La elasticidad (Parte 1)

Transcripción

1 La elasticidad (Parte 1) Cuando la materia sufre deformaciones a causa de fuerzas externas que actúan sobre ella; la elasticidad se define, como la propiedad que tiene la materia de recuperar su forma original, una vez cese la causa que produzca su deformación. El grado de elasticidad de la materia esta en proporción con la recuperación de su forma original. En virtud de este punto de vista, podríamos decir que, por ejemplo entre un caucho y una cuerda de piano; el caucho es menos elástico que la cuerda de piano; puesto que, aunque la cuerda de piano, es más difícil de estirar (deformar), ella puede alcanzar la forma original después de deformada; en tanto que el caucho no la alcanza. En esta cualidad se sustenta el uso de las cuerdas de los instrumentos musicales en general, pues ellos deben aguantar muchas deformaciones para producir los diferentes sonidos, sin que se modifique sensiblemente la calidad de esos sonidos que les son característicos. En el fenómeno de la elasticidad están más directamente involucrados; el vacío existente en la materia, y la naturaleza de las fuerzas con que interaccionan las partículas que conforman la materia. En las figuras A, B, C y D se muestran varias estructuras fundamentales (unidades que conforman todo el volumen del material) de varios materiales (A Cloruro de sodio, B Diamante, C Cuarzo, y D Peroskita), para tener una idea acerca de: el vacío existente en la materia (Figuras A, B, C, y D), y la forma aproximada de las fuerzas que conectan los átomos del material (Figura E), para el caso del cloruro de sodio o sal de cocina. Al referirnos al vacío, estamos hablando de un espacio en el que no se encuentra partícula alguna, ni en su forma molecular, ni átomos, ni partículas subatómicas de las conocidas hasta hora, ni trazas de ellas. Obviamos la existencia de los campos, eléctrico, magnético (por los iones que son partículas cargadas y en movimiento), y gravitacionales (por la masa), que están siempre presentes; puesto que cada uno de estos campos tienen asociadas energías; entonces, por la relación de equivalencia entre masa- energía (E = mc 2 ), bien podríamos identificar de esa manera, otra forma de materia, que por su magnitud no la podemos asociar con la materia ordinaria; esto como para justificar la no existencia de un vacío absoluto. La elasticidad, bien la podemos identificar como esa propiedad fundamental de la materia que nos permite entender el flujo de energía a través de la misma. Cómo evaluamos la elasticidad? Por simplicidad consideramos cuerpos que asumimos sean homogéneos en su conformación (la misma clase de partículas constituyentes) en todo su volumen, esto con el fin de restringir nuestra discusión al caso unidimensional, independiente de cual dirección sea la que tomemos para el análisis. Ley de Hooke

2 El comportamiento de los cuerpos o sistemas respecto a sus propiedades elásticas, no es igual en todo el rango de deformación producido por las fuerzas externas; experimentalmente se ha encontrado que la relación entre la fuerza y la deformación para pequeñas deformaciones, es lineal. La magnitud del rango en que los sistemas presentan comportamiento lineal es muy variado; y podemos decir que, cada sistema tiene su propio rango; pues esta asociado con sus propiedades intrínsecas. El sistema que mejor ilustra el comportamiento elástico de los cuerpos lo constituyen los resortes. Para analizar las propiedades elásticas de estos; la figura 1, muestra tres resortes suspendidos verticalmente por un extremo; en el primero de la izquierda, su deformación corresponderá al efecto que produce sobre él su propio peso, por la acción de la gravedad actuando sobre su centro de masa; y aunque hay resortes en los que su propio peso es suficiente para producir en ellos deformaciones relativamente grandes (son resortes especiales), en la mayoría de los casos se usan resortes, en los que esa deformación es muy pequeña, y podemos considerar que la longitud normal, y la que adquiere el resorte deformado por su propio peso son prácticamente la misma. A los otros dos resortes, por el extremo contrario al de suspensión se les ha colocado masas tales que, la masa del tercer resorte es el doble de la del segundo. De la figura se observa que la deformación del tercer resorte es el doble de la del segundo resorte; así que, cualquier masa (cuya magnitud sea menor que 2m) que se suspenda de alguno de estos resortes producirá una deformación cuyo valor estará entre 0 y 2x, y si graficamos el peso versus la deformación obtendremos una recta como la indicada en la figura 2.

3 A los sistemas que experimentan comportamientos similares, se dice que obedecen la Ley de Hooke. Esta ley establece que, la deformación, Δx, (en el caso unidimensional 1D) que experimenta un sistema por la acción de una fuerza externa, F Ext., es proporcional a la magnitud de la fuerza; es decir, Δx α F Ext., (siempre y cuando se conserve la proporcionalidad lineal entre la fuerza y la deformación. Así que de la figura 2, si llamamos con k la pendiente de la recta, la Ley de Hooke se puede escribir como F Ext. = - kx (1) El signo menos en la ec. 1, significa que, como las fuerzas siempre actúan en parejas (tercera ley de Newton), la fuerza externa actúa contra la fuerza que ejerce el resorte en sentido contrario (signo menos), tratando de impedir su deformación (o perturbación). La figura 4 muestra un bloque de diamante en su forma natural, tal y como se encuentra en la naturaleza; a pesar de que en ella no se muestra un trozo uniforme del material, su estructura fundamental es mostrada en la figuras 5a, 5b y 6a, en sus formas: tridimensional, 3D, bidimensional, 2D, y unidimensional, 1D, respectivamente. En la figura 6b, es representada la estructura 1D; asumiendo que la fuerza que une dos de sus iones, se pueda considerar como equivalente a la de un resorte de constante k. Aunque esta es una primera aproximación, y subjetivamente, por la diferencia en las dimensiones involucradas (carácter microscópico de los iones, y macroscópico del resorte) no parece ser razonable; pero en lo que sigue, veremos el sustento de la aproximación, y su consistencia, tal que para el caso de pequeñas perturbaciones, resulta ser lo suficientemente buena. El efecto de la fuerza externa, F Ext., sobre el resorte, es hacer que en él, se alcance una condición de energía potencial, E p, que es la equivalente al trabajo que hace la fuerza externa F Ext. al deformar el resorte en la distancia x; así que, del concepto de energía potencial tenemos E r p. Re f. = F dr (2) Para el caso unidimensional, la fuerza será entonces dada por

4 de p F( x) = (3) dx El signo menos en las últimas ecuaciones, esta asociado con el hecho de que, la fuerza ejercida por el resorte en respuesta a la fuerza externa, es oponerse al incremento de la energía del sistema, por el trabajo que sobre él hace la fuerza externa; o en otras palabras, trabajar contra la fuerza externa, para llevar el sistema al estado de menor energía. De la ec. 2, para los casos más comunes de la energía potencial gravitacional y elástica tenemos lo siguiente Con el fin de tener una idea, así sea aproximada, de lo que ocurre en los sistemas cuando son perturbados por fuerzas externas, en términos de sus propiedades elásticas, trataré de mostrar intuitivamente, el soporte teórico que justifica la inclusión de la fuerza elástica de un resorte en la discusión de la elasticidad; haciendo énfasis en su comportamiento en la región lineal.

5 La forma del diamante mostrada en la figura 4, ha sido tomado como el prototipo de los materiales naturales más duros (rígidos) de la naturaleza, aunque la figura tenga apariencia de varias fases del material, tomaremos como modelo aquel cuya estructura 3D corresponda a la de la fig. 5a. Para el caso 1D, la representación 6b, nos permitirá tener una idea muy aproximada de lo que ocurre en sistemas con análogas estructuras, cuando estas son perturbadas por fuerzas externas.

6 Figura 7. Representación típica de las energías potenciales involucradas en un enlace iónico, característico de los materiales más rígidos, y su comparación con la curva de energía potencial de un resorte (armónico). La figura 7 muestra las formas de la energía potencial que entran en juego en el proceso de formación del enlace iónico; lo he tomado como prototipo en razón a que en los materiales más rígidos (duros) de la naturaleza, en la unión entre sus átomos predomina este tipo de enlace. Se han tomado estos materiales como modelo de discusión, ya que en la interpretación de las propiedades elásticas de la materia, en los cuerpos duros, es más difícil intuir esas propiedades, que en los cuerpos blandos, o en los gases. Por la importancia que tiene el potencial armónico en el estudio de las vibraciones y las ondas; vistos estos, en principio, como fenómenos macroscópicos, es oportuno tratar de relacionarlo, a través de la elasticidad, con el comportamiento de la materia a nivel microscópico. En la figura 7, las energías potenciales (o potenciales) representados con líneas punteadas, corresponden a la atracción que media entre dos átomos, con cargas contrarias hasta la distancia r o, (llamada radio de equilibrio), y la repulsión que aparece cuando la distancia entre los átomos es menor que r o. La superposición de las dos curvas de potencial produce como resultado la curva de la energía potencial molecular E pm. Ahora, justamente en r = r o (posición de equilibrio), se ha superpuesto a la curva de la energía potencial molecular, la curva de la energía potencial del resorte, descrita antes, la cual tiene la dependencia cuadrática con la distancia r. Como se dijo antes, la relación F = - kx es válida para pequeñas deformaciones producidas por la fuerza (región lineal de la curva F vs x, Fig. 2). Cuando tratamos de interpretar las propiedades elásticas de los cuerpos, simulamos la fuerza que une los átomos, asumiendo que es equivalente a la de un resorte de constante k, Fig. 6b, estamos teniendo en cuenta, la coincidencia existente, muy cerca de r o, Fig. 7, donde la

7 curva del potencial armónico coincide con el molecular. Estas ideas intuitivas sobre la elasticidad, en estos casos extremos, nos permiten entender en una primera aproximación, el comportamiento dinámico de la materia en el proceso de transferencia de energía; que es lo que constituye la parte fundamental en este curso. Con el fin de no caer en absurdos, es importante aclarar, que esa aparente simplicidad de la estructura 1D del diamante, y análogamente en todos los materiales, cuyas estructuras cristalinas (ordenadas); es debida al ordenamiento que en las tres direcciones geométricas, en todo su volumen, caracterizan a tales materiales. Es también importante advertir que el análisis involucrando los iones y las fuerzas en 2D o 3D, implica introducir complicaciones matemáticas, que se salen de los objetivos del curso. Complicaciones aún mayores aparecerán si los materiales en cuestión, fueran desordenados (no cristalinos), o amorfos (sin estructura o forma), pero para su discusión es fundamental la información que se obtenga en el análisis de los sistemas ordenados. No obstante la aclaración y advertencia del párrafo anterior; el análisis de sistemas simples, como el mostrado en la figura 6b, o aún, una forma más elemental de ese sistema, como el de un resorte y una masa (sistema masa-resorte), proporciona una información demasiado importante; pues nos permite ahondar en la comprensión de tales sistemas, y entender las consecuencias asociadas con su dinámica, parte de la cual esta directamente relacionada con la propagación de la energía a través de las ondas. Cuestiones: 1. Considere la siguiente situación: se tiene un material muy duro (comparable al diamante), otro menos duro, otro catalogado como blando, y además agua y gas; asumiendo en todos los casos, que las fuerzas que conectan los iones se comportan como resortes (como en el caso del diamante); en un mismo gráfico, como el de la figura 2, grafique la fuerza contra la deformación para los casos anotados. 2. Según lo dicho hasta aquí, podrá existir alguna deformación en los resortes de la Fig. 6b, si el diamante estuviera a 0 o K? El sistema masa-resorte La figura 8 muestra dos formas muy comunes de representar un sistema muy importante para los objetivos de este curso, es el llamado sistema masa-resorte. Estudiante: Por qué es tan importante este sistema? Profesor: Al describir los sistemas físicos que nos rodean, los más familiares, lo podemos hacer, recurriendo al uso de sus propiedades macroscópicas fundamentales; como por ejemplo la masa, el peso, la densidad, temperatura, color, olor, sabor, textura, etc, a las que llegamos mediante nuestra observación directa, y/o haciendo medidas muy simples; es decir, no nos es difícil describir algo que estamos viendo, e interactuando directamente con él. Pero ocurre que tales sistemas están conformados de partículas tan pequeñas que no las podemos ver a simple vista, y algunas, ni con los más potentes microscopios u otros instrumentos que ha producido la tecnología, y aquellas propiedades están de alguna manera relacionadas con el comportamiento colectivo de tales partículas. Así que, necesitamos entender el funcionamiento colectivo, para poderlo asociar con tales propiedades, y para el efecto, el sistema masa-resorte ha ocupado un papel protagónico. El que este sistema sirva de alguna manera de vinculo para relacionar las propiedades microscópicas con las macroscópicas de los sistemas físicos, no cree que es suficiente motivo para que nos interesemos en estudiar cuidadosamente.

8 Estudiante. Realmente si es muy importante lograr esa conexión; por eso ya comienzo a interesarme en el sistema masa-resorte. Pero de qué manera se logra ese puente? Profesor. Eso será lo haremos en lo que sigue. Profesor. Para el efecto Qué diferencia cree usted que existe en los dos sistemas de la figura 8? Estudiante. De acuerdo a lo que aprendí en el curso de mecánica, si yo hago el diagrama de fuerzas en los dos sistemas obtendría lo siguiente: en la figura 9a, la reacción al peso de la masa m, o sea mg, la ejerce el resorte con una fuerza elástica, kx, de igual magnitud que mg pero en sentido contrario; en cambio en la figura 9b, la reacción al peso mg, no la ejerce el resorte, sino la superficie sobre la que descansa la masa m. Profesor. Muy bien, parece que aprovecho bien el curso de mecánica. Profesor. En términos energéticos, cómo es la energía en ambos sistemas?

9 Estudiante. Como la suma de las fuerzas es cero en ambos sistemas, los dos sistemas están en equilibrio, eso quiere decir que no de a hecho trabajo sobre los sistemas, y en consecuencia en ambos la energía es cero. Profesor. Ese es un juicio, no solo muy ligero; sino análogo al que frecuente hacen los estudiantes. Hay que recordar que la energía mecánica de un sistema se compone de energía cinética y energía potencial; la primera dependiente del cuadrado de la velocidad, y la segunda de la posición en un sistema de referencia previamente definido. Si bien, como usted dice, los dos sistemas están en equilibrio, porque la fuerza neta sobre cada sistema es nula, y los dos están en reposo; en relación con la energía cinética es cierto que sea nula, pero para la energía potencial, hay que tener mucho cuidado, pues ésta depende de la posición, y en ese sentido los dos sistemas son bien diferentes. Estudiante. Realmente juzgué las cosas de manera muy simple; eso a nosotros, nos ocurre con frecuencia, pecamos de apresurados, no deteniéndonos a analizar las situaciones con detalle. Reexaminado la cuestión, veo que mientras en la figura 9a, el resorte es deformado por la acción del peso mg, en la 9b el resorte no experimentó ninguna deformación, pues la reacción al peso, la realiza la superficie sobre la que descansa la masa m; por lo tanto la energía potencial si es diferente en estos sistemas. Profesor. A pesar de su reconsideración, dada la importancia de este sistema, es necesario analizar más de cerca el asunto. Para el sistema de la figura 9a, en razón a la dependencia que tiene la energía potencial de la posición, la elección de la referencia nos da varias opciones. Así por ejemplo, podríamos tomar como referencia, el resorte sin deformar; es decir con su longitud normal l, como la que tiene el resorte en fig.9b; o podemos tomar como referencia el resorte deformado por su propio peso, o deformado por un peso cualquiera mg, Figura 10. Por eso es importante tener mucho cuidado en cualquier análisis, para no caer en ligerezas que nos lleven a cometer errores.