que se repita el oviiento. - Frecuencia (): la inversa del periodo o núero de vibraciones u oscilaciones por segundo. - Aplitud (A): desplazaiento áxio que sure el cuerpo respecto a su posición de equilibrio. Las vibraciones ecánicas se clasiican en vibraciones libres tabién llaadas vibraciones naturales no aortiguadas y vibraciones aortiguadas. Las vibraciones libres las originan y antienen uerzas tales coo las uerzas gravitatorias o uerzas elásticas. Cuando uerzas coo rozaiento, resistencia del aire, viscosidad... sean despreciables se dice que la vibración es no aortiguada. Cuando no sean despreciables dichas uerzas resistivas, se dice que la vibración es aortiguada. Las vibraciones libres no aortiguadas se repiten a sí isas indeinidaente, las vibraciones libres aortiguadas llegarían a desaparecer. Esa claro que todo sistea real contiene uerzas de rozaiento que llegarían a detener las vibraciones libres. Sin ebargo, en uchos sisteas la pérdida de energía debida a la resistencia del aire y otras uerzas resistivas en tan pequeña que el análisis basado en un aortiguaiento despreciable da, a enudo, resultados técnicaente satisactorios. Si el oscilador es aortiguado la pérdida de energía es posible copensarla aplicando una uerza externa que transiera energía al sistea, en ese caso teneos vibraciones orzadas. Las vibraciones orzadas las originan y las antienen uerzas periódicas aplicadas exteriorente.

3 Física y Mecánica de las Construcciones ETS Arquitectura/ Curso 8-9 Cada ediicación es un oscilador con un conjunto de recuencias naturales, recuencias en las que vibran con ayor acilidad, que dependen de su rigidez, de su asa y de los detalles de su construcción. La uerza periódica externa la puede proporcionar por ejeplo las sacudidas del terreno en un terreoto. Cuando la recuencia de las ondas sísicas coincide con la recuencia natural de un ediicio, éste coienza a vibrar con ayor uerza y puede terinar por destruirse. A esta situación se la conoce coo resonancia. Vereos que la resonancia es un enóeno digno de toarse en cuenta en el diseño y construcción tanto de puentes coo de ediicios. 1.. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS Cuando la uerza recuperadora que actúa sobre una partícula es proporcional al desplazaiento de la partícula respecto a su posición de equilibrio y dicha uerza está siepre dirigida hacia dicha posición de equilibrio se produce una clase especial de vibración o oviiento periódico llaado oviiento arónico siple. La ayoría de las vibraciones que aparecen en las aplicaciones técnicas se pueden representar o aproxiar ucho a un oviiento arónico siple. Al servir coo odelo de análisis de una gran cantidad de probleas relacionados con las vibraciones conviene estudiar en detalle la ecuación de este oviiento. Un odelo útil para este estudio es el orado por un objeto de asa conectado a un uelle horizontal sin rozaientos. Si el uelle no está estirado o contraído, el objeto (lo tratareos coo partícula eliinando los eectos de taaño del objeto) está en reposo en su posición de equilibrio. Desplazando el bloque una distancia y soltándolo con una velocidad v se induce una vibración. La uerza recuperadora elástica que ejerce el resorte es siepre hacia la posición de equilibrio. x F kx según la ley de Hooke y esta dirigida del bloque: Aplicando al bloque la segunda ley de Newton, teneos la ecuación dierencial del oviiento F X a X d x d x d x kx k x 3

4 Física y Mecánica de las Construcciones ETS Arquitectura/ Curso 8-9 es decir, la aceleración del bloque es proporcional a su desplazaiento respecto a la posición de equilibrio y está dirigido hacia ella. Siepre que la aceleración de un objeto sea proporcional a su desplazaiento pero con sentido opuesto, el objeto se overá con oviiento arónico siple. La ecuación deducida describe el oviiento arónico siple y suele escribirse en la ora: d x + x k siendo la recuencia natural de oscilación del sistea. Esta ecuación constituye un tipo conocido de ecuación dierencial lineal, hoogénea de segundo orden cuya solución general puede escribirse en la ora: o bien en la ora: x ( t) A cos( t α) x ( t) Asen( t α) o coo una superposición de éstas. En dichas ecuaciones A y α son constantes de integración que hay que deterinar a partir de las condiciones iniciales del problea. La constante A es la aplitud o desplazaiento áxio con respecto a la posición de equilibrio y la constante α se le llaa ángulo de ase o constante de ase. Esta constante de ase corresponde a la ase cuando t. El periodo de π oscilación viene dado por T y la recuencia de la oscilación, cualquiera de las expresiones nos da la velocidad:. La priera derivada de π dx v Asen( t α ) Derivando la velocidad respecto al tiepo se obtiene la aceleración: dv a A cos( t α ) x Conviene recordar que los resultados obtenidos no se liitan a la vibración de un punto aterial sobre una supericie horizontal. Pueden utilizarse para analizar el oviiento vibratorio de un cuerpo siepre que las ecuación del oviiento se reduzca a la obtenida. Por ejeplo cuando un objeto cuelga de un uelle vertical adeás de la uerza del uelle hay una uerza vertical adicional hacia abajo que es el peso según la siguiente igura: 4

5 Física y Mecánica de las Construcciones ETS Arquitectura/ Curso 8-9 Si se elige la dirección hacia abajo coo el sentido positivo del eje y, la uerza del uelle sobre el objeto es ky. La uerza neta sobre el objeto es: F y k( y + y ) + g siendo y la longitud que se alarga el uelle cuando el objeto está en equilibrio, por tanto ky g por lo que : F y ky y la segunda ley de Newton d y F a nos lleva a: y d y d y k ky + y que es la ecuación del oviiento arónico siple en donde k. Entonces, el objeto oscila respecto a la posición de equilibrio con la isa recuencia con la que se overía un objeto atado a un uelle horizontal ENERGÍA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE En cualquier instante la energía potencial del oscilador libre es: E P 1 1 kx ka cos ( t α ) 5

6 Física y Mecánica de las Construcciones ETS Arquitectura/ Curso 8-9 que no es una constante sino que luctúa con el oviiento arónico sin hacer nunca negativa, es nula cuando pasa por la posición de equilibrio y áxia en el punto de áxia aplitud. Por otra parte, la energía cinética es de la ora: E C 1 1 dx 1 v ( α) A sen t La energía cinética es nula cuando la aplitud alcanza su valor áxio ya que en esa posición la velocidad es nula, ientras que es áxia cuando pasa por la posición de equilibrio, ya que ahí su velocidad es áxia. La energía total es la sua de las energías cinética y potencial: E E P + E C 1 ka 1 1 cos ( t α) + A sen ( t α) A Esta energía total del oviiento arónico siple es proporcional al cuadrado de la aplitud del oviiento y cuando un objeto oscila con oviiento arónico siple las energías cinética y potencial del sistea varían con el tiepo. Su sua la energía total se antiene constante durante el oviiento. Para un objeto en su desplazaiento áxio, la energía total es toda energía potencial. Cuando el objeto se ueve hacia su posición de equilibrio, la energía del sistea crece y la energía potencial disinuye. Cuando atraviesa la posición de equilibrio, la velocidad del objeto es áxia, la energía potencial del sistea es cero y la energía total es igual a la energía cinética. Cuando el objeto sobrepasa el punto de equilibrio, su energía cinética coienza a decrecer y la energía potencial del sistea crece hasta que el objeto de nuevo se detiene oentáneaente en su desplazaiento áxio. En todo oento, la sua de las energías potencial y cinética es constante. La siguiente igura uestra los gráicos de la energía cinética y potencial en unción del tiepo: En la igura se ha representado la energía potencial en unción de x. La energía total es constante y está representada por una línea horizontal. Esta línea corta a la curva de la energía potencial en y x A x A. Éstos son los puntos en los que los objetos, en su oscilación, cabian el sentido de la 6

7 Física y Mecánica de las Construcciones ETS Arquitectura/ Curso 8-9 velocidad y vuelven hacia la posición de equilibrio. Dado que A x A a. U Etotal el oviiento está restringido 1.4. MÉTODOS ENERGÉTICOS El étodo seguido en el apartado anterior ha consistido en obtener la ecuación dierencial del oviiento ediante la aplicación de la segunda ley de Newton. Dicha ecuación integrada nos da la recuencia, período y aplitud de la vibración. No obstante, si sobre el sistea no se ejercen uerzas de rozaiento o de aortiguaiento el teorea de conservación de la energía o de las uerzas vivas tabién es válido para deducir la ecuación dierencial del oviiento y la recuencia propia de vibración. Aún cuando todos los sisteas reales pierden energía en los rozaientos, en uchos casos el aortiguaiento es uy débil y al considerar estos sisteas exentos de aortiguaiento, los errores que se coenten al deterinar la recuencia propia de vibración resultan se uy pequeños. El étodo del trabajo y la energía resulta especialente adecuado para los probleas en que intervienen puntos ateriales conectados rígidaente y sisteas de cuerpos rígidos conectados entre sí. Para ello se obtiene en un instante dado la energía ecánica del sistea, la derivada teporal de la energía calculada debe ser cero si ésta se conserva: E T E C + E P de cte T d( EC + E P ) Si consideraos de nuevo el bloque que se desliza por una supericie horizontal, cuando se desplaza el bloque una distancia x en el sentido positivo de las abscisas, su energía cinética es E C 1 v 1 kx E P. 1 dx y la energía potencial de la uerza elástica que ejerce el resorte es Entonces derivando respecto al tiepo la energía ecánica teneos: 7

8 Física y Mecánica de las Construcciones ETS Arquitectura/ Curso 8-9 de T d( EC + EP ) d 1 1 kx + x& ( + ) kx x && x& Pero coo la velocidad dierencial del oviiento: x& no es nula en todo oento, la ecuación nos da la ecuación & x + kx que coincide con la ecuación anteriorente deducida. La recuencia y el periodo propios se pueden deterinar tabién utilizando el principio de conservación de la energía sin deducir antes la ecuación dierencial del oviiento. En apartados anteriores vios que cuando un sistea vibra con oviiento arónico siple en torno a su posición de equilibrio la posición y la velocidad del sistea se pueden escribir en la ora: x ( t) Asen( t α) dx v A cos( t α) En estas expresiones observaos que la posición áxia se obtiene cuando la velocidad es nula. Es decir, la energía potencial es áxia cuando la energía cinética es nula. Por tanto, la energía ecánica total del sistea es: EC + EP kx x& ka A ax ax ( ) k 1.5. OTROS EJEMPLOS DE MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Si las ecuaciones del oviiento no se reducen a la ora de la ecuación: && x + x el oviiento no será arónico siple. Sin ebargo existen uchos oviientos que se aproxian bastante ediante dicha ecuación ientras la aplitud del oviiento es pequeña. Tales oviientos pueden aproxiarse a oviientos arónicos siples y sus resultados son aplicables directaente. Tal es el caso por ejeplo el péndulo siple: Denoinaos péndulo siple a un sistea copuesto por una asa supuestaente puntual suspendida de un punto O ediante una cuerda de longitud L y asa despreciable. Vereos que este péndulo siple describe un oviiento arónico siple cuando se tienen pequeñas oscilaciones de la asa : 8

9 Física y Mecánica de las Construcciones ETS Arquitectura/ Curso 8-9 Las uerzas que actúan sobre la asa son su peso g y la tensión T de la cuerda. Cuando la cuerda ora un ángulo φ con la vertical, para la coponente tangencial del peso la segunda ley de Newton nos da: d s Ft at gsenφ en donde la longitud del arco s está relacionado con el ángulo ediante la expresión s L dos veces con respecto al tiepo abos lados de dicha expresión se tiene: φ. Derivando d s d φ d φ L g L senφ Para valores pequeños de φ, sen φ φ y por tanto: d φ g φ L Esta ecuación es de la isa ora que la obtenida para un objeto ligado a un uelle. El oviiento de un péndulo es por lo tanto, aproxiadaente arónico siple para pequeños g L desplazaientos angulares. En este caso es la recuencia angular del oviiento del péndulo. En consecuencia, el periodo del péndulo es: T π π L g 9

10 Física y Mecánica de las Construcciones ETS Arquitectura/ Curso 8-9 La solución de la ecuación es: φ φ cos( t + α) en donde φ es el desplazaiento angular áxio. De acuerdo con la expresión del periodo cuanto ayor es la longitud del péndulo, ayor es el periodo, lo cual está de acuerdo con lo observado experientalente. Obsérvese tabién que la recuencia y el periodo son independientes de la aplitud de la oscilación, para aplitudes pequeñas, lo cual es una característica general del oviiento arónico siple. Cuando la aplitud de un péndulo se hace grande, su oviiento continúa siendo periódico deja de ser arónico siple VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS El análisis de las vibraciones libres no aortiguadas es una idealización de los sisteas reales, ya que no tienen en cuenta la pérdida de energía en los rozaientos, son sisteas que oscilan indeinidaente bajo la acción de una uerza de recuperación lineal. Sin ebargo, los sisteas reales pierden energía en los rozaientos y se dice que el oviiento se aortigua y llegan a pararse. Cuando la energía que pierda el sistea sea pequeña los resultados obtenidos en el apartado anterior están a enudo de acuerdo con los sisteas reales, al enos durante intervalos de tiepo cortos. Para intervalos de tiepo ás prolongados y cuando las pérdidas de energía no sean pequeñas habrá que incluir los eectos de las uerzas de rozaiento. Existen varios tipos de uerzas de rozaiento que pueden robar energía ecánica de un sistea de vibración. Un tipo uy habitual de uerza resistiva es proporcional a la velocidad y actúa en dirección opuesta a la isa. Este tipo de uerza se observa a enudo por ejeplo cuando un objeto oscila lentaente en un luido, por ejeplo, el aire o el agua y en este curso de vibraciones es el único que vaos a considerar. Esta uerza puede expresarse coo F r λv donde λ es la constante de aortiguaiento y v la velocidad en cada instante (en probleas ísicos reales pueden aparecer otros tipos de uerzas de rozaiento con distintas dependencias con la velocidad). Para ilustrar la vibración libre con aortiguaiento se puede añadir al sistea bloque resorte un aortiguador en la ora que se indica en la igura: 1

11 Física y Mecánica de las Construcciones ETS Arquitectura/ Curso 8-9 Aplicando la segunda ley de Newton al bloque teneos la ecuación dierencial de su oviiento: F que suele escribirse: X d x dx d x d x dx a X kx λ v kx λ + λ + kx d x dx + γ + x λ k siendo γ y es la recuencia natural del oscilador o recuencia angular sin aortiguaiento. Esta ecuación dierencial diiere de la del oscilador arónico libre en el térino dx adicional γ debido al aortiguaiento. La teoría de las ecuaciones dierenciales ordinarias nos dice que la solución de toda ecuación dierencial ordinaria con coeicientes constantes tiene siepre la ora: x( t) De λt donde las constantes D y λ deben satisacer la ecuación dierencial y las condiciones iniciales. Aplicando la solución en la ecuación dierencial teneos la ecuación: λ + γλ + que tiene por raíces: λ 1, γ ± γ γ ± i γ γ ± i 11

12 Física y Mecánica de las Construcciones ETS Arquitectura/ Curso 8-9 k λ siendo γ. El desplazaiento del bloque vendrá entonces dado por: 4 λ1t λt x( t) D1e + De donde las constantes y se deterinan a partir de las condiciones iniciales de desplazaiento y velocidad: D1 D donde según la órula de Euler t it x( t) e ( D1e + De γ it e i cos + isen coportaiento según que la constante de aortiguaiento continuación vaos a analizar por separados las distintas posibilidades: a) Sisteas subaortiguados ( γ ): ). Esta solución tiene tres tipos de γ sea igual o ayor que. A anera: Si γ, es real y la solución que se acaba de obtener puede escribir de la siguiente t it x( t) e ( D1e + De γ it ) D Ae 1 iα iα D Ae γt it x( t) e ( D1e + De it ) e γt ( Ae iα it e + Ae iα it e ) O en la ora: γt x( t) Ae cos( t α) Coo ya heos indicado, las constantes se deterinan a partir de las condiciones iniciales de desplazaiento y velocidad. La solución del oscilador libre subaortiguado es siilar a la solución del oscilador libre con la nueva característica de que la aplitud depende del tiepo. Por otro lado la recuencia de la oscilación aortiguada no es la recuencia de la oscilación libre γ sino que depende del aortiguaiento, es decir, al renarse el oviiento auenta el período y disinuye la recuencia de las oscilaciones. En la igura se representa gráicaente la posición en unción del tiepo de este tipo de oscilación libre subaortiguada: Ae γt 1

13 Física y Mecánica de las Construcciones ETS Arquitectura/ Curso 8-9 Cuando la uerza resistiva es relativaente pequeña el carácter oscilatorio del oviiento se conserva, pero la aplitud de la vibración disinuye con el tiepo y el oviiento en últio térino cesa. La envolvente de la curva de oscilación representan el actor exponencial que aparece en la ecuación. Coo la aplitud de la oscilación aortiguada disinuye onótaente con el tiepo no se repetirá nunca a sí isa. Por tanto, la oscilación aortiguada no tendrá período en el sentido que se deinió para las vibraciones libres no aortiguadas. Sin ebargo por seejanza de la ecuación obtenida con la del oviiento arónico siple es la recuencia angular aortiguada y a partir de ella se puede deinir el período π T y la recuencia π estas agnitudes son constantes aunque no lo sea la aplitud. aortiguados. Es interesante observar que b) Sistea críticaente aortiguado ( γ ): A edida que la intensidad de la uerza resistiva auenta las oscilaciones se aortiguan con ayor rapidez. Cuando γ el sistea no oscila y se dice que está críticaente aortiguado. En este caso la solución general de la ecuación dierencial es una unción de la ora: x( t) ( B + Ct) e γt donde B y C con constantes a deterinar a partir de las condiciones iniciales de desplazaiento y velocidad. En este caso, el sistea vuelve a su posición de equilibrio siguiendo una curva exponencial en el tiepo. Es decir, el aortiguaiento crítico es la enor cantidad de aortiguaiento para que el sistea no oscile. Un sistea con aortiguaiento crítico pasará al estado de reposo en enos tiepo que cualquier otro sistea que parta de las isas condiciones iniciales. Hay ocasiones en la que este tipo de aortiguaiento es uy interesante. Por ejeplo, en los aortiguadores de los coches se intenta 13

14 Física y Mecánica de las Construcciones ETS Arquitectura/ Curso 8-9 que trabajen en condiciones próxias al aortiguaiento crítico para evitar oscilaciones de excesiva duración. c) Sistea sobreaortiguado ( p γ ): Si el edio es altaente viscoso, y los paráetros cuplen la condición p γ, en este caso se deine s γ λ 4 k y la solución general de la ecuación dierencial es de la ora: st st x( t) ( Ae + Be ) e γt donde A y B con constantes a deterinar a partir de las condiciones iniciales de desplazaiento y velocidad y se dice que el sistea está sobreaortiguado. De nuevo, en este caso, al desplazar el sistea, éste no oscila, sino que retorna sipleente a la posición de equilibrio. En la siguiente igura podeos ver curvas que representan el desplazaiento de un sistea en los casos de aortiguaiento crítico y sobreaortiguaiento partiendo del iso desplazaiento y velocidad inicial: γ ξ En estos dos casos coo el sistea no oscila no es posible redeinir un período o recuencia asociados a estos oviientos. Coo ejeplos de oviientos oscilatorio o subaortiguado, con aortiguaiento crítico y sobreaortiguado se presentan las siguientes iguras para un valor deterinado de la constante de aortiguaiento y a unas deterinadas condiciones iniciales de desplazaiento y velocidad: 14

15 Física y Mecánica de las Construcciones ETS Arquitectura/ Curso VIBRACIONES FORZADAS La energía ecánica de un oscilador aortiguado disinuye con el tiepo coo resultado de la uerza resistiva. Por tanto si se quiere tener un sistea que oscile de ora continua sin aortiguaiento aparente es necesario counicarle la energía perdida a causa de la acción de las uerzas de rozaiento. Es posible copensar esta pérdida de energía aplicando una uerza externa que transiera energía al sistea actuando en el sentido del oviiento del oscilador. Por ejeplo, se puede antener a un niño balanceándose en un colupio dándole oportunos epujones en los oentos adecuados. La aplitud del oviiento peranece constante si la energía que se aporta en cada ciclo de oviiento es exactaente igual a la pérdida de energía ecánica en cada ciclo debida a las uerzas resistivas. Un ejeplo habitual de oscilador orzado es un oscilador aortiguado al que se le aplica una uerza externa periódica arónica coo angular y F F ext F sent ò F F cost donde es la recuencia la aplitud de la uerza externa. En general, la recuencia o ext o de la uerza externa es dierente de la recuencia natural del oscilador. Este caso nos perite estudiar ultitud de casos, ya que una uerza periódica del tiepo no arónica se puede expresar ediante una serie de Fourier o sua de unciones arónicas siples. La segunda ley de Newton en esta situación nos conduce a: F X a X d x dx kx λ + F o d x d x dx cos t + λ + kx F o cos t que puede tabién escribirse en la ora: d x dx Fo + γ + x cos t 15

16 Física y Mecánica de las Construcciones ETS Arquitectura/ Curso 8-9 La solución general de esta ecuación dierencial se escribe coo sua de dos partes: x( t) x ( t) x ( t) C + P la solución copleentaria y la solución particular. La parte copleentaria es la solución que heos estudiado para el oscilador aortiguado (al calcular las constantes que aparecen en la solución copleentaria debe incluirse tabién la solución particular). La solución copleentaria irá disinuyendo con el transcurso del tiepo. Coo esta solución sólo será apreciable durante cierto tiepo generalente corto a partir del inicio del oviiento, recibe el nobre de solución transitoria. Tras un período suicienteente largo, el aporte de energía que realiza la uerza externa es igual a la energía perdida por el sistea, se alcanza una situación estacionaria en el que las oscilaciones se producen con una aplitud constante. La solución de la ecuación cuando la parte transitoria de la solución ya ha desaparecido es la solución particular, llaada tabién solución peranente: x A cos( t α ) donde las constante A y α habrá que calcularlas de anera que se satisaga la ecuación inicial. Para obtener los valores de A y α resulta ás cóodo escribir la ecuación en ora exponencial copleja que ora que la solución escrita sería la parte de la siguiente expresión: x i A e ( α ) Si sustituios esta ecuación en la ecuación dierencial se obtiene: A ( F / ) + 4γ γ tanα Estas expresiones uestran que la aplitud y la ase inicial del oscilador orzado son constantes para una uerza externa dada caracterizada por los valores F y. La aplitud tiene un áxio cuando la recuencia de la uerza externa se aproxia a la recuencia natural de la oscilación. Al increento de la aplitud cerca de la recuencia natural se le denoina resonancia, y a la recuencia natural se le denoina tabién recuencia de resonancia del sistea. La siguiente igura uestra una gráica de la aplitud en unción de la recuencia para distintos valores de las uerzas resistivas ( ξ γ ). Cuando se aplica la uerza externa a una recuencia próxia a la recuencia propia del sistea y el aortiguaiento es débil la aplitud de la vibración se apliica de anera sustancial. Ya heos dicho que esta condición recibe el nobre de resonancia. La igura tabién nos sugiere que la aplitud de la oscilación se puede controlar evitando la condición de resonancia o auentando el aortiguaiento. 16

17 Física y Mecánica de las Construcciones ETS Arquitectura/ Curso 8-9 Vaos a explicar ás en proundidad el origen de la enore apliicación de las oscilaciones en condiciones resonantes para sisteas débilente aortiguados. En la siguiente igura se representa el ángulo de ase rente a la razón de recuencias. Considereos algunos líites interesantes: Excitación de baja recuencia ( pp ): en estas condiciones la recuencia de la uerza excitadora es pequeña. Según la gráica para una excitación de baja recuencia la respuesta del sistea está en ase 17

18 Física y Mecánica de las Construcciones ETS Arquitectura/ Curso 8-9 con la excitación. El sistea tiene el tiepo suiciente para adaptarse en cada oento a las condiciones de la excitación. Excitación de alta recuencia ( ): es el caos en que la recuencia de la uerza excitadora es ucho ayor que la recuencia natural del sistea. Cuando la uerza externa se aplica a recuencias elevadas la respuesta peranente está en su ayor parte en oposición de ase con la uerza perturbadora, renándose el oviiento por ello la aplitud de las oscilaciones es prácticaente nula e independiente del valor de ξ. Es decir, para una excitación de alta recuencia, la respuesta del sistea está en oposición de ase con la uerza excitadora. Coo la recuencia de la pulsación excitadora es tan grande, el sistea apenas puede responder a ella oscilando y por tanto la aplitud de la oscilación es uy pequeña. Resonancia en aplitud ( ): cuando la recuencia de la uerza externa se hace siilar a la recuencia natural del sistea, el ángulo de desase es de 9º para valores relativaente altos de ξ por lo que hay una parte del oviiento en que este se rena. Por ello la aplitud de las oscilaciones no crece ucho cuando la resonancia tiene lugar en sisteas uy aortiguados. Sin ebargo si el aortiguaiento es uy débil, la ase cabia bruscaente de 9º a º, esto es pasa de concordancia de asa a oposición de ase con solo auentar un poco la recuencia de la uerza excitadora. Es decir, en la resonancia para aortiguaientos débiles abas ases coinciden de ora que la uerza actúa siepre en el sentido del oviiento, avoreciéndolo siepre. De hecho, puede observarse en las gráicas que el áxio no se alcanza exactaente para 1. γ ξ Ω n 18

19 Física y Mecánica de las Construcciones ETS Arquitectura/ Curso 8-9 El conociiento del enóeno de la resonancia es de gran iportancia tanto si interesa utilizarlo para apliar las oscilaciones coo si lo que interesa es iniizar su eecto. Por ejeplo, cada ediicio es un oscilador con un conjunto de recuencias naturales que dependen de su rigidez, asa y de los detalles de su construcción. Una uerza periódica externa puede ser la proporcionada por las sacudidas del terreno en un terreoto. Se puede producir un resultado desastroso cuando la recuencia natural de un ediicio coincide con una de las recuencias contenidas en los oviientos del terreno. Las vibraciones de resonancia del ediicio pueden acuularse hasta alcanzar un valor de aplitud lo suicienteente grande coo para dañar o destruir el ediicio. Esto se pude evitar de dos oras: - diseñar las estructuras de odo que las recuencias naturales del ediicio estén uera del rango de recuencias de los terreotos (entre y 15 Hz) por ejeplo, variando el taaño o la asa de la estructura del ediicio - incorporar una suiciente aortiguación al ediicio. Esto no cabia la recuencia natural pero disinuye la respuesta a la resonancia, la aplitud de la vibración sera relativaente pequeña para cualquier recuencia dada. Describireos ahora dos ejeplos de situaciones que inducen vibraciones de resonancia en las estructuras de los puentes: 1) A lo soldados se les da la orden de roper ilas cuando archan a través de un puente. Esta orden se debe a la existencia de la resonancia ya que, si la recuencia de archa de los soldados coincide con la del puente, el puente podría entrar en oscilación por resonancia. Si la aplitud de la oscilación llega a ser lo suicienteente grande, el puente podría derrubarse. Esta situación se produjo el 14 de abril de 1831 cuando el puente de Broughton en Inglaterra se vino abajo en el iso instante en que había unas tropas archando sobre él. La investigación realizada después del accidente deostró que el puente estaba a punto de allar y que la vibración de resonancia inducida por los soldados que los atravesaban provocó sipleente que cayera antes de lo previsto. ) En 194 el puente de Tacoa Narrows en el estado de Washington ue destruido por las vibraciones de resonancia. Los vientos no eran uy uertes pero las turbulencias generadas se produjeron a una recuencia que coincidió con la recuencia natural de oscilación del puente. La agitación producida por el puente proporcionó la uerza periódica externa que hizo que le puente cayera sobre el río (ás inoración en Supongaos que un ediicio está lejos del epicentro de un terreoto, de odo que las sacudidas del terreno son pequeñas. Si la recuencia de la sacudida coincide con la recuencia natural del ediicio, se produce un acoplaiento de energía uy eectivo entre el terreno y el ediicio. Por lo tanto, incluso aunque el teblor sea relativaente pequeño, el terreno, por resonancia puede transitir energía al ediicio de ora lo bastante eicaz coo para provocar el allo de la estructura. En este sentido, los ediicios de la Ciudad de Méjico resultaron dañados en 1985 a pesar de que estaban a 4 k del epicentro del terreoto. 19