3.7 DEFINICIÓN DE UNA RECTA

Transcripción

1 Página DEFINICIÓN DE UNA RECTA Existen os foras para ejar bien efinia a una recta, pero antes e señalarlas es inispensable coprener bien el significao e la frase quear bien efinio. Un objeto quea al efinio cuano la escripción que se hace e él es insuficiente, e anera que aite otros objetos que cuplen con la escripción y que no son el efinio. Por ejeplo, se esea efinir un hobre e la siguiente anera: Es un ser viviente. Esta escripción hecha e un hobre, aunque cierta, es insuficiente, ya que aite a aniales y vegetales que no son hobres, coo los perros, gatos, peces, uraznos, bacterias, etc., que cuplen con la escripción, es ecir que son "seres vivos". Por lo tanto, se ice que está al efinio. En el caso particular e la recta, si se esea efinir una recta eterinaa icieno únicaente que "pasa por el punto A, ", está al efinia ya que aite a otras rectas que cuplen con la escripción y no son la que se pretene efinir, coo lo uestra la parte superior e la figura 3.. A(, ) Cuál es, si toas pasan por A(, )? O bien, si se ice naa ás que tiene una inclinación e 4 o, tabién quea al efinia por aitir uchas rectas que cuplen esa escripción, tal coo se ve en la parte inferior e la figura 3.. En cabio, un objeto quea bien efinio cuano la escripción que se hace e él no aite a otros objetos que no sea el efinio. Por ejeplo, se esea efinir un hobre e la siguiente anera: Es un ser viviente y pensante. Esta escripción hecha e un hobre ya no aite a aniales y vegetales coo a los perros, gatos, peces, uraznos, bacterias, etc., pues ninguno e ellos cuple con la escripción e "ser pensante". Por lo tanto, se ice que está bien efinio. Cuál es, si toas están a 4 graos? figura 3. En el caso particular e la recta, si se efine una recta eterinaa icieno que pasa por (, ) los puntos A y B 3, 7, está bien efinia ya que no aite a otras rectas que cu- plan con la escripción; solaente hay una recta que pasa por esos os puntos. O bien, si se ice que tiene una inclinación e 4 o y aeás pasa por el punto A 0, 4, tabién e esta anera quea bien efinia por no aitir a ninguna otra recta que cupla

2 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 4 esa escripción; solaente existe una recta que puea pasar por el punto encionao y con esa inclinación. De anera que las os foras para ejar bien efinia a una recta son: ) Conocieno las coorenaas e os puntos por los que pasa; y ) conocieno un punto por el que pasa y su peniente. En abos casos se tiene una fórula respectiva para calcular la ecuación e la recta que cuple con una e las os coniciones, las cuales se an en el siguiente recuaro: ) La ecuación e la recta que pasa por os puntos conocios A ( x, y ) y B ( x, y ) es y y y y x x x x ) La ecuación e la recta que pasa por un punto conocio A x, y y e peniente conocia, es y y x x De las os fórulas anteriores, por coparación se infiere que la peniente e una recta e la que se conocen las coorenaas e os puntos por la que pasa y B ( x,y), es A ( x,y) y x y x Ejeplo : Encontrar la ecuación e la recta que pasa por los puntos A(, 4) y B(0, - ). En este caso: x ; x 0 y 4 ; y - Utilizano la fórula e "os puntos" y sustituyeno valores:

3 Página 4 y y y y x x x x ( x ) 4 y y 4 ( x ) y 4 6 y 4 6x 6 y 6x 6+ 4 y 6x ( x ) Ejeplo : Encontrar la ecuación e la recta que pasa por el punto A(-3, ) y tiene peniente 4. En este caso: x - 3 y 4 Utilizano la fórula e "punto y peniente" e la página 4 y sustituyeno valores: y y x x y 4 x 3 ( x ) y y 4x + y 4x + + y 4x COORDENADAS DE UN PUNTO DE INTERSECCIÓN Una herraienta uy práctica en la resolución e probleas es la localización e las coorenaas el punto e intersección e os rectas, las cuales se obtienen resolvieno "por siultáneas" las ecuaciones respectivas e caa una e las rectas que se cortan entre sí.

4 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 43 Ejeplo 3: Hallar el punto e intersección e las rectas 3x + y - 0 y x - 3y + 0 (ver figura 3.6). Resolvieno por siultáneas abas ecuaciones: () 3x + y 0 () x 3y + 0 ultiplicano por 3 la ecuación () y por la ecuación () se obtiene: () 9x + y () 0x - y + 0 S)))))))))))))))))))Q suano: 9x espejano: 9x - 9 x - punto e intersección 3x + y - 0 x - 3y + 0 figura 3.6 sustituyeno este valor en la ecuación (): () 3(- ) + y y - 0 y + 3 y e anera que las coorenaas one se cortan estas os rectas son P,. 3.9 RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES La conición obvia para que os rectas sean paralelas es que tengan exactaente el iso ángulo y, por lo tanto, la isa inclinación o peniente. Dos rectas son paralelas si tienen la isa peniente, es ecir que La conición para que os rectas sean perpeniculares no es tan obvia; sin ebargo, se pueen resuir en la siguiente regla:

5 Página 44 Dos rectas son perpeniculares si sus penientes son recíprocas y e signos opuestos, o sea que 3.0 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA Cuano se conocen las coorenaas e un punto P y la ecuación e una recta, es posible calcular la istancia que hay entre ese punto e coorenaas y la recta e ecua- ción Dx + Ey + F 0. P ( x,y) Aquí una cosa uy iportante es efinir e qué anera ebe eirse esa istancia ese el punto hasta la recta, porque, entro e las últiples opciones que existen, puee hacerse la eición e iferentes foras. Cuál e toas las istancias es la buena? En la figura 3.7 se ve que efectivaente, la istancia tiene iferente eia que la istancia. Y confore se ie con iferente inclinación, la istancia será caa vez iferente. Surge necesariaente la pregunta: Cuál e toas las eias es la correcta? Y por qué? Se puee ver fácilente que caa eición es ayor cuano la inclinación auenta y enor cuano isinuye la inclinación. Esto iplica que no hay líite en cuanto a la eia ás grane posible, pero en cabio sí hay una, entre toas, que es la ás pequeña. Esa es exactaente la que se hace en fora perpenicular a la recta. Por lo tanto, para evitar confusiones, se efine la istancia e un punto a una recta coo la eia ás pequeña que es posible realizar; en otras palabras, es la eia perpenicular a la recta. De anera que caa vez que se haga referencia a una istancia, ebe arse por hecho que se refiere, por efinición, a la eia perpenicular. Tal istancia se puee calcular por eio e la siguiente relación: 4 recta figura 3.7

6 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 4 La istancia entre el punto conocio ecuación Dx + Ey + F 0 es P ( x,y) y la recta e Dx + Ey + F D + E en one D, E y F son las constantes e la ecuación e la recta en la fora general, ientras que x, y son los valores e las coorenaas el punto conocio. Las os lineas verticales que abarcan al nueraor significan "valor absoluto", es ecir, que si alguna vez a negativo, no ebe toarse en cuenta ese signo negativo. Ejeplo 4: Encontrar la ecuación e la recta que pasa por el punto A(7, 4) y que es tabién paralela a la recta x y 0 (ver figura 3.8). Coo las os rectas son paralelas, eben tener la isa peniente; e anera que ebe obtenerse la peniente e la recta que se conoce su ecuación y "pasársela" a la otra: Para obtener la peniente e la recta x y 0 ebe escribir- se en la fora particular, es ecir, ebe espejarse la variable y. Haciénolo, se obtiene: x - y - 0 x - y y x A figura 3.8 x - y - 0 recta buscaa la peniente e esta recta es. De anera que esta peniente es la isa que la e la recta peia. Coo aeás ya se sabe que la recta peia pasa por el punto, uti- lizano la fórula e "punto y peniente" e la página 4 y sustituyeno valores: y y x x ( x ) y 4 7 y 4 x 4 A( 7, 4)

7 Página 46 y x 4+ 4 y x 0 Ejeplo : Encontrar la ecuación e la recta que pasa por el punto P(- 3, ) y que es perpenicular a la recta 4x + y - 0 (figura 3.9). Coo las os rectas son perpeniculares, sus penientes eben ser recíprocas y e signos contrarios; e anera que ebe obtenerse la peniente e la recta que se conoce su ecuación y "pasársela" a la otra por eio e la conición e perpenicularia. Para obtener la peniente e la recta 4x + y 0, tiene que escribirse en la fora particular, es ecir, ebe espejarse la variable y. Haciénolo, se obtiene: 4x + y - 0 y - 4x + y - x + / P(- 3, ) figura x + y - 0 recta peia la peniente e la recta aa es -. De anera que la peniente e la perpenicular es. Coo aeás ya se sabe que la recta peia pasa por el punto P( 3, ), utili- zano la fórula e punto y peniente e la página 4 y sustituyeno valores: y y x x y x ( 3) y + 3 ( y ) ( x ) x + 3 y x + 3 x + y 3 0 x y + 0

8 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 47 Ejeplo 6: Encontrar la ecuación e la recta que es paralela a otra recta que tiene por ecuación 6x y 30 0 y que ae- ás pasa por el punto e intersección e las rectas 3x + 7y 6 0 y x 9y 0 (ver figura 3.0). Coo la recta peia es paralela a otra cuya ecuación es 6x y 30 0, eben tener la isa peniente; e anera que espejano la variable y e esta últia ecuación para obtener su peniente y pasársela a la otra: 3x + 7y x - 9y - 0 paralelas figura 3.0 recta peia 6x - y x y 30 0 y 6x + 30 y 6x 30 y 6x 30 6 y x 6 e one se ve que 6/. El punto e intersección e las rectas 3x + 7y 6 0 y x 9y 0 se obtie- ne resolvieno por siultáneas abas ecuaciones: () 3x + 7y () x - 9y - 0 ultiplicano por - 3 la ecuación () se obtiene: () 3x + 7y () - 3x + 7y S))))))))))))))))Q suano: + 34y 0 espejano: y 0/34 y 0 sustituyeno este valor en la ecuación () original:

9 Página 48 () x - 9(0) - 0 x x e anera que las coorenaas el punto P one se intersecan estas os rectas son. Se tienen ya la peniente y un punto conocio e la recta que se pie su P(, 0) ecuación, por lo que, en este caso: x y 0 6 Utilizano la fórula e "punto y peniente" e la página 4 y sustituyeno valores: y y x x 6 y 0 ( x ) ( x ) y 6 y 6x 6x + y + 0 6x y 0 Ejeplo 7: Los vértices e un cuarilátero son: A, ; B ( ), ( ) ; C, y D,. Investi- gar si es cuarao, rectángulo, robo, roboie o trapecio. D A B Graficano los puntos en el plano para ir efectuano las eucciones y razonaientos en base al ibujo previo se obtiene la figura 3.. Lo priero que hay que investigar es si hay laos paralelos, para saber si se trata e un paralelograo o no. Para eso eben obtenerse las penientes e los cuatro laos. C figura 3.

10 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 49 Con la fórula e la peniente y x y x escrita en la página 4, se obtiene: peniente AB : AB AB 3 3 peniente : + + AB 4 3 peniente DC : DC 3 DC 3 DC peniente AD : AD AD AD Coo AB DC y aeás AD, se puee ya obtener la priera conclusión: Se trata e un paralelograo. El siguiente paso es investigar si los laos foran ángulos rectos o no. Para ello se requiere, por la conición e perpenicularia, que las penientes sean recíprocas y e signos contrarios y en este caso no lo son, lo que significa que los laos no son perpeniculares. Por lo tanto no es cuarao ni tapoco rectángulo. Quean solaente os posibiliaes: que sea robo o que sea roboie. Para investigarlo hay os opciones, e acuero con las propieaes e los paralelograos vistas en la página 8: Priera, por el taaño e sus laos, sabieno que el robo tiene sus cuatro laos iguales; seguna, por sus iagonales, sabieno que las iagonales el robo son perpeniculares. Por el taaño e sus laos: obtenieno la istancia entre los puntos A y B y luego entre los puntos B y C, utilizano la fórula e istancia entre os puntos. Para la istancia A-B se tiene que

11 Página 0 x x + y y en one: x - ; y x ; y - sustituyeno valores [ ] AB + AB AB 9+ 9 AB 8 Para la istancia B-C se tiene que x x + y y en one x ; y - x - ; y - sustituyeno valores Se ve que el lao AB es iferente al lao. Por lo tanto, se trata e un roboie. Otro étoo: Por sus iagonales. Deben sacarse las penientes e las rectas (las iagonales) AC y BD y verificar si son o no perpeniculares. Recorar que las iagonales el

12 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página robo son perpeniculares ientras que las el roboie no. Con la fórula e la peniente y x y x (ver página 4), se obtiene: peniente AC : AC peniente : BD AC + + BD AC 0 BD 6 Coo las penientes no son recíprocas y e signo contrario, las iagonales no son perpeniculares; por lo tanto, no es un robo. Conclusión: se trata e un roboie. Ejeplo 8: Hallar la istancia entre las rectas paralelas 8x 3y 0 y 8x 3y Se localizan las coorenaas e cualquier punto P que pertenezca a cualquiera e las os rectas y se calcula la istancia e ese punto a la otra recta, con la fórula e la página 4. De anera que tabulano un punto cualquiera e la recta 8x 3y 0, por ejeplo, para x 3, se obtiene x 3 y 8x - 3y istancia P(3, - ) La istancia entre ese punto y la recta está aa por la fórula e la página 4: Dx + Ey + F D + E figura 3. En one D 8, E 3 y F 8 (son las constantes e la ecuación e la recta), ien- tras que x y y (son las coorenaas el punto). Sustituyeno valores en la 3 fórula se obtiene:

13 Página Cuiao!: Un error uy frecuente que suele coeter el aluno es el e tabular un punto en caa una e las rectas y luego calcular la istancia entre esos os puntos. Por ejeplo, el punto ( ;. ) A 6 y el punto B ; 0. 6, coo se uestra en la figura 3.3. El error está en que una istancia ebe ser eia perpenicularente por las razones expuestas en la página 44, y el hecho e localizar os puntos, uno en caa recta, no garantiza e ninguna fora que queen en ángulo recto con las rectas a las que pertenecen. Por lo tanto, la istancia obtenia entre esos os puntos no es, en la ayoría e los casos, la que hay realente entre uno e esos puntos y la otra recta. istancia? figura 3.3

14 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 3 EJERCICIO ) Una recta pasa por los puntos A(, ) y B(, 9). Hallar su ecuación en fora general. ) Una recta pasa por los puntos A(4, - ) y B(3, - 8). Hallar su ecuación particular. 3) Una recta pasa por los puntos A(0, - 6) y B(3, 0). Hallar su ecuación en cualquier fora. 4) Una recta pasa por el punto A(7, - ) y tiene una peniente. Hallar su ecuación en fora particular. ) Una recta pasa por el punto A(- 0, - 7) y tiene una peniente -. Hallar su ecuación en fora particular. 6) Una recta pasa por el punto A(-, ) y tiene una peniente /3. Hallar su ecuación particular. 7) Una recta pasa por el punto A( 0, 0) y tiene una peniente - /3. Hallar su ecuación en fora general. 8) Una recta pasa por el punto A(, - ) y tiene una peniente 3/7. Hallar su ecuación en fora general. 9) Una recta pasa por el punto A( - 3, - ) y tiene una peniente - 9/. Hallar su ecuación en cualquiera e sus os foras. 0) Los vértices e un triángulo son: A(, ) ; B(- 4, ) y C(- 3, 0). Hallar la ecuación e caa uno e sus laos. ) Los vértices e un triángulo son: A(, 8) ; B( 0, 4) y C(, - 3). Hallar la ecuación e caa uno e sus laos. ) Los vértices e un triángulo son: A(, ) ; B(- 4, ) y C(-3, 0). Hallar la ecuación e la eiatriz al lao AB. 3) Los vértices e un triángulo son: A(, 8) ; B( 0, 4) y C(, - 3). Hallar la ecuación e la eiatriz al lao. 4) Los vértices e un triángulo son: A(, ) ; B(- 4, ) y C(-3, 0). Hallar la ecuación e la eiana al lao AB. x - y + 0 A ) Los vértices e un triángulo son: A(, 8) ; B( 0, 4) y C(, -3). Hallar la ecuación e la eiana al lao. 6) Los vértices e un triángulo son: A(, ) ; B(- 4, ) y C(-3, 0). Hallar la ecuación e la altura al lao AB. C x + 3y x + y B 7) Los vértices e un triángulo son: A(, 8) ; B( 0, 4) y C(, -3). Hallar la ecuación e la altura al lao. figura 3.4 8) Las ecuaciones e los laos el triángulo e la figura 3.4 son: x + y 6 0 ; x + 3y y x y + 0. Hallar las coorenaas el vértice C. 9) Hallar la ecuación e la eiana al lao AC el triángulo e la figura 3.4.

15 Página 4 0) Hallar la ecuación e la eiana al lao AB el triángulo e la figura 3.4. ) Hallar la ecuación e la eiatriz al lao el triángulo e la figura 3.4. ) Hallar la ecuación e la eiatriz al lao AB el triángulo e la figura ) Hallar la ecuación e la altura al lao AB el triángulo e la figura ) Hallar la ecuación e la altura al lao AC el triángulo e la figura 3.4. ) Hallar las coorenaas el circuncentro el triángulo e la figura 3.4. Es suficiente con hallar la ecuación e os eiatrices y luego su intersección. 6) Hallar las coorenaas el baricentro el triángulo e la figura 3.4. Es suficiente con hallar la ecuación e os eianas y luego su intersección. 7) Hallar la istancia entre las rectas paralelas 3x 7y + 0 y 3x 7y ) Hallar la istancia entre las rectas paralelas x 9y + 0 y x 9y CASOS ESPECIALES ) La gráfica e la ecuación y c, en one c es cualquier constante (cualquier núero), es una recta horizontal. Por ejeplo, la gráfica e y 3 es la e la figura 3.. y 3 ) La gráfica e la ecuación x c, en one c es cualquier constante (cualquier núero), es una recta vertical. Por ejeplo, la gráfica e x 3 es la e la figura 3.6. y x figura 3. figura 3.6